抛物线解析-2025届高三数学一轮复习

抛物线

1.抛物线的定义

平面内与一定点尸和一条定直线/(P右/)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.氤F

叫做抛物线的焦点，直线/叫做抛物线的准线.

2.抛物线的几何性质

2222

标准方程y=2px(p〉。)y=-2px(p>0)x=2py(p>0)xX=-2py(p>0)

此w

图形rrv7p?

焦点坐标(争。)苫0)(0,j)(0苫)

准线方程xJ一yJ

2222

范围x>0x<0y>0yVO

附=为+”

焦半径\PF\=-X0+^-\PF\=-y0+^

对称性X轴y轴

顶点(0,0)

离心率e=l

1.抛物线丁=4x的焦点坐标是()

A.(0,2)B.(0,1)C.(2,0)D.(1,0)

【答案】D

2.已知抛物线的焦点E(a,0)(a<0),则抛物线的标准方程是()

A.y~~4axB.y2=2axC.y~--4tzxD.y2--2ax

【答案】A

3.过抛物线V=4x的焦点歹作直线交抛物线于A5,%)、5(%,%)两点，如果

X]+%=6,那么|=()

A.6B.8C.9D.10

【答案】B

【解析】由抛物线方程可知2P=4,得p=2.

/.|AB|=|AF|+|Z?F|=X]+%2+/>=6+2=8.

4.从抛物线y2=4x上一点尸引抛物线准线的垂线，垂足为M,且|PM|=5,设抛物线

的焦点为F，则APMF的面积为()

A.5B.10C.20D.^/15

【答案】B

【解析】根据题意得归⑼=与+勺

**•5—Xp+1,Xp=4,yp—±4.

•,.^=1M-|^|=1X5X4=10.

考点一抛物线的定义及运用

【例1】抛物线V=4x的焦点为尸，点P(x,y)为该抛物线上的动点，又已知点A(2,2)是

一个定点，贝+周的最小值是()

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

x=2fx=2

【解析】由I,，得〈L，

y~=4x[y=±2j2

•••20>2,.•.点A(2,2)在抛物线内部，

抛物线准线/:%=—1,如图，|「耳=|尸Q|,

.•.|B4|+|PF|=|B4|+|Pe|>|AB|=2+1=3,当且仅当A,P,Q三点共线时取等

号.

【方法技巧】与抛物线有关的最值问题的求解策略

(1)“看到准线想焦点，看到焦点想准线”；

(2)构造出“两点之间线段最短”，使问题得解.

【变式】已知点P在抛物线＞2=4%上，则点P到直线公4x—3y+6=0的距离和至U直线

的距离之和的最小值为()

3111

A-16B,y02D.3

【答案】C

【解析】•.•点P到直线4的距离等于点。

到抛物线焦点方(1,0)的距离，如图：

\PA\+\PB\^\PF\+\PB\,

••,|PF|+|PB|的最小值就为点尸(1,0)到直线4的距离.

；,(\PF\+\PB\)mm=^=2,故选C.

考点二抛物线的标准方程和几何性质

命题点1求抛物线的标准方程

【例2】已知抛物线的焦点在x轴上，其上一点P(-3,m)到焦点的距离为5,则抛物线的标

准方程为()

A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=4xD.y2=-4x

【答案】B

【解析】依题意得，3)=5,••・p=4.抛物线方程为/=—8x.

【方法技巧】求抛物线的标准方程的方法及流程

(1)方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p,所以只需一个条

件确定夕值即可.

(2)流程：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量.

【变式】过抛物线y2=2px(p>0)的焦点尸，且倾斜角为上的直线与抛物线交于A,3两

4

点，若弦AB的垂直平分线经过点(0,2),则p等于()

2244

A.—B.—C.—D.一

5353

【答案】c

【解析】直线A3的方程为y=

_P

22

由i一万，ny-2py-p=Qf

y2=2px(p>0)

设4&,%),8(%,%),AB的中点(%,%)，则为=上步=。，％o=%+5=；P，

•••弦AB的垂直平分线方程为y-p=-(x--p),

•.•弦A5的垂直平分线经过点(0,2),二？—p=二p=

命题点2抛物线的几何性质」

【例3】已知抛物线/=4x的焦点为尸，A、8为抛物线上两点，若A尸=3EB,。为

坐标原点，则AAOB的面积为()

n26

AA/3D8A/3r473

A.B.-----C.-----D.-----

3333

【答案】C

【解析】设4%,%),B(x2,y2),则="2=-4.

%=26%=-2百

或126•

■:AF=3FB,凶=—3y2，工<,

SAAOB=^\OF\-\yi-y2\=^xlx^=^-

考点二抛物线的标准方程和几何性质

命题点2抛物线的几何性质

方法技巧】抛物线焦点弦的几个常用结论

设AB是过抛物线V=2Px3>0）焦点尸的弦,

设4（无1，%）,5（无2，%），则

p2

⑴%[%；,=-

(2)\AB\=xx+x2+p=0—(。为直线AB的倾斜角).

sin23

]]2

⑶两十而为定值一.

P

（4）以A5为直径的圆与准线相切.

（5）以Ak或3下为直径的圆与y轴相切.

【变式】如图，设抛物线V=4x的焦点为尸，不经过焦点的直线上有三个不同的点A,3,C,

其中点A,3在抛物线上，点C在y轴上，则ABCF与AACE的面积之比是（）

|BF|-I|BF|2-I

B.J——L—

IMT

|BF|+I|BF|2+I

D.J——L——

|AF|+I|AF|"+1

S^BCx\BF\-1

【解析】CFB

S”AC4\AF\-1'

考点三直线与抛物线的综合问题

【例4]在直角坐标系x0y中，直线/：y=WwO）交y轴于点M,交抛物线C：

丁2=20叱°>0）于点。，M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点

（1）求阴；（2）除H以外，直线与C是否有其它公共点？说明理由.

|ON|

【解析】（1）如图，依题意M（OJ）,则P（h,f）,

2P

国直线ON的方程为丁=3》.

-t

y=PX

由.t，得V—2疗=0,

/=2Px

团H的纵坐标为2f,团色｝=也-=（1=2.

3耳卜|

【解析】（2）由（1）可知X的坐标为（工,2。，回直线的斜率左=土9='，

p2/2t

P

国直线MW的方程为y—/='x,即y='x+/.

"2t'2t

p

,y——x~\~t

由彳It,得:/9一4什+4厂9=0,

V=2Px

回该方程的判别式△=（-402-4x4/=0,

团除H以外，直线与C是没有其它公共点.

【方法技巧】直线与抛物线的位置关系解题策略

（1）直线与抛物线的位置关系，一般要用到根与系数的关系；

（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦

点，可直接使用公式|4即=%+/+〃；若不过焦点，则必须用弦长公式.

1.40,1）为抛物线好=2加5>0）上一点，则A到其焦点尸的距离为（A）

A.^/2H—1B.一3C.,x/s+1D.2

22

【解析】・・・4、历,1）为抛物线上一点，，

/.（V2）2=2夕xl,/.p=1.

...A到其焦点F的距离为1+e=3.

22

2.已知抛物线C的顶点是原点。，焦点歹在x轴的正半轴上，经过F的直线与抛物线C交

于A、3两点，如果。4・。8=—12,那么抛物线C的方程为（A）

A.x2=SyB.X2=4yC.y2=SxD.y2=4x

【解析】依题意抛物线方程为/=2px（p>0）,

设4（石,%）,3（%2，%），，%%=一。

2p2p4p~4

p=4,.•.抛物线。的方程为一=8〉.

3.已知/是抛物线/=4x的焦点，P是抛物线上一点，延长P尸交抛物线于点。，若

|P尸|=5,贝!1|。尸|=（B）

953

A.—B.—C.—D.2

842

【解析】••,|Pb|=Xp+勺Xp+1=5,

:.xp=4,）尸=±4,

72

yP-yQ=-p=-4，/.=±i，

ieri=%e+-|=|

4.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,3两点，交抛物线C的准线于£>,E两点，已知

|Aq=4后，|。国=2行，则抛物线C的焦点到准线的距离为（B）

A.2B.4C.6D.8

【解析】设抛物线为丁=2.（。〉0）,设圆的方程为必+丁2=/，

设A（x0,2夜），依题意，可得Ay

片+(20)2=/,^/-I2p2-64=O,夕2G

(2后)2=2p/

£rH6、

.•.(/—16)(p2+4)=0,p=4,.•.焦点至！I准线的距离』

4.

5.若抛物线V=4%上的点/到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是1—

【解析】\MF\=XM+1=10,故%=9.

6.若抛物线V=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是一：一

【解析】设直线A3的方程为％=〃、+1,

x=ny+lc

由，，得y2—4〃y—4=0.

k=4x

设4>1，%),3(%2，f2)»

由A尸=2必，得乂=—2%.

.(%+%=4〃卜%=4〃.J

〔%为=-41一2只=-44

取”=手，则%+%=0，%%=-4.

近5

：•玉+x2=+%)+2=1'

**•|=石+%2+p=2，

.,.弦A3中点到抛物线准线的距离为=(.

7.设抛物线C：9=©的焦点为尸，直线/过产且与C交于A,3两点.若|人同=3忸司,

求直线/的方程.

y=k(x-Y)y1

【解析】设直线/的方程为1),由,