人教版八年级数学上册常见几何模型解读与提分训练：全等模型-角平分线模型（原卷版）

专题06全等模型-角平分线模型

角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各

类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全

等模型作相应的总结，需学生反复掌握。

模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）

【模型解读与图示】

条件：如图1,。。为NAOB的角平分线、C4LQ4于点A时，过点C作C4,OB.

结论：CA=CB、AOAC^AOBC.

图1图2

常见模型1（直角三角形型）

条件：如图2,在AABC中，ZC=90°,AO为NCLB的角平分线，过点。作

结论：DC=DE、ADAC丝AQ4E.（当AABC是等腰直角三角形时，还有AB=AC+CD.）

图3

常见模型2（邻等对补型）

条件：如图3,0c是/COB的角平分线，AC=BC,过点C作CD_LOA、CELOB.

结论：①ZfitM+4CB=180。；②AD=BE；®OA=OB+2AD.

例L（2023秋•山东荷泽•八年级统考期末）如图，在,.ABC中，按以下步骤作图:

①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、BC于点、D、E.

②分别以点。、E为圆心，大于goE的长为半径作弧，两弧交于点孔

③作射线所交AC于点G.如果AB=8,BC=U,ABG的面积为18,则一CBG的面积为（）

9

A.20B.36C.27D.-

2

例2.（2023春•山东泰安•七年级统考期末）如图，ABC的外角/ACD的平分线CP与内角/ABC的平分

线BP交与点、P,若N3PC=40。，则/C4P=（）

A.45°B.60°C.50°D.55°

例3.（2023秋•浙江•八年级专题练习）如图，四边形ABDC中，ZD=ZABD=90°,点。为3D的中点,

且OA平分N3AC.⑴求证：OC平分NACD；⑵求证：CM_LOC；⑶求证：AB+CD=AC.

例4.（2023春•浙江•八年级专题练习）已知点C是回MAN平分线上一点，SBC。的两边CB、C。分别与射

线AM、AN相交于。两点，且财BC+a4Z）C=180。.过点C作C砸AB,垂足为E.（1）如图1,当点E

在线段AB上时，求证：BC=DC；（2）如图2,当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AO与BE

之间的等量关系；（3）如图3,在（2）的条件下，若回MAN=60。，连接BD,作0A8D的平分线2尸交A。

于点八交AC于点。，连接。。并延长交A3于点G.若BG=\,DF=2,求线段的长.

模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）

【模型解读与图示】

条件：如图1,0c为NAOB的角平分线，AB±OC,

结论：△AOC名△BOC,AOIB.是等腰三角形、。。是三线合一等。

条件：如图2,5E为NABC的角平分线，BEYEC,延长54,CE交于点E

结论：△2EC丝△BERAB/P一是等腰三角形、BE是三线合一等。

例L（2023•浙江宁波•八年级校考期中）如图，回ABC的面积为16,回PBC与I3PAB互余，API3BP,贝胆IPBC的

面积

A

例2.（2022•绵阳市•九年级期中）在EIABC中，AB=AC,1354c=90,2。平分IBABC交AC于点D

（1）如图1,点尸为BC上一点，连接A歹交8。于点E.若凡求证：8。垂直平分AF.

（2）如图2,CESBD,垂足E在8。的延长线上.试判断线段CE和8。的数量关系，并说明理由.

（3）如图3,点尸为BC上一点，0EFC=10ABC,CE3£F,垂足为E,班'与AC交于点直接写出线段

CE与线段的数量关系.

例3.（2022秋・河南信阳•八年级统考期末）情景观察：如图1,回ABC中，AB=AC,I3BAC=45°,CD0AB,AE0BC,

垂足分别为D、E,CD与AE交于点F.

①写出图1中所有的全等三角形；②线段AF与线段CE的数量关系是,并写出证明过程.

问题探究：如图2,13ABe中，回BAC=45°,AB=BC,AD平分EIBAC,ADHCD,垂足为D,AD与BC交于点E.

求证：AE=2CD.

图2

模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）

【模型解读与图示】

条件：如图，。。为NAOB的角平分线，A为任意一点，在08上截取03=Q4,连结CB.

结论：AOACAOBC,CB=CA。

条件：如图，5E,CE分别为NA3C和NBCE的角平分线，AB//CD,在上截取5尸=A3,连结所.

结论：ABAE^ABFE,ACDE妾ACFE,AB+CD=BC.

例1.（2022秋・江苏•八年级专题练习）在a42c中，A。为0ABe的角平分线，点E是直线BC上的动点.

（1）如图1,当点E在CB的延长线上时，连接AE,若SE=48。，AE=AD=DC,则0ABe的度数为.

（2）如图2,AOAB,点尸在线段延长线上，比较AC+B尸与AB+CP之间的大小关系，并证明.

（3）连接AE,若回D4E=90。，0BAC=24",且满足AB+AC=EC,请求出0ACB的度数（要求：画图，写思

路，求出度数）.

A

A

例2.（2023•浙江•九年级专题练习）如图，在一ABC中，AB=AC,ZA=100°,8。是—ABC的平分线,

延长8。至点E,DE=AD,试求NEC4的度数.

例3.（2023秋•全国•八年级专题练习）如图，在梯形ABC。中，AIXiBC,AE平分SBAD,BE平分0A2C,

且AE、BE交CD于点、E.试说明AO=AB-BC的理由.

例4.（2022・山东烟台•九年级期末）已知在工ABC中，满足NACB=2N3,

图1图2图3

⑴【问题解决】如图1,当/C=90。，AD为44c的角平分线时，在45上取一点E使得AE=AC,连接。E,

求证：AB=AC+CD.（2）【问题拓展】如图2,当/Cr90。，4。为ZBAC的角平分线时，在上取一点

E使得/1E=AC,连接DE,（1）中的结论还成立吗？若成立，请你证明：若不成立，请说明理由.

（3）【猜想证明】如图3,当AZ）为一ABC的外角平分线时，在54的延长线上取一点E使得AE=AC,连接DE,

线段AB、AC.。又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明.

课后专项训练

1.（2022春•江苏宿迁•七年级校考阶段练习）如图，"ACB中，ZACB=9O°,.ABC的角平分线AD、BE

相交于点P，过尸作尸尸，AD交BC的延长线于点尸，交AC于点则下列结论：①NAP3=135°;②

3

PF=PA；®AH+BD=AB；④S四边形ABOEu'SABP,其中正确的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

2.（2023春•广东深圳,八年级统考开学考试）如图，在/BC中，ZS4C=90°,AD是BC边上的高，BE是

—ABC的平分线，BE交AD于点F,下面说法：①NB4O=NC；②AE=AF；（3）ZCAD=2ZCBE；④

S谶cE=gBCAE.其中正确的说法有（）个.

A

A.1B.2C.3D.4

3.（2023春•山东威海•七年级统考期末）如图，在ABC中，ZABC=40°,NACB=80。，BD,CE分另U

是—ABC和NACB的角平分线，BD,CE交于点O,分别过点。作O暇，AB于点M,作ON，AC于点N.下

列结论：®ZBC>C=120°；②）OE=OD；（3）AM=AN；@EM=DN.其中正确的有（）

A

A.4个B.3个C.2个D.1个

4.（2023春・广东惠州•八年级校考开学考试）如图，在—AOB中，OC平分/AQB,OA>OB,

ZOAC+ZOBC=1SO°,则AC与8c之间的大小关系是（）

5.（2023春•陕西西安•七年级校考期末）如图，AB//CD,3尸和CP分别平分/ABC和NBCD,AD过点

尸且与AB垂直，若AD=6,BC=10,则BCP的面积为（）

A.15B.20C.30D.80

6.（2023春•山东泰安•七年级校考开学考试）如图，在一ABC中，3"AC交AC于点aC。平分NAC3交

BH于点D,DH=5,ABCD的面积为20,则BC的长为

7.（2023春•江苏苏州•七年级统考期末）如图，在，ABC中，A5=8cm,BC=6cm.以点8为圆心，任意

长为半径画弧，分别交A3、8c边于点。、E；再分别以。、E为圆心，大于;长为半径画弧，两弧

交于点尸；作射线8尸交AC边于点G.若，ABG的面积为20cm：则，CBG的面积为cm2.

8.（2023春・山东枣庄•八年级校联考阶段练习）如图所示，已知直线O尸平分/493且=求N1与

N2之间的关系并说明理由.

9.（2023•重庆•八年级专题练习）阅读与思考

下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问题

在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决.比如下面的题目

中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三

角形的性质解决问题.

例：如图1,。是一ABC内一点，且AD平分/54C,CDLAD,连接8。，若△ABD的面积为10,求ABC

的面积.

D

H

图I

该问题的解答过程如下：

解：如图2,过点8作府，CD交CO延长线于点V,CH、交于点E,

AD1CD,ZADC^ZADE=90°.

ZDAE=ADAC

在VADE和AWC中，＜AD=A。

ZADE=ZADC

:.AADE^AADC（依据1）

：.ED=CD（依据2）,5ABE=Smc，

SBDE=^DEBH,sB0c=；CDBH.

任务一：上述解答过程中的依据L依据2分别是

任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整；

应用：如图3,在_ABC中，/B4C=90。，AB^AC,BE平分/CBA交AC于点。，过点C作CE_L8D交

延长线于点£.若CE=6,求3£）的长.

H

图3

10.(2022秋•江苏•八年级专题练习)如图，0ABe中，AB=AC,0BAC=9O°,CD平分0ACB,B£0CD,垂

足E在CO的延长线上.求证：BE=gcD.

11.(2023春•江苏•七年级专题练习)如图，已知在四边形ABC。中，8。是NABC的平分线，AD=CD.2

求证：ZA+ZC=180°.

12.(2022秋・浙江•八年级专题练习)如图，已知B(-1,0),C(1,0),A为y轴正半轴上一点，点D

为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F,且回BDC=IBBAC.

(1)求证：I3ABD=I3ACD；(2)求证：AD平分EICDE；(3)若在点D运动的过程中，始终有DC=DA+DB,在

此过程中，EIBAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出EIBAC的度数.

13.（2023秋•浙江•八年级专题练习）如图，在四边形ABC。中，ABC£>,点£是BC的中点，DE平分

^ADC.求证：AE是的平分线.

14.（2023秋•浙江•八年级专题练习）如图，四边形ABC。中，ZB=NC=9O。，点E为BC的中点，且AE平

分N54D.⑴求证：DE平分NAZJC；⑵求证：AB+CD=AD.

15.（2022春・江西萍乡•八年级统考期中）已知。M是/AO3的平分线，点P是射线上一点，OP=3近,

点C、。分别在射线。4、上，连接PC、P£>.（1）如图①，当