三角形模型应用、构造与综合（考题猜想6种热考模型）原卷版

专题01三角形模型应用、构造与综合（考题猜想，6种热考模型）

型大裳合

.

题型一：双内角平分线（共7题）

题型二：双外角平分线（共6题）

题型三：内外角平分线（共13题）

三角形模型应用、

题型四：A字解（共5题）

题近：蝌（存）触（鼎题）

--逊A：航模型（共11题）

题型一：双内角平分线（共7题）

1.（2023秋•锦江区校级期末）如图，AABC中，NABC与ZACB的平分线相交于Z）,若/4=50。，则ZBDC=

2.（2022春•历下区期末）在AABC中，8。和CE分别是NABC和NACB的角平分线，BD,CE相交于点

O.

（1）如图1,若/4BC=5O。，ZACB=76,求NBOC的度数；

（2）借助图1,若ZABC=c,NACB=万，求NBOC与的关系；

（3）如图2,若AB=AC,求证：OE=OD.

3.（2023秋•临江市期末）（1）已知：如图①，在AADC中，DP、CP分别平分NADC和NACD,直接写

出NP与Z4的数量关系为.

（2）已知：如图②，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分NADC和/BCD,试探究NP与NA+NS的数

量关系.

图①图②

4.（2023秋•巨野县期末）如图，在AABC中，NABC和NACB的平分线相交于点O,若/4=42。.

（1）求NBOC的度数；

（2）把（1）中/4=42。这个条件去掉，试探索NBOC和之间有怎样的数量关系.

5.（2023春•台江区校级期末）（1）如图1,四边形ABCD中，NABC和N3CD的平分线交于点P,已知

ZA+ZD=140°,求NP的度数;

（2）如图2,在四边形A8CD中，NABC和NADC外角的三等分线交于点P,已知NABC=3NABP,

ZADE=3ZADP,请写出NA、/C与NP的数量关系，并证明;

（3）如图3,E在CD边的延长线上，尸在仞边的延长线上，NR4Z）和NDEF的平分线交于点尸，请直

接写出NB、NC、ZF、NP的数量关系:

B

B

图1图2图3

6.（2022秋•余庆县期中）动手操作，探究：

探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？

已知：如图（1）,在AADC中，DP、CP分别平分NADC和NACD,试探究”与44的数量关系.

探究二：若将AADC改为任意四边形ABCD呢？

已知：如图（2）,在四边形ABCD中，DP、CP分别平分NADC和N3CD,试利用上述结论探究”与

/4+NB的数量关系.（写出说理过程）

探究三：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图（3））呢？请直接写出NP与

ZA+ZB+ZE+ZF的数量关系：.

7.(2021春•青山湖区校级期末)在平面直角坐标系xOy中，点A为x轴上的动点，点3为x轴上方的动点，

连接。4,OB,AB.

(1)如图1,当点3在y轴上，且满足NO4B的角平分线与NQR4的角平分线交于点P,请直接写出NP

的度数；

(2)如图2,当点3在y轴上，NQ4B的角平分线与NOA4的角平分线交于点尸，点C在3尸的延长线上，

且满足NAOC=45。，求；

ZOCB

(3)如图3,当点3在第一象限内，点P是AAC®内一点，点N分别是线段。I,OB上一点,满足:

ZAPB=90°+-ZAOB,PM=PN,ZONP+ZOMP^180°.

以下结论：①OM=ON;②AP平分NQ4B;③3P平分NOR4；®AM+BN=AB.

正确的是：.(请填写正确结论序号，并选择一个正确的结论证明，简写证明过程).

23A45

题型二：双外角平分线(共6题)

1.如图，在平面直角坐标系中，点A为x轴上的一点，点3为y轴上的一点，AC平分3c平分ZABy,

求NC的度数.

2.(2022秋•即墨区期末)三角形内角和定理告诉我们：三角形二个内角的和等于180。如何证明这个定理

呢？我们知道，平角是180。，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中去，请根据如下

条件，证明定理.

【定理证明】

已知：AABC如图①，求证：ZA+ZB+ZC=180°.

【定理推论】如图②，在AABC中，有/4+"+/4@=180。，点。是3(7延长线上一点，由平角的定义

可得NACD+NACB=180。，所以NACD=，从而得到三角形内角和定理的推论：三角

形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.

【初步运用】如图③，点。、E分别是AABC的边AB、AC延长线上一点.

(1)若NA=80°,ZDBC=150°,则NACB=.

(2)若NA=80。，则ZDBC+N£CB=.

【拓展延伸】如图④，点。、E分别是四边形ABPC的边项、AC延长线上一点.

(1)若ZA=80。，ZP=150°,则ZD3P+NECP=.

(2)分别作NDBP和NECP的平分线8"、CN,如图⑤，若BMUCN,则NA和NP的关系为.

(3)分别作NOBP和NECP的平分线，交于点O,如图⑥，求出NA,NO和NP的数量关系，并说明理由.

A

AA

图①图②图③

图⑥

3.(2023秋•重庆期末)如图，在AABC中，分别延长AABC的边AB,AC到点。，E,ZCBD与ZBCE

的平分线相交于点尸，爱动脑筋的小明在写作业时发现如下规律：

40°

a.若ZA=40。，贝!]/尸=70。=90。----；

2

90。

b.若ZA=90。，贝UN尸=45。=90。----；

2

110。

c.若ZA=110。，贝!!/「=35。=90。-----；

2

(1)根据上述规律，若24=160。，则NP=.

(2)ZP=.(用含NA的式子表示)

(3)请证明(2)中的结论.

/D

B/

F

A

C

4.（2022春•南阳期末）⑴温故知新

如图1,已知NACD是AABC的一个外角，则Z4CD=NA+；

（2）尝试探究

如图2,ZDBC与NECB分别为AABC的两个外角，则ZDBC+ZECBNA+180。（横线上填“>”、“<”

或“=”）;

（3）初步应用

如图3,在AABC纸片中剪去ACED,得到四边形ABDE,Zl=135%贝l]/2-NC=；

（4）解决问题

如图4,在AABC中，BP,CP分别平分外角NDBC,Z.ECB,NP与NA有何数量关系？请说明理由；

（5）拓展提升

如图5,在四边形ABCD中，BP,CP分别平分外角NEBC,ZFCB,请借鉴上面的思路直接写出NP与

的数量关系.

图4图5

5.（2023春•襄汾县期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务.

已知“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和“，那么五边形的外角与内角之间又有什么关系呢？

如图1,在五边形TWCDE中，Zl,N2是它的两个外角,Zl+Z2=ZA+ZB+ZC-180°.下面是该结论的

证明过程（部分）：

•••五边形的内角和为540。,

.".ZA+ZB+ZC+Z3+Z4=54O°.

（1）按照上面的证明思路，完成证明的剩余部分.

（2）知识应用：如图2,在五边形ABCDE中，EF,DF分别是NDEH和NEDG的平分线，若

NA+NB+NC=320。，求NF的度数；

2?

(3)拓展提升：如图3,NC=NE=90。,ZABH=—ZABF,NGFH=—NBFG,ZH=140。，贝(JND=

33-----------

6.(2021春•丰县校级期末)［问题情境］苏科版义务教育教科书数学七下第42页有这样的一个问题：如图

1,在AABC中，ZA=n0,设AABC的外角NCBD、NBCE的平分线交于点O,求NBOC的度数.

(1)请你先完成这个问题的解答.

［变式探究］小明在完成以上问题解答后，作如下变式探究：

(2)如图2,在AABC中，ZA=8O°,若NBCN=—NBCE,ZCBM=-ZCBD,且射线3AZ与射线CV相

88

交于点O,则々OC=°；

33

(3)如图3,在AABC中，ZA=n°.若/BCN=—NBCE,ZCBM=-ZCBD,且与OV相交于点O,

44

若要使射线比W、CN能相交，贝州的取值范围是什么？请说明理由；

(4)如图3,在AABC中，NA=〃。.若NBCN=^4BCE,NCBM=^NCBD,请直接写出使射线BM、

PP

CN能相交的”的取值范围是—(其中请用含p、4的代数式表示).

题型三：内外角平分线（共13题）

1.（2023秋•莘县期末）如图，和CA分别是AABC的内角平分线和外角平分线，％是幺的角平分

线，品是幺CD的角平分线，％是的角平分线，（为是的角平分线，依此下去，若NA=。,

则/4必为（）

De1\2046-

■(-)a

2.（2024春•绿园区期末）如图，5尸是△ABC中NABC的平分线，CP是NACB的外角的平分线，如果

ZABP=20°,ZACP=5O。，贝UZP=

3.（2023秋•江汉区期中）如图，DF为四边形ACDB外角NBDE的平分线，CF平分NACD,若NA=14O。,

NB=110。，则Z.CFD的度数是.

4.如图，在平面直角坐标系中，点A为x轴上的一点，点3为y轴上的一点，4）平分BP平分NOBA,

加P与ZM的延长线交于点P,求NP的度数.

5.(2023春•南京期末)【初步认识】

(1)如图①，在AABC中，BP,CP分别平分NABC,ZACB.求证：ZBPC=90°+-ZA；

2

【继续探索】

(2)如图②，在AABC中，3M平分NABC,CM平分AABC外角NACD.求证：ZM=-ZA；

2

(3)如图③，BN、QV分别平分AABC外角NEBC,NFCB.则NN与NA的数量关系

是___________________

(4)如图④，AABC中的两内角平分线交于P点，两外角平分线交于N点，一内角平分线与一外角平分线

交于M点.设NBPC=a°,ZM=b。，ZN=c°,则a,b,c之间的关系是

6.(2022秋•新乡期末)如图1,在AABC中，NABC和NACB的平分线交于点O,过点O作EF//BC,交

回于E,交AC于尸.

(1)当BE=5,CF=3,则EF=；

(2)当BEACF时，若CO是NACB的外角平分线，如图2,它仍然和NABC的角平分线相交于点O,过点

。作EF/ABC,交互于E,交AC于P,试判断历，BE,CF之间的关系，并说明理由.

7.(2023春•商水县期末)【基本模型】

(1)如图1,在AA5c中，3P平分NABC,CP平分外角NACD,试说明NP=，NA.

2

【变式应用】

(2)如图2,ZMON=90°,A,3分别是射线ON,OM上的两个动点，NABO与ZBAN的平分线的

交点为P,则点A,3的运动的过程中，”的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若

发生变化，请说明理由.

【拓展应用】

(3)如图3,ZMON=90°,作NMON的平分线OD,A是射线OD上的一定点，5是直线ON上的任

意一点(不与点O重合)，连接至，设NABO的平分线与440的邻补角的平分线的交点为尸，请直接

写出NP的度数.

图1图2图3

8.（2023秋•郑州期末）综合与实践：如图1,在AABC中，N54c=66。，三个内角平分线交于点O,AABC

的外角NACE的角平分线交30的延长线于点尸.

【问题初探】：（1）NOCF的度数为,NF的度数为；

【问题再探】：（2）如图2,过点。作NODB=/4OB.（可直接使用问题（1）中的结论）

①求NBOD的度数；

②试判断线段OD和CF之间的位置关系，并说明理由；

【拓展探究】：（3）若=将AOCD绕点C顺时针旋转一定角度"0。<£<360。）后得到△<7CD，,

当CO所在直线与所平行时，请直接写出此时旋转角度分与。之间的关系.

9.（2023秋•泾阳县期末）如图，在AABC中，BD,CD分别是NABC,NACB的平分线，BP,CP分别

是NEBC,NFCB的平分线.

（1）当ZABC=60°,ZACB=70°时，ZD=°,ZP=°；

（2）请你猜想，当的大小变化时，"+NP的值是否变化？请说明理由.

E

F

P

10.（2024春•农安县期末）（问题背景）

NMON=90。，点A、3分别在OM、QV上运动（不与点。重合）.

图①图②图③

（问题思考）

（1）如图①，AE、3E分别是440和NABO的平分线，随着点A、点3的运动，ZAEB=.

（2）如图②，若BC是NABN的平分线，5c的反向延长线与NO4B的平分线交于点D.

①若ZBAO=70。，则ZD=°.

②随着点A、3的运动，/D的大小会变吗？如果不会，求乙0的度数；如果会，请说明理由；

（问题拓展）

（3）在图②的基础上，如果NMON=（z,其余条件不变，随着点A、5的运动（如图③），ND=.（用

含。的代数式表示）

11.(2024春•单县期末)某同学在学习过程中，对教材的一个习题做如下探究:

【习题回顾】

已知：如图1,在AABC中，角平分线皮)、CE交于点O.求NBOC的度数.

(1)若NA=4O。，请直接写出NBOC=.；

【变式思考】

(2)若NA=&,请猜想NBOC与。的关系，并说明理由；

【拓展延伸】

(3)已知：如图2,在AABC中，角平分线3D、CE交于点O,点尸在3c的延长线上，作/4CF的平分

线交30的延长线于点G.若NG=月，猜想44c与6的关系，并说明理由.

12.已知。、E分别为AABC中AB、5c上的动点，直线DE与直线AC相交于尸，/4DE1的平分线与N3

的平分线相交于P,ZACB的平分线与ZF的平分线相交于

(1)如图1,当/在AC的延长线上时，求“与/。之间的数量关系.

(2)如图2,当/在AC的反向延长线上时，求4与NQ之间的数量关系(用等式表示).

13.(2023春•二道区期末)【探索发现】在一次数学学习活动中，刘华遇到了下面的这个问题：

如图①，在AABC中，BP平分NABC,CP平分NACB,请你判断NA和NP间的数量关系并说明理由.

刘华对这个问题进行了判断并给出了证明过程，下面是部分证明过程，请你补全余下的证明过程.

解:结论：NF=.

理由：•.•3P平分NABC,CP平分NACB,

ZPBC=-ZABC,ZPCB=-ZACB.

22

NP=180°-ZPBC-ZPCB.

=180°-1(ZABC+ZACB)

=180°-1(180°-ZA)

【模型发展】如图②，点P是AABC的外角平分线3P与CP的交点，请你判断和4间的数量关系并说

明理由.

【解决问题】如图③，在AABC中，B尸平分NABC,CP平分NACB,点。是APBC的外角平分线3。与CQ

的交点.若NA=68。，则NQ=度.

图①图②图③

题型四：A字模型（共5题）

1.（2023秋•德宏州期末）如图，将一个三角形剪去一个角后，Zl+Z2=230°,则等于（）

A.35°B.50°C.65°D.70°

2.（2022秋•济宁期末）如图，AABC中，Zfi=80°,ZC=70°,将4山。沿灯折叠，A点落在形内的A,

则N1+N2的度数为.

3.(2022秋•平桥区期末)探索归纳:

(1)如图1,己知AA5c为直角三角形，NA=90。，若沿图中虚线剪去NA,贝U/l+/2=

(2)如图2,已知AABC中，ZA=40°,剪去NA后成四边形，贝1]/1+/2=

(3)如图2,根据(1)与(2)的求解过程，你归纳猜想4+N2与44的关系是

(4)如图3,若没有剪掉而是把它折成如图3形状，试探究N1+N2与的关系，并说明理由.

4.(2022秋•运城期末)一个三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在点A，处.(点A在AABC的内部)

(1)如图1,若NA=45。，贝i]Nl+N2=°.

(2)利用图1,探索/I,N2与之间的数量关系，并说明理由.

(3)如图2,把AABC折叠后，9平分NABC,QT平分NACB,若Nl+N2=108。，利用⑵中得出的

结论求NBAC的度数.

5.（2022秋•香坊区期末）已知：四边形ABCD,连接AC,AD=CD,ZDAC^ZABC,ZDCA=ZBAC,

AD/IBC

BM

（1）如图1,求证：AABC是等边二角形；

（2）过点A作AM_L3C于点点N为AM上一点（不与点A重合），ZFNG=120。,NFNG的边NF交

84的延长线于点尸，另一边NG交AC的延长线于点G,如图2,点N与点〃重合时，求证：NF=NG；

（3）如图3,在（2）的条件下，点N不与点M重合，过点N作,交AC于点E,EN:CM=3:4,

AF=3,CG=4,点H为4）上一点，连接E"、GH,GH交CD于点、R,EH=EG,求的长.

题型五：蝴蝶（8字）模型（共6题）

1.（2023春•武冈市期末）如图，NA+NB+NC+ND+NZ+ZF的度数为

A

E

D

2.（2022秋•安定区校级期末）如图，Z4+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH=

3.（2023秋•大洼区期末）（1）萧县某中学计划为学生暑期军训配备如图（1）所示的折叠凳，这样设计的

折叠凳坐着舒适、稳定.这种设计所运用的数学原理是；

（2）图（2）是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿筋和CD的长度相等,

交点。是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度仞设计为38cm,则由以上信

息可推得CB的长度是多少？请说明理由.#ZZ04

4.（2023秋•昆明期末）如图，在AABC中，。是边AB上一点，E是边AC的中点，作CF//AB交DE的

延长线于点F.

（1）证明：MDEMACFE；

（2）^AB=AC,CE=6,CF=8,求DB的长.

BC

5.(2021秋•正阳县期末)图1,线段回、8相交于点O,连接?ID、CB,我们把形如图1的图形称之

为“8”字型.如图2,在图1的条件下，NEWS和N3CD的平分线AP和CP相交于点P,并且与CD、AB

分别相交于加、N.试解答下列问题：

(1)在图1中，请直接写出/4、ZB、NC、/D之间的数量关系：；

(2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数：一个；

(3)图2中，当ND=50度，NB=4O度时，求NP的度数.

(4)图2中/。和NB为任意角时，其他条件不变，试问NP与/0、之间存在着怎样的数量关系.(直

接写出结果，不必证明).

【材料提出】

“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成.

【探索研究】

探索一：如图1,在八字型中，探索/4、ZB、NC、之间的数量关系为;

探索二：如图2,若NB=36。，ZD=14°,求NP的度数为；

探索三：如图3,CP、AG分别平分NBCE、ZFAD,AG反向延长线交CP于点尸，则“、ZB、ND之

间的数量关系为一.

【模型应用】

应用一：如图4,延长8M、CN,交于点A,在四边形MNCB中，设=/N=£,a+£>180。，

四边形的内角NMBC与外角NNCD的角平分线BP,CP相交于点P,贝（用含有e和/?的代数

式表示），ZP=—.（用含有£和〃的代数式表示）

应用二：如图5,在四边形MNCB中，设NM=a,2N=0,&+£<180。，四边形的内角NMBC与外角

NNCD的角平分线所在的直线相交于点P,ZP=—.（用含有a和6的代数式表示）

【拓展延伸】

拓展一：如图6,若设NC=x,ZB=y,ZCAP=-ZCAB,NCDP,NCDB,试问NP与NC、NB之间

33

的数量关系为—.（用x、y表示NP）

拓展二：如图7,"平分NSW,CP平分N3CD的邻补角4CE,猜想“与4、的关系，直接写

出结论.

题型六：燕尾模型（共11题）

1.（2024春•四川期末）如图，点A,点3,点C,点。，点E,点P是平面上的点，顺次连结得到不规

则的图形，则NA+NB+NC+NO+NE+NF的度数为（）

B.270°C.360°D.450°

2.（2022春•玄武区期末）如图，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=

3.（2022秋•南平期中）如图，若NEOC=115。，则NA+N3+NC+NO+/£+//=

4.（2022春•北倍区校级期末）如图，已知Nl=135°,贝1」/4+/3+/。+"+/£+/产=.度•

5.（2023春•松江区期末）如图，已知在AABC中，NA=4O。，将一块直角三角板放在AABC上使三角板的

两条直角边分别经过3、C,直角顶点。落在AABC的内部，那么N钻£>+/4CD=度.

D

6.己知NABC与NADC的平分线交于点E.

①如图1,试探究NE,NA与NC之间的数量关系，并说明理由;

②如图2,试探究NE,Z4与NC之间的数量关系，并说明理由;

图1图2图3

7.（2024春•衡阳期末）（概念学习）

在平面中，我们把大于180。且小于360。的角称为优角，如果两个角相加等于360。，那么称这两个角互为组

角，简称互组.

（1）若Nl、N2互为组角，且4=135。，则/2=°；

（理解运用）

习惯上，我们把有一个内角大于180。的四边形俗称为镖形.

（2）如图①，在镖形ABCD中，优角NBCD与钝角N3CD互为组角，试探索内角NA、ZB./£）与钝角

NBCD之间的数量关系，

（拓展延伸）

（3）如图②，NA+N3+NC+"+NE+NF=；（用含e的代数式表示）

（4）如图③，已知四边形ABCD中，延长AD、BC交于点Q,延长AB、DC交于P,ZAPD,NAQB的

平分线交于点M,ZA+ZQCP=180°；

直接运用（2）中的结论，试说明：PMLQM.

8.（2023秋•宽甸县期末）【数学模型】

“8字型”是初中数学“图形与几何”中的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成.如图1,

AD,3C交于。点，根据“三角形内角和是180。，”不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①

ZDOC=ZAOB(对顶角相等)；②ZD+NC=ZA+ZB.

【提出问题】分别作出44。和N8CD的平分线，两条角平分线交于点E,如图2,/E与ND,NB之间

是否存在某种数量关系呢？

【