期中几何综合大题必刷（压轴题）（解析版）

专题08期中-几何综合大题必刷(压轴题)

1.如图，直线C。与EF相交于点。，/COE=60：将一直角三角尺的直角顶点与

O重合，。4平分/COE.

(1)求的度数；

(2)将三角尺A08以每秒3°的速度绕点。顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的

速度绕点。顺时针旋转，设运动时间为f秒(0W/W40).

①当，为何值时，直线跖平分/AOB；

②若直线EF平分/BOD,直接写出t的值.

【答案】见试题解答内容

【解答】解:(1)VZCOE=60°,。4平分NCOE,

AZAOC=30°,

XVZAOB=90°,

：.ZBOD=1SO°-30°-90°=60°；

(2)①分两种情况:

解得f=2.5；

②当O尸平分NAOB时，ZAOF=45",

EA

cD

即9"L150°-3°f=45°,

解得f=32.5；

综上所述，当f=2.5s或32.5s时，直线所平分/AOB；

②f的值为12s或36s.

分两种情况：

①当OE平分时，ZBOE=^ZBOD,

即9°r-60°-3°r=A(60°-3°f),

2

解得f=12；

②当。/平分NBO。时，NDOF=L/BOD,

2

即9°r-300°=A(3°L60°),

2

解得f=36；

综上所述，若直线EF平分NBOO,f的值为12s或36s.

2.如图，直线OMLON,垂足为O,三角板的直角顶点C落在NMON的内部，三角板的

另两条直角边分别与ON、交于点D和点B.

(1)填空：ZOBC+ZODC^180°；

(2)如图1：若DE平分/ODC,BF平分NCBM,求证：DELBF-.

(3)如图2：若BF、0G分别平分NC8M、ZNDC,判断与。G的位置关系，并说

明理由.

【答案】见试题解答内容

【解答】(1)解：：0M_L0N,

：.ZMON=9Q°,

在四边形0BCD中，ZC=ZBOD=90°,

.•.ZOBC+ZO£»C=360°-90°-90°=180°；

故答案为180°；

(2)证明：延长DE交BF于H,如图1,

'：ZOBC+ZODC=180°,

而/O8C+NCBM=180°,

；./ODC=NCBM,

平分/O£)C,BF平分NCBM,

：.ZCDE=ZFBE,

而/DEC=/BEH,

；.NBHE=NC=90°,

：.DE.LBF；

(3)解：DG//BF.理由如下：

CQ//BF,如图2,

VZOBC+ZODC=180°,

/.ZCBM+ZNDC=180",

；BF、OG分别平分/CBM、ZNDC,

：.ZGDC+ZFBC=90°,

VCQ//BF,

：.ZFBC=ZBCQ,

而/BCQ+NOCQ=90°,

：.ZDCQ=ZGDC,

：.CQ//GD,

：.BF//DG.

3.如图①，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中NOM0=3O°,ZOC£>=45°.

（1）将图①中的三角板OMN沿BA的方向平移至图②的位置，MN与CD相交于点E,

求NCEN的度数；

（2）将图①中的三角板OMN绕点。按逆时针方向旋转至如图③，当/CON=5NDOM

时，MN与CD相交于点E,请你判断MN与BC的位置关系，并求NCEN的度数

（3）将图①中的三角板OMN绕点。按每秒5°的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转

的过程中，三角板M0N运动几秒后直线恰好与直线8平行.

（4）将如图①位置的两块三角板同时绕点。逆时针旋转，速度分别每秒20°和每秒10°,

当其中一个三角板回到初始位置时，两块三角板同时停止转动.经过9秒后边OC与

边。N互相垂直.（直接写出答案）

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)在ACEN中，NCEN=180°-30°-45°=105

(2)如图②，•：ZCON^5ZDOM

.\180°-ZDOM=5ZDOM,

：.ZDOM=3Q°

；/OMN=60°,

J.MNLOD,

C.MN//BC,

：.ZCEN=180°-ZDCO=180°-45°=135°；

(3)如图③，MN〃CD时，旋转角为90°-(60°-45°)=75°,

或270°-(60°-45°)=255°,

所以，f=75°+5°=15秒，

或f=255°4-5°=51秒；

所以，在旋转的过程中，三角板MON运动15秒或51秒后直线恰好与直线CD平

行.

(4)MN，C。时，旋转角的角度差为90°,

所以90°+(20°-10°)=9秒，

故答案为：9.

4.【学科融合】

物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线ON叫做法线，入射光线与法线的夹角

i叫做入射角，反射光线与法线的夹角r叫做反射角(如图①).由此可以归纳出如下的

规律：

在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位

于法线两侧；反射角等于入射角.这就是光的反射定律(reflectionlaw).

【数学推理】如图1,有两块平面镜OM,ON,且OM_LON,入射光线A8经过两次反

射，得到反射光线CD由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得

他们的余角也相等，即：N1=N2,N3=N4.在这样的条件下，求证：AB//CD.

【尝试探究】两块平面镜OM,ON,且NMON=a,入射光线AB经过两次反射，得到反

射光线CD.

(1)如图2,光线A8与相交于点区则180°-2a；

(2)如图3,光线A8与CO所在的直线相交于点区/BED=B，则a与0之间满足的

等量关系是B=2a.

【答案】数学问题：见解析；(1)180°-2a；(2)0=2〃.

【解答】解：如图1,-OMLON,

：.ZCON=90°,

.,.Z2+Z3=90°,

•・・N1=N2,N3=N4,

・・・N1+N2+N3+N4=18O°,

ZDCB+ZABC=1SO°,

AB//CD；

【尝试探究】

(1)如图2,在△08C中，•:NM0N=式,

.*.Z2+Z3=180°-a,

VZ1=Z2,Z3=Z4,

AZZ)CB=180°-2Z3,ZABC=180°-2Z2,

・・・ZBEC=180°-ZABC-ZBCD

=180°-(180°-2Z2)-(180°-2Z3)

=2(N2+N3)-180°

=2(180°-a)-180°

=180°-2a,

故答案为：180°-2a；

(2)如图4,B=2a,

理由如下:VZ1=Z2,Z3=Z4,

ZABC=180°-2Z2,

ZBCD=180°-2Z3,

ZD=ZMBC-ZBCD

=(180°-2Z2)-(180°-2Z3)

=2(N3-Z2)=Zp,

VZBOC=Z3-N2=a,

B=2a.

故答案为：B=2a.

5.已知AB〃CO,点M、N分别是AB、CO上两点，点G在A3、CO之间，连接MG、NG.

(1)如图1,若GMLGN,求NAMG+/CNG的度数；

(2)如图2,若点P是CD下方一点,MG平分/BMP,ND平分Z.GNP,已知/BMG

=30°,求/MGN+NMPN的度数；

(3)如图3,若点E是45上方一点，连接EM、EN,且GM的延长线MF平分NAME,

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）如图1,过G作GH〃AB,

'：AB//CD,

J.GH//AB//CD,

AZAMG=ZHGM,/CNG=/HGN,

,:MGING,

：.ZMGN=ZMGH+ZNGH=NAMG+/CNG=90°；

(2)如图2,过G作GK〃A5,过点尸作尸。〃AB,设4GND二a,

,:GK〃AB,AB//CD,

:・GK〃CD,

:・/KGN=/GND=a,

,:GK〃AB,ZBMG=30°,

AZMGK=ZBMG=30°,

〈MG平分ND平分/GNP,

：.ZGMP=ZBMG=30°,

：.ZBMP=60°,

•:PQ〃AB,

：.ZMPQ=ZBMP=60°,

,：ND平分/GNP,

：.ZDNP=ZGND=a,

'JAB//CD,

J.PQ//CD,

：.ZQPN=ZDNP=a,

：.ZMGN=30°+a,ZMPN=60°-a,

:・/MGN+/MPN=30°+a+60°-a=90°；

(3)如图3,过G作GK〃A5,过E作ET〃A5,设NAMF=x,/GND=y,

VAB,FG交于M,M尸平分NAME,

・•・ZFME=ZFMA=NBMG=x,

ZAME=2x,

,:GK〃AB,

：.ZMGK=NBMG=x,

\'ET//AB,

・•・ZTEM=ZEMA=2x,

'：CD//AB//KG,

J.GK//CD,

：.ZKGN=ZGND=y,

：.NMGN=x+y,

VZCND=180°,NE平分/CNG,

：.ZCNG=180°-y,ZCNE=1-ZCNG=90°-Ay,

22

*：ET//AB//CD,

：.ET//CD,

：.ZTEN=ZCNE=90°-Ay,

2

・•・ZMEN=ZTEN-ZTEM=90°-Ay-2x,/MGN=x+y,

2

•；2NMEN+NG=105°,

A2(90°-ly-2x)+x+y=105°,

2

・・・x=25°,

AZAME=2x=50°.

6.“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两

座可旋转探照灯.如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯8

射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速

度是每秒2度，灯8转动的速度是每秒1度.假定主道路是平行的，即尸Q〃MN,且/

BAM：/BAN=2：1.

(1)填空：/BAN=60°；

(2)若灯8射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯8射线到达8。之前，A灯

转动几秒，两灯的光束互相平行？

(3)如图2,若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前.若射出的光束交于点C,过

C作/AC。交尸Q于点。，且NACZ)=120°,则在转动过程中，请探究NBAC与N8CD

的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由.

【解答】解：（1）,：ZBAM+ZBAN=1SO°,/BAM：/BAN=2：1,

：.ZBAN=1SO°X_l=60°,

3

故答案为：60；

(2)设A灯转动/秒，两灯的光束互相平行,

■:PQ〃MN,

:,NPBD=/BDA,

9

：AC//BDf

：.ZCAM=ZBDA,

:./CAM=/PBD

・・.2%=1・(30+力，

解得£=30；

②当90W150时，如图2,

■:PQ〃MN,

：.ZPBD^-ZBDA=1SO°,

■:AC//BD,

：.ZCAN=ZBDA

：.ZPBD+ZCAN=180°

・・.1・(30+力+⑵-180)=180,

解得-110,

综上所述，当/=30秒或110秒时，两灯的光束互相平行;

(3)N84C和N8CO关系不会变化.

理由：设灯A射线转动时间为/秒，

VZCAN=180°-2t,

：.ZBAC=60°-(180°-2力=2t-120°,

XVZABC=120°-t,

：.ZBCA=1800-AABC-ZBAC=180°-t,而/AC£>=120°,

：.ZBCD=U0°-ZBCA=120°-(180°7)=「60°,

ABAC-./BCD=2：1,

即/瓦1C=2/BCZ),

ZBAC和/BCD关系不会变化.

7.如图，直线CB〃OA,ZC=ZOAB=100°,E、尸在C8上，且满足/AOB,

OE平分NCOF

(1)求NEOB的度数；

(2)若平行移动A3,那么NOBC：NOFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化

规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值.

(3)在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使NOEC=NOBA?若存在，求出

其度数；若不存在，说明理由.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)VCB//OA,

：.ZAOC=180°-ZC=180°-100°=80°,

；OE平分NCOF,

：.ZCOE=ZEOF,

.；NFOB=NAOB,

：.ZEOB=ZEOF+ZFOB=1ZAOC=1X80°=40°；

22

(2),JCB//OA,

ZAOB=ZOBC,

'：ZFOB=ZAOB,

：.ZFOB=ZOBC,

ZOFC=ZFOB+ZOBC=2ZOBC,

：.ZOBC：ZOFC^l：2,是定值；

(3)在△COE和△AOB中，

'：ZOEC=ZOBA,NC=NOAB,

：.ZCOE=ZAOB,

：.OB、OE、。/是/AOC的四等分线，

.".ZCOE=-lzAOC=ix80°=20°,

44

AZOEC=180°-ZC-ZCO£=180°-100°-20°=60°,

故存在某种情况，使/O£C=N。氏4,此时NOEC=NO&1=60°.

8.如图1,MN//EF,C为两直线之间一点.

(1)如图1,若NM4c与/EBC的平分线相交于点。，若/AC8=100°,求/AO8的

度数.

(2)如图2,若NCAM与NCBE的平分线相交于点NAC8与NADB有何数量关系？

并证明你的结论.

(3)如图3,若/CAM的平分线与的平分线所在的直线相交于点。，请直接写出

ZACB与ZADB之间的数量关系：ZADB=90°-1-/ACB.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)如图1,过C作CG〃朋N,DH//MN,

"JMN//EF,

J.MN//CG//DH//EF,

：.Z1^ZADH,/2=NBDH,

ZMAC=ZACG,ZEBC=ZBCG,

：NAMC与NEBC的平分线相交于点D,

.-.Z1=1ZACG,N2=_1/BCG，

ZADB=1.(NACG+N8CG)=AZACB；

22

VZACB=100°,

/.ZAZ)B=50°；

(2)如图2,过C作CG〃MN,DH//MN,

'JMN//EF,

J.MN//CG//DH//EF,

：.Z1^ZADH,N2=NBDH,

ZNAC=ZACG,ZFBC=ZBCG,

,//MAC与NEBC的平分线相交于点D,

/2=_1EBC,

22

.\ZADB=Z1+Z2=A(ZMAC+ZEBC)(180°-Z7VAC+180°-NFBC)=L

222

(360°-ZACB),

：.180°-AZACB；

2

(3)如图3,过C作CG〃跖V,DH//MN,

'：MN//EF,

：.MN//CG//DH//EF,

J.Zl^ZADH,N2=NBDH,

NNAC=NACG,ZFBC^ZBCG,

,//MAC与NPBC的平分线相交于点D,

.".Z1=J-/MAC,Z2=1ZCBF,

22

VZADB=360°-Z1-(180°-Z2)-ZACB=360°-IZMAC-(180°-Az

22

CBF)-ZACB=360°-A(180°-ZACG)-(180°-AzBCG)=90°-1.ZACB.

222

ZADB=90°-4-ZACB-

故答案为：ZAZ)B=90°-

图2

9.(1)【问题】

如图1,若AB〃C。，ZBEP=25°,ZPFC=150°.求/EPF的度数；

(2)【问题迁移】

如图2,AB//CD,点P在A8的上方，问NPEA,ZPFC,NEPF之间有何数量关系？

请说明理由；

(3)【联想拓展】

如图3所示，在(2)的条件下，已知/EPF=a,NPEA的平分线和NPFC的平分线交

于点G,用含有a的式子表示NG的度数.

图1图2图3

【答案】(1)55°；

(2)NPFC=NPEA+NP；

(3)ZEGF=l.a.

2

【解答】解：（1）如图1,过点尸作尸。〃A3,

图I

9：PQ//AB,AB//CD,

J.CD//PQ.

・・・NC尸尸+/尸尸。=180°

：.ZFPQ=180°-150°=30°,

又,.・PQ〃A8,

：.ZBEP=ZEPQ=25°,

AZEPF=ZEPQ+ZFPQ=25°+30°=55°；

(2)/PFC=/PEA+/P,

理由：如图2,过尸点作PN〃A8,则PN〃CO,

图2

/.NPEA=NNPE,

・.•ZFPN=/NPE+NFPE,

：./FPN=NPEA+NFPE,

,:PN〃CD,

：.ZFPN=/PFC,

：.ZPFC=NPEA+NFPE,即ZPFC=ZPEA+ZP；

(3)如图3,过点G作AB的平行线G”.

图3

,JGH//AB,AB//CD,

.,.GH//AB//CD,

：.ZHGE=ZAEG,ZHGF=ZCFG,

又：NPEA的平分线和/PFC的平分线交于点G,

：.ZHGE=ZAEG=^ZAEP,ZHGF=ZCFG=AzCFP,

22

同(1)易得，ZCFP=ZP+ZAEP,

：.ZHGF=1.(NP+NAEP)(a+ZAEP),

22

：.ZEGF=ZHGF-/HGE=L(a+ZAEP)-ZHGE=^a+lZAEP-/HGE=L.

2222

10.如图，已知直线AB〃射线CD,ZCEB=100°.尸是射线班上一动点，过点P作尸Q

//EC交射线CD于点Q,连接CP.作NPCP=/PCQ,交直线AB于点F,CG平分/

ECF.

(1)若点P,F,G都在点E的右侧.

①求NPCG的度数；

②若NEGC-NECG=40°,求/CPQ的度数.

(2)在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使今晅-3?若存在，求出/CPQ

ZEFC2

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）①：NCEB=100°,AB//CD.

：.ZECQ=80°,

■:/PCF=/PCQ,CG平分NEC-

・•・NPCG=NPCF+NFCG=^NQCFV/FCE=/ECQ=40。；

:・/QCG=/EGC,/QCG+/ECG=NECQ=8。。,

・・・ZEGC+ZECG=80°

又•・•/EGC-NECG=4U°,

：.ZEGC=60°,ZECG=20°

/.ZECG=ZGCF=20°,ZPCF=ZPCQ=1-(80°-40°)=20°

2

■:PQ//CE,

：.ZCPQ=ZECP=60°；

(2)设NEGC=3x,ZEFC=2x,则NGCT=3x-2x=x,

①当点G、/在点E的右侧时，

VZECD=80°,

・・・4x=80°,

解得尢=20°,

：.ZCPQ=3x=6Q°；

②当点G、/在点E的左侧时,

VZCGF=180°-3x,NGCQ=80°+x,

.*.180°-3x=80°+x,

解得％=25°,

：・NFCQ=/ECF+NECQ=50°+80°=130°,

•'•ZPCQ=yZFCQ=65°，

：.ZCPQ=ZECP=65°-50°=15°.

11.如图,AB//CD,ZABE=120°.

(1)如图①，写出/BE。与ND的数量关系，并证明你的结论；

(2)如图②，ZDEF=2ZBEF,/CDF=L/CDE,EF与DF交于点F,求的

3

度数；

(3)如图③，过8作BG_LAB于G点，/CDE=4/GDE,求含■的值.

①②③

【答案】(1)NBED+ND=120°；

(2)100°；

(3)4=旦.

ZE4

【解答】解：（1）结论：ZBED+ZD=120°,

证明：如图①，延长交OE于点八

E

①

*：AB//CD,

:・/BFE=ND,

VZABE=120°,

?.ZBFE+ZBED=ZABE=120°,

：.ZD+ZBED=120°；

(2)如图②，

②

■:/DEF=2/BEF,/CDF=Z/CDE,

3

即NC0E=3NCOf;

设/BEF=OL,NCDF=B，

；・NDEF=2a,NDEB=3cc,NCOE=30,NED尸=20,

由(1)知：ZBED+ZCDE=120°,

・・・3a+3B=120°,

/.a+p=40°,

A2a+2p=80°,

AZEFZ)=180°-ZDEF-ZE£>F=180°-(2a+20)=180°-80°=100°,

答：/EF£)的度数为100°；

(3)如图③，

G

E

B

CD

③

VBGXAB,

AZABG=90°,

VZABE=120°.

：.ZGBE=ZABE-ZABG=30°,

•；NCDE=4NGDE,

：.ZGDE=^ZCDEf

4

VZG+ZGBE=ZE+ZGDE,

/.ZG+30°=ZE+^ZCDE,

4

由(1)知：NBED+/CDE=120°,

：.ZCDE=nO°-ZE,

/.ZG+300=NE+」(120。-ZE),

4

・,.NG=3NE,

4

•・•”N,G,=3«

ZE4

12.已知：AB//CD,点£在直线AB上，点尸在直线CD上.

(1)如图(1),Z1=Z2,N3=/4.

①若/4=36°,求/2的度数；

②试判断与句V的位置关系，并说明理由；

(2)如图(2),EG平分NMEF,EH平分/AEM,试探究/GEH与/EFD的数量关系,

并说明理由.

【解答】解：(1)①

.\Z1=Z3,

VZ1=Z2,Z3=Z4,

.\Z2=Z4=36°；

②位置关系是：EM//FN.理由：

由①知，Z1=Z3=Z2=Z4,

；.NMEF=NEFN=180°-2Z1,

ZMEF=ZEFN

〃m(内错角相等，两直线平行)

(2)关系是：/EFD=2NGEH.理由：

■:EG平分/MEF,

：./MEG=ZGEH+ZHEF®

平分/AEA7,

/.ZMEG+ZGEH=ZAEF+ZHEF®

由①②可得：

ZAEF=2ZGEH,

'JAB//CD,

：.ZAEF=NEFD,

：.NEFD=2NGEH.

13.已知M、N分别为直线AB,直线C£＞上的点，且AB〃C。，E在AB,CD之间.

(1)如图1,求证：NBME+/DNE=/MEN；

(2)如图2,尸是CD上一点，连PM,焊MQ//EN,若NQMP=/BME.

试探究NE与NAMP的数量关系，并说明理由；

(3)在(2)的条件下，作NG_LCZ)交PM于G,若MP平分NQME,N尸平分NENG,

若/MGN=m°,ZMFN^n,直接写出相与”的数量关系4n-,n=270°.

【答案】4n-m=270°.

【解答】解：（1）过£1作EG〃AB,如图1,

'：AB//CD,

J.EG//CD,

:・NBME=NMEG,NDNE=/GEN,

丁NMEN=ZMEG+ZGEN,

：./BME+/DNE=/MEN；

(2)NE=NAMP.

理由：'：AB//CD,

：.ZBMP-^ZMPD=1SO°,NMPD=NAMP,

■:MQ〃EN,

：.ZQME+ZE=1SO°,

'：ZQMP=ZBME.

：.ZQME=ZBMP,

:・/E=/MPD,

：./E=ZAMP；

(3)如图3,

在(2)的条件下，NAMP=NE,

■:/QMP=/BME,

：.ZAMQ=/DNE,

平分NQAffi,

/PMQ=ZPME=ZBME,

■:NGLCD,NF平分NENG,

：./FNG=Z.ENF,

若NMGN=m°,ZMFN=n°，/PMQ=NPME=/BME=y°,ZAMQ=ZDNE=x°,

ZFNG=ZENF=z,

则wz=x+y+90°,n=x+y+z,x+2z=90°,x+3y=180°,

解得4力-加=270°.

故答案为4"-%=270°.

14.如图，AD//BC,的平分线交BC于点G,ZBCZ)=90o.

(1)试说明：ZBAG=ZBGA；

(2)如图1,点尸在AG的反向延长线上，连接CF交AD于点E,若N3AG-NF=

45°,求证：CF平分/BCD.

(3)如图2,线段AG上有点P,满足过点C作C8〃AG.若在直线

AG上取一点使求2ABM的值.

ZGBM

【答案】见试题解答内容

【解答】(1)证明：：AO〃BC,

：.ZGAD^ZBGA,

TAG平分NA4D,

：.ZBAG=ZGAD

：.ZBAG=ZBGA；

(2)解：VZBGA=ZF+ZBCFf

：.ZBGA-/F=/BCF,

ZBAG=ZBGA9

：.ZZBAG-NF=/BCF,

9：ZBAG-ZF=45°,

AZBCF=45°,

VZBC£>=90°,

・・・C/平分N3CO；

(3)解：有两种情况：

①当〃在3尸的下方时，如图5,

设NA3C=4x,

*/NABP=3/PBG,

：.ZABP=3xfZPBG=x,

*：AG〃CH,

：.ZBCH=ZAGB=18Q0~4X.=90°-2x,

2

VZBCZ)=90°,

：.ZDCH=ZPBM=90°-(90°-2x)=2x,

；・ZABM=ZABP+ZPBM=3x+2x=5x,

ZGBM=2x-x=x,

：.ZABM：ZGBM=5x：%=5；

②当M在8尸的上方时，如图6,

同理得：ZABM=ZABP-ZPBM=3x-2x=x,

ZGBM=2x+x=3x,

：.ZABM：NGBM=x：3尤=工.

3

综上，上幽L的值是5或工.

ZGBM3

HD

15.已知：如图，直线PQ〃MN,点C是PQ,MN之间（不在直线尸。，上）的一个动

点.

（1）若N1与/2都是锐角，如图1,请直接写出/C与/I,/2之间的数量关系.

（2）若小明把一块三角板（/A=30°,ZC=90°）如图2放置，点D,E,尸是三角

板的边与平行线的交点，若NAEN=NA,求尸的度数.

（3）将图2中的三角板进行适当转动，如图3,直角顶点C始终在两条平行线之间，点

G在线段CZ）上，连接EG,且有/CEG=NCEM,给出下列两个结论：

①孕驯的值不变；

ZBDF

②NGEN-尸的值不变.

其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的？并求出不变的值是多少.

【解答】解：（1）ZC=Z1+Z2.

理由：如图1,过C作CD〃尸0,

:PQ〃MN,

:.CD〃MN,

：.Zl=ZACDf/2=/BCD,

：.ZACB=ZACD^-ZBCD=Z1+Z2.

(2)VZAEN=ZA=30°,

AZMEC=30°,

由(1)可得，ZC=ZMEC+ZPDC=90°,

/.ZPDC=90°-ZMEC=60°,

：・NBDF=NPDC=6U°；

(3)结论①./GEN的值不变是正确的,

ZBDF

设/CEG=NCEM=x,则NGEN=180°-2x,

由(1)可得，NC=NCEM+NCDP,

：.ZCDP=90°-ZCEM=9Q°-x,

ZBDF=9Q°-x,

-ZGEN=180°-2X=9(

ZBDF90°-x

即伞此的值不变，值为2.

ZBDF

16.已知A8〃CD,解决下列问题：

(1)如图①，BP、0P分别平分/ABE、ZCDE,若NE=100°,求/P的度数.

(2)如图②，若/ABP=L/ABE,/CDP=L/CDE,试写出/尸与NE的数量关系并

33

说明理由.

(3)如图③，^ZABP=1.ZABE,ZCDP=1ZCDE,设NE=m°,求/P的度数(直

nn

接用含小机的代数式表示，不需说明理由).

ABABB

图①图②图③

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)如图①，过E作

"：AB//CD,

：.EF//AB//CD,

：.ZAB£+ZBEF=180°,ZCDE+ZZ)EF=180°,

ZABE+ZBED+ZCDE=360°,

又；NBEZ>=100°,

AZABE+ZCDE^360°-100°=260°,

又,；BP、。产分别平分NABE、ZCDE,

：.ZPBE+ZPDE^l(NABE+NCDE)=Ax260°=130°,

22

.\ZP=360o-130°-100°=130°；

(2)3ZP+ZBED^360°；

如图②，过E作跖〃A8,

,JAB//CD,

C.EF//AB//CD,

：.ZABE+ZBEF^1SO°,ZCDE+ZDEF=180°,

AZABE+ZBED+ZCDE=360°,

：.ZABE+ZCDE=3600-/BED,

又NCDP=L/CDE,

33

:.NPBE+/PDE=2(NABE+/CDE)=2x(360°-/BED)=240°Z/BED,

333

；./P=360°-ZBED-(240°-1ZBED)=120°-工/BED,

33

BP3ZP+ZBEr>=360°；

(3)々=360°-m。

n

如图③，过石作E尸〃A3,

VAB/7CD,

：.EF//AB//CD,

同理可得，ZABE+ZCDE=360°-ZBED=360°-m°,

又・.・NA5P=』NA3E,ZCDP=lzCDEf

nn

ZPBE+ZPDE=^~L(/ABE+/CDE)=.n-1(360°-tn),

nn

.,•四边形PDEB中，ZP=360°-Uli(360°-m°)-m°=360°-m。

nn

图③

图②

17.如图1,AM//CN,点8为平面内一点，ABLBC^B,过8作

(1)求证：NABD=/C；

(2)如图2,在(1)间的条件下，分别作NAB。、/ZJ8C的平分线交。M于E、F,若

/BFC=L5/ABF,NFCB=2.5/BCN,

①求证：ZABF=Z.AFB-,

②求NCBE的度数.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)如图1,过3作3G〃CN,

：.ZC=ZCBG

\UAB±BC,

：.ZCBG=90°-ZABG,

：.ZC=90°-ZABG,

■:BG〃CN,AM//CN,

：.AM//BG,

；・NDBG=90°=N。，

AZABD=90°-ZABG,

：.ZABD=ZC；

(2)①如图2,设NDBE=NEBA=x,则N3CN=2x,NFCB=5x,

设NA3b=y,贝IJN5/C=1.5y,

•・・5/平分/。8。，

I.ZFBC=NDBF=2x+y,

,//AFB+/BCN=/FBC,

ZAFB+2x=2x+y,

：.ZAFB=y=ZABF；

②・・・NC3A=90°,AF//CN,

：.ZABG+ZCBG=90°,ZBCN+ZAFB-^-ZBFC+ZBCF=180°,

.f2x+2y=90"

*l2x+y+l.5y+5x=180°'

#15,

ly=30

・・・NC3E=3x+2y=3X15°+2X30°=105°.

18.已知A8〃CQ,点M在直线AB上，点N、Q在直线CD上，点尸在直线AB、CO之

间，连接PM、PN、PQ,PQ平分/MPN,如图①.

(1)若NPMA=a、/PQC=B，求NNP。的度数(用含a,0的式子表示)；

(2)过点Q作QE//PN^PM的延长线于点E,过E作EF平分/PEQ交PQ于点F,

如图②，请你判断E尸与尸。的位置关系，并说明理由；

(3)在(2)的条件下，连接EM如图③，若NNEF=L/PMA,求证：NE平分/PNQ.

2

图①图②图③

【答案】(1)a+p；

(2)EF±PQ；

(3)证明过程见解答.

【解答】解：(1)过点尸作

图①

,JAB//CD,

C.AB//CD//PR,

：.ZMPR=ZPMA=a,ZRPQ=ZPQC=^,

：.ZMPQ=ZMPR+ZRPQ=a+^,

"：PQ平分NMPN,

：.ZNPQ=ZMPQ=a+^；

(2)如图②，EFLPQ,理由如下:

图②

•./。平分/用尸可.

，ZMPQ=/NPQ=a+0,

,JQE//PN,

：.NEQP=NNPQ=ct+B，

：.ZEPQ=ZEQP=a+^,

•:EF平分NPEQ,

：.ZPEQ=2ZPEF=2ZQEF,

ZEPQ+ZEQP+ZPEQ^180°,

Z.2ZEPQ+2ZPEF^180°,

：.ZEPQ+ZPEF=9Q°,

：.ZPFE=1SO°-90°=90°,

：.EF±PQ；

(3)由(2)可知：ZEQP^ZAMP+ZPQC,NEFQ=9Q°,

：.ZQEF=90°-(ZAMP+ZPQC\

：.ZNQE=ZPQC+ZEQP=ZAMP+2ZPQC,

：.ZNEF=180°-ZQEF-ZNQE-ZQNE

=180°-[90°-CZAMP+ZPQC)]-(ZAMP+2ZPQC^>-ZQNE

=180°-90°+ZAMP+ZPQC-ZAMP-2APQC-Z.QNE

=90°-ZPQC-ZQNE,

'：NNEF=LNAMP,

2

：.90°-NPQC-NQNE=?AMP,

即/APM+2/PQC+2/QNE=180°,

；.NNQE+2NQNE=180°,

,/ZNQE+ZQNE+ZNEQ=180°,

ZQNE=ZNEQ,

"JQE//PN,

：./PNE=ZQEN,

：.ZPNE=ZQNE,

:.NE平分/PNQ.

19.如图1,AB//CD,G为AB、CD之间一点.

(1)若GE平分/AEF,GF平分NEFC.求证：EGLFG；

(2)如图2,若/AEP=2/AERZCFP=2-ZEFC,且仪的延长线交/AEP的角平

55

分线于点M,EP的延长线交NCFP的角平分线于点N,猜想NM+NN的结果并且证明

你的结论；

(3)如图3,若点H是射线之间一动点，FG平外/EFH,MF平分/EFC,过点G

作于点。，请猜想与/PG。的关系，并证明你的结论.

图3

【答案】(1)证明过程见解答;

(2)108°；

(3)ZFGQ=1.ZEHF.

2

【解答】解：(1)•..A3〃cr),

AZAEF+ZCFE=180°,

平分GF平分NEFC,

，ZAEG=ZFEG=^ZAEF,ZCFG=/GFE=L/CFE,

22

：.ZFEG+ZGFE=90°,

即EGLFG；

(2):分别过M,N作MG〃AB,NH//AB,

'：AB//CD,

：.AB//MG//NH//CD,

：.ZAEM=ZEMG,ZGMF=ZMFC,ZAEN=ZENH,ZHNF=ZNFC,

：.NEMF=ZAEM+ZMFC,NENF=ZAEN+ZNFC,

同理：ZEPF^ZAEP+ZPFC,

：.ZEMF+ZENF=ZAEM+ZMFC+ZAEN+ZNFC,

,:EM平分ZAEN,FN平分/MFC,

：.ZAEM=1-ZAEN,NNFC=L/MFC,

22

...NEMF+/ENF=LNAEN+L/MFC+/MFC+/AEN=0(NMFC+/AEN),

222

ZAEP=2LZAEF,ZCFP=2.ZEFC,

55

ZMFC+ZAEN^^.(ZAEF+ZEFC)=2x180°=72°,

55

:.NEMF+NENF=3(.ZMFC+ZAEN)=3X72。=108。；

22

图2

(3)ZFGQ=^ZEHF.

证明：'：AB//CD,

：.ZEHF+ZCFH=180°,

GQ±MF,

：./尸GQ=90°-ZGFQ,

■:FG斗分4EFH,MF平分/EFC,

ZGFE=1ZEFH,ZQFE=1ZCFE,

22

ZGF2=—ZCF//=A(180°-NEHF)=90°-工/EHF,

222

ZFGQ=90°-(90°-工NEHF)=^ZEHF.

22

20.如图1,直线A8〃C£),直线跖交AB于点E,交CD于点F,点G和点X分别是直

线AB和CD上的动点，作直线GH,EI平分NAEF,由平分/CHG,£7与H/交于点/.

(1)如图1,点G在点E的左侧，点X在点尸的右侧，若NAEP=70°,/CHG=60°,

求NE出的度数.

(2)如图2,点G在点E的右侧，点H也在点尸的右侧，若NAEF=a,ZCHG=^,

其他条件不变，求NE田的度数.

(3)如图3,点G在点E的右侧，点X也在点尸的右侧，NGWC的平分线即交NKEG

的平分线EJ于点J.其他条件不变，若NAEF=ci,NCHG=6,求NE/H的度数.

【答案】见试题解答内容