人教版八年级数学下册专项复习：勾股定理（知识归纳+题型突破）（原卷版）

第十七章勾股定理（知识归纳+题型突破）

课标要求

1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法;

2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；

3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.

基础知识归纳

知识点一、勾股定理

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a，b,斜边长为c,那

么a2+b2=c2.

特别说明：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.

（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就

将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.

⑶理解勾股定理的一些变式：«2=c2-b2,〃2=。2—〃，c2=（a+b^-2ab.

知识点二、勾股定理的证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.

图⑴中染力及6=3+4=1+4,而，所以

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.

图⑵中£工/用de=（b-a）'+4x,所以c、/+户

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

S[+）+）

^CD=ABI-AB=2x-ab+-c2,所以a2+/=P

知识点三、勾股数

满足不定方程好+寸=z?的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x、Az为

三边长的三角形一定是直角三角形.

熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：

①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41...

如果。、b、c是勾股数，当f为正整数时，以ah初、cf为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.

特别说明：（1）附2—1,2n,rr+l是自然数）是直角三角形的三条边长；

（2）2H2+2H,2n+l,2n2+2n+l（〃是自然数）是直角三角形的三条边长；

（3）m2-n2,m2+n2,2mn（m＞n,m、几是自然数）是直角三角形的三条边长；

知识点四、勾股定理的逆定理

如果三角形的三条边长a，b,c,满足/+尸=02,那么这个三角形是直角三角形.

特别说明：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.

（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.

知识点五、如何判定一个三角形是否是直角三角形

（1）首先确定最大边（如c）.

（2）验证与/+〃是否具有相等关系.若c2=a2+〃，则4ABC是NC=90°的直角三角形；若

c21«2+b2,则4ABC不是直角三角形.

特别说明：当片+从＜02时，此三角形为钝角三角形；当片+片＞02时，此三角形为锐角三角形，其中。

为三角形的最大边.

知识点六、互逆命题

如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的

逆命题.

特别说明：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为

真命题，错误的命题我们称它为假命题.

重要题型

【考点一勾股树（数）问题】

例题：下列各组数中，是勾股数的是（）

A.2,3,4B.4,5,6C.5,12,13D.—,—，—

345

【变式训练】

1.我国是最早了解勾股定理的国家之一,它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中.下列各组

数中，是“勾股数”的是()

A.2,3,4B.4,5,6C.7,8,9D.6,8,10

2.下列各组数是勾股数的是()

A.a=0.3,b-0.4,c—0.5B.a=2,b=2,c=2A/2

C.a=4,b=5,c=6D.a=5,b=129c=13

【考点二用勾股定理解三角形】

例题：（2023上•河南南阳•八年级统考阶段练习）如图，在中，ZC=90°,4。是—BAC的平分线,

DE上AB于点、E,CD=4,BD=8,求BE的长.

【变式训练】

1.直角三角形的两直角边分别为6cm和8cm,则斜边上的高为cm.

2.长方形ABCD中，长AB=12,宽A£>=5,点P为直线8上一点，当△ACP为等腰三角形时，AP=

3.（2023上•浙江金华•八年级校考阶段练习）如图，在廿15c中，NC=90。，CD=3.6,BD=6.

(1)若N2=NB,求AC的长;

(2)若N1=N2,求AC的长.

【考点三以直角三角形三边为边长的图形面积】

例题：如图，以RtZVIBC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形.若=则图中阴影部分的面积

【变式训练】

1.如图，已知直角三角形ABC的周长为24,且阴影部分的面积为24,则斜边A3的长为

2.如图，“BC中，ZACB=90°,以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为岳，S2,S3,已知工=6,

【考点四勾股定理的证明方法】

例题:如图，将两个全等的直角三角形按照如下的位置摆放，使点A,E,。在同一条直线上，ZA=ZD=90°,

AE=CD=a,AB=ED=b,BE=CE=c.

B

(1)填空：ZBEC=。，根据三角形面积公式，可得A3EC的面积=；根据割补法，由梯形的面

积减去阴影部分的面积，可得ABEC的面积=.

(2)求证：a2+b2=c2.

【变式训练】

1.我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形(如图1)与中间的一个小正方形拼成

一个大正方形(如图2).

(1)利用图2正方形面积的等量关系得出直角三角形勾股的定理，该定理的结论用字母表示：

(2)用图1这样的两个直角三角形构造图3的图形，满足AE=3C=a,DE=AC=b,AD=AB=c,

ZAED=ZACB^90°,求证(1)中的定理结论;

(3)如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE=m,HG=n,求正方形8。砌的面积.(用机，n

表示)

【考点五勾股定理的实际应用】

例题：如图，一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端A距地面的垂直高度为8米，梯子的顶端下滑2

米后到达E点，底端也水平滑动2米吗？试说明理由.

【变式训练】

1.学过《勾股定理》后，李老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆A8高度，得到如下信息：①

测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1）；②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子

的手到地面的距离CZ）为1米，至辘杆的距离CE为9米（如图2）.根据以上信息，求旗杆A3的高度.

2.如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船.河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E,

同时小船从A移动到2,且绳长始终保持不变.回答下列问题:

⑵若b=8米，AF=15米，AB=9米，求小男孩需向右移动的距离.

3.台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的

破坏力.如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点8与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为

一海港，且点C与A,B两点的距离分别为300加1、400km,且NACB=90。，过点C作CELAB于点E,以

台风中心为圆心，半径为260万w的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为25b7?//z.

(1)求监测点A与监测点B之间的距离；

(2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？若不受影响，请说明

理由.

4.如图，是一块长、宽、高分别是6cm,4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A

处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点8处吃食物，那么它需要爬行的最短路径是多少？

B

【考点六用勾股定理构造图形解决问题】

例题：木工师傅为了让直尺经久耐用，常常在直尺的直角顶点与斜边之间加一根小木条，如左图所示，右

图为其示意图.若/84C=90。，线段A3的长为15c7外线段AC的长为20cm,试求出小木条AO的最短长

度.

直角顶点直角边

直

角

边

【变式训练】

1.现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，已知消防车高3m,云梯最多只能伸长到10m,

救人时云梯伸至最长如图，云梯先在A处完成从9m高处救人后，然后前进到8处从12m高处救人.

（2）①求消防车在A处离楼房的距离（AD的长度）；

②求消防车两次救援移动的距离（AB的长度）.（精确到0.1m,参考数据73»1.73,3.16,4.36）

2.如图，城心公园的著名景点8在大门A的正北方向，游客可以从大门A沿正西方向行至景点C,然后

沿笔直的赏花步道到达景点B；也可以从大门A沿正东方向行至景点D,然后沿笔直的临湖步道到达大门A

的正北方的景点E,继续沿正北方向行至景点8（点C,DE在同一平面内），其中AC=500米，3c=1300

米，40=600米，鹿=400米.

（1）求A,2两点的距离；

（2）为增强游客的浏览体验，提升公园品质，将从大门A修建一条笔直的玻璃廊桥AF与临湖步道。E交汇于

点F,且玻璃廊桥AF垂直于临湖步道。E,求玻璃廊桥AF的长.

【考点七判断三边能否构成直角三角形】

例题：如图所示，已知中，CD_LAB于。，AC=2,BC=1.5,DB=0.9.

⑴求8的长；

(2)判断&4BC的形状，并说明理由.

【变式训练】

1.如图，AD±BC,垂足为且AD=4,应＞=8.点E从8点沿射线BC向右以2个单位/秒的速度匀

速运动，尸为防的中点，连接AE、AF,设点E运动的时间为人

⑴当f为何值时，AE=AF；

⑵当7=5时，判断的形状，并说明理由.

2.已知4,.0满足卜一码+扬一105+25+卜-炳『=0.

⑴求a,b,c的值;

(2)试问以"c为边能否构成直角三角形？请说明理由.

【考点八在网格中判断直角三角形】

例题：如图，正方形网格的每个小方格边长均为1,AABC的顶点在格点上.

(1)直接写出AB=，BC=，AC=

(2)判断的形状，并说明理由；

(3)直接写出AC边上的高=.

【变式训练】

1.如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1,点均在格点上.

⑴求四边形ABCD的面积，

(2)/38是直角吗？为什么？

2.如图，在7x7网格中，每个小正方形的边长都为1,点41,3),C(2,l).

(1)建立平面直角坐标系；

(2)判断AABC的形状，并说明理由；

(3)在x轴上找一点P,当B4+PC最小时，此时尸点坐标是

【考点九利用勾股定理的逆定理求解】

例题：如图，在四边形A8CD中，AB=AD=5,ZA=60°,BC=13,CD=12.

(1)求—ADC的度数;

(2)四边形ABC。的面积为

【变式训练】

1.如图，在AABC中，点。是边上一点，连接AO.若AB=10,AC=17,BD=6,AD=8求。C的

长.

A

2.如图，四边形ABCD中