幂函数与二次函数（解析版）-2025版高中数学一轮复习

专题09基函数与二次函数（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................3

【考点突破】................................................................6

【考点1】募函数的图象和性质................................................6

【考点2】求二次函数的解析式................................................9

【考点3］二次函数的图象与性质..............................................13

【分层检测】...............................................................18

【基础篇】.................................................................18

【能力篇】.................................................................25

【培优篇】.................................................................27

考试要求：

11A

1.了解寨函数的概念；结合函数^=》，y=x2,y=x3,y=^,y=-的图象，了解它们的变化情

1

况；

2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.

,知识梳理

L幕函数

(1)募函数的定义

一般地，函数叫做幕函数,其中x是自变量，a是常数.

(2)常见的五种募函数的图象

⑶累函数的性质

①募函数在(0,+8)上都有定义；

②当a>0时，幕函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+8)上单调递增;

③当a<0时，幕函数的图象都过点(1,1),且在(0,+8)上单调递减.

2.二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

一般式：=ax1+bx+c(aW0).

顶点式：Xx)=a(x—m)2+w(a0),顶点坐标为〃).

零点式：义x)=a(x—xi)(x—X2)(aW0),xi,双为的零点.

(2)二次函数的图象和性质

y=ax1-\-bx+cy=ax2+bx~\-c

函数

(a>0)(a〈0)

1J

图象

A

(抛物线)

定义域R

4ac~b2,][—oo4ac—/72

值域,+°°

_4aJ4a—

b

对称轴x=―

_2gL

2

顶点fb4a。一b]

\^2a~4aJ

坐标

奇偶性当6=0时是偶函数，当bWO时是非奇非偶函数

在I上是减函数；在I8,-乙上是增函数；

单调性

在T，+8）上是增函数）上是减函数

在七十8

常用结论

1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.

2.若义x）=ax2+bx+c（a#0）,则当时，恒有人x）>0；当J"<°'时，恒有於）<0.

U<0U<0

3.（1）嘉函数中，a的取值影响募函数的定义域、图象及性质；

（2）寨函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限.

*真题自测

1.（2023•全国•高考真题）设函数〃x）=2、（i）在区间（0,1）上单调递减，贝匹的取值范围是（）

A.(-oo,-2]B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,+co)

22

2.（2021・全国・高考真题）设B是椭圆C:=+乌=l（a>6>0）的上顶点,若C上的任意一点尸都满足|P5区2b,

ab

则。的离心率的取值范围是（）

A.B.P1C.D.

3.（2023•天津•高考真题）^tz=l.Ol°-5,Z)=l.Olo-6,c=O.60-5,则a,6,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

0.7

C=log1,则()

4.（2022・天津•高考真题）已知°=2防，b2

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

二、填空题

2

5.（2020•江苏・高考真题）已知y=/（x）是奇函数，当x>o时,=#,则H-8)的值是.

三、解答题

3

6.（23-24高一下•上海•期中）已知事函数/（x）=y"J*3（加eZ）为奇函数，且在区间（0,+“）上是严格减函

⑴求函数y=f（x）的表达式；

（2）对任意实数xe；/，不等式/（x）W/+4*恒成立，求实数f的取值范围.

参考答案：

1.D

【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.

【详解】函数>=2、在R上单调递增，而函数/（%）=2心一“）在区间（0,1）上单调递减，

2

则有函数>=X。-“）=（尸|）2一?在区间（0,1）上单调递减，因此］n,1,解得/2,

所以。的取值范围是［2,+8）.

故选：D

2.C

【分析】设一（知九），由8（0,6）,根据两点间的距离公式表示出\PB\,分类讨论求出I尸邳的最大值，再

构建齐次不等式，解出即可.

【详解】设一（知儿），由巩08），因为4+4=1-a2=b2+c2,所以

ab

222

|阳=君+（%_6『=/（1一条］+（%叫2+|y+a+Z>>

因为当-上工外，即b2>c2^,IM=4氏即附|=乃，符合题意，由可得

vIImax1imax

即0<eV①；

2

当上>-b,即从<02时，俨砰=4+/+凡即?+/+62<4/,化简得，（c2-b2^<Q,显然该不

C21叱c2c2V7

等式不成立.

故选：C.

【点睛】本题解题关键是如何求出|尸目的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函

数的单调性从而确定最值.

4

3.D

【分析】根据对应幕、指数函数的单调性判断大小关系即可.

【详解】由歹=1.01、在R上递增，则〃=1.01°5<b=1.01°・6,

由歹=x0-5在[0,+8)上递增，则Q=1.010-5>c=O.605.

所以b〉〃>c.

故选：D

4.C

【分析】利用基函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出。、b.。的大小关系.

【详解】因为>0=log21>log2,故a〉6〉c.

故答案为：C.

5.-4

【分析】先求”8),再根据奇函数求/(-8)

2

【详解】/(8)=8§=4,因为“力为奇函数，所以/(—8)=—/(8)=-4

故答案为：-4

【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.

6.(1)/(x)=x~3

(2)[6,+功.

【分析】(1)根据在区间(0,+8)上是严格减函数可得冽2一2冽-3<0,解不等式可得整数加的值，检验是否

符合奇函数即可；

(2)对任意实数不等式的广3-4、恒成立，而g(x)=l-4"在上为减函数，由此可得解.

【详解】(1)依题意〃x)为奇函数，在区间(0,+功上是严格减函数，

可得冽2—2加一3<0，解得T〈加<3,

由于加EZ,故加=0,1,2,

当加=0和加=2时，m2-2m-3=-3,此时/(%)=x"为奇函数，符合要求，

当机=1时，m2-2m-3=-4,此时/(%)=一为偶函数，不符合要求，

/W=X-3；

5

(2)不等式/(x)±+41即此/_4、，

乂/(x)=x-3在(0,+8)上是减函数，>=4"在R上为增函数，则g(x)=x-3-4、在［g,l］上为减函数,

所以g(x)1mx=g(；)=6,则此6,

所以实数/的取值范围为叵+8).

i考点突破

【考点1】幕函数的图象和性质

一、单选题

1.(2024・四川成都•模拟预测)设命题P：加eR,使〃x)=(冽+3是暴函数,且在(0,+司上单调递

减;命题4：,€(2,+8),2'>/,则下列命题为真的是()

A.。人(-1«)B.(~p)八qC.PMD.(rp)vq

2.(2022・上海黄浦•模拟预测)下列函数定义域为［0,+s)的是()

A.y=~B.y=luxC.y=y［xD.y=tanx

X

二、多选题

3.(20-21高三上•辽宁辽阳•期末)下列函数中是奇函数，且值域为R的有()

A./(x)=x3B./(x)=x+—

x

C./(x)=x+sinxD./(x)=x-5

4.(23-24高一上•贵州•阶段练习)现有4个幕函数的部分图象如图所示，则下列选项可能成立的是()

A.2=3,m=2,q=3,n=-3

B.2=4,加=3,q=(,n=-2

C.p=2,m=3,q=,〃=一3

11.1

D.p=~,m=二,q=-2,n=—

234

三、填空题

6

5.（2024・北京延庆•一模）已知函数/。）=》。（0＜。＜1）在区间（-1,0）上单调递减，则a的一个取值为.

6.（2022・全国•模拟预测）若幕函数＞=（/-。-5卜。的图像关于y轴对称，则实数。=.

参考答案：

1.A

【分析】根据特称命题与全称命题判断命题p，q的真假，从而可得"或"、"且"、"非"命题的真假得结论.

【详解】对于命题乙当m=2时，函数"X）=X：是嘉函数，且在（0,+8）上单调递减，故命题P为真命

题；

对于命题]，当x=3时，23＜32,不满足Vre（2,+e）,2，＞/,故命题4为假命题.

所以“p人为真命题，"（"）人q"为假命题，"P人"为假命题，"（力卜4"为假命题.

故选：A.

2.C

【分析】根据反比例函数、对数函数、幕函数、正切函数的定义域逐一判断即可得解.

【详解】解：对于A,函数的定义域为（-s,0）U（0,+s）,

对于B,函数的定义域为（0,+e）,

对于C,函数的定义域为[0,+8）,

对于D,函数的定义域为，+左再左ez1.

故选：C.

3.AC

【分析】根据奇函数的定义判断四个函数的奇偶性，并求出值域可得答案.

【详解】对于A,因为〃一刈=（-刈3=-;？=一/。），所以〃x）=d是奇函数，且值域为R,故A正确；

对于B,因为/（_才）=-》+,=-/"）,所以为奇函数，但值域为（-s,-2]U[2,+s）,故B不正确；

—X

对于C,因为/（-x）=-x+sin（-x）=-x-sinx=-/（x）,所以为奇函数，且且值域为R,故C正确；

对于D,因为f（-x）=（-尤）7=_婷=_/（无）,所以/（x）为奇函数，但是值域为（-叫0）U（0,+s）.故D不正确.

故选：AC

4.AB

【分析】

根据幕函数的图象和性质结合已知图象分析判断即可.

7

【详解】对于幕函数y=无"，若函数在(0,+。)上单调递增，则a>0,若函数在(0,+/)上单调递减，则a<0,

所以"<0,D选项错误；

当x>l时，若y=的图象在了的上方，则a>l,若y=x°■的图象在y=x的下方，则夕<1,

所以p>l,加>l,O<q<l,C选项错误；

因为当x>l时，指数越大，图象越高，所以？>机，

综上，p>m>l>q>O>n,AB选项正确.

故选：AB

5.j(不唯一)

【分析】根据幕函数的单调性奇偶性即可得解.

【详解】因为/。)=/(0<。<1)在(0,+s)上单调递增，又〃x)在区间(-1,0)上单调递减，

2

所以/(%)可以为偶函数，不妨取a=],

2

此时八x)=P=正，函数定义域为XeR,

且/(-x)=(-x)3=«-x)2=f(x)>故〃x)=x3为偶函数，

满足在区间(-1,0)上单调递减.

故答案为：I(不唯一)

6.-2

【分析】根据募函数的概念和性质计算即可

【详解】由幕函数可得/-0-5=1,解得a=3或0=-2,

又因为函数图像关于夕轴对称，则a为偶数，所以。=-2.

故答案为：-2

反思提升：

(1)第函数的形式是〉=y3©11),其中只有一个参数a,因此只需一个条件即可确定其解析式.

(2)在区间(0,1)上，露函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1,

+8)上，幕函数中指数越大，函数图象越远离x轴.

⑶在比较赛值的大小时，必须结合露值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，

准确掌握各个赛函数的图象和性质是解题的关键.

【考点2】求二次函数的解析式

一、单选题

1.(2024・陕西•模拟预测)设函数/(X)的定义域为R,且/(—X+l)=—/(x+l)J(x+2)=/(—x+2),当

8

xe[O,l]时，/(x)=2x2+6x+c,/(3)-/(2)=6,则6+c=()

A.-4B.-3C.1D.-2

2.(2024•全国•模拟预测)已知二次函数/(x)满足对于任意的x/eR,/(x)/。)=/(盯),且/⑵=4.

若/(°+4)+/(4)=1，则/+2/的最大值与最小值之和是()

A.4+272B.2A/2C.4D.41

二、多选题

3.(2023•河北沧州•三模)已知二次函数g(x)满足g(x-4)=g(2-x),g(x)>x；当xe(0,2)时，

8(尤)4(苫口2.函数[。)的定义域为区，y=/(x)+e*是奇函数，y=/(x)-3e工是偶函数，e为自然对数的

底数，贝I()

A.函数g(x)的最小值为0

B.40)=1

C./(g(x))2-l

D.函数/(x)的导函数尸(x)的最小值为2a

4.(2023・全国•模拟预测)已知二次函数/(尤)满足对于任意的xjeRJ(x)/3)=/3)且/■⑵=4.若

〃P+4)+/(q)=l,则下列说法正确的是C)

A.p+1q>-\B.p+2q<y[l

C.p2+2q2<2-42D.p2+2q2<2+42

三、填空题

2

5.(21-22高二下•重庆沙坪坝•期末)已知函数〃x)=ax+bx+c(a^Q)的图象关于V轴对称,且与直线V=x

相切，写出满足上述条件的一个函数/(无)=.

参考答案：

1.D

【分析】根据题意，通过赋值法求得/(l)J仅),/(3),即可联立方程解出仇c.

【详解】由题意可得/(一x+l)=-f(x+l)①；〃x+2)=/(-x+2)②.

令x=l,由①得：/(0)=-/(2)=c,

9

令x=l,由②得〃3)=〃l)=2+b+c,因为/(3)-〃2)=6,

所以2+6+c+c=6,即6+2c=4.

令x=0,由①得/⑴=-/⑴n/⑴=0n2+b+c=0,

解得b=-8,c=6,所以b+c=-2.

故选：D.

2.C

【分析】设/■(》)=办2+法+。(。工0),根据题意求得了(x)=Y,由〃°+4)+〃4)=1得到(0+方+丁=1,

设p+q=cos。，q=sin。，即0=cosO-sin。，q=sin6,利用三角函数的性质求最大值最小值即可.

【详解】设/(x)=ax?+6x+c(aw0),

因为/(x)/(y)=/(9),令k0,得〃x)/(o)=/(o),故〃0)=0,所以c=o,

令>=1,得〃x)〃l)=/(x),故/⑴=1,即a+b=l,

又/⑵=4,即4a+26=4,故a=l,6=0,所以/(x)=d,

由/(0+4)+/(4)=1，得(p+q『+q2=l,设0+q=cos6,q=sind,即。=cosO-sin。，q=sm9,

贝(Ip2+2q2=(cossin0)2+2sin29=l-2sin0cos0+2sin26=1—sin26+(1—cos20

=2-sin20-cos16=2-V2sin^20+e12-亚,2+亚］,

所以p2+2q2的最大值与最小值之和为2+夜+2-后=4，

故选：C

3.ACD

【分析】设g(x)=/+bx+c("0),根据已知条件求出。、b、C的值，可得出函数g(x)的解析式，利用二

次函数的基本性质可判断A选项；利用函数奇偶性的定义可得出关于「(X)、的等式组，求出〃x)的

解析式，求出/(0)的值，可判断B选项；利用函数的最值与导数的关系可判断C选项；利用基本不等式求

出/''(》)的最小值，可判断D选项.

【详解】设g(x)=ax2+bx+c(aw0),

由g(x-4)=g(2-x)知函数g(x)的图象关于直线x=-l对称，

即一2=_1,解得6=2°.

2a

10

因为g(x)Nx,由题意可得g(l)21,

当xe(0,2)时，g(x)qUj,贝Ug⑴41,

所以g⑴=1，故Q+6+C=1,即。=1一3”,

所以g(x)-a/+2ax+l-3a(”w0).

又g(x"x恒成立，即分2+(2〃—1)%+1一3心0恒成立，

〃>0伽>01

于是As八2,八。、八，整理可得小.27解得”:，

△=(2“-1)-4Q(1-3Q)«0<04

所以，83=52+3+^=^^+1)2,则g(x)min=g(T)=0,

因此，函数g(x)的最小值为0,A正确；

因为函数了=/(x)+e*为奇函数，则〃-工)+/=-/(x)-e*,①

又因为函数y=/(x)-3e，为偶函数,则〃r)-3尸=〃x)-3e为②

联立①②可得〃x)=e'-2eT,于是，/(0)=-1,B错误;

于是，/,(x)=eJ+2e->0,即/'(x)在R上单调递增.

注意到g(x)20,从而/(g(x)"〃0)=-1,C正确；

由基本不等式可得/'(x)=e*+2eT22后・2尸=2段,当且仅当f=2「时，

即当x=；ln2时，等号成立，故函数/'(x)的最小值为2后，D正确，

故选：ACD.

4.BD

【分析】设/(月=尔+乐+。(y0),根据题意，求得/(力=尤2,由〃P+q)+/(4)=l,得到(〃+«)2+丁=1,

设0+q=cose,q=sin6,得到。=cosO-sindq=sin。，结合三角函数的性质，逐项计算，即可求解.

【详解】设二次函数/(x)="+法+c(aw0),

因为/(x)/(y)=/(9),令尸0,可得/(x)/(o)=/(o),故/(0)=0,所以c=0,

令J=l,得/(X)/⑴=〃尤)，故/(1)=1,即0+6=1；

又因为/(2)=4,即4a+26=4,解得。=1,6=0,所以/(无)=*,

11

由/（。+4）+/（«）=1，可得（p+q『+«2=1,

设夕+夕=cos3,q=sin3,即2=cos0-sin0.q=sin0,

从而2+24=以)5。+$也。=仆5m]。5)4々^；/^,故A错误，B正确；

又由p2+2q2=(cos0-sin3^+2sin2^=l-2sin^cos^+2sin2e=l-sin2e+(l-cos2。)

=2-sin28-cos29=2—后sin(2e+1]e[2-后,2+板],所以c错误、D正确.

故选：BD.

5.无2+!(答案不唯一)

4

【分析】由已知得到函数的对称轴方程，从而得到6=0,由了=分2+加+°与了=无联立方程消去了整理成x

的一元二次方程，由A=0得到。、c的关系，分别取值写出函数即可.

【详解】已知/(x)=ax2+6x+c(aw0),

••"(X)的图象关于.y轴对称，

二对称轴工=-■—=0,b=0,

2a

f(x)=ax1+c,

(y—a12+c

联立《，整理得办2+C=%,即〃%2_%+。=0,

；/(x)的图象与直线V=X相切，

A=1-4ac=0,ac=—,

4

当4=1时，C=—.

4

•••满足条件的二次函数可以为〃x)=*+：.

故答案为：.

4

反思提升：

求二次函数解析式的方法

---[三点坐标)----------A|选用一般式]

d顶点坐标b

(已知卜—■(对称轴选用顶点式)

U最大(小)值V

--1与％轴两交点坐标)-T选用零点式)

12

【考点3]二次函数的图象与性质

一、单选题

1.（2024・全国•模拟预测）已知函数〃x）=log“（*-ax+l）在区间上有最大值或最小值，则实数。的

取值范围为（）

A.\,2）B.&JU（1,2）C.1,"（1,4）D.\JU（L2）

2.（2023•广东韶关•模拟预测）已知方程x+5+lnx=0和尤+5+6'=0的解分别是0和尸，则函数

〃x）=（x+a）（x+/?）的单调递减区间是（）

A.B.g+s]C.（-oo,5]D.[5,+co）

二、多选题

3.（2023・湖南株洲•一模）已知sinl5。是函数/（x）=的/+qx+叫为%,%旬eZg4°）的

零点，则下列说法正确的是（）

A.■|£=16B./（cosl5°）=0

C.7（-%）=/（%）D./（尤）mJ-3

4.（2024・河南信阳•模拟预测）若函数（加—2卜+1|在-g]上单调，则实数加的值可以为（）

15

A.—1B.—C.-D.3

22

三、填空题

5.（23-24高三下•福建•开学考试）已知函数/（"=k（"一：）「I"〈"的值域为R,则实数。的取值范围

\x-2a\-2,x>a

为.

6.（23-24高三下•青海西宁•开学考试）已知函数/。）=咆1+0尤+1）在区间（-8,-2）上单调递减，则°的

取值范围为.

参考答案：

1.B

【分析】根据了=/-。尤+1开口向上，故需y=x2-°x+l在区间\,2）上有最小值，且y>0,从而得到不

等式，求出答案.

【详解】要使函数1（x）在区间2）上有最大值或最小值，

由于-QX+1开口向上，

故需函数y=/-依+1在区间上有最小值，且y>0.

13

。＞0

qw1

1a-

该函数图像的对称轴为直线'=所以—＜—＜2

42

2

-a--+\＞0

2

a〉0

owl

解得弓＜。＜4,

—2＜。＜2

所以g＜a＜2,且g1,即实数0的取值范围为]g,lju(l,2).

故选：B.

2.A

【分析】根据给定条件，利用互为反函数的函数图象特征求出。+尸即可作答.

【详解】方程x+5+lnx=0和x+5+e"=0依次化为：lnx=—x—5和e"=-'一5,

因此。和月分别是直线尸-x-5与曲线y=lnx和y=e、的交点横坐标，

而函数＞=lnx和y=e、互为反函数，它们的图象关于直线＞=%对称，

又直线＞=-%-5垂直于直线〉二%,因此直线＞=-%-5与曲线y=lnx和＞=炉的交点关于直线＞=%对称,

于是。+分二-5,函数/(x)=产+(a+/3)x+a/3=x1-5x+a(3,

所以函数/(X)的单调递减区间是(一'g].

故选：A

3.ABC

【分析】设sin15。=%,由16片一16.+1=0可得〃x)=16“-16aly+4,再根据选项依次判断正误即可.

【详解】设sin15。=sin(45。-3伊)=戈丁=x0

4x^-2=-V3,（4X：_2）2=3,

即16x：-16x：+l=0,

所以要使x。为系数都是整数的整式方程的根，则方程必须包含因式16/一16^+1.

432

由f(x)=a4x+a3x+a2x+atx+a0中x的最高次数为4,sin15。是它的一个零点，

4242

因止匕/(x)=+。3/+。2炉+%x+a0-a0(16X-16X+1)=16Z0X-16Z0X七0,

Bp。4—16。0,。3—0,a2=—16。0,a1—0,

14

对A选项，—=---^=16,是正确的；

4o22

对B选项，/(cosl5°)=fl0(16cos15-16cos15°+l)=a0^cos150-2)-3cos30013,是

正确的；

对C选项，/(-x)=16%(-x)4_]6%(-x)2+4=]6/%4―167f+%=/(x),是正确的;

42

对D选项，/(x)=16a0x-16a0x=a0|"(4r--3,当旬>0时，/(x)最小值为-3旬，当旬<0时,

/(X)无最小值，因此D选项是错误的.

故选：ABC.

【点睛】关键点睛：本题解题关键在于将含有无理数的平方根式通过两次平方化成有理数，得到含有无理

数解的有理数整式方程，从而得解.

4.BD

【分析】分别讨论AV0和A>0两种情况，结合二次函数的图像分析，即可得到答案.

【详解】①当A=(优-2--4W0,即0W/wV4时，=产—(机―2)x+]=x?—(〃?—2)x+l,所以/(x)的

结合图象可知，要使函数/(力=卜2-(%-2卜+1|在上单调，则产上：或产vj,解得：能与

乙乙乙乙乙乙

或加£1,即3WMW4或0V加«1；

②当A=(加一2)2-4>0,即冽<0或加>4,4*Kx)=x2-(m-2)x+1,则〃(%)的对称轴为x=加？2，则〃(%)

结合图象可知，要使函数/(x)=,_(冽_2)x+l|在上单调,

15

,9、1

解得：4〈加W-,或——<m<0,

22

o1

综上：3<加<不或一一W加W1；

22

故选：BD

5.[-1,0）

【分析】

利用分段函数的值域是各段值域的并集，结合二次函数的单调性列不等式求解即可.

【详解】当时，

若x<。，可得

若x*,/（x）>-2,函数的值域不可能为R；

②当a<0时，2a<0,

所以函数/'（X）在（-叫。），[。,+8）上单调递增，

若函数/（X）的值域为R,只需向-2W-1,可得一l<a<o.

故答案为：[-1,0）

/5、

6.（-℃,-]

【分析】将/卜）=年（/+0尤+1）可看作由丁=坨","=/+°尤+1复合而成，根据复合函数的单调性，列出不

等式，即可求得答案.

【详解】设〃=/+办+1,则/（x）=lg（x2+ax+l）可看作由y=lg〃,u=x2+ax+1复合而成，

16

由于y=Igi/在（0,+◎上单调递增，

故要使得函数〃x）=1g（/+ax+1）在区间（-»,-2）上单调递减，

需满足u>0在区间（-叫-2）上恒成立，且〃=，+办+1在区间（一叫一2）上单调递减，

Q

----2-2勺

故2,解得

（-2）2+（-2）a+l>0

故。的取值范围为（-吗

（―00,—]

故答案为：2

反思提升：

1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个

点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一

开口”是指抛物线的开口方向.

2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.

3.闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和

中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.

4不等式恒成立求参数范围，一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，直接借

助于函数图象求最值.这两个思路，最后都是转化为求函数的最值问题.

分层检测

【基础篇】

一、单选题

1.（2011•辽宁沈阳•一模）已知函数/（无）=办2+bx+c,若a>b>c且a+6+c=0,则它的图象可能是（）

2.（2023高三上•江苏徐州•学业考试）己知幕函数〃x）=（川+2n-2卜"!在（0,+s）上单调递减，则实数机的

值为（）

A.-3B.-1C.3D.1

17

3.（2024•全国•模拟预测）若函数/（x）=,-（m-2）x+l|在上单调，则实数机的取值范围为（）

-19]「1JI-9-

A.—,1U3,—B.—,2U3,—

|_2」|_2」l_2」|_2」

-11「91「11「9-

C.--,1U3,—D.--,2U3,—

L2JL2j\_2]\_2]

4.（2023・全国•模拟预测）已知集合“=<x|y=xT],5={xGZ|x2<4）,则/cB的子集的个数为（）

A.1B.2C.4D.8

二、多选题

5.（2021•辽宁・模拟预测）已知函数x+"'X—（即/（x）=x2+卜-&,xeR）则（）

[x+尤一a,x>。

A.当a=0时，/（x）是偶函数B./（X）在区间上是增函数

C.设/（尤）最小值为N,则NV；D.方程/'（x）=l可能有2个解

6.（23-24高一上•浙江•期中）若实数为，%满足苫3-2』=尤3-3*2=1,则下列不等关系可能成立的是（）

A.xx<x2<x3B.x2<x3<xxC.x3<x2<D.x3<^<x2

7.（2024•全国•模拟预测）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的减函数的是（）

A./（x）=-3x5B.f（x）=T

?

C./（尤）=1D./（x）=-2x

三、填空题

8.（2023・上海闵行•一模）已知二次函数/（x）=ax2+x+a的值域为1-8卷,则函数g（x）=2*+。的值域

为.

9.（2023•广东珠海•模拟预测）已知函数/（无）=^+5-2》+1在区间[2,+8）上是增函数，则实数机的取值

范围是.

10.（2020・安徽蚌埠•三模）已知命题pHxeR,使得cos?x+sinx+1>/，若命题p是假命题，则实数m

的取值范围是.

四、解答题

11.（2023•山东—模）已知二次函数/（无）满足〃0）=-1,顶点为（1,-2）.

（1）求函数[（x）的解析式；

⑵若函数/（x）在区间T,4]上单调递增，求实数。的取值范围.

18

12.(21-22高一上•辽宁•阶段练习)已知幕函数f(x)=,2+2„7-2)/-7"eZ)的定义域为R，且在曲+⑹

上单调递增.

(1)求m的值；

(2)Vxe[l,2],不等式/■(x)-3x+2>0恒成立，求实数0的取值范围.

参考答案：

1.D

【分析】根据条件确定a>0,c<0,从而抛物线开口向上，/(0)=c<0,通过排除法得出选项.

【详解】由a>b>c且a+6+c=0,得。>0,c<0,

所以函数AX)是二次函数，图象开口向上，排除A,C；

又/(0)=c<0,所以排除B；只有D符合.

故选：D.

2.A

【分析】根据幕函数的定义，求得机=-3或加=1,结合幕函数的单调性，即可求解.

【详解】由函数〃x)=(仅2+2加-2卜为为幕函数，可得小+2相-2=1,

即川+2加-3=0,解得/=-3或m=1,

当加=-3时，函数〃司=尸在(0,+功上单调递减，符合题意；

当加=1时，函数/(》)=%在(0,+。)上单调递增，不符合题意.

故选：A.

3.C

【分析】由题意，根据二次函数的图象与性质建立不等式组，解之即可求解.

【详解】令g(x)=_r2-(m-2)尤+1,

1a

即实数m得取值范围为

故选：C.

4.B

19

【分析】化简集合45,求/C3,再确定其子集个数.

【详解】因为工=x\y=x>={x[x>0},B=xeZ|x2<4}={-1,0,1},

所以/C3={1},

所以有2个子集.

故选:B.

5.ABD

【分析】结合奇偶函数的定义和二次函数的性质逐一判断选项即可.

【详解】A：当°=0时，〃x)={K:,即“解=次+国,

所以/(一%)=(-+|*=/(x),所以/(X)是偶函数，故正确；

B：当xW。时，f{x)=x~-x+a,/(&)的对称轴为尤=；,开口向上，

此时/(X)在(g+℃)上是增函数，

当x>a时，f(x)=x2+x-a,/(x)的对称轴为尤=-g,开口向上，

此时/(X)在(g，+sj上是增函数，

综上，/0)在，■，+<»］上是增函数，故3正确；

C：当xW。时，/(x)mM=/(；)="；,

当x>a时，/(x)min=

因为不能确定。的大小，所以最小值N无法判断，故C错误；

D：令/(x)=l=>—工+。=1、X2+x-^z=1,

当a=011寸，〃幻={仁二，尸1有2个解，故。正确.

故选：ABD

6.ABC

【分析】将条件转化为*=3%=},在同一平面直角坐标系中作出函数y=2"y=3"y的函数图象,

判断他们与y=m有交点时横坐标的大小情况.

【详解】实数4，巧，£满足尤3-2*=工3-3'2=1,

H0,22=3'b=—,

如图在同一平面直角坐标系中作出函数y=2,，y=3"y=g的函数图象，再作直线卜=加,

x

变换7〃的值发现，A，矛2，3的大小关系可能为W<x2<xlfx3=x2<xI,x2<x3<xt,x2<x3=xltx2<xt<x3,

x2=xt<x3,X1<x2<x3,故A、B、C正确，D错误.

故选：ABC.

7.AD

【分析】由解析式直接判