人教版八年级数学上册压轴题专练：整式的乘法与因式分解压轴题考点训练（解析版）

第十四章整式的乘法与因式分解压轴题考点训练

评卷入得分

1./-（b-c）2有一个因式是q+b-c,则另一个因式为（）

A.a-b-cB.a+b+cC.a+b—cD.a—b+c

【答案】D

【分析】先因式分解，再确定另一因式.

【详解】解：a2-（b-c）2=（a-b+c）（a+b-c）,

团另一个因式为D.

【点睛】本题考查多项式因式分解，掌握因式分解方法是解题关键.

2.（2+1）（22+1）（24+1）……（22,,+1）=（）

A.24,,-1B.24n+lC.44,'-1D.44,,+1

【答案】A

【分析】先乘以（2-1）值不变，再利用平方差公式进行化简即可.

2n

【详解】（2+1）（22+1）04+1）……（2+l）

=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）……（2如+1）

=24n-l.

故选A.

【点睛】本题考查乘法公式的应用，熟练掌握并灵活运用平方差公式是解题关键.

3.已知a=2019%+2019,=2019%+2020,c=2019x+2021,则/+〃+c?一。6一℃一/7c

的值为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】根据a=2019%+2019,&=2019%+2020,c=2019x+2021分另U求出a-b、a-c、b-c

的值，然后利用完全平方公式将题目中的式子变形，即可完成.

【详解】回a=2019x+2019,Z?=2019%+2020,c=2019^+2021,

a-b=2019x+2019-2019x-2020=-1

a-c=2019x+2019-2019x-2021=-2

b-c=2019x+2020-2019%-2021=-l

+b2+C2—ab—ac—bc

=；（2。2+2b2+2c2-2ab—lac—26c）

——(Q?-2ab+/—2ac+c?+H-2bc+c2)

=g(a-6)2+g(a-c)2+g(Z?一eV

=；X(-1)2+gx(-2)2+；X(—1)2

=3

故选D

【点睛】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键.

4.已知当x=l时，代数式2加+36x+4值为6,那么当尤=-1时，代数式2/+3Z?x+4值为

()

A.2B.3C.-4D.-6

【答案】A

【分析】：把x=l代入代数式，得出关于a,b的关系式，再把》=-1代入，求出代数式的值.

【详解】解:把x=l代入代数式得，2a+3b+4=6,2a+3b=2,把x=-l代入得，2ax3+3te+4

=—2a—3b+4=-(2a+3b)+4=-2+4=2.

故选A.

【点睛】本题主要考查整体代入的思想，关键是代入x=l和代入x=-l是得到的代数式的关

系，利用整体带入的思想解决问题.

5.已知仅一2015)2+仅一2017)2=34,则仅一2016)2的值是()

A.4B.8C.12D.16

【答案】D

【详解】(x-2015)2+(x—2017)2

=(x-2016+l)2+(x-2016-1)2

=(无一2016)2+2(无一2016)+1+0-2016)2-2(x-2016)+l

=20-2016)2+2=34

EI(X-2016)2=16

故选D.

点睛：本题主要考查了完全平方公式的应用，把仅一2015)2+仅一2017)2化为(x-2016+l)2

+(x-2016-1)2,利用完全平方公式展开，化简后即可求得(x—2016产的值，注意要把x-2016

当作一个整体.

6.如果机=(2+6)6,[向表示加的整数部分，则卜?z]=()

A.2701B.2700C.2703D.2702

【答案】A

【分析】设2+石=x,2-否=y,则”1用=l,x+y=4,x6+/=(%2)3+(/)3

=(尤2+力[卜2)2_尤2,2+(力2]=]4*[(尤2+力2_33)2=2702,即

(2+73)6+(2-73)6=2702,由0<(2-有可得1701<(2+后/<2702,贝lj答案可得.

【详解】解：设2+#)=x,2-也=y,

则y<l,Ay=l,x+y=4,

Ex2+y2=(x+y)2-2xy=14,

0x6+/

=#+力[#)272y2+(川2]

=14x[(%2+y2)2_3(U)2

=14x(142-3)

=2702,

即(2+港『+(2-若『=2702,

0O<(2-73)6<1,

02701<(2+V3)6<2702,

0[m]=2701,

故选：A.

【点睛】本题考查了立方和公式，关键是进行合理的变形，难度较大.

7.己知〃-/?=/?-c=2,a2+b2+c2=ll,则4。+/?。+。。=()

A.-22B.-1C.7D.11

【答案】B

【分析】由q-b=b-c=2可得a-c=4,然后通过配方求得a2+b2+c2-ab-be-ac的值，

最后整体求出ab+bc+ac即可.

【详解】解：0^-b=b-c=2,

团4-c=4,

^\a2+b2+c2-ab-be-ac=g(2a2-^2b2+2c2-lab-2bc-2ac)[(<7-Z?)2+(b-c)2+(c

-a)2]=i2,

^ab+bc+ac=tz2+Z?2+c2-12=11-12=-1.

故答案为B.

【点睛】本题主要考查了完全平方式以及配方法的应用，灵活运用完全平方式进行配方成为

解答本题的关键.

评卷人得分

8.已知3*+9〉=27,贝1]2。2。+2»-工的值为.

【答案】2017.

【分析】把3'丁=27化成同底数幕的除法算式3y32>=32>=33得出x-2y的值，然后整

体代入算式即可求解.

【详解】=3工+3知

=3x~2y

=33

回x-2y=3,

团2020+2y—x=2020—(%—2y)

=2020-3

=2017.

故答案为：2017.

【点睛】此题考查了同底数幕的除法的逆运算，然后用到整体代入的思想求解.要熟练同底

数塞的除法的法则是解题的关键.

9.分解因式：a3-crb-a+b-.

【答案】(a+l)(a-1)(j)

【分析】先分组，然后再运用提取公因式法和公式法进行因式分解即可.

【详解】解：a3-a2b-a+b

=(/一矿Z?)_(a_b)

~cT^a—b)—(a—b)

=(q-_[)(a-b)

=(a+l)(o-l)(a-/?).

故答案为(。+1)(。—1)(。一6).

【点睛】本题考查了运用分组法、提取公因式法、公式法因式分解，对原式正确的分组是正

确解答本题的关键.

10.用4张长为。、宽为川。>与的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为(4+3的正

方形，图中空白部分的面积为耳，阴影部分的面积为邑.若S1=2邑，则久人之间存在的数

量关系是.

ba

ab

【答案】a=2b

【分析】如下图，先求出空白部分的面积，然后求出阴影部分的面积，利用工=25，可得

出a、b之间的关系.

【详解】如下图

ba

ab

则空白部分的面积耳=Se+邑+S+/+工

S6=S4=^ab

S.j=S3=+6)

S5=(a_b)(a-b)

22

化简得：S1=a+2b

2

S2=(a+b)(a+b)-S}=2ab-b

回工=2邑

^a2+2b2=2(2ab-b2)

化简得：(a-26)2=0

0a=2b

故答案为：a=2b.

【点睛】本题考查完全平方公式的计算与化简，解题关键是先求出耳和S2的面积.

1111111111111111111

n•计算「IF丁M—I--1---1--1——I--1---1—的结果

234562345

是.

【答案】I

o

【分析】设尸:+；+；+:，把原式化简为关于x的代数式，再运算求解

【详解】设+g+

则原式=。-力x+

6

x+--X2-—X——x+x2

666

6

【点睛】本题考查了有理数的混合运算，关键是灵活运用整体法求解.

12.已知a+Z?+c=l,+-^—=0,则(Q+1)2+S+2>+(。+3)2的值为

a+1b+2c+3

【答案】49

【分析】利用完全平方公式(〃+Z?+c)2++得

2222

a+b+c=(a+b+c)-2ab-2bc-2ac,禾U用这个公式变形即可得出答案.

【详解】解：由占+白+士=°,去分母,得

(6+2)(c+3)+(a+l)(c+3)+(a+l)S+2)=0,

贝IJ(Q+1)2+S+2)2+(C+3)2

=[(a+l)+(6+2)+(c+3)「一2[(6+2)(c+3)+(a+l)(c+3)+(a+l)S+2)]

=(〃+/?+C+6)2

团a+b+c=l

El原式=(1+6)2

=49

故答案为：49

【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式是解题的关键.

评卷人得分

三、解答题

13.分解因式："-1)("2-1)+4〃?".

【答案】(mn+m—n+l)(mn—m+n+V)

【分析】首先去括号，再重新分组为m2n2+2mn+l与(n2+m2-2mn),再利用公式法分解因式

即可.

【详解】解:原式=m2n2-m2-n2+l+2mn+2mn

=(m2n2+2mn+l)-(m2-2mn+n2)

=(mn+1)2-(m-n)2

=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1).

【点睛】此题考查了分组分解法分解因式以及二次三项式的分解因式，本题没有公因式可提

取，又不能直接应用公式，因而考虑用拆项法制造分组分解的条件.拆项法是因式分解中一

种技巧性较强的方法，它通常是把多项式中的某一项拆成几项，再分组分解，

14.七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题"代数式"-y+6+3x-5y-l的值与x的取

值无关，求。的值，”通常的解题方法是把x看作未知数，“，丁看作已知数合并同类项，因为

代数式的值与尤的取值无关，所以含x项的系数为0,即原式=(a+3)x-6y+5,所以〃+3=o.

则。=-3.

【理解应用】

⑴若关于x的代数式(2X-3)机+2M-3尤的值与x的取值无关，试求沉的值；

(2)6张如图1的长为。，宽为的小长方形纸片，按图2方式不重叠地放在矩形ABCD

内，未被覆盖的部分(两个矩形)用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S,

如果当的长度变化时，S始终保持不变，则6应满足的关系是什么？

【能力提升】

⑶在(2)的条件下，用6张长为。，宽为6的矩形纸片，再加上尤张边长为。的正方形纸片，

y张边长为b的正方形纸片(演，都是正整数)，拼成一个大的正方形(按原纸张进行无空隙，

无重叠拼接)，则当x+y的值最小时，拼成的大正方形的边长为多少(用含匕的代数式表示)？

并求出此时的羽丁的值.

-----------fr1■.D

b

3

【答案】⑴加=5；(2)々=功；⑶边长为56,当x=3,y=l时，x+y的值最小.

【分析】(1)根据仿例进行运算即可；

(2)当BC的长度变化时，S始终保持不变，说明S的取值与BC的长度无关，求出S与C

的关系，按照仿例计算即；

(3)先表示出拼成的大正方形的面积，根据(2)中a、b的关系进行变形，求出面积是b

的4x+y+12倍，因为苍'都是正整数，故4x+y+12为平方数，最小值为25,据此可求解.

【详解】(1)(2x-3)m+2m2-3x=2mx-3m+2m2—3x=(2m-3)x+2m2-3m

3

回此代数式的值与x无关，贝U2根-3=0,解得：w=j

(2)设=〃

令左上角矩形面积为工，右下角矩形面积为S2,

S]=a(n-4b)

S2=2b(n-a)

S=SX-S2=a(n-4/?)-2/?(zz-a)=(a-2&)n-2o/?

团当BC的长度变化时，S的值不变

回S的取值与〃无关

Ela-2Z?=0

即a=2Z?

(3)由题意得：拼成一个大的正方形的面积=6劭+/6+/,

由(2)知：a=2b

^]6ab+a2x+b2y=6-2b-b+(2b')2x+b2y=b2(4x+y+lT)

因为大正方形的边长一定是6的整数倍

回4x+y+12是平方数

回都是正整数

04》+y+12最zj、是25,即4元+y=13

Elx=l,y=9或x=2,y=5或x=3,y=l

止匕时6ab+a2x+b2y=/(4x+y+12)=25b2

则当x+y的值最小时，拼成的大的正方形的边长为立，此时x=3,y=l.

【点睛】本题主要考查了整式的乘法，整式的化简求值，解答本题的关键是理解题目中字母

x的取值无关的意思.

15.一个四位正整数J,将千位上的数字和十位上的数字交换，百位上的数字和个位上的数

字交换，得到尸=时，我们称这个数P为原数的"披荆数”,并规定S(尸)=(a+d)-伍+c)|；

将千位上的数字和个位上的数字交换，百位上的数字和十位上的数字交换，得到Z=丽，

第T(Z()分母

我们称这个数Z为原数的"斩棘数”,规定T(Z闫(e+/)-(g+研,且*/)=

为0时舍去).

如：2147的“披荆数"为P=4721,S(P)=|(4+l)-(7+2)|=4,2147的“斩棘数"为Z=7412,

T(Z)=|(7+4)-(l+2)|=8.

(1)2937的“披荆数”是,3587的“斩棘数”是；

(2)证明任意一个四位数的"披荆数"与"斩棘数"的差能被9整除；

⑶设四位正整数M=1000x+500+10y+4(0<x<5<y<9,且尤，y均为正整数)，交换其

十位和个位的数字得到N,若M-N为完全平方数且M能被3整除，则称M为"乘风破浪数”，

请求出所有"乘风破浪数中F(M)的最大值.

【答案】⑴3729*7853；

⑵见解析；

a

⑶尸(M)的最大值为

【分析】(1)利用“披荆数"，"斩棘数"的定义解答即可；

(2)设任意四位正整数为丽，则其"披荆数"为石嬴，"斩棘数"为近面，直接计算

xymn-yxnm,即计算1000A:+100y+\0m+〃—(lOOOy+100x+10〃+m)可得xymn-yxnm

=9(100^-100v+m-n)得证结论；

(3)根据题意得N=E^,计算M-N,得M-N=9(y-4),易知j9(y-4)为正整数,且

5<J<9,y为整数，可得y=5或y=8,由M为3的倍数，知x+5+y+4=9+x+y应为3

的倍数，且0Vx<5,可得当y=5时，x=l或x=4；当y=8时，x=l或x=4；由定义得

/(加)=二+i，将%y所对应得值代入即可求得歹(“)，再找出最大值即可•

【详解】(1)解：2937的“披荆数”是3729,3587的“斩棘数”是7853,

故答案为：3729,7853；

(2)证明：设任意四位正整数为丽，

则其"披荆数"为丽兀"斩棘数"为五嬴，

团xymn—yxnm

=1000x+100^+10m+n—(1000^+100x+10n+m)

=900x-900y+9m-9n

=9(100x-lOOy+m—n)

团〃披荆数〃与“斩棘数〃的差能被9整除；

(3)回M=1000x+500+10y+4=x5y4(0<x<5<^<9,且羽y均为正整数)，

团N=%54y,

^\M-N

=1000%+500+10y+4-(1000x+500+10+y)

=9y—36

=9（y-4）,

回M-N为完全平方数,

回/（>-4）为正整数,且54y49,y为整数，

则：当了=5时，j9（y-4）=j9x（5-4）=3；

当y=6时，^9（>-4）=^9x（6-4）=3-J1（舍去）；

当\=7时，松-4）=抄（7-4）=3代（舍去）；

当>=8时，^9（y-4）=79x（8-4）=6；

当>=9时，松-司=书义（9-4）=3币（舍去）；

故y=5或y=8,

又回加为3的倍数，

EU+5+y+4=9+x+y应为3的倍数，且0<x<5,

当y=5时，x=l或x=4；当y=8时，x=l或x=4；

(

T4y5x)(4+y)-(5+x)y—x—l

F（M）=F(x5y4)=

S(y4x5)(5+y)-(4+x)y-x+l

y—x—15-1-1_2

则当犬=1,y=5时，/(M)

y—x+15-1+15；

y--x-15-4-1

当x=4,y=5时，F（M）=o；

y-x+l5-4+1

y-x-18-1-13

y=8时，F（M）=

当犬=1,一；

y--x+18-1+14

y--x-18-4-13

当％=4,y=8时，F（M）=1

T

y--x+18-4+1r

故：歹（"）的最大值为1.

【点睛】本题主要考查了整式的加减，因式分解得应用，数字变化的规律，本题是新定义型，

准确理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键.

16.【阅读材料】

"数形结合”是一种非常重要的数学思想方法.比如：北师大版七年级下册教材在学习"完全

平方公式”时，通过构造几何图形，用几何直观的方法解释了完全平方公式：

（a+b）2=a2+2ab+b2（如图1）.利用"数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问

题，也可以用图形关系解决代数问题.

b

【方法应用】

根据以上材料提供的方法，完成下列问题：

（1）由图2可得等式：；由图3可得等式：；

⑵利用图3得到的结论,解决问题:若a+＞+c=15，"+ac+Z?c=35,贝！|a2+b~+c2=;

⑶如图4,若用其中x张边长为。的正方形，y张边长为6的正方形，z张边长分别为a,b

的长方形纸片拼出一个面积为（2。+与（a+2b）长方形（无空隙、无重叠地拼接）.

①请画出拼出后的长方形；

②x+y+z=；

⑷如图4,若有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a,b的长方形纸片，5张边长

为匕的正方形纸片.从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张.把取出的这些纸片拼成一

个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为.

【答案】（l）（2a+人）（4+6）=2。2+b2+3a6,（a+b+c）2=a2+b2+c2+lab+2ac+2Z?c

（2）155

⑶①见解析；②9

⑷a+2b

【分析】（1）用两种不同的方法表示出大长方形的面积，以及大正方形的面积，即可得出结

论；

（2）利用（1）中的结论进行求解即可；

（3）（T）（2fl+/＞）（67+2Z＞）=2a2+4ab+ab+2b2=2a2+5ab+2b2,得到大长方形是由2

张边长为。的正方形，2张边长为6的正方形，5张边长分别为a、6的长方形纸片拼成，画

图即可；②根据①可知x，Mz的值，代入求解即可；

（4）根据拼接成的是正方形，得到选取的纸片的面积和必须构成完全平方式，进行讨论求

解即可.

【详解】（1）解：由图2知，回大长方形的面积=（2a+，）（a+，），

大长方形的面积=3个小正方形的面积+3个小长方形的面积

=ci~++b~+3ab—2a~+b~+3ab，

U］（2a+6）（a+b）=2a1+b2+3ab；

由图3知，回大正方形的面积=(a+6+c)2,

大正方形的面积=3个正方形的面积+2个小长方形的面积+2个小长方形的面积+2个小长方

形的面积=〃+b2+c2+2ab+2ac+2bc,

回(。+6+°)~=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；

故答案为：(2a+b){a+b)=2a1+b2'+3ab,(a+Z?+c)2=cr+b2+c2+2ab+2ac+2bc.

(2)团由(1)知：(a+Z?+c)2=a2+b1+c~+2ab+2ac+2bc,

回a~+b~+c~=(a+6+c)—(2ab+2ac+2bc),

=(a+6+c)2—2^ab+ac+bc),

把a+6+c=15,“6+ac+=35代入，

a2+Z?2+c2=152-2X35=225-70=155.

故答案为：155.

(3)①回(2a+/7)(a+2b)=2a2+4ab+ab+2b2=2a2+5ab+2b2,

2a2+5ab+2b2可以看成2张边长为a的正方形,2张边长为b的正方形,5张边长分别为a、

b的长方形纸片拼成的大长方形的面积，

如图：

(4)3张边长为a的正方形纸片的面积为3a2,4张边长分别为脑的长方形纸片的面积为4ab,

5张边长为b的正方形纸片的面积为5/,要想从中取出若干张纸片拼成一个正方形(无空

隙、无重叠地拼接)，则选取的纸片的面积和必须构成完全平方式，

团可以选取1张边长为。的正方形纸片、2张边长分别为a,6的长方形纸片、1张边长为b

的正方形纸片，此时围成的正方形面积为1+2a6+62=(a+6)2,此时正方形的边长=°+人

也可以选