人教版八年级数学下册专项复习：勾股定理（知识归纳+题型突破）（解析版）

第十七章勾股定理（知识归纳+题型突破）

课标要求

1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法;

2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；

3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.

基础知识归纳

知识点一、勾股定理

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a，b,斜边长为c,那

2

么片+/=C.

特别说明：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.

（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就

将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.

（3）理解勾股定理的一些变式：a2=c2-b2,护—a1,c2=（a+b^-2ab.

知识点二、勾股定理的证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.

图（1）中$灵士一.4=（4+5了=1+4x—at>,所以

2

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.

图⑵中&方“»Mc'S-ay+dx/b,所以户

2

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

邑3=2x；必+9,所以『+从=―

知识点三、勾股数

满足不定方程好+寸=Z?的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以X、外Z为

三边长的三角形一定是直角三角形.

熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：

①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41...

如果。、b、C是勾股数，当f为正整数时，以g、初、a为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.

特别说明：（1）附2—1,2n,n2+l是自然数）是直角三角形的三条边长；

（2）2n2+2n,2n+l,2n2+2n+l（〃是自然数）是直角三角形的三条边长；

（3）m2-n2,m2+n2,2mn（m>n,m、〃是自然数）是直角三角形的三条边长；

知识点四、勾股定理的逆定理

如果三角形的三条边长a，b,c,满足〃+匕2=,2,那么这个三角形是直角三角形.

特别说明：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.

（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.

知识点五、如何判定一个三角形是否是直角三角形

（1）首先确定最大边（如c）.

（2）验证与/+〃是否具有相等关系.若02=4+。2,则4ABC是/C=90°的直角三角形；若

则aABC不是直角三角形.

特别说明：当时，此三角形为钝角三角形；当。2+匕2>。2时，此三角形为锐角三角形，其中c

为三角形的最大边.

知识点六、互逆命题

如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的

逆命题.

特别说明：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为

真命题，错误的命题我们称它为假命题.

重要题型

【考点一勾股树（数）问题】

例题：下列各组数中，是勾股数的是（）

A.2,3,4B.4,5,6C.5,12,13D.-

345

【答案】C

【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边

的平方.

【详解】解：A、22+32^42,不能构成直角三角形，不合题意；

B、52+42^62,不能构成直角三角形，不合题意；

C、52+122=132,能构成直角三角形，符合题意；

。、三边长;，；，:都不是正整数，不是勾股数，不合题意；

故选：C.

【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知ABC的三边满足

a2+b2=c2,则ABC是直角三角形.

【变式训练】

1.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中.下列各组

数中，是“勾股数”的是（）

A.2,3,4B.4,5,6C.7,8,9D.6,8,10

【答案】D

【分析】根据“勾股数”的定义，逐项判断，即可求解.

【详解】解：A、22+32^42,不是“勾股数”，故本选项不符合题意；

B、42+52^62,不是“勾股数”，故本选项不符合题意；

C、72+82^92,不是“勾股数”，故本选项不符合题意；

D、62+82=102,是“勾股数”，故本选项符合题意；

故选：D

【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：若。涉，。满足/+廿=。2的三个正整数，称为

勾股数.

2.下列各组数是勾股数的是（）

A.a=0.3,b=0.4,c=0.5B.a=2,b=2,c=2-\/2

C.a=4,b—5,c=6D.a=5,6=12,c—13

【答案】D

【详解】解：A、0.3,0.4,0.5都不是正整数，故不是勾股数，不符合题意；

B、2&不是正整数，故不是勾股数，不符合题意；

C、52+42^62,不能构成直角三角形，故不是勾股数，不符合题意；

D、52+122=13\能构成直角三角形，故是勾股数，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查勾股数的定义：满足〃+廿=。2且a、b、。为整数，则纵6、c为勾股数.

【考点二用勾股定理解三角形】

例题：（2023上•河南南阳•八年级统考阶段练习）如图，在ABC中，ZC=90°,AD是,BAC的平分线,

DE上AB于点、E,CD=4,BD=8,求BE的长.

【答案】4/

【分析】本题考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等以及勾股定理.

根据角平分线的性质可先求出DE的长，8。的长已知，根据勾股定理可求出解.

【详解】解:AD是的平分线，DE_LAB于E,ZC=90°,

:.DE=CD=4.

5D=8,

BE=y/BD2-DE2=V82-42=4百•

【变式训练】

1.直角三角形的两直角边分别为6cm和8cm,则斜边上的高为cm.

74

【答案】4.8##y

【分析】根据勾股定理可求出斜边.然后由于同一三角形面积一定，可列方程直接解答.

【详解】解：直角三角形的两条直角边分别为6由,82m,

，斜边为痴苒=10(?

设斜边上的高为心

则直角三角形的面积为gx6x8=gxio/z,

解得：h=4rfi?,

这个直角三角形斜边上的高为4山？.

故答案为:4.8：.

【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及直角三角形的面积的求法，正确利用三角形面积得出其高的长是

解题关键.

2.长方形ABCD中，长AB=12,宽4?=5,点尸为直线。上一点，当△ACP为等腰三角形时，AP=.

【答案】13或后或5屈

【分析】分三种情况画图，①当AP=AC时，②当CP=C4=13时，③当CP"=C4=13时，利用勾股定理即可

解决问题.

【详解】解：分三种情况画图，如图，

AB=n,BC=AD=5,ZABC=90°,

:.AC=y/AB2+BC2=13-

①当AP=AC时，

AP=13；

②当C产=G4=13时，

/CD=12,

：.DP=I,

AP'=VAC2+DP'2=V52+l2=726;

③当CP"=C4=13时，

DP"=DC+CP"=12+13=25,

AP"=4DP"2+AD2=A/252+52=5A/26.

综上所述：当△ACP为等腰三角形时，”=13或或5岳.

故答案为：13或屈或5国.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是利用分类讨论思想.

3.(2023上•浙江金华•八年级校考阶段练习)如图，在一ABC中，NC=9O。，CO=3.6,BD=6.

(2)若N1=N2,求AC的长.

【答案】(1)AC=4.8

(2)AC=7.2

【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线的性质，熟练掌

握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.

(1)由等角对等边可得陋=①)=6,再由勾股定理进行计算即可；

(2)由角平分线的性质可得CD=DE=3.6,证明RtACD也RtAED(HL)得到AC=CE,再由勾股定理进

行计算即可.

【详解】⑴解：Z2=ZB,

AD=BD=6,

,ZC=90°,8=3.6,

AC=-]AD2-CD2=招-36=4.8；

(2)解：如图，过点。作DEIAB于点E,

CD=DE=3.6,

在RtAACD和RtAAED中，

[CD^DE

\AD=AD'

.'.RtACD^RtAED（HL）,

:.AC=CE,

在中，BE=\lBD2-DE2=y162-3.62=4.8-

在RtZ^ACB中，AC2=AB2-BC2,即AC?=（AE+EB）?-（CD+DB?,

AC2=（AC+4.8）2-（3.6+6）2,

解得：AC=1.2.

【考点三以直角三角形三边为边长的图形面积】

例题：如图，以Rt^ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形.若AB=币,则图中阴影部分的面积

为.

【答案】7

【分析】先用直角三角形的边长表示出阴影部分的面积，再根据勾股定理可得：AB2=AC2+BC2,进而可将

阴影部分的面积求出.

222222

【详解】解：Saai=^AC+|fiC+|AB=|（AC+BC+AB）,

AB2=AC2+BC2=7,

:.AB2+AC2+BC2=14,

S阴影=—xl4=7,

故答案是：7.

【点睛】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明三个等腰直角三角形的面积之间的关系.

【变式训练】

1.如图，已知直角三角形ABC的周长为24,且阴影部分的面积为24,则斜边A3的长为

【答案】10

【分析】根据阴影部分面积等于以AC，为直径的半圆面积之和加上ABC的面积减去以为直径的半

圆面积进行求解即可.

【详解】解；,••直角三角形ABC的周长为24,

AB+AC+BC=24,AC2+BC2=AB2,

/•AC2+BC2-AB2=0,

•••阴影部分的面积为24,

!(AC2+BC2-AB2)+1AC-BC=24

ACBC=48

.(AC+BC}2-AC2-BC2(24-AB)2-AB2

­-ACBC=i-------------------------------=----------------------=48，

22

AB=10,

故答案为：10.

【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式，熟知相关知识是解题的关键.

2.如图，二ABC中，ZACB=9Q°,以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为耳，邑，53,已知耳=6,

【答案】8

【分析】由勾股定理得出4。2+8。2=回2,得出SI+S?=S3,得出S2=S3-S],即可得出结果.

【详解】解：：NACB=90。，

/•AC2+BC2=AB2,

/.Sl+S2=S3,

：.S2=S3-SX=14-6=8；

故答案为：8.

【点睛】本题考查了勾股定理、正方形面积的计算；熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出正方形的面积关

系是解决问题的关键.

【考点四勾股定理的证明方法】

例题:如图，将两个全等的直角三角形按照如下的位置摆放，使点A,E，D在同一条直线上，ZA=ZD=90°,

AE-CD-a,AB=ED=b,BE=CE=c.

B

(1)填空：NBEC=。，根据三角形面积公式，可得BEC的面积=；根据割补法，由梯形的面

积减去阴影部分的面积，可得3EC的面积=.

(2)求证：a2+b2=c2.

【答案】(1)90,1c2,1c2

(2)见解析

【分析】(1)根据全等三角形的判定和性质以及三角形的面积公式即可得到结论；

(2)用两种不同的方法表示梯形ABCD的面积，计算化简后，即可得出片+/=°2.

【详解】(1)解：AE=CD=a,AB=ED=b,BE=CE=c,

BAE沿EDC(SSS),

:.ZABE=ZDEC,

.■ZABE+ZAEB^90°,

/.Zz4£B+ZDEC=90°,

/.ZBEC=90°,

.•一BEC的面积=；3E-CE=gc2

由梯形的面积减去阴影部分的面积，可得..班。的面积

*22

——(Q+Z?)(Q+b)—2x—cib——(Q2+2ab+/??)—ah——(a2+Z7+ab—ab=-c,

故答案为：90,

(2)证明：Rt_ABE咨RtADEC,

:.ZAEB=ZDCE,BE=EC=c,

Z£>=90°,

ZDCE+ZDEC=90°f

ZAEB+ZDEC=90°f

ZBEC=90°f

班e是等腰直角三角形,

+

S梯形ABC。=S氐ABE+S&CDERt.BEC，

(AB+CD)A。A/.ABEDDCBEEC

2——2—十—2—十―2—

(a+b)(a+b)_"baca

2222

片+2ab+b2_c2+2ab

—,

22

a2+b2=c2.

【点睛】本题考查了梯形，勾股定理的证明，用两种不同的方法表示同一个图形的面积是解决问题的关键.

【变式训练】

1.我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形（如图1）与中间的一个小正方形拼成

一个大正方形（如图2）.

图1图3

（1）利用图2正方形面积的等量关系得出直角三角形勾股的定理，该定理的结论用字母表示：:

（2）用图1这样的两个直角三角形构造图3的图形，满足AE=3C=,DE=AC=b,AD=AB=c,

ZAED=ZACB9Q0,求证（1）中的定理结论；

（3）如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE=/n,HG=，求正方形3。心的面积.（用机，n

表示）

【答案】⑴。2=片+〃

（2）见解析

m2+n"2

（）~2~

【分析】（1）由大正方形的面积的两种表示列出等式，可求解；

（2）由四边形ABCD的面积两种计算方式列出等式，即可求解；

（3）分别求出a,b,由勾股定理可求解.

【详解】（1）解：•••大正方形的面积=02,大正方形的面积=4x；xb+^b-af,

C2=4X—x6txZ7+（Z?-af,

・•.c2=a2+b2,

故答案为：c2=a2+b2;

（2）证明：如图：连接BD,

图3

■:RtAABCgRtAZME,

ZADE=ZBAC,

：.ZDAE+ZADE=90°=ZDAE+ZBAC,

：.ZDAB=90°,

S四边形ABCD=：/+；〃(/?一〃),S四边形Ass=2x^Z?+^-Z?(Z?-a),

=

~+5Q(b-a)2x—cib+-Z?(b-a),

々2+〃.

(3)解：由题意可得：CE=CD+DE,GH=AG-AH,

:・m=a+b,n=b-a,

.m—n7m+n

••(X—,b

22

."B…=2'

正方形如&的面积为十

【点睛】本题考查了全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是

解题的关键.

【考点五勾股定理的实际应用】

例题：如图，一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端A距地面的垂直高度为8米，梯子的顶端下滑2

米后到达E点，底端也水平滑动2米吗？试说明理由.

【答案】梯子的顶端下滑2米后，底端将水平滑动2米，理由见解析.

【分析】根据题意画出图形，根据题意两次运用勾股定理即可解答.

【详解】解：由题意可知，AB=10m,AC=8m,AE=2m,

在RtAASC中，由勾股定理得：

BC=VAB2-AC2=V102-82=6m，

当B滑到D时，DE=AB=Wm,

CE=AC-AE=8-2=6m；

在RtACOE中，

CD=y/DE2-CE2=A/102-62=8>

BD=CD-BC=8-6=2m.

答：梯子的顶端下滑2米后，底端将水平滑动2米.

【点睛】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键.

【变式训练】

1.学过《勾股定理》后，李老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆AB高度，得到如下信息：①

测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1）；②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子

的手到地面的距离。为1米，到旗杆的距离CE为9米（如图2）.根据以上信息，求旗杆的高度.

【答案】旗杆AB的高度为13米.

【分析】设回=无，在Rt.ACE中根据勾股定理列方程求解即可.

【详解】解：设=根据题意得：

在Rt_ACE中，AC2=AE2+CE2,

即：（了+2）2=（尤一1）2+92,

解得：x=13.

答：旗杆的高度为13米.

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的相关知识并在直角三角形中正确运用是解题的

关键.

2.如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船.河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E,

同时小船从A移动到B,且绳长始终保持不变.回答下列问题：

⑴根据题意可知：ACBC+CE.（填“<”或“=”）

⑵若CF=8米，AF=15米，AB=9米，求小男孩需向右移动的距离.

【答案】（1）=

（2）小男孩需向右移动的距离为7米

【分析】（1）根据绳长始终保持不变即可解答；

（2）首先理解题意，明确小男孩需向右移动的距离是哪条线段的长，然后利用勾股定理即可求解.

【详解】（1）；AC的长度是男孩未拽之前的绳子长，（BC+CE）的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终

保持不变，

AC=BC+CE,

故答案为：=;

（2）：CF=8米，AF=15米，

...在Rt^CM中，由勾股定理得：AC=>JAF2+CF2=A/152+82=17（米），

VBF=AF-AB=15-9=6（米），

...在Rt^CFB中，由勾股定理得：BC=\JCF2+BF2=V82+62=10（米），

由（1）得：AC=BC+CE,

，CE=AC—BC=17—10=7（米），

.••小男孩需向右移动的距离为7米.

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，熟练运用勾股定理是解题的关键.

3.台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的

破坏力.如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点2与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为

一海港，且点C与A,B两点的距离分别为3006"、400km,且/ACB=90。，过点C作CELAB于点E,以

台风中心为圆心，半径为260历"的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为25h〃//i.

（1）求监测点A与监测点B之间的距离；

⑵请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？若不受影响，请说明

理由.

【答案】⑴500粒

（2）受影响，台风影响该海港持续的时间为8小时

【分析】（1）利用勾股定理求出A3即可；

（2）利用三角形面积得出CE的长，进而得出海港C是否受台风影响；若受影响，利用勾股定理得出小以

及DF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间.

(1)

解：在RtAABC中，AC=300痴，BC=400km,

AB=yJAC2+BC2=V3002+4002=500（km），

答：监测点A与监测点B之间的距离为500初i；

（2）

解：海港C受台风影响，

理由：ZACB=90°,CEYAB,

S.z.wRdr=-2AC-BC=2-CEAB,

/.300?400=500CE,

.：CE=240kmf

以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域，

・•・海港C会受到此次台风的影响，

以。为圆心，260切?长为半径画弧，交于£）,F,

则DE=EF=26Qkm时，正好影响。港口，

在RtACDE中，

ED=7CD2-CE2=72602-2402=100（^），

二DF=2QObn,

.,台风的速度为25千米/小时，

.-.200?25=8（小时）.

答：台风影响该海港持续的时间为8小时.

【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用

勾股定理解答.

4.如图，是一块长、宽、高分别是6cm,4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A

处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点8处吃食物，那么它需要爬行的最短路径是多少？

B

【答案】V85cm

【分析】将长方体展开成平面图形，分三种情况，利用勾股定理进行求解，确定最短路径即可.

【详解】解：如图1,当爬的长方体的长是(4+6)=10,宽是3时，AB=7102+32=^/^b9(azz).

如图2,当爬的长方体的长是(3+6)=9,宽是4时，AB=y/^耨=回(cm).

4

63

图2

如图3,爬的长方体的长是(3+4)=7,宽是6时，AB=y/l2+62=^5(cm).

6

43

图3

7109>^>^5,

它需要爬行的最短路径是屈cm.

【点睛】本题考查勾股定理的应用.解题的关键是将长方体展开成平面图形，利用勾股定理求出最短路径.

【考点六用勾股定理构造图形解决问题】

例题：木工师傅为了让直尺经久耐用，常常在直尺的直角顶点与斜边之间加一根小木条，如左图所示，右

图为其示意图.若N54C=90。，线段AB的长为15。小线段AC的长为205?，试求出小木条AD的最短长

度.

直角顶点直角边AC

【答案】12cm

【分析】根据垂线段最短，所以当AD/3C时，AD最短，利用勾股定理和等积法进行求解即可.

【详解】解：4c=90。，

二ABC是直角三角形，

•••BC2=AC2+AB2,

AB=15cm,AC=20cm,

/.BC=25cm,

要使得小木条A。最短，则此时AD上3C,

SZMVIlDic=2-ADBC=2-ABAC,

即gADx25=；xl5x20,

AD=12cm.

【点睛】本题考查勾股定理.熟练掌握垂线段最短，是解题的关键.

【变式训练】

1.现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，已知消防车高3m,云梯最多只能伸长到10m,

救人时云梯伸至最长如图，云梯先在A处完成从9m高处救人后，然后前进到8处从12m高处救人.

（2）①求消防车在A处离楼房的距离（AD的长度）;

②求消防车两次救援移动的距离（A3的长度）.（精确到0.1m,参考数据石。1.73,Vi0®3.16,V19»4.36）

【答案】（l）DAf=3米，3笈=10米

（2）①消防车在A处离楼房的距离为8m；②消防车两次救援移动的距离约为3.6m

【分析】（1）根据题意，可得消防车的高为DM的长，再根据题中图形，可得云梯的长为88,的长.

（2）①根据题意，可得AO的长，再根据勾股定理，即可得到消防车在A处离楼房的距离.②根据题意，

可得的长，再根据勾股定理，可得到的长，然后根据=即可算出消防车两次救援移动

的距离.

【详解】（1）根据题意，可得消防车的高为的长，

DM=3m；

根据题中图形，可得云梯的长为的长，

二BB'=10m.

故答案为：3；10.

（2）①由题意得DM=3m,A4'=10m,AM=9m,

：.A'D=AM-DM=9-3=6（m）,

在Rt/\AA!D中，AD=Y/AA'2-A'D2=A/102-62=8（m）,

即消防车在A处离楼房的距离为8m；

②由题意得DM—3m,BB'=10m,BM=12m,

B'D=B'M-DM=12-3=9（m）

在RfBZD中,

BD=^BB'--B'D-=V102-92=y/19~4.36（m）,

/.AB=AD-BD=8-4.36~3.6（m）.

即消防车两次救援移动的距离约为3.6m.

【点睛】本题考查了数形结合思想，勾股定理等知识点，熟练运用数形结合思想是解本题的关键.

2.如图，城心公园的著名景点8在大门A的正北方向，游客可以从大门A沿正西方向行至景点C,然后

沿笔直的赏花步道到达景点&也可以从大门A沿正东方向行至景点D,然后沿笔直的临湖步道到达大门A

的正北方的景点£,继续沿正北方向行至景点3（点A,2,C,E在同一平面内），其中AC=500米，BC=1300

米，AD=600米，3E=400米.

(1)求A,2两点的距离；

(2)为增强游客的浏览体验，提升公园品质，将从大门A修建一条笔直的玻璃廊桥AF与临湖步道。E交汇于

点R且玻璃廊桥AF垂直于临湖步道DE,求玻璃廊桥AF的长.

【答案】(1)A8两点的距离为1200米

(2)玻璃廊桥AF的长为480米

【分析】(1)在RdABC中，利用勾股定理可得AB的长；

(2)在MAAZJE中，首先利用勾股定理求出DE的长，再根据面积法求出的长即可.

【详解】(1)解：由题意，BA1CD,

...在Rt—ABC中，AB=ylBC2-AC2-

•.•3C=1300米，AC=500米，

AB=V13002-5002=1200(米)•

答：A,8两点的距离为1200米.

(2)•.•3E=400米，

:.AE=AB—3E=1200—400=800(米).

.•.在近△ADE中，DE=>jAE2+AD2-

AD=600米,

'DE=A/8002+6002=1000（米）.

AFLDE,

SL.AA.LnfFc,^-2AFDE=-2ADAE.

.yADAE600x800

..Ar—-----------=-------------=480（米）.

DE1000

答：玻璃廊桥AF的长为480米.

【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，面积法求垂线段的长，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

【考点七判断三边能否构成直角三角形】

例题：如图所示，已知ABC中，于。，AC=2,3C=1.5,DB=0.9.

(1)求CO的长；

(2)判断.ABC的形状，并说明理由.

【答案】⑴1.2

(2)直角三角形，理由见解析

【分析】(1)根据垂直定义可得/64=/83=90。，然后在RtBCD中，利用勾股定理进行计算即可解

答；

(2)先在中，利用勾股定理可求出AD的长，从而求出54的长，然后利用勾股定理的逆定理证

明，ABC是直角三角形，即可解答.

【详解】(1)解：CDLAB,

ZCDA=ZCDB=90°,

8c=1.5,£>3=0.9,

:.CD=y]BC2-DB2=V1.52-0.92=1.2,

，CD的长为1.2；

(2)AA5c是直角三角形，

理由：在Rt^CZM中，AC=2,CD=1.2,

AD=VAC2-co2=M-i爰=i.6>

AB=AD+BD=2.5,

AC2+BC2=4+2.25=6.25,AB2=625,

AC2+BC2=AB2,

：.ABC是直角三角形.

【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的

关键.

【变式训练】

1.如图，ADJ.BC,垂足为。，且AD=4,3D=8.点E从B点沿射线8C向右以2个单位/秒的速度匀

⑵当t=5时，判断的形状，并说明理由.

【答案】⑴当f=g时，AE=AF；

(2)_ABE是直角三角形，理由见解析

【分析】(1)根据题意可得：砥=2人再根据线段中点的定义可得=M==从而可得上=8-f,

DE=27,由等腰三角形的性质得=则建立方程即可解答；

(2)当7=5时，BE=2f=l。,DE=2,然后分别在放和®ADE中，利用勾股定理求出AB?和钻2,

最后利用勾股定理的逆定理证明.43E是直角三角形，即可解答.

【详解】(1)解：由题意得：BE=2t,

为BE的中点，

BF=EF=-BE=t,

2

VAD=4,BD=8,

：.DF=BD-BF=8-t,DE=BE-BD=2t-8,

VADIBC,AE=AF,

:.DE=DF,

即2t-8=8-tf

解得：f若,

,当仁与时，AE=AF;

(2)解：―ABE是直角三角形，

理由：当7=5时，BE=2t=10,

：.DE=BE—BD=10—8=2,

在RtAD3中，AB2=AD2+BD2=42+82=80,

在RjADE中，AE2=AD2+DE2=42+22=20,

AB2+AE2=100,BE2=102=100,

­■•AB2+AE2^BE2,

•••,ABE是直角三角形.

【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理，以及勾股定

理的逆定理是解题的关键.

2.已知°,6,(:满足卜一询+扬一105+25+卜-如『=0.

⑴求。，瓦C的值;

(2)试问以6,c为边能否构成直角三角形？请说明理由.

【答案】⑴a=2夜，b=5,c=3y[2

(2)不能构成直角三角形，见解析

【分析】(1)利用几个非负数的和为零，则每一个非负数都等于零，确定a,b,c的值即可；

(2)根据勾股定理得逆定理直接判断即可得解；

【详解】(1)vL-Vs|+yjb2-l0b+25+(c-V18)2=0,

a—y/s=0,(。-5)~=0,c—A/TS=0,

*'•a=2A/2>b=5,c=3A/2;

(2)：(2忘了+(30y?52,

不能构成直角三角形.

【点睛】本题主要考查非负数和为零的性质及勾股定理逆定理，熟练掌握非负数和为零的性质是解题的关

键.

【考点八在网格中判断直角三角形】

例题：如图，正方形网格的每个小方格边长均为1,ABC的顶点在格点上.

B

(1)直接写出AB=,BC=,AC=:

(2)判断..ABC的形状，并说明理由；

(3)直接写出AC边上的高=.

【答案】(1)如，2y/13,病

(2)ABC是直角三角形，理由见解析

⑶,朝

OJ

【分析】(1)利用勾股定理，进行计算即可解答；

(2)利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答;

(3)利用面积法，进行计算即可解答.

【详解】(1)解：由题意得：

AB=A/22+32=V13>

BC=A/42+62=2713，

AC=V82+12=A/65>

故答案为：y/13,2而，病；

(2)解：ABC是直角三角形，

理由："：AB2+BC2=65,AC?=65,

/.AB2+BC2=AC2,

.ABC是直角三角形；

(3)设AC边上的高为儿

Me的面积=LAC-/7='AB-BC,

22

・•・AC/i=ABBC,

A765/2=713x2^/13,

・・.〃二竺病，

65

故答案为：^A/65.

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的

关键.

【变式训练】

1.如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1,点A8,C,。均在格点上.

(1)求四边形A3CD的面积,

(2)/BCD是直角吗？为什么？

【答案】⑴言29

(2)是直角，理由见解析

【分析】(1)根据网格中图形，用大正方形面积减去四个顶点处的直角三角形面积和一个正方形面积即可

得到答案；

(2)由图，连接3D,分别在网格中利用勾股定理计算出三条线段长，利用勾股定理的逆定理验证即可得

到答案.

【详解】(1)解：由网格图可知，四边形ABCD的面积为5x5-；xlx5-|xlx4xlx2-；x2x4-l

29

=T;

(2)解：/BCD是直角，

理由如下：连接8。，如图所示:

/.BD2=32+42=25,BC2=22+42=20,CO2=l2+22=5,

BC2+CD2=BD-,

△BCD是直角三角形，N3CD是直角.

【点睛】本题考查网格中求四边形面积及勾股定理的逆定理判定直角三角形，掌握网格中求图形面积的方

法及网格中利用勾股定理求线段长的方法是解决问题的关键.

2.如图，在7x7网格中，每个小正方形的边长都为1,点4L3),C(2,l).

(1)建立平面直角坐标系；

(2)判断-ABC的形状，并说明理由；

(3)在x轴上找一点P,当PA+PC最小时，此时尸点坐标是.

【答案】(1)详见解析

(2)八4。3是直角三角形，详见解析

7

(3)(-,0)

【分析】(1)根据A、C两点坐标确定平面直角坐标系即可；

(2)根据勾股定理的逆定理判断即可；

(3)作点C关于x轴的对称点C',连接AC'交x轴于点尸，直线AC的解析式，可得点尸坐标.

【详解】(1)如图，平面直角坐标系如图所示：

⑵"AC=A/12+22=V5>BC=BC=A/22+42=2A/5>AB=A/32+42=5>

/.AC2+BC2=AB2,

：.ZAC3=90°,

〃酸是直角三角形;

（3）如图，点尸即为所求,

,/C(2,l),A(l,3),C'(2,-l),

k+b=3八,k=-4

设直线AC'的解析式为、=履+万，则有2-'解得:

。=7

直线AC'的解析式为y=Yx+7,

7

令尸。，可得X=“

7

【点睛】本题主要考查的是轴对称路径最短问题，勾股定理以及逆定理等知识，明确A、P、C'在一条直

线上时，私+PC有最小值是解题的关键.

【考点九利用勾股定理的逆定理求解】

例题：如图，在四边形A3CD中，AB^AD=5,ZA=60°,BC=13,CD=12.

(1)求/ADC的度数；

(2)四边形ABCD的面积为.

【答案】⑴150°

(2)”豆+30

4

【分析】(1)连接3D,根据已知先证明△ABD是等边三角形，从而可得3D=AD=6,WB=60。，再利

用勾股定理的逆定理证明△3CD是直角三角形，从而可得/3DC=90。，然后进行计算即可解答；

(2)过点8作垂足为E,利用等腰三角形的三线合一性质求出AE的长，从而利用勾股定理求

出血的长，然后根据四边形ABCQ的面积=AWD的面积+4瓦)。的面积，进行计算即可解答.

AB=AD=5,AA=60°,

・・・是等边三角形，

.\BD=AD=AB=5,ZADB=60°,

BC=13fCD=12,

:.CD2+BD2=BC2,

・・・△以»是直角三角形，

.\ZBDC=90°,

/.ZADC=ZADB+ZBDC=150°,

「.NA。。的度数为150。；

ABD是等边三角形,

:.AE=-AD=-,

22

BE=^AB2-AE2=->/3,

2

，四边形ABC。的面积=Z\ABD的面积+43DC的面积

=-ADBE+-BDDC

22

15i-1

=—x5x—V3+—xl2x5

222

=生6+30,

4

四边形ABC。的面积为学君+30.

【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及

等边三角形的判定与性质是解题的关键.

【变式训练】

1.如图，在，ABC中，点。是BC边上一点，连接AD.若AB=10,AC=17,BD=6,A£)=8求。C的

长.

【分析】根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，ZADB=ZADC=90°,再根据勾股定理求解即

可.

【详解】解：VAB=10,BD=6,AD=8,

AD2+BD2=AB2,

△AB。为直角三角形，ZADB=90°

：.ZADB=ZADC=90°,

CD=VAC2-AD2=is.

【点睛】此题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是通过勾股定理的逆定理得到△钿£>为

直角三角形.

2.如图，四边形45CD中，已知AB=1,BC=2,D4=3,DC=2,且NABC=90。.求四边形ABC。的

面积.

D

【答案】四边形ABCD的面积为1+君.

【分析】先在Rt^ABC中，利用勾股定理求出AC=7L然后再利用勾股定理的逆定理证明一ACD是直角

三角形，从而可得NACD=90。，最后根据四边形ABC。的面积=ABC的面积+4ACD的面积，进行计算即

可解答.

【详解】解：：ZABC=90。，AB=\,BC=2,

AC=yjAB2+BC2=+2?=75，

,**DA=3,DC=2,

/.AC2+C£>2=（^）2+22=9,AD2=32=9,

：.AC~+CD-=AD-,

_ACD是直角三角形，且NACg。。，

.••四边形ABC。的面积=.ABC的