人教版八年级数学上册常见几何模型解读与提分训练：将军饮马模型（原卷版）

专题12将军饮马模型

将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生

能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几

何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化

归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对

这类问题有比较清晰的认识。

模型1、将军饮马-两定一动求线段和的最小值

【模型探究】A，B为定点，〃?为定直线，尸为直线加上的一个动点，求NP+BP的最小。

图1图2

(1)如图1,点4、3在直线两侧:

辅助线：连接交直线加于点尸，则4P+8尸的最小值为48.

(2)如图2,点N、3在直线同侧:

辅助线：过点A作关于定直线m的对称点A',连接A'B交直线加于点P,则AP+BP的最小值为4'B.

例1.(2022•福建•八年级期末)如图，在R/a48c中，蜘CB=90。，/C=BC,点C在直线山上，西CN

=30。，点尸为跖V上一动点，连结/尸，BP.当AP+AP的值最小时，回CAP的度数为.

MN

例2.(2022•江苏•八年级专题练习)如图，等边三角形A3c的边5c上的高为6,AD是3C边上的中线,

"是线段AD上的■一个动点，E是AC中点，则石M+CN的最小值为.

B

D

例3.（2022•河南濮阳•八年级期末）如图，等边三角形ABC的边长为5,/、B、A三点在一条直线上，且

ABC^A^BQ.若。为线段BG上一动点，则AD+CD的最小值是

例4.（2023.浙江八年级期中）如图，等边△ABC的边长为4,AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点,

E是AC边上一点，若AE=2,当EF+CF取得最小值时，则/ECF的度数为多少？

模型2、将军饮马-两动一定求线段和的最小值

【模型探究】已知定点/位于定直线肛"的内侧，在直线机、〃分别上求点P、。点R+P0+以周长最短.

辅助线：过点/作关于定直线机、〃的对称点/'、/"，连接交直线加、〃于点尸、。，则以+PQ+0N

的最小值为

例1.（2022,江苏,无锡市八年级期末）如图，已知命08的大小为a,尸是西。8内部的一个定点，且。尸

=4,点£、厂分别是04、上的动点，若即M周长的最小值等于4,贝|a=（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

例2.（2022・湖北十堰•八年级期末）如图，在四边形/5CD中，ZBAD=100°,ZB=ZD=90°.在2C,CD

上分别找一点M,N,使AAW周长最小，则N4AW+Z/W版的度数为.

c

例3.（2022•江苏九年级一模）如图，RtAABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,D,E,F分别是AB,BC,AC边

上的动点，贝必DEF的周长的最小值是（）

例4.（2023春•贵州毕节七年级统考期末）如图所示，ZAOB=30，点尸为/AO3内一点，OP=8,点M,N

分别在OA,O2上，求APMN周长的最小值.

ONB

模型3、将军饮马-两动两定求线段和的最小值

【模型探究】A，B为定点，在定直线加、〃上分别找两点尸、Q,使刃+PQ+Q2最小。

(1)如图1,两个点都在直线外侧：

辅助线：连接交直线加、〃于点尸、Q,则为+PQ+Q8的最小值为/A

(2)如图2,一个点在内侧，一个点在外侧：

辅助线：过点8作关于定直线”的对称点"，连接48'交直线加、"于点尸、Q,则为+PQ+Q8的最小值为

AB\

(3)如图3,两个点都在内侧：

辅助线：过点43作关于定直线“、"的对称点/'、8,连接/方'交直线加、n于点尸、。，则PA+PQ+QA

的最小值为N'8'.

(4)如图4,台球两次碰壁模型：

辅助线：同图3辅助线作法。

A'

»m

B•~-----------------•n

•3

•---------------------------•nB1-----------------丛,5'

图3图4

例1.(2022•和平区•八年级期末)如图，ZAOB=25°,点M,N分别是边08上的定点，点P,Q分

别是边08,上的动点，记N"PQ=e,NPQN=J3,当MP+PQ+QN的值最小时，£一。的大小=_.

A

M

OPB

例2.(2022,湖北武汉市•九年级期中)如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G(-3,0),B(-

2,0),HC与GB关于y轴对称，NGAH=60。，P、Q分别是AG、AH上的动点，则BP+PQ+CQ的最小值

A.6B.7C.8D.9

例3.(2022•湖北青山•八年级期中)如图，在RtAABC中,ZACB=90°,NABC=30。，AC=2,以BC为边向

左作等边ABCE,点。为AB中点，连接8,点P、Q分别为C£、CD上的动点.

(1)求证：AADC为等边三角形；(2)求PD+PQ+QE的最小值.

模型4、将军饮马-线段差的最大值

【模型探究】a2为定点，在定直线加上分别找两点尸，使以与尸2的差最大。

(1)如图1,点4、3在直线，〃同侧：

辅助线：延长AB交直线m于点尸，根据三角形两边之差小于第三边，P'A-P'B<AB,而PA~PB=AB此时

最大，因此点尸为所求的点。

(2)如图2,点N、5在直线，"异侧：

辅助线：过B作关于直线m的对称点况连接48,交点直线m于P,此时PB=PB',PA-PB最大值为AB'

图1图2

例L（2022・福建福州•八年级期中）如图，在等边，ABC中，£是AC边的中点，P是，ABC的中线AD上

的动点，且AB=6,则fiP-PE的最大值是

例2.（2022・广东•八年级专题练习）如图，AB=AC=5,/区4c=110。，是皿C内的一条射线，且

N54D=25。，P为/。上一动点，则|尸3—尸。的最大值是.

例3.（2022・湖北•武汉八年级期末）如图，AB//DP,E为DP上一动点,AB=CB=CD,过A作4VLEC

交直线EC于N,过。作DMLEC交直线EC于点"，若NB=114。，当AN-DM的值最大时，则NACE=

课后专项训练

1.（2022•河南七年级期末）如图，在锐角三角形ABC中，AB=4,ABC的面积为10,8。平分NABC,

若〃、N分别是3D、BC上的动点，则C0+MN的最小值为（）

A.4B.5C.4.5D.6

2.（2022・甘肃白银•七年级期末）如图，在“WC中，AB1AC,AB=3,BC=5,AC=4,垂直平分

8C,点P为直线M上的任意一点，则AWP周长的最小值是（）

A.7B.6C.12D.8

3.（2022•江西宜春•八年级期末）如图，在ABC中，DE是边AC的垂直平分线，交AC于点D,交于

点E,点P是直线£>E上的一个动点，若AB=5,则尸3+PC的最小值为（）

A

A.5B.6C.7D.8

4（2022•绵阳八年级期末）如图，在四边形4BC。中，ZC=70°,N3=ND=90°,E、F分别是BC、DC

上的点，当△/1£下的周长最小时，NEAF的度数为（）

D

A.30°B.40°C.50°D.70°

5.（2022•江苏•无锡八年级期末）如图，已知的。8的大小为a,尸是的。8内部的一个定点，且。P=4,

点E、尸分别是。4上的动点，若即即周长的最小值等于4,贝。a=（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

6.（2023云南八年级期末）如图，在等边.ABC中，8c边上的高AD=6,E是高AD上的一个动点，尸是

边N3的中点，在点E运动的过程中，EB+EF存在最小值，则这个最小值是（）

A.5B.6C.7D.8

7.（2022•河南安阳市•八年级期末）如图，在，A3C中，AC=BC,AB=6,.A3C的面积为12,

CDLAB于点D,直线EF垂直平分BC交48于点E,交BC于点F,P是线段EF上的一个动点，则△依£）

的周长的最小值是（）

DB

A.6B.7C.10D.12

8.（2022•芜湖期末）如图，在锐角三角形ABC中，AB=4,△ABC的面积为8,B。平分/ABC.若M、N分

别是BD、BC上的动点，则C/W+MN的最小值是（）

9.（2022•河南•安阳市八年级期末）如图，在一ABC中，AB=AC,边AC的垂直平分线肱V分别交AB,AC

于点N,点。是边BC的中点，点尸是上任意一点，连接PZ）,PC,若NA=（z,ZCPD=J3,PCD

周长最小时，夕之间的关系是（）

10.（2022•广东广州•八年级期末）如图，点。是啊8内的定点且4D=2,若点C、£分别是射线NRAB

上异于点/的动点，且团CDE周长的最小值是2时，皿2的度数是（）

11.（2022•湖南雨花•初二期末）如图，ZAOB=30°,点P是它内部一点，OP=2,如果点Q、点R分别是。4

OB上的两个动点，那么PQ+QR+RP的最小值是.

0RB

12.（2022,福建•莆田二中八年级期末）如图，在R/囿48c中，a4c8=90。，NC=3C,点C在直线MN上,

财CN=30。，点尸为上一动点，连结4P,BP.当4P+8P的值最小时，回C8P的度数为.

MN

13.（2022•广东•八年级专题练习）如图，AB=AC=5,ZBAC=110°,4D是的4c内的一条射线，且

N54D=25。，P为/。上一动点，则|尸3—尸。的最大值是.

14.（2022•福建福州•八年级期中）如图，在等边..ABC中，E是AC边的中点，尸是:ABC的中线AD上的

动点，且AB=6,则BP-PE的最大值是.

15.（2022•河南八年级期末）如图，在RtZXABC中，NACB=90。，AC=3,BC=4,AB=5,AD平分NG4B

交BC于点O,E,尸分别是AO,AC边上的动点，则CE+EF的最小值为.

DB

16.（2022・四川成都•七年级期末）如图，分别以线段的两个端点为圆心，以大于长为半径作弧,

两弧交于点"和点N,在直线上取一点C,连接。，CB,点。是线段NC的延长线上一点，且CD=g

NC,点尸是直线MV上一动点，连接尸。，PB,若5c=4,则尸D+P8的最小值为一.

17.（2022•安徽芜湖市•八年级期末）如图，在Rt^ABC中.ACLBC,若AC=5,3c=12,AB=13,

将折叠，使得点C恰好落在AB边上的点E处，折痕为AD,点P为AD上一动点，则的周

长最小值为—.

18.（2022•湖北•八年级）如图，AB//DP,E为DP上一动点,AB=CB=CD,过A作ANLE