平方根重难点题型专训（九大题型）（原卷版+解析）

专题14平方根重难点题型专训(九大题型)

旨【题型目录】

题型一平方根与算术平方根概念理解

题型二求一个数的算术平方根

题型三利用算术平方根的非负性解题

题型四求算术平方根的整数部分与小数部分

题型五与算术平方根有关的规律探索题

题型六求一个数的平方根

题型七已知一个数的平方根，求这个数

题型八利用平方根解方程

题型九平方根的应用

【知识梳理】

知识点一：平方根、算术平方根

1.(1)定义：如果一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根.一个正数有

两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根.

2.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.

一个正数a的正的平方根表示为“心”，负的平方根表示为“-Vn".

正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a.零的算术平方根仍旧是零.

3.算术平方根

正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“、石

正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

厂a(47>0)14a>0

4a^=|a|;注意而的双重非负性:V

L-a(av0)La>0

41经典例题一平方根与算术平方根概念理解】

1.(2023秋•安徽芜湖•八年级校考开学考试)下列说法正确的是()

A.-2是T的平方根B.2是(-2『的平方根

C.(-2)2的平方根是2D.8的平方根是±2

2.（2023春•河北邢台•七年级校考期中）若2023的两个平方根是加和"，则机+2加7+〃的值是（）

A.0B.2023C.-4046D.4046

3.（2022秋・浙江•七年级期中）若x是最大的负整数,y是最小的正整数,z是平方根等于本身的数，则x-y-z

的值是.

4.（2023春・北京大兴•七年级校考阶段练习）已知两个不相等的实数*，y满足：,2=%则67的

值为.

5.（2023秋•山西临汾•八年级统考期末）阅读与理解

阅读学习过程，完成“步骤二”中的填空和“步骤三”的求值.

我们在华东师大版八年级上册，学习了平方根的意义和两个乘法公式——平方差公式和完全平方公式，下

面是一节课的探究学习片断：

步骤一：再探公式，猜想规律

（a+b）~=+2ab+匕，（a—b）~=a~-2ab+,（a+b）（a—Z?）=-b~.

发现这两个公式中包含了两数和、两数差、两数积、两数平方和、两数平方差，在这五个数量中，是否存

在“知二求三”的一般性规律呢？

步骤二：推导变形，得出公式

由（a+b）2=a2+2ab+b2可得。Z+=（a+b）2-2ab,而=（0___（"十^）.

2

由（a-/?）?=a2-2qb+62也可得.?+62=,ab-.

综合这两个公式还可得出：〃+从=,ab=.

进一步综合变形推导可得：a+b=土+或a+b=±Ja2+2a6+Z>2（依据是）或

a+b={a—b）2+4ab=±y/（a-b）2+4ab,

同理可得：求a—Z?的公式为a-b=.

步骤三：迁移运用，提升能力

若a+A=3,ab=2,请运用“步骤二”中推导出的变形公式，求『+廿,a-b,6一片的值.

51经典例题二求一个数的算术平方根】

1.（2023春•江苏淮安•八年级统考期末）下列计算正确的是（）

A.79+16=3+4B.J9xl6=3o4C.⑤二后D.^/3?6=0.6

2.（2023春•湖南湘西•七年级校联考期中）下列说法正确的是（）

A.T的平方根是2B.T的算术平方根是2

C.1的平方根是1D.0的平方根与算术平方根都是0

3.（2023春•山西吕梁.七年级校考期中）若3x5/与-2/y的和是单项式,贝U（机-“丫的算术平方根是.

4.（2023春・辽宁抚顺・七年级校联考阶段练习）若^/^与+|x-22|=x,贝口的值是.

5.（2023春•重庆巴南•七年级统考期末）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为

零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果7放+〃=0,其中〃八九为

有理数.尤为无理数，那么加=0,〃=0,运用上述知识解决下列问题：

⑴如果（〃7+1）6+〃-2=0,其中5、”为有理数，求加和w的值；

（2）如果3m-w+12机-;〃+4）石=2,其中根、〃为有理数，求九一4根的立方根；

⑶若如〃均为有理数，且（利+1）及+租-17=20-/,求忱+”|的算术平方根.

41经典例题三利用算术平方根的非负性解题】

1.（2023春•黑龙江齐齐哈尔・七年级校考阶段练习）关于代数式3-而7的说法正确的是（）

A.x=0时最大B.x=0时最小

C.x=-4时最大D.x=-4时最小

【答案】C

【分析】根据算术平方根的非负性解答即可.

【详解】解：••,而7,0,

，当x=-4时，3—Jx+4的值最大为3.

故选：C.

【点睛】本题考查非负数的性质，掌握算术平方根的非负性是解题关键.

2.（2022春・湖北武汉•八年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期中）若+y-1|+^x-y+10=0,

则J4y-3x的算术平方根为（）

A.5B.±5C.&D.±75

3.（2022秋•福建漳州•八年级校考期中）已知d-2X+1+4^=0，贝.

4.（2023秋•八年级课时练习）若2y—4+（2x—y-3）2=0,则分式三心的值为.

5.（2022秋.黑龙江大庆•八年级校考期末）己知尤，z满足x2_4x+y2+6y+GM+13=0,求x,y,z的

值.

41经典例题四求算术平方根的整数部分与小数部分】

1.（2022春・山东日照•七年级校考期末）关于“J市”，下面说法不正确的是（）

A.它是数轴上离原点加个单位长度的点表示的数

B.它是一个无理数

C.若"而＜4+1,则整数。为3

D.它表示面积为10的正方形的边长

2.（2021•北京•统考中考真题）已知43?=1849,44?=1936,45?=2025,46?=2116.若"为整数且

«＜72021＜n+l,贝l|”的值为（）

A.43B.44C.45D.46

3.（2023春•四川凉山•七年级校考阶段练习）若丽的整数部分为。，小数部分为6,贝匹=,

b=・

4.（2023春•全国•七年级专题练习）6-JTT的小数部分为。，7+如的小数部分为b，则（。+6）刈丁.

5.（2022春.甘肃陇南.七年级校考阶段练习）阅读下面的文字，解答问题：大家都知道也是无理数，而且

&〈夜＜“，即1＜也＜2,无理数是无限不循环小数，因此后的小数部分我们不可能全部地写出来，于

是小明用0-1来表示0的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因

为血的整数部分是1,将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.

又例如：①,：&＜拒＜",即1＜外＜2,.•.目的整数部分为1,小数部分为②•：』非〈邪，

即2〈石＜3,...逐的整数部分为2,小数部分为（君-2）.

请解答：

如果血的小数部分为。，g的整数部分为6,求a+b-而的值;

J【经典例题五与算术平方根有关的规律探究题】

1.（2021秋・广东茂名•八年级校联考期中）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律,

第9行从左至右第5个数是（）

1

0A/3

2亚娓

币2723M

A.2MB.741C.50D.751

2.（2023春全国.七年级专题练习）已知：尾=2。，R=3岛卮=忠，河=5信

若向区=10p符合上面规律，则a+匕的值为（）

Vava

A.179B.109C.210D.104

3.（2023春•广西崇左•七年级统考期末）请你计算下列四个式子的值："；炉/；713+23+33；

3333

71+2+3+4＞并观察你的计算结果，用你发现的规律得出：Jp+23+33+43+53+63+73+83+93+1（）3的

值为.

4.（2023春・北京丰台•七年级北京丰台二中校考期中）数学解密：若第一个式子是囱="+/，第二个

式子是后=次+/,第三个式子是弧=后+&4,…，观察以上规律并猜想第五个式子

是.

5.（2023春・广西南宁•七年级南宁市天桃实验学校校考期末）阅读下面材料，解答问题：

【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“运用规律求一个正数的算术平方根”的实践活动.

【实践探究】同学们利用计算器计算出下表中的算术平方根，整理数据如下：

70.062570.625^/6^5^/6I5A/625V6250J62500

0.250.7912.57.912579.1250

（1）根据上述探究，可以得到被开方数和它的算术平方根之间小数点的变化规律是：若被开方数的小数点向

右或向左移动___________位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动___________位；

（2）已知代处1.732,请运用、上述规律直接写出各式的值：血而a,5/300®.

⑶你能根据力的值说出回的值是多少吗？请说明理由.

,3【经典例题六求一个数的平方根】

1.（2023春・浙江杭州•七年级校联考阶段练习）已知|x+2y-5|+|3x-y-1|=。，则孙的平方根是（）

A.2B.+2C.+y/2D.

。的值为（

2.（2023春•河南商丘•八年级统考期中）若1aH—=J11贝°a-)

aa

A.V7B.-V7C.土币D.7

3.（2023春・浙江杭州•七年级期中）已知a+5=8,a?/=%求/一/+16人=,-------ab=.

2

4.（2023春•黑龙江鹤岗•七年级校考阶段练习）已知y=>/T万+万1+1,则的平方根是.

5.（2023春・福建福州•七年级校联考期中）（1）已知侬+可与同正互为相反数.

①求2a-3〃的平方根；

②解关于x的方程/+46_2=0.

（2）已知正实数y的平方根是机和〃2+6.

①当6=8时，求机

②若加2丫+（07+〃）2y=50,求y的值.

③在②条件下，上是-4+1的小数部分，求（左+石『的值.（备注：一个数的小数部分是指这个数减去不超

过该数的最大整数）

【经典例题七已知一个数的平方根，求这个数】

【例7】（2023春•山西大同•七年级大同市第三中学校校考期末）如果一个正数的平方根是a+3及2a-15,

那么这个正数是（）

A.441B.49C.7或21D.49或441

*【变式训I练】

1.（2023春・安徽亳州•七年级校考期中）一个数的算术平方根是x,则比这个数大2的数的算术平方根是（)

A.x2+2B.&+2C.&-2D.7772

2.（2023春・广东肇庆•七年级统考期中）已知一个正数的两个平方根分别是和勿-3,则这个正数

是.

3.（2023秋・全国•八年级专题练习）已知一个正数机的两个不相等的平方根是。+6与24-9.

（1）求这个正数m；

（2）求关于x的方程OX2-16=0的解.

41经典例题八利用平方根解方程】

【例8】（2023春•江苏南京•七年级校联考期中）若（"4=1,伍-4=1,则（c-a）2的值是（）

A.0B.4C.0或4D.2或4

【变式训练】

1.（2023春•重庆永川•八年级统考期末）若行7=3-x,贝口的值是（）

A.0B.2C.3D.2或3

2.（2023•全国•九年级专题练习）旧知回顾：在七年级学习“平方根”时，我们会直接开方解形如尤②-81=0的

方程（解为％=9,%2=-9）.解题运用：方程（x-18）（x+l）+17x=0解为.

3.（2023•河北秦皇岛•统考一模）设益示是一个两位数，其中〃是十位上的数字（1W〃W9）,例如，当〃=4

时，益表示的两位数是45.观察以下等式：

①当〃=1时，152=225=1x2x100+25;

②当"=2时，252=625=2x3x100+25;

③当〃=3时，352=1225=3x4x100+25;

根据以上规律，解决下列问题

（1）写出第六个等式：

（2）写出你猜想的第九个等式（用含〃的式子表示），并证明:

（3）运用：若益2与100〃的差为2525.求〃的值.

一51经典例题九平方根的应用】

【例91（2023秋•河南三门峡•八年级统考期末）如图是用4个相同的长方形与1个正方形镶嵌而成的正方

形图案.已知该图案的总面积为相，小正方形的面积为若用尤、y表示长方形的两边长（％>y）,请观

察图案，指出下列关系式：@x+y=4m>②2y=石二品、③.=--—、④若x=2y,则〃z=3〃.这四

个结论中正确的有（）个

A.1个B.2个C.3个D.4个

/【变式训练】

1.（2023春・全国•七年级专题练习）交通事故统计发现，每年的汽车追尾事故占所有事故的30%左右.造

成追尾事故的主要原因是刹车距离把握不当，研究发现，在柏油路面上，刹车距离S与车速V的关系式是S

2

=白一（其中g=10,〃=0.9）,当刹车距离增加一倍时，车速增加（）.

A.1倍B.四倍C.6一1倍D.2倍

2.（2023春・浙江•七年级期末）如图，正方形ABC。和正方形EFGH分别由两张相同的长方形纸片无缝拼接

而成，现将其摆放在桌面上，如图所示，重合部分为甲、乙、丙，其中乙为正方形，记甲、丙的面积分别

S3

为品，S丙，若十=£,且桌面被所有纸片覆盖区域的面积为276cm2,则乙的面积为

3.（2023春・广西南宁•七年级南宁二中校考期末）综合与实践

【问题发现】如图1,把两个面积都为1cm?的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼成

一个大正方形，则该大正方形的边长为“江

【知识迁移】若一个圆与一个正方形的面积都是271cm2,设这个圆的周长为C圆，这个正方形的周长为C正,

则C圆/正（填“=”或“〈”或

【拓展延伸】李明想用一块面积为400cm?的正方形纸片（如图2所示），沿着边的方向裁出一块面积为

300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为5:4.李明能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由.

图2

/【重难点训练】

1.（2023春•山东聊城•八年级校考阶段练习）已知3加-1和-2〃L2是某正数a的平方根，则a的值是（）

164

A.3B.64C.3或--D.64或一

525

2.（2023春・湖北恩施•七年级统考期中）已知实数。,6,c,d,〃z,若。力互为相反数，c,d互为倒数，加=3,

贝:'+dm2-cd+m的值为（）

m

A.2±A/3B.±1C.yfl±A/3D.y/3+V2

3.（2023春•浙江嘉兴•七年级统考期末）如图，在一个正方形的内部放置大小不同的两个小正方形，其中较

大的正方形的面积为11,较小的正方形的面积为4,中间重叠部分的面积为1,则图中三角形ABC的面积

为（）

AB

A.11B.10C.6D.5

4.（2023春•四川内江•八年级四川省内江市第六中学校考开学考试）已知实数。满足|2000-司+>/^^=a,

那么.-20002的值是（）

A.1999B.2000C.2001D.2002

5.（2023春•山东德州•七年级校考阶段练习）已知（尤-3）2+54=0,则以+y的平方根.

6.（2023春・安徽亳州•七年级统考期中）若实数x,y,z,满足y2+|x_2023|+J^4=6y—9,贝ij

（1了=-----.

7.（2023春•重庆巴南•八年级统考期中）若一个四位正整数的十位数字比个位数字大5,千位数字比百位数

字大5,则称这样的四位正整数为“尚善数”.一个四位正整数加是尚善数，记为根的百位数字和个位

数字依次组成两位数与的千位数字和十位数字依次组成两位数的和，记。（闻为优的千位数字和百位数字

依次组成两位数与加的十位数字和个位数字依次组成的两位数的差•若为一个正整数,则满

足条件中机的最大值是.

8.（2023春•青海西宁•七年级统考期末）将图1中的长方形分成8,C两部分，恰与正方形A拼接成如图2的

大正方形.如果正方形A的面积为2,拼接后的大正方形的面积是5,则图1中原长方形的长是.

~B~

图1

9.（2023春•山东德州•七年级校考阶段练习）（1）若。是最大的负整数，b是绝对值最小的数，c是倒数等

于它本身的正数，d是9的负平方根.则。=_；b=_；c=_；d=_.

（2）已知一个正数的两个平方根是m+3和2根-15.求+5的平方根.

10.(2023春•江西南昌•七年级南昌二中校考期末)观察表格，回答问题:

a0.00010.01110010000

y[a0.01X1yz

⑴表格中彳=，y=；z=；

(2)从表格中探究a与&数位的规律，利用这个规律解决下面两个问题：

①已知何它3.16,则J1000"；

②已知疝=8.973,若折=897.3,用含机的代数式表示6,则6=

⑶试比较&与a的大小.

当时，y[a>a;当时，夜=a;当时，yfa<a■

专题14平方根重难点题型专训(九大题型)

旨【题型目录】

题型一平方根与算术平方根概念理解

题型二求一个数的算术平方根

题型三利用算术平方根的非负性解题

题型四求算术平方根的整数部分与小数部分

题型五与算术平方根有关的规律探索题

题型六求一个数的平方根

题型七已知一个数的平方根，求这个数

题型八利用平方根解方程

题型九平方根的应用

【知识梳理】

知识点一：平方根、算术平方根

1.(1)定义：如果一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根.一个正数有

两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根.

2.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.

一个正数a的正的平方根表示为“口,负的平方根表示为“-口

正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a.零的算术平方根仍旧是零.

3.算术平方根

正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“、石二

正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

厂a(cr>0)14a>0

4a^=|a|；注意否的双重非负性：R

L-a(n<0)La>0

1经典例题一平方根与算术平方根概念理解】

1.(2023秋•安徽芜湖•八年级校考开学考试)下列说法正确的是()

A.-2是T的平方根B.2是(-2『的平方根

C.(-2『的平方根是2D.8的平方根是±2

【答案】B

【分析】利用平方根的定义求解即可.

【详解】A、Y没有平方根，故此选项说法错误，不符合题意;

B、（-2）2=4,4的平方根有两个为±2,故此选项说法正确，符合题意；

C、（-2）2=4,4的平方根有两个为±2,故此选项说法不全，不符合题意；

D、8的平方根是土*,不是±2,故此选项说法错误，不符合题意；

故选：B.

【点睛】此题考查了平方根的定义，解题的关键是正确理解一个正数的平方根有两个，互为相反数，。的平

方根是0,负数没有平方根.

2.（2023春•河北邢台•七年级校考期中）若2023的两个平方根是加和力，则〃?+2〃加+”的值是（）

A.0B.2023C.-4046D.4046

【答案】C

【分析】根据平方根的意义可得加+〃=0,3=-2023,然后代入式子进行计算即可得到答案.

【详解】解：■.•2023的两个平方根是加和〃，

m+n=0,nm=—2023,

m+2rm+n=m+n+2mn=0+2x（-2023）=-4046,

故选：C.

【点睛】本题主要考查了平方根，如果一个数x的平方等于那么这个数工就叫做。的平方根，一个正数

有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是它本身，负数没有平方根，熟练掌握以上知识点是解题的关

键.

3.（2022秋・浙江•七年级期中）若x是最大的负整数,y是最小的正整数,z是平方根等于本身的数，则x-V-z

的值是.

【答案】-2

【分析】根据题意分别得出。、6、c的值，再代入进行计算即可.

【详解】解：是最大的负整数，

x=-l,

••丁是最小的正整数，

y=1,

•••z是平方根等于本身的数,

z=0,

x—y—z=—1—1—0=—2,

故答案为：-2.

【点睛】本题主要考查了有理数的相关定义，平方根的定义，解题的关键是掌握平方根等于本身的数是0.

4.(2023春・北京大兴•七年级校考阶段练习)已知两个不相等的实数满足：则67的

值为.

【答案】0

【分析】由题意可得X、y是。的两个不相等的平方根，根据平方根的性质可得x+y=0即可解答

【详解】解：：两个不相等的实数x，y满足：

尤、y是”的两个不相等的平方根

；.x+y=0

Jx+y=0.

故答案为0.

【点睛】本题主要考查了平方根的性质，掌握一个数的两个不相等的平方根的和为0成为解答本题的关键.

5.(2023秋•山西临汾•八年级统考期末)阅读与理解

阅读学习过程，完成“步骤二”中的填空和“步骤三”的求值.

我们在华东师大版八年级上册，学习了平方根的意义和两个乘法公式一平方差公式和完全平方公式，下

面是一节课的探究学习片断：

步骤一：再探公式，猜想规律

(a+b)~=ci~+2ab+,(a—b)~=cT—2ab+b1,(a+b)(a—b)=a~-b~.

发现这两个公式中包含了两数和、两数差、两数积、两数平方和、两数平方差，在这五个数量中，是否存

在“知二求三”的一般性规律呢？

步骤二：推导变形，得出公式

由(a+b)2=a2+lab+6,可得/+/=(a+b)2-2ab,而=("十"___("十").

2

由(a-/?)?=-2。6+/也可得“2+/=,ab=.

综合这两个公式还可得出：a2+b2=,ab=.

进一步综合变形推导可得：a+b=±J(a+b)2或a+b=±Ja2+2必+/?(依据是)或

a+b=(a—b)2+4ab=±^(a-b)2+4ab，

同理可得：求a-b的公式为〃-人=.

步骤三：迁移运用，提升能力

若。+。=3,必=2,请运用“步骤二”中推导出的变形公式，求/+〃，a_bj廿的值.

【答案】步骤二：(-4+2"；(/+』)-(j)2；(0+4+(j)2；m+1—(j)2；平方根的意义；

224

±«a-b)2或土Ja1-2ab+人2或±'(々+6)2一4";步骤三：a2+b2=5,a-b=±l,a2-b1=±3

【分析】根据完全平方公式、平方差公式等结构特点进行变形求值即可.

【详解】解：步骤二：a2+b2=a2-2ab+b2+lab=(a-Z?)2+2ab,

7laba2+b2-(a2-lab+b1)+b2^-(a-b)2

222

2,22(4+/72)a2++Z??+Q2—2〃Z?+b2(Q+Z?)2+(Q—/?)?

a+b=-------------=-------------------------------------=-----------------------，

222

j4abQ2+2〃Z?+Z??—(Q2—2ab+b2)(〃+/?)2—(Q—b)?

ab=-----=---------------------------------------=-----------------------•

444

依据是：平方根的意义，

a—b=±yl(a—b)2=鼠a1—Zab+b2=±yJa2+2ab-¥b1-4ab=±y](a+b)2—4ab,

故答案为：m-b)2+2"；(〃+1)-m-l,(。+h+("-,；平方根的意义；土而f

224

或±J〃2-2而+，2或土｛(a+b)2一4曲;

步骤三：

a+b=3,ab=2,

・・・/+/=(。+切2—2成=32—2x2=5,

a—b=±J(a+6)2-4ab=±，32-4x2=±],

22

a—b=(Q+b)(a—b)=3x(±1)=±3.

【点睛】本题考查了完全平方公式及其变形，平方差公式，平方根等知识点，熟练掌握完全平方公式的变

形是解本题的关键.

【经典例题二求一个数的算术平方根】

1.（2023春•江苏淮安•八年级统考期末）下列计算正确的是（）

A.79+16=3+4B.79x16=3x4C.9=序D.7^6=0.6

【答案】B

【分析】根据算术平方根对各选项进行计算，然后判断即可.

【详解】解：A中衍帚=5*3+4,错误，故不符合要求；

B中J9xl6=3x4,正确，故符合要求；

C中内铲，错误，故不符合要求；

D中屈=也*0.6,错误，故不符合要求；

10

故选:B.

【点睛】本题考查了算术平方根.解题的关键在于正确的运算.

2.（2023春・湖南湘西•七年级校联考期中）下列说法正确的是（）

A.Y的平方根是2B.T的算术平方根是2

C.1的平方根是1D.0的平方根与算术平方根都是0

【答案】D

【分析】根据平方根与算术平方根的性质逐项判断即可得.

【详解】解：A、Y是负数，没有平方根，则此项错误，不符合题意；

B、T是负数，没有算术平方根，则此项错误，不符合题意；

C、1的平方根是±1,则此项错误，不符合题意；

D、0的平方根与算术平方根都是0,则此项正确，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了平方根与算术平方根，解题的关键是熟练掌握平方根与算术平方根的性质：一个正数

的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的平方根是这个数的算术平方根，0的算术平方根是0;负数没

有平方根和算术平方根.

3.（2023春•山西吕梁•七年级校考期中）若3》5y"与一2/y的和是单项式，则（根-冷2的算术平方根是.

【答案】4

【分析】根据同类项的定义解得私〃的值，即可求得（机-"）2的值，然后求其算术平方根即可.

【详解】解：若3/y”与-2/?的和是单项式，即耳5>"与一2x"y为同类项，

则有m=5,n=l,

（m—ny=（5—l）2=16,

A/16^=4,

（加-〃『的算术平方根是4.

故答案为：4.

【点睛】本题主要考查了同类项、代数式求值、算术平方根等知识，熟练掌握相关知识是解题关键.

4.（2023春•辽宁抚顺•七年级校联考阶段练习）若VT^+|x-22|=x,则x的值是.

【答案】507

【分析】根据算术平方根，绝对值的非负性，即可求解.

【详解】解：有意义，

x-23>0

尤223

|x-22|=x-22

••yJx—23+x-22—x

即Jx-23=22

/­x-23=22?

解得：x=507

故答案为：507.

【点睛】本题考查了算术平方根的性质，化简绝对值，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键.

5.（2023春•重庆巴南•七年级统考期末）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为

零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果mr+〃=0,其中办“为

有理数.尤为无理数，那么根=0,"=0,运用上述知识解决下列问题：

⑴如果（〃7+1）6+"-2=0,其中〃hw为有理数，求加和"的值；

⑵如果++若=2,其中办〃为有理数，求”-4根的立方根；

⑶若如〃均为有理数，且W+1）及+加-17=2应-“2,求加+"|的算术平方根.

【答案】⑴加=-1,"=2

(2)“一小然的立方根为2

(3)|机+4的算术平方根为非或6

【分析】(1)根据题干提供的方法列出加和"的方程求解即可；

(2)先根据题干提供的方法列出小和〃的方程组求解，然后代入4帆计算即可；

(3)先整理成3+〃=0,其中加、〃为有理数.x为无理数，再按题干提供的方法求解.

【详解】(1)V(m+l)^+n-2=0,其中格〃为有理数，

m+1=0,〃—2=0；

••fn=-1,〃=2.

(2)*.*3m-n+ylm-n+4J\[5=2,

3m—n—2+(2机——n+4]>/5=0,

•:m、〃为有理数，

3m—n—2=0,

]1

2m——〃+4=0.

I2

fm=-10,

解得

[n=—32.

zz—4m=—32—4x(—10)=8,

・•・〃一4帆的立方根为2.

(3)V(m+l)V2+m-17=2^-n2,

"2+777—17+(771+1—2)^/2=0,

二川、〃为有理数，

•**n2+m-17=0»帆+l—2=0,

/.m=1,n=±4,

「・当机=1,〃=4时，|根+〃|=5,I加+〃I的算术平方根为百;

当根=1,〃=—4时，|相+川=3,I相+〃I的算术平方根为由;

综上所述，I机+〃1的算术平方根为正或

【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，一元一次方程的解法，算术平方根的意义等知识，掌握题目

介绍的解题方法是解答本题的关键.

K【经典例题三利用算术平方根的非负性解题】

1.（2023春•黑龙江齐齐哈尔・七年级校考阶段练习）关于代数式3-而Z的说法正确的是（）

A.x=0时最大B.x=0时最小

C.x=-4时最大D.x=-4时最小

【答案】C

【分析】根据算术平方根的非负性解答即可.

【详解】解：：而7,0，

，当x=-4时，3—Jx+4的值最大为3.

故选：C.

【点睛】本题考查非负数的性质，掌握算术平方根的非负性是解题关键.

2.（2022春・湖北武汉•八年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期中）若+y-1|+j2x-y+10=0,

则J4y-3x的算术平方根为（）

A.5B.±5C.&D.±75

【答案】C

【分析】根据平方与算术平方根的和为0,可得平方与算术平方根同时为0,可得出二元一次方程组，根据

解二元一次方程组的方法，可得答案.

【详解】[无+y-l|+j2x-y+10=0,

[x+y=1[x=-3

•••cs，解得：一

[2x-y=-10[）=4

44y-3x=j4x4-3x（-3）=5,

.♦.5的算术平方根为石，

故选：C.

【点睛】此题考查了解二元一次方程组，解题关键熟记平方与算术平方根的和为0,可得平方与算术平方根

同时为0.

3.（2022秋•福建漳州•八年级校考期中）已知炉―2%+1+打三=0,则x+y=.

【答案】4

【分析】根据偶次方和算术平方根的非负性，求出x、y的值，再代入计算即可.

【详角星】解：X2—2,x+1+yJy—3=0,即（x—1）+\Jy~3=0,而（x—l）-N0,Jy-320,

/.x-l=0,y—3=0,

解得：％=1,>=3,

.,.%+y=4,

故答案为：4.

【点睛】本题考查偶次方、算术平方根的非负性，掌握偶次方、算术平方根的非负性是解决问题的关键.

4.（2023秋•八年级课时练习）若2y—4+（2x—y—3）2=0,则分式三号的值为.

【答案】-7

fx+2y—4=0①

【分析】由算术平方根，偶次方的非负性可得cQ八6，再利用加减法可得X-3y=-l,3x+）=7,

[2尤_y_3=0②

再代入求值即可.

【详解1解：***Jx+2y-4+（2x~y~3）2=0,

.+2y-4=0①

t[2x-y-3=0@9

①—②得：x—3y+1=0BPx—3y=-1,

①+②得：3x+y—7=0即3x+y=7,

-7,

x-3y-1

故答案为：-7.

【点睛】本题考查的是算术平方根的非负性，二元一次方程组的解法，熟练的利用整体代入法求值是解本

题的关键.

5.（2022秋•黑龙江大庆•八年级校考期末）已知x,y,z满足x2_4x+y+6y+GB+13=0,求x,y,z的

值.

【答案】x=2,y=-3,z=-4.

【分析】先把原方程化为(x-2)2+(y+3)2+^/^^7=0；进而可得x-2=0,y+3=0,z+2=0,据此求出x、

八z的值即可.

【详解】解：-4-f+y2+6y+~Jz+4+13=0,

（x-2）2+（y+3）2+Vz+4=0,

x—2=Q,y+3=0,z+4=0,

/.x=2,y=—3fz=-4.

【点睛】本题考查非负数性质的性质、算术平方根等知识，解答此题的关键是把原方程化为非负数的和的

形式.

4【经典例题四求算术平方根的整数部分与小数部分】

1.（2022春・山东日照•七年级校考期末）关于“、丽”，下面说法不正确的是（）

A.它是数轴上离原点Jid个单位长度的点表示的数

B.它是一个无理数

C.若战亚<"1,则整数°为3

D.它表示面积为10的正方形的边长

【答案】A

【分析】根据无理数的意义和数轴的性质进行判断即可.

【详解】解：A、±加它是数轴上离原点加个单位长度的点表示的数，题干的说法错误，符合题意；

B、加是一个无理数，题干的说法正确，不符合题意；

C,V3<V1O<3+1,.•.整数。为3,题干的说法正确，不符合题意；

D、J记表示面积为10的正方形的边长，题干的说法正确，不符合题意.

故选：A.

【点睛】本题考查的是算术平方根的概念和分类以及应用，掌握无理数的概念和意义是解题的关键.

2.（2021.北京.统考中考真题）已知43?=1849,44。=1936,45,=2025,46?=2116.若“为整数且

»<72021<n+l,则”的值为（）

A.43B.44C.45D.46

【答案】B

【分析】由题意可直接进行求解.

【详解】解：V432=1849,442=1936,452=2025,462=2116,

442<2021<452，

/.44<V2021<45,

〃=44；

故选B.

【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握算术平方根是解题的关键.

3.（2023春•四川凉山•七年级校考阶段练习）若风的整数部分为。，小数部分为6,则。=

【答案】3V10-3

【分析】根据3<加<4首先确定。的值，则小数部分即可确定.

【详解】解:;3<痴<4,

..a=3j

贝1）6=如-3.

故答案是：3,y/10-3.

【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题的关键是确定无理数的整数部分即可解决问题.

4.（2023春・全国•七年级专题练习）6-m的小数部分为。，7+而的小数部分为b,则（a+bfli=.

【答案】1

【分析】先分析JTT介于哪两个整数之间，再分别求出6-而和7+而介于哪两个整数之间，即可求出

6_而和7+而的整数部分，然后用它们分别减去它们的整数部分得到。和6,代入即可.

【详解】解：：3<而<4

；・10<7+而<11，-3>-VTT>-4

•••3>6-而>2

，7+而的整数部分为10，6-而的整数部分为2,

a=6-711-2=4-711

6=7+而-10=而-3

代入得:

i82018

（«+＜=（4-vn+vn-3）

=]2018

=1

【点睛】此题考查的是实数（带根号）的整数部分和小数部分的求法.

5.（2022春.甘肃陇南.七年级校考阶段练习）阅读下面的文字，解答问题：大家都知道应是无理数，而且

&〈拒＜"，即1＜忘＜2,无理数是无限不循环小数，因此后的小数部分我们不可能全部地写出来，于

是小明用0-1来表示0的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因

为力的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.

又例如：@VVT＜A/3＜V4,即1＜外＜2,.•.6的整数部分为1,小数部分为（指-1）.②•••/＜石＜四，

即2〈石＜3,...有的整数部分为2,小数部分为（6-2）.

请解答：

如果血的小数部分为。，风的整数部分为6,求a+b-而的值；

【答案】1

【分析】根据题中的例子求出a,b,再代入计算即可.

【详解】＜VIT＜屈，即3＜布＜4,

••.而的整数部分为3,小数部分为（、/行-3）,即0=而一3

,:历＜历＜后，即4＜M＜5,

,旧的整数部分为4,即6=4.

,,a+匕-而=而■-3+4-而=1，

即a+b-\[\i的值是1.

【点睛】本题考查与算术平方根的整数部分有关的计算，掌握确定无理数的估算方法是解题的关键.

41经典例题五与算术平方根有关的规律探究题】

1.（2021秋•广东茂名•八年级校联考期中）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，

第9行从左至右第5个数是（）

1

0

2亚屈

币2723V10

A.2屈B.闻C.5A/2D.底

【答案】B

【分析】由图形可知，第〃行最后一个数为J1+2+3+…+〃=小吗1,据此可得答案.

【详解】解：由图形可知，第〃行最后一个数为J1+2+3+…+w=

:•第8行最后一个数为=736=6,

则第9行从左至右第5个数是J36+5=屈,

故选：B.

【点睛】本题主要考查数字的变化类，解题的关键是根据题意得出第“行最后一个数为

2.（2023春全国.七年级专题练习）已知:6|=236|=3器,/+：=4/卜盘=§卮,

若=符合上面规律，则a+6的值为（）

A.179B.109C.210D.104

【答案】B

79Q3hh

【分析】分析数据可得：2+-=22X-,有3=22—1；3+|=32X|,有8=3?—1；…若10+2=102义2,必

33XXaa

有〃