人教版八年级数学上册 第十三章 轴对称（易错与压轴专练）（原卷版）

第十三章轴对称（易错与压轴专练）

目录

易错专练...........................................................................1

【易错一求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错】.........................1

【易错二当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错】..........................1

【易错三求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】................................2

【易错四三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错】....................2

压轴专练...........................................................................2

【题型一等腰三角形中底边有中点时，连中线】..............................................2

【题型二等腰三角形中底边无中点时，作高线】............................................4

【题型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】.......................................5

【题型四共顶点的等边三角形问题】.........................................................6

【题型五共顶点的等腰直角三角形问题】.....................................................8

【题型六共顶点的一般等腰三角形问题】....................................................10

易错专练

【易错一求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错】

例题：已知ABC是等腰三角形，如果它的两条边的长分别为8cm和女m,则它的周长为cm.

【变式训练】

1.若的三边长分别为10-a,7,6,当；为等腰三角形时，则。的值为.

2.用一条长为28cm的细绳围成一个等腰三角形，已知这个等腰三角形一边长是另一边长的1.5倍，则它的

底边长为cm.

【易错二当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错】

例题：等腰三角形的一个角的度数是36。，则它的底角的度数是.

【变式训练】

1.等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少20。，则这个等腰三角形的顶角度数是.

2.在AABC中，AB^AC,ZBAC=100°,点。在边8c上（不与8、C重合），连接AD,若々WO是等腰

三角形，则/ADC的度数为.

【易错三求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】

例题：已知RtZXABC中，NC=90。，AC=3,BC=4,若」1BC沿射线方向平移机个单位得到/),

顶点A,B,C分别与顶点D,E,尸对应，若以点A,D,E为顶点的三角形是等腰三角形，则根的值是.

【变式训练】

1.在Rt^ABC中，NACB=90。，ZA=30°,AB=12,D、E分别是边BC、AB上的动点•将△BDE沿直

线OE翻折，使点5的对应点皆恰好落在边AC上•若△AEB'是等腰三角形，则的长是.

【易错四三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错】

例题：等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为15和12两部分，则此三角形的底边长为()

A.7B.11C.7或11D.无法确定

【变式训练】

1.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45。，那么这个三角形的顶角为()

A.45°B.90°C.135°D.135°或45°

2.在..ABC中，AB=AC,8是AB边上的高，ZACD=30°,则.

3.在ABC中，AB=AC,AC上的中线8。把三角形的周长分成24和30两部分，则底边BC的长为

压轴专练

【题型一等腰三角形中底边有中点时，连中线】

例题：已知，在，ABC中，NAC8=90。，AC^BC,点M是A2的中点，作/DME=90。，使得射线“。与

射线ME分别交射线AC,CB于点D,E.

(1)如图1,当点。在线段AC上时，线段与线段ME的数量关系是;

(2)如图2,当点。在线段AC的延长线上时，用等式表示线段CD,CE和2c之间的数量关系并加以证明.

【变式训练】

1.如图1,在RtaABC中，ZC=90°,AC=BC,点P是斜边A2的中点，点。，E分别在边AC/C上,

连接PRPE,若PD1PE.

⑴求证：PD=PE；

(2)若点。，E分别在边AC,CB的延长线上，如图2,其他条件不变，(1)中的结论是否成立？并加以证明;

(3)在(1)或(2)的条件下，△BBE是否能成为等腰三角形？若能，请直接写出NPEB的度数(不用说理);

若不能，请说明理由.

2.在RtaABC中，AC^BC,ZACB=90°,点。为AB的中点.

(1)若NEC不=90。，两边分别交AC,BC于£,F两点.

①如图1,当点E,尸分别在边AC和3C上时，求证：OE=OF；

②如图2,当点E,尸分别在AC和CB的延长线上时，连接班若OE=6,则S已纱=

(2)如图3,若NEOF=45°,两边分别交边AC于E,交8C的延长线于F,连接EF,若CF=3,EF=5,试

求AE■的长.

【题型二等腰三角形中底边无中点时，作高线】

例题：如图，已知点。、E在AABC的边8C上，AB=AC,AD=AE.

(1)求证：BD=CE；

(2)若AD=BD=DE=CE,求NBAE的度数.

【变式训练】

1.如图，汨与△BC4均为等腰三角形，AD=AB^CB,且NABC=90。，E为03延长线上一点,

NDAB=2NEAC.

⑴若ZEAC=20。，求ZCBE的度数；

(2)求证：AEA.EC；

⑶若BE=a,AE=b,CE=c,求ABC的面积(用含。，b,c的式子表示).

2.已知在.ABC中，AB=AC,且N54C=a.作_ACD,使得AC=CD.

A

A

D«

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图1图2

(1)如图1,若/AC。与/B4C互余，则NOC5=(用含。的代数式表示)；

(2)如图2,若ZACD与，BAC互补，过点C作C"，AD于点H,求证：CH=ggC；

⑶若由.MC与.ACD的面积相等，则-4CD与NBAC满足什么关系？请直接写出你的结论数.

【题型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】

流法点拨:而函,ZXABC市区力…木

平分NBAC,AD_LBC,由“ASA”/

易得△ABD雪△ACD，从而得/——一、

：AB=AC,BD=CD.即一边上的高与这边所对的角平

分线重合，易得这个三角形是等腰三角形.

例题：如图，在，ABC中，A。平分，BAC,E是BC的中点，过点E作/G,AD交AD的延长线于H,交

于尸，交AC的延长线于G.

求证：

WAF=AG；

Q)BF=CG.

【变式训练】

1.如图：

图4

(1)【问题情境】

利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1,0P平分NMON.点A为。A/上一点，过点A作AC，OP,

垂足为C,延长AC交ON于点8,可根据证明则AO=8O,AC=3C(即点C为AB

的中点).

⑵【类比解答】

如图2,在，ASC中，CD平分NACB,4£_18于£,若NE4c=63。，4=37。，通过上述构造全等的

办法，可求得NDAE=.

(3)【拓展延伸】

如图3,ABC中，AB=AC,ABAC=90°,8平分/ACB,BELCD,垂足E在CD的延长线上，试探

究师和CO的数量关系，并证明你的结论.

(4)【实际应用】

如图4是一块肥沃的三角形土地，其中AC边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进

行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取-ACB的角平分线。；②过点A作ADLCD于D已知

BC=13,AC=10,ABC面积为20,则划出的二ACD的面积是多少？请直接写出答案.

【题型四共顶点的等边三角形问题】

方;■拨〕如图，ZXABC和ACDE为等边三角形，则

根据SAS可得△ACDTZSBCE,/AOB=60°,ZXMCN

为等边三角形.

例题：如图所示，△A2C和△AOE都是等边三角形，且点8、A、E在同一直线上，连接2。交AC于

连接CE交于M连接MN.

⑴求证：BD=CE-

(2)求证：4ABM会AACN；

(3)求证：AAMN是等边三角形.

【变式训练】

1.如图，点C为线段AB上一点，△ZMC、ECB都是等边三角形，AE.0c交于点“，DB,EC交于

点N,DB、AE交于点P,连接MN,下列说法正确的个数有个.

①MN〃AB；②/DPM=60°；③NDAP=NPEC；④AACM/ADCW；⑤若NDBE=30°,则ZAEB=90。.

2.如图，C为线段AE上一动点(不与点A,£重合)，在AE同侧分别作等边ABC和等边一CDE,AD与BE

交于点。，AD与3c交于点P,BE与CD交于点Q,连结PQ.

B

求证：(1)AD=BE；

(2)一CPQ为等边三角形;

【题型五共顶点的等腰直角三角形问题】

®,AABC和△DCE均为等腰直角三

角形，则根据SAS可得4BCE^AACD.

例题：如图，ABC和△DCE都是等腰直角三角形，ZACB=ZDCE=90°.

图1图2备用图

(1)【猜想】:如图1,点E在上，点。在AC上，线段BE与AD的数量关系是，位置关系是

(2)【探究】：把△OCE绕点C旋转到如图2的位置，连接AO,BE,(1)中的结论还成立吗？说明理由；

(3)【拓展】：把△DCE绕点C在平面内自由旋转，若AC=5,CE=2拒,当A,E,。三点在同一直线上

时，则AE的长是.

【变式训练】

1.如图，在等腰直角三角形ABC和O£C中，NBC4="CE=90。，点E在边A3上，ED与AC交于点R

连接AD.

(1)求证：△3CE/△ACD；

(2)求证：AB±AD.

2.(1)问题发现：如图1,与一CDE均为等腰直角三角形，ZACB=ZDCE=90°,则线段AE、BD

的数量关系为,AE、8D所在直线的位置关系为

(2)深入探究：在(1)的条件下，若点A,E,。在同一直线上，CM为ADCE中。E边上的高，请判断NADB

的度数及线段CM,AD,BO之间的数量关系，并说明理由.

【题型六共顶点的一般等腰三角形问题】

如图，445。和△DEC是等腰三角形，且

NAC6=/DCE,根据SAS可得△ACD/^BCE.

例题：如图，.ABC与久DE都是等腰三角形，AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=42°,AD,BE相交于

点Af.

B

(1)试说明：AD=BE；

⑵求NA7WB的度数.

【变式训练】

1.如图，已知中，AB^AC^BC.分别以AB、AC为腰在A3左侧、AC右侧作等腰三角形4步.等

腰三角形ACE,连接CD、B