三角恒等变换（六种题型）-2025年高考数学热点、重难点题型专项训练（解析版）

第06讲三角恒等变换（六种题

型）

题型一：已知角求三角函数值

一、单选题_________

1.（2022秋・江苏扬州.高三校考阶段练习）‘白血"°=（）

代-tan20°

A.4B.3C.毡D.-

234

【答案】D

【分析】利用同角三角函数基本关系式，诱导公式和辅助角公式直接求解.

［详解］Jl-sin^O。_cos70°•cos20°_sin20°•cos20°_/的。_,

tan200-V3cos200-sin20°-2sin（20°+120°）2sin40°~4

故选：D.

2.（2023•全国•高三专题练习）利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0。~90。之

间角的三角函数值，而这个范围内的三角函数值又可以通过查三角函数表得到.下表为部分

锐角的正弦值，则tan1600。的值为（）（小数点后保留2位有效数字）

a10°20°30°40°50°60°70°80°

sina0.17360.34200.50000.64270.76600.86600.93970.9848

A.-0.42B.-0.36C.0.36D.0.42

【答案】B

【分析】利用诱导公式化简得原式=-包1工即得解.

sin70

sin20

【详解】解：tan1600°=tan(4x3600+160°)=tan160°=-tan20=-

cos20

sin200.3420

-0.36

sin700.9397

故选：B

3.（2023春•江苏南京•高三南京市宁海中学校考阶段练习）_一2cosl00=（）

2sin10"

A.日B.y/2C.73D.2

【答案】A

【分析】利用二倍角的正弦公式以及两角差的正弦公式化简可得结果.

【详解】

cosl00-4sinl00cosl0°cosl00-2sin20°cosl00-2sin30o-10-

cos10°-ir.o

--------------2cosl0二

2sin10°2sin10°2sin10°2sinl0°

cos10°-coslO0-A/3sinlO°j百

2sin10°2

故选：A.

4.（2022・全国•高三专题练习）AABC中,A=3B=9C,

cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA=(

1

ABcD.

-z-4-I3

【答案】B

【分析】首先求出c=A，再运用三角函数积化和差公式，得到角为等差数列的余弦和,

即可求解.

jr

【详解】•「△ABC中,A=3B=9CA+5+C=7i,则C=A，

/.cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA

=；[cos(A+B)+cos(A-B)+cos(C+B)+cos(B-C)+cos(A+C)+cos(A一C)]

=g[cos2C+cos4C+cos6C+cos8C+cosIOC+cosl2C]

12兀4兀6兀8K10K12K

cos——+cos——+cos——+cos——+cos------Fcos------

2131313131313

「.兀2KI.3兀71

Xsin-cossin------sin——

1321313

.兀4兀I.5兀.3兀

sin——cossin------sin——

131321313

.716兀1(.77兀1.5兀

sin——cos——=—sin------sm

131321313

.兀8兀if.9K.7兀

sin——cos——=—sin------sin

131321313

.71IOTCli<.1171.9K]

sin--cos-------~z—sin------sin——

1313<1313J

7112K1।<.13K,II71

sin--cos-二一sin------sin-----

1313-21L1313

上述各式相加得,

2兀4兀6兀8兀107112711..71I.7T

sin—cos--------FCOS--------FCOS-------FCOS------FCOS---------FCOSsin万一sin————sin——

131131313131313213213

,,2兀6兀8兀107112K

故cos——+COS------FCOS——+COS——+COS----------FCOS---------

故原式=_]

4

故选：B.

【点睛】本题考查了三角恒等变换求值，对角为等差数列的余弦和一般乘以角的正弦累加

即可，对于积化和差公式sinAcos5=g[sin(A+B)+sin(A-B)],

cosAcosB=^[cos(A-B)+cos(A+B)]一定要做到熟练运用.

jrQTT47r

5.(2022.河南•校联考模拟预测)已知a=cos巴，b=cos—,c=cos—,且计算可知

777

a-b-c=~.有下述四个结论：

2

①。+2。2=1，@a2+b2+c2=^-,

4

③abc=——,④(Q+1)(O+1)(C+1)=L

88

其中所有正确结论的编号是()

A.①③B.①④C.②④D.①②③

【答案】D

【分析】根据余弦的二倍角公式和诱导公式推导出a+2c2=1,b=2a2-l,c=2b2-l,从

而得至IJ/+廿+。2=3，a-b-c^,利用正弦二倍角公式推导出。历=-：，在此基础

428

上，推导出(Q+1)(A+1)(C+1)W：.

8

【详解】tz=cos-cos=-2cos2+1=-2c2+1,所以〃+2(?=1；

777

b=cos-=2cos2——1=la1—1,c=-=2cos2——1=2b2-1,

7777

所以Q_0_c=_2(/+o2+c2)+3=g,Q2+/+C2T

c.兀7i2兀4兀

8sin—cos—cos——cos一

JI2兀4兀1

abc=cos—cos——cos——7777

7778

8sin78sin7

〃+l=—2C?+2,b+l=2a2c+l=2b2,

所以(Q+1)伍+l)(c+l)=—8/Z72c==

所以①②③正确,

故选：D.

二、多选题

6.（2023・全国•高三专题练习）下列四个等式正确的是（）

A.tan25°+tan20°+tan25°tan20°=1

B.sin210+sin220+sin23。+…+sin289°=45

c4万■4TT1

C.cos----sin—=—

882

sin10°cos10°

【答案】AD

【分析】根据两角和的正切可判断A的正误，根据同角的三角函数基本关系式及诱导公式

可判断B的正误，根据倍角公式可判断C的正误，根据辅助角公式可判断D的正误.

（。+。。）=含念黑＞，

【详解】.22521

tan250+tan200+tan25°tan20°=1,所以A正确;

:设A=sin21°+sin22。+sin?3。+…+sin289°,

则A=cos289°+cos288°+cos287°+…+cos21°,

而sin?a+cos2a=1,故2A=89即A==,故B错误.

2

471.47C\27C.211?冗.2万、

cos----sin—=cos——I-sin—cos-----sin—

88V88人88）

22

=cos^-sin-=cos-=^,所以C错误，

8842

<iR\

l「2-cosl0°--sinl0°

16_cos10。-6sin10。_122J

sin10°cos10°sin10°cos10°sin10°cos10°

2（sin30°cos10°-cos30°sin100）2sin20°

-10-mo―Q-1.-4，所以D正确，

—x2sinl0coslO—sin20

22

故选：AD.

7.（2023•湖南株洲•统考一模）已知sinl5。是函数

3

/（%）=4/+即：+/龙2+平+«0（«4,4，«2，«1，%©Z,%#0）的零点，则下列说法正确的是

A.幺=16B./(cosl5°)=0

«0

C.f(-x)=f(x)D・「3

【答案】ABC

【分析】设sinl5o=x0,由16父-16年+1=0可得/(司=164/-16%£+%,再根据选项

依次判断正误即可.

【详解】sin15°=sin(45°-30°)==x0

2

xl=k^a,4片一2=—6，(4^-2)=3,

艮［116尤:一16元;+1=0,

所以要使与为系数都是整数的整式方程的根，则方程必须包含因式16/-16/+1.

由/(%)=。4%4+。3九3+。2/+%%+%中x的最高次数为4,sinl5。是它的一个零点，

4242

因此/(%)=+//+的/+%%+a0=a0(16x-16x+1)=I6aox-16d50x+a。,

即a4=16a0,a3=0,a2=-16%,%=0.

对A选项，幺="氏~=16,是正确的；

〃o〃0

对B选项，

42222

f(cos150)=a0(16cos150-16cos150+1)=a0[(4cos15°-2)-3=a0[(2cos300)-3]=0

,是正确的；

4242

对C选项，/(-x)=16«o(-x)-16a0(-x)+aQ=16«0x-IGc^x+a0=/(x),是正确的；

对D选项，〃力=164%4_16%/+4=4[(4尤2-2)2-3,当%>0时，"尤)最小值为

-3%,当/<0时，/(尤)无最小值，因此D选项是错误的.

故选：ABC.

【点睛】关键点睛：本题解题关键在于将含有无理数的平方根式通过两次平方化成有理

数，得到含有无理数解的有理数整式方程，从而得解.

题型二：已知三角函数值求角

一、单选题

(4、cos3

1.(2023秋・湖南长沙•高三长沙一中校考阶段练习)若a£0,不，「^=石，则

I211+tana8

叵D.1

20I

【答案】C

【分析】将cos2a用1-tan%替换后,解方程解出a即可.

1+tana

cos2a3

【详解】因为ae

1+tan2a8

sin2cr-cos2ac1-tan2a

可得3(1+tan?a)=8x=8x------------

si.n7a+cos2a1+tana

可得3(l+tan2a『=8-8tan2a,

解得tan2a=；,因为所以tana=#,

所以a=£,

6

所以cos[a+kJ=cos§=1.

故选：C.

StanOL]

2.（2022・全国•高三专题练习）已知a,6e（0,7t）,sin（«-/?）=-,茄/'=一“贝!1。+尸=

（）

A.-7TB.兀C.—itD.—7C

666

【答案】C

【分析】先利用三角函数的符号确定角a、B、a+4的范围，再利用两角差的正弦公

式、同角三角函数基本关系的商数关系得到关于sinacos6和cosasi”的方程组，再利用两

角和的正弦公式求出sin（a+夕）=-1,进而结合角a+力的范围进行求解.

【详解】因为a,〃£（0,兀），^j=-^＜0,

所以0＜a＜m，m＜用＜兀或0＜尸＜],^＜0＜兀；

TTJT

若0＜a＜5,5＜尸＜兀，贝IJ一兀＜2—尸＜0,

此时sin（a-0＜O（舍）；

若0＜/?＜],]＜1＜兀，则0＜1—/＜兀，

此时sin（a-0＞。（符合题意），

TTTT

所以。〈尸＜5,5＜。＜兀，

即。+夕£

因为sin(a—")=，且黑?1

'76tanp4

5lsmcrcos/71

所以sinacos#-cosasin/7=一且-----；--=---

6coscrsinp4

12

解得sincrcos/?=—,cosasin/7=——,

63

则sin(</+£)=_：,

所以C+夕=?7兀.

O

故选：C.

3.（2022秋.广东梅州•高三五华县水寨中学校考阶段练习）已知广皿石,则。=

1-cose1ali

（）

A.BB.-gC.百D.-y/3

33

【答案】C

【分析】由Jin。后易得cosdwl,sin（0+工］=且，从而可求出凡即可得出答

1-cos。I3）2

案.

【详解】解：因为7^咯；=君，

1-COS”

所以1-cos夕W0,即COS6W1,

所以sin8=^3-V3cos0，

即sin0+^3cos6-2sin18+g二省,

所以sin,+?)=[,

所以6+工=工+2%%或—+2k兀,

333

77

所以8=2k兀或§+2左乃，keZ,

当6=2左"时，cos3=1,不合题意，舍去,

JTj

当6=F2k7T时，cos0=—,

32

所以tan0=y/3.

故选：C.

二、填空题

TT

4.（2022秋・天津西青•高三统考期末）在等腰直角三角形MC中，NC=5,点尸在三角形

内，满足苏+JI而+(2&+2)定=6,贝!|/4PB=.

【答案】y

【分析】延长AP、BP、CP,与对边分别交于点。、E、F,利用条件可得

AF-.FB=^2A,AE:EC=(2+2&):1,进而可得4E=M,ZA£F=K，延长CF至点G,使得

O

BG〃AC,利用两角和的正切公式可得加FJ,进而得〃兰,即求

【详解】如图，延长AP、BP、CP,与对边分别交于点。、E、F.

•：PA=PF+FA,PB=PF+FB,

(FA+V2FB)+[(1+扬而+(2+2y/2)PC]=0

一J2

FA+42FB=0,AF:FB=s/2:l,­,-AF=^^AB'

2IT

・・・AE=丰万AC，又在等腰直角三角形ABC中，zc=-,

延长C方至点G,使得BG//AC.则m二七=下.

AC-/\r72,

记NEBC=a,』GCB=/3.

CFCF11

则tana=±==—t^B=-=

人」CBAE+EC3+2夜”母

jr

.•.tan(a+0=lnN5尸产=a+/?=—=>4E、尸、尸四点共圆,

4，

3万

:.ZAPE=ZAFE=——,

8

ZAPB=—.

8

、57r

故答案为：—

o

三、解答题

5.(2022秋・河北保定•高一保定市第三中学校考期末)己知0<a<]-TT,-jjr</?<0,

侬小",网鸿卜个

(1)求cos(tz+S的值；

(2)求sin6的值：

⑶求的值.

【答案】(1)还；

9

⑵一!;

呜

【分析】⑴同角三角函数平方关系求得可?+胃，M十红手，再由

吟+小小争]及差角余弦公式求值即可•

(2)由诱导公式、二倍角余弦公式可得sin〃=cos弓-尸)=2cos2。-，)-1,即可求值.

(3)由(1)及和角正余弦公式求cosa、sina,由(2)及平方关系求cos/?,最后应用

差角余弦公式求cos(&-6)，结合角的范围求1-/?.

兀兀B71

【详解】⑴由题设,<—

4了一万2

「(r/»7tB717t/?.7t7tB5J3

又cosa+-=cos[(—+a)—(-----)]=cos(_■Fa)cos(------)+sin(——Fa)sin(------)=.

2J4424424429

(2)sin[3=cos弓一夕)=2cos之吁一争一1=一：.

(3)由cos(—+(x\=^^(cosa-sina}=—,则cosa-sina=,

UJ233

f71AV2/.\2^24

由sm——\-a=——(cosa+sina)=---,贝Ucosa+sma=—,

UJ233

・，・cosa=4+3,sin<z=-—―,又sin£=一<，一彳则cos(3=?母,

66323

/o九

***cos(«-=cosacos/3+sinasin[3-,ffi]0<a—[3<n,故。一夕=1.

6.(2022.山东日照.统考一模)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,

b=3,sinA+asinB=2y/3.

⑴求角A;

(2)若asinA+csinC=6sin5,求xABC的面积.

【答案】(l)g;

⑵*

4

【分析】(1)根据正弦定理可得asin3=bsinA,再由三角恒等变换即可求得A；

(2)根据题意和正弦定理可得6+02=18,利用余弦定理可求得。，结合三角形面积公式

计算即可.

(1)

因为sinA+osinB=256=3,

由正弦定理，得asin3=bsinA,

所以sinA+3sinA=2,得sinA=,

2

又0<A<g,所以A=W；

⑵

由⑴知，A=|,

asinA+csinC=6sin5,

由正弦定理，得/+/=6>=i8,

由余弦定理,W=Z？2+c2—2bc-cosAf

BP18-C2=9+c2-6c-=9+c2-3c

2f

整理，得2c2-3c—9=0,由c>0得c=3,

此时a=3,贝[|a=6=c,

所以SAABC—besinA=—x3x3x.

2224

7.（2022.四川泸州・四川省泸县第四中学校考模拟预测）已知函数

/（无）=g-2cosxcos[x+g],在“1BC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

/（C）=1.

（1）求c；

（2）点。为AB边中点，且C£）=A/7.给出以下条件：①a=2；②c=2氐<b）.

从①②中仅选取一个条件，求6的值.

rr

【答案】(1)c=-；(2)①6=4;②A=4.

【分析】（1）利用二倍角公式，和差角公式将式子进行整理化简，得出最简形式

/(x)=sin^2x-^j,以及〃C)=sin12CqJ=l,求出C=；

（2）选①，利用。为边的中点，向量加法的平行四边形法则，平方后得到关于b的方

程，求出b=4；

选②，则用余弦定理得到12=/+〃一融，由（1）nCD=^a2+b2+ab,解出

b=4b=2

a2+b2=20,ab=8,以及〃二2或

a=4

7171

【详解】解：（1）-2cosxcosx+---2cosx|cosxcos--sinxsin—

l3.233

=A/3sinxcosx—cos2x+—

2

V3.-1+cos2x1

=----sin2x---------------1—

222

=—sin2x--cos2x

22

=sinf2x-^-

/(C)=sin2C--=1

vo<c<^-

..._£<2C_£<11£

666

62

(2)若选①

VCD=1(C4+CB)

两边平方得：CD2+2CACB+CB2

413J,

解得6=4或b=-6(舍去)

：.b=4；

若选②

由。2=〃+/-2abeosC

得：12=a2+b2—ab

由(1)CD=-yJa2+b2+ab

2

解得：a2+b2=20,ab=S

b=4b=2

解得:”2或

a=4

由c<b,得b=4

（若同时选①②的不给分）

【点睛】（1）二倍角公式，和差角公式要熟练掌握，特别注意2C-g的范围；

（2）选择①或者②，就要根据条件的特点来列方程解决问题,注意条件信息的准确应用.

8.（2023・全国•高三专题练习）已知函数/（x）=sin2x+sinxcosx,向量西=（sinx,-l）,

b=（1,2cosx）.

⑴若刃必，求/1+的值；

（2）当〃力=0时,若向量口（的夹角为6,求COS26.

【答案】（1）1

(2)g或1

TT

【分析】（1）利用向量平行的坐标表示求得x=再利用倍角公式与辅助角公式化简

/（X）,最后将》=析-；代入即可求得小+的值;

（2）由〃x）=0推得x=航或x=分类讨论两种情况得到sinx与cos尤的值，进而

利用向量的数积量运算求得商，5的夹角。的余弦值，从而求得cos2夕

【详解】（1）Va=（sinx,-l）,5=（1,2cosx）,allb>

2sinxcosx+l=0,BPsin2%=—1,

2x=2kn-早kGZ),即1=左GZ),

1-cos2x1.小

由题意，得/(%)=sin2x+sinxcosx=-------------F—sin2x=

222

以+绢变

_V|sin3兀+Lsinf2H+—711+—=

-24224222

（2）由（1）知咚sinf2x-71-|+|-

4

令〃x)=0,得2x-—兀j+—=0，BPsin|2x~~兀__V|

424—2'

故2无一;=2E-；（左wZ）或=2碗一吃（左£Z）,

即尤=E（左cZ）或%=也一：（左eZ）,

①当犬=E（左£Z）时，

当左为偶数时，^=（0,-1）,5=（1,2）；当女为奇数时，^=（0-1）,5=（1,-2）；

八500±2,23

此时3"而=齐赤7=土百故侬2。=2侬2。-1=寸

②当％=左兀-；（女£Z）时,

当上为偶数时，B=（l,应）当上为奇数时,

B=(1,-0)；

止匕时cos0-a,i='-----—=±1,故cos20=2cos20-1=1;

同正丽xg

3

综上：cos29的值为g或1.

9.（2021・全国•高三专题练习）解方程：8X3-6X-1=0.

.t-0-.i.TC5zr7TC

【谷条】M=COS—,X=COS——,X.=cos——.

9/9909

【分析】因为本题是要解方程，而不是估值，所以思路比较灵活.首先，通过放缩法可以得

至!Jx>l时，8X3-6X-1>0,x<-1时，BP8X2-6X-1<-3<0,进而可以判断—14x01,

然后设x=cos6,解出方程即可.

【详解】先对x进行估值：

当x〉l时，8%3—6兀=2%（4%2—3）>2]（4?—3）>1,从而8/一6%—1〉0

当x<—1时，8/—6x=2x（4f一3）<2x[4（—l）—3^<—2,即8丁_6%—1<—3<0.

故有-LWxWl,令x=cos，，则有8cos38-6cose-l=0.

因为cos28=2cos23-1,所以cos3夕=cos（2夕+夕）=（2cos?8—1）cos8—sin23sin0

=（2cos26,-1）cos6,-2sin26cos8=（2cos2夕一1）COS8-2（1-COS2夕）cos®=4cos36—3cos6，

所以2cos39一1=0,cos39=；,±（neZ）,x=cos6=cosnji±,

而它是一个周期函数，〃只要取0、1、2即可.

因此原方程的解为：石=cos2，x=cos—,x=cos—.

92z9339

【点睛】本题思路比较特殊，如果仅仅针对高考，不建议过度深挖；但是，本题的想法非

常新颖，如果作为拓展题，应当是非常好的.

题型三：已知三角函数值求函数值

一、单选题

1.（2021•全国•统考高考真题）若tan6=—2,则即用+sm2”）=（）

sin0+cos0

6226

A.——B.——C.-D.-

5555

【答案】C

【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母

（l=sin20+cos2^）,进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入tan6=-2即可得到结果.

【详解】将式子进行齐次化处理得:

sin^(1+sin20)sin。卜ir?^+cos2e+ZsinOcos。)

=sine(sine+cos。)

sin6+cos0sin9+cos0

sin9(sine+cos。)_tan^+tan^_4-2_2

sin2+cos26^1+tan261+45

故选：C.

【点睛】易错点睛：本题如果利用tan。=-2,求出sindcos。的值，可能还需要分象限讨

论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论.

2.（2020.全国•统考高考真题）已知sine+sin[+3=l,则sin[e+W=（）

A.|B.且C.-D.-

2

332

【答案】B

【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数

式的值.

【详解】由题意可得：sin0+—sin^+^-cos^=l,

22

贝！J：—sin^+^-cos^=1,^-sin0+—cos^=^-,

22223

从而有：sin3cos—+cossin—=,

663

即‘巾+高=冬

故选：B.

【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.

3.（2022・全国•高三专题练习）若sin2a=cos2l,则cos2a的值为（）

313

A.--B.——C.0D.-

525

【答案】D

【分析】结合二倍角公式化简可求tana=g,再结合万能公式可求cos2a.

【详解】因为。sin2a=cos2a,所以cosawO且2sinacosa=cos2a，

21_1

解得tana=',所以cos2a=cos2a-sir?。1-tana_4_3

21+tan2a［十工5

4

故选：D

4.(2022・全国•高三专题练习)己知sina=亚，cos(c-£)=巫，且0＜。＜芬,

7v754

。＜£＜彳，则si”=()

A9A/15R11A/10「岳n710

35353535

【答案】A

【解析】易知sin/?=sin(a-(a-6))，利用角的范围和同角三角函数关系可求得cosa和

sinQ-⑶，分别在sin(a-/)=孚和-半两种情况下，利用两角和差正弦公式求得

sin尸，结合夕的范围可确定最终结果.

【详解】•.•sina=^^＜走且0＜&＜9，0＜a＜—,cosa=Vl-sin26Z=-.

72447

又0<分--<a-[3<?，sin(cr-y0)=±d1-cos?(丁一尸)=+—1^-.

当sin(0一月)=时,

smj3=sin^a-^a-/3^=sinacos^a-/3)-cosasm^a-/3)=&叵又更-又苴5_=—苴

•••0＜分＜寻，，sin，＞。，；.sin/=-反不合题意，舍去;

435

当55々--)=-半，同理可求得sin

符合题意.

综上所述:sin”誓

故选：A.

【点睛】易错点睛：本题中求解cosa时，易忽略sina的值所确定的a的更小的范围，从

而误认为cosa的取值也有两种不同的可能性，造成求解错误.

5.(2023・全国•高三专题练习)己知。＜a＜£＜2万，函数=55苗(工-小，若

/(0)=/(尸)=1，则cos(尸-£)=()

232333

A.—B.——C.-D.--

252555

【答案】B

【分析】由己知条件，结合三角函数的性TT质可27r得9?TT＜£＜7TT?,从而利用

6336

71

cos(^-a)=coscr--即可求解.

71=o,0〈尤<2］，则％=9或%=多,

【详解】解：令/（x）=5sinX--

66

712%

令/(%)=5sinX--=5,0<x<27r,贝！Jx=

又0<av尸<2万，

匚匚］、।"242九八7〃.7t1,sin崂1

所以:<a<，——<p<——,sin6Z--

o336~55

rj-t、j八TCTCTC7C

因为0<CX---<一—<pn-------<,

62f26

712"2A/6

所以cosa

~~r

所以

(/?-«)=cos卜一?7171

COSCOSa-+sisi

fT-?6T

2A/62A/61123

X1-—X—=---,

5-5-----5525

故选：B.

二、填空题

6.（2022・全国•高三专题练习）已知点尸。"）是>轴上到A（l,l）,3（2,4）距离和最小的点,

TT1TT

且cos(a-；)=一,则sin(2&-0)的值为（用数据作答）.

3mo

【答案】-3##-0.5

【分析】求出点A关于y轴的对称点A1求出直线A3与y的交点即得加值，再利用诱导

公式及二倍角公式计算作答.

【详解】依题意，点A关于y轴的对称点A'（T，D,则经过点A18的直线斜率

4-1

k=r=1

2-(T

直线A3的方程为y=%+2,于是得点4（0,2）,

此时有归A|+|他|=|丹川+旧3H4同，由两点之间线段最短知，点片（0,2）是y轴上到

4（1,1）,3（2,4）距离和最小的点,

兀1

因此，m=2,cos(a,则

兀兀兀兀9JT|

sin(2cr--)=sin[2(a-j)+—]=cos2(a--)=2cos2(a-y)-l=-—,

所以sin（2o-*的值为-g.

故答案为：-万

【点睛】关键点睛：给值求值问题，将所求值的角用已知值的角表示，再借助三角变换公

式求解.

71

7.（2023・山东•日照一中校考模拟预测）已知函数/（x）=2cosX+?cosX--+sinx,

若对任意实数X,恒有则COS（4-%）=

【答案】4

【分析】对“幻进行化简得到/Q）=-2sin2x+sin尤+1,根据正弦函数和二次函数的单调性

91

得到/(%)=-2=-,进而确定sinq=-l,sin%=“cosq=0,利用两角差的

余弦公式得到cos（4-%）.

p.

【详解】/(x)=2cos趴x-gcos需—+sinx

4

P.

=-2sin|-7cos|—+sinx

4

=cos2尤+sinx=-2sin2尤+sin尤+1

Qsinx?[1,1]

对任意实数x,恒有/（区卜/⑺^〃生）

9

则/(%)=-21(2)=&

gpsin%=-1,sin%=；

\cosG=0

\cos(〃i-a2)=cos〃icos。？+sin〃isin。？=0+；?(-1)

【点睛】本题的关键在于“变角”将cos