人教版八年级数学常见题型专练：三角形的内角（7种题型）（解析版）

第03讲三角形的内角（7种题型）

D【知识梳理】

三角形内角和定理：三角形的内角和为180°.

要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：

①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；

②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；

③求一个三角形中各角之间的关系.

W【考点剖析】

题型一、三角形的内角和定理证明

例1.证明：三角形的内角和为180°.

【答案与解析】

解：已知：如图，已知△ABC,求证：ZA+ZB+ZC=180°.

证法1:如图1所示，延长BC至IJE,作CD〃AB.因为AB〃CD（已作），所以N1=NA（两

直线平行，内错角相等），NB=/2（两直线平行，同位角相等）.

又/ACB+/1+N2=180°（平角定义），

所以/ACB+/A+/B=180°（等量代换）.

图1

证法2:如图2所示，在BC边上任取一点D,作DE〃AB,交AC于E,DF〃AC,交AB于点

F.

因为DF〃AC（已作），

所以N1=NC（两直线平行，同位角相等），

Z2=ZDEC（两直线平行，内错角相等）.

因为DEZ/AB（已作）.

所以N3=/B,ZDEC=ZA（两直线平行，同位角相等）.

所以/A=N2（等量代换）.

又Nl+N2+N3=180°（平角定义），

所以NA+NB+/C=180°（等量代换）.

图2

证法3:如图3所示，过A点任作直线小过B点作4〃小过C点作人〃小

因为/1〃4（已作）.

所以/1=/2（两直线平行，内错角相等）.

同理N3=N4.

又/i〃4（已作），

所以/5+/1+/6+/4=180。（两直线平行，同旁内角互补）.

所以/5+/2+/6+/3=180°（等量代换）.

又/2+N3=/ACB,

所以NBAC+/ABC+/ACB=180°（等量代换）.

图3

证法4：如图4,将△ABC的三个内角剪下，拼成以C为顶点的平角.

A

证法5：如图5—1和图5—2,在图5—1中作/1=NA,得CD〃AB,有/2=/B；在图5

一2中过A作MN〃BC有Z2=ZC,进而将三个内角拼成平角.

【总结升华】三角形内角和定理的证明方法有很多种，无论哪种证明方法，都是应用的平行

线的性质.

题型二：利用三角形内角和定理求角的度数

例2.在△ABC中，己知/A+NB=80°,/C=2/B,试求NA,/B和NC的度数.

【思路点拨】题中给出两个条件：NA+/B=80°,/C=2NB,再根据三角形的内角和等于

180°,即NA+/B+NC=180°就可以求出NA,/B和/C的度数.

【答案与解析】

解：由/A+NB=80°及/A+NB+/C=180°,

知NC=100°.

又：ZC=2ZB,

ZB=50°.

/A=80°-ZB=80°-50°=30°.

【总结升华】解答本题的关键是利用隐含条件NA+NB+NC=180。.本题可以设/B=x,则

NA=80°-x,NC=2x建立方程求解.

【变式1】已知，如图，在AABC中，ZC=ZABC=2ZA,BD是AC边上的高，求NDBC的度

A

【答案】

解：已知△ABC中，ZC=ZABC=2ZA

设/A=x

则NC=NABC=2x

x+2x+2x=180°

解得：x=36°

.•.ZC=2x=72°

在aBDC中，BD是AC边上的高，

，ZBDC=90°

/.ZDBC=180°-90°-72°=18°

例3.在^ABC中，ZABC=ZC,BD是AC边上的高，NABD=3O°,则NC的度数是多少?

【思路点拨】按^ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况，分类讨论.

【答案与解析】

解：分两种情况讨论：

(1)当^ABC为锐角三角形时，如图所示，在4ABD中，

,/BD是AC边上的高（已知），

/ADB=90°（垂直定义）.

又,:ZABD=30°（已知），

NA=180°-ZADB-ZABD=180°-90°-30°=60°.

又；ZA+ZABC+ZC=180°（三角形内角和定理），

ZABC+ZC=120°,

又：ZABC=ZC,ZC=60°.

⑵当^ABC为钝角三角形时，如图所示.在直角4ABD中,

D

A

B匕----------------------------

NABD=30°（已知），所以NBAD=60°.

/.ZBAC=120°.

又,:ZBAC+ZABC+ZC=180°（三角形内角和定理），

/.ZABC+ZC=60°.

ZC=30°.

综上，NC的度数为60°或30°.

【总结升华】在解决无图的几何题的过程中，只有正确作出图形才能解决问题.这就要求解

答者必须具备根据条件作出图形的能力；要注意考虑图形的完整性和其他各种可能性，双解

和多解问题也是我们在学习过程中应该注意的一个重要环节.

【变式1】三角形中至少有一个角不小于度.

【答案】60

题型三：直角三角形两个锐角互余

例3.（2023春•湖南娄底•八年级统考阶段练习）在RtZXABC中，ZC=90°,ZB=60°,

则/A的度数是（）

A.60°B.30°C.50°D.40°

【答案】B

【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，则可求解.

【详解】解：.“=90。，ZB=60°,

.-.ZA=90°-ZB=30°,

故选：B.

【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，解答的关键是明确直角三角形的两个锐角互

余.

【变式1】（2023春・湖南怀化•八年级统考期中）直角三角形的一锐角是30。，那么另一锐

角是（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】C

【分析】由直角三角形的两锐角互余可得答案.

【详解】解：直角三角形的一锐角是30。，那么另一锐角是90。-30。=60。，

故选：C.

【点睛】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，熟记知识点是解本题的关键.

【变式2】如图，AC，BC,CD，AB,图中有对互余的角？有对相等的锐角？

【答案】3,2.

题型四、利用三角形内角和判定三角形的形状

例4.在^ABC中，若/A=L/B=』/C,试判断该三角形的形状.

23

【思路点拨】由NA=L/B=^NC,以及NA+NB+/C=180°,可求出/A、NB和

23

/C的度数，从而判断三角形的形状.

【答案与解析】

解：设/A=x,则/B=2x,NC=3x.

由于/A+NB+/C=180°,即有x+2x+3x=180°.

解得x=30°.故NA=30°.ZB=60°,ZC=90°.

故4ABC是直角三角形.

【总结升华】本题利用设未知数的方法求出三角形三个内角的度数，解法较为巧妙.

题型五：与平行线有关的三角形内角和问题

例5.（2023秋•山东济南•八年级校考期末）已知直线〃跖，一个含30。角的直角三角

尺ABC（AB>3C）如图叠放在直线肱V上，斜边AC交E厂于点。，则N1的度数为（）

A.30°B.45°C.50°D.60°

【答案】D

【分析】首先根据直角三角形的性质判定回A=30。，国ACB=60。，然后根据平行的性质得出

01=EIACB.

【详解】回含30。角的直角三角尺

EBA=30°,0ACB=6O°

QMN〃EF

E01=0ACB=6O-

故选：D.

【点睛】此题主要考查直角三角形以及平行的性质，熟练掌握，即可解题.

【变式】.（2023秋•八年级单元测试）如图，在一ABC中，8平分/ACB交A3于点

过点。作DE〃BC交AC于点E.若44=54。，ZB=48°,0lJZCDE=.

【答案】39。.

【分析】利用三角形的内角和定理以及角平分线的定义求出/DCB即可解决问题.

【详解】解：ZA=54°,4=48。，

ZACB=180°-54°-48°=78°,

CD平分/AC3,

ZDCB=-ZACB=39°,

2

DE!IBC,

ZCDE=ZDCB=39°,

故答案为:39。.

【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基

本知识，属于中考常考题型.

题型六：三角形折叠中的角度问题

例6.（2023秋•四川达州•八年级校考期末）如图，将一ABC沿着平行于的直线折叠，

得到若ND4'E=25。，NDE4'=115。，则的度数是（）

A.45°B.40°C.55°D.50°

【答案】B

【分析】根据题意可得NAZ>E=NADE,DE//BC,结合三角形内角和定理可得

“把=40。，最后根据平行线的性质求解即可.

【详解】解：由题意得，ZADE=ZADE,DE//BC,

又回ZDA'EnZS。，NDE4'=115°,

EAADE=ZA'DE=180°—ZDAE-ZDEA=180°-25°-115°=40°,

^DE//BC,

ElZADE=ZB=40°,

故选：B.

【点睛】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质和折叠的性质，灵活运用所学知识

求解是解决本题的关键.

【变式工（2023秋•山东聊城•八年级校考期末）如图，把ABC纸片沿DE折叠，当点A落

在四边形BCDE内部时，则-A与N1+N2之间有一种数量关系始终保持不变，这个关系

是（）

A.2ZA=N1+N2B.3ZA=2Z1+Z2

C.ZA=N1+N2D.3ZA=2Z1+2Z2

【答案】A

【分析】根据折叠的性质和平角的定义先得到2NA£D+2ZADE=360。-Nl-N2,再由三

角形内角和定理得到2ZAED+2ZADE=360°-2ZA,由此即可得到结论.

【详解】解：由折叠的性质可知2NA£D+Nl=18（）o,2NADE+N2=180。,

E2ZAED+2ZADE=360°-Z1-Z2,

由三角形内角和定理可知NA+NADE+NAED=180。，

02ZAED+2ZADE=360°-2ZA,

0360°-Zl-Z2=360°-2ZA,

0Z1+Z2=2ZA

故选：A.

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质，灵活运用所学知识是解题的关

键.

题型七：与角平分线有关的三角形内角和问题

例7.（2023秋•广东汕头•八年级统考期末）如图，在ABC中，AD是角平分线，AE是

高，已知N3=45。，ZC=55°,那么NEAD的度数为（）

E

A.40°B.35°C.15°D.5°

【答案】D

【分析】根据三角形的内角和定理可求解-B4C的大小，再利用角平分线的定义可求解

44。的度数，由三角形的高线可得NAEB=90。，利用三角形的内角和定理可求解

44E的度数，进而可求得NEA。的度数.

【详解】解：0ZB=45°,ZC=55°,

0ZBAC=180°-45°-55°=80°,

回AD平分/BAC,

0ZE4Z）=4OO,

@AE±BC,

0ZAEB=9O°,

El/BAE=180°—90°-45°=45°,

ENEAD=NBAE—NBAD=45°-40°=5°,

故选：D.

【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理的应用，三角形的高线的含义，求解

44E的度数是解题的关键.

【变式工（2023秋•八年级课时练习）如图，在中，AD1BC,AE平分NBAC,

若Zfl4E=30。，ZC4D=20°,则的度数为.

【答案】50。/50度

【分析】先利用角平分线的定义求得N54C=2N3AE=60。，在咫ACD利用直角三角形

的两锐角互余求得NC,最后在工ABC中利用三角形的内角和即可求解.

【详解】解：EIAE平分/BAC,,Zfi4E=30°,

0ZBAC=2ZBAE=60°,

EIZG4£)=20o,AD0BC,

0ZC=9OO-ZC4D=7O°,

团在11ABe中，/3=180。—/BAC-NC=50。，

故答案为：50°.

【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握定义和定理是解题

的关键.

【过关检测】

一、单选题

1.（2023春•湖南常德•八年级统考期中）在一个直角三角形中，有一个锐角等于35。，则另

一个锐角的度数是（）

A.145°B.125°C.65°D.55°

【答案】D

【分析】根据直角三角形中两锐角互余可直接求得.

【详解】解：一个直角三角形中，有一个锐角等于35。，则另一个锐角的度数是

90°-35°=55°,

故选D.

【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，熟记直角三角形两锐角互余的性质是解本

题的关键.

2.（2023春•贵州贵阳•八年级校考阶段练习）在，ABC中，ZA=90°,ZB=36°,则/C

的度数为（）

A.34°B.44°C.54°D.64°

【答案】C

【分析】由三角形内角和180。可得结果.

【详解】解：ZC=180°-ZA-ZB=180°-90°-36°=54°.

故选：C.

【点睛】本题考查三角形的内角和定理，熟知三角形的内角和为180。是解题的关键.

3.（2023春・新疆乌鲁木齐•八年级乌市八中校考开学考试）如图，在ABC中，AD是

边上的高，BE平分NABC交AC边于E,NS4c=60。，ZABE=26°,则—D4C的大小是

A.20°B.22°C.24°D.26°

【答案】B

【分析】根据角平分线的定义可得/ABC=2/ABE,再根据直角三角形两锐角互余求出

NBAD,然后根据4MC=/fi4C-/胡。计算即可得解.

【详解】解：BE平分NABC,

ZABC=2ZABE=2x26°=52°,

AD是3c边上的高，

"BAD=90°-ZABC=90°-52°=38°,

ADAC=ABAC-/BAD=60°一38°=22°.

故选：B.

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图理清图中各角度之

间的关系是解题的关键.

4.（2023秋•重庆渝北•八年级统考期末）如图，在ABC中，AD13C于点。，

ZC=48°.则NA4c的度数为（）

A

A.52°B.42°C.32°D.28°

【答案】B

【分析】根据垂直的定义，直角三角形的两个锐角互余，即可求解.

【详解】解：SADdLBC,ZC=48°,

0ZADC=9O°,

0ZC=48°,

BlZDAC=90°-48°=42°,

故选：B.

【点睛】本题考查了垂直的定义，直角三角形的两个锐角互余，求得NADC=90。是解题的

关键.

5.（2023春•湖南张家界•八年级统考期中）在Rt_ABC中，ZC=90°,若NA=50。，贝！|

NB等于（）

A.55°B.50°C.45°D.40°

【答案】D

【分析】根据直角三角形的两个锐角互余即可求出结果.

【详解】解：在RtABC中，.ZC=90°,ZA=50°,

.-.ZA+ZB=90°,

.•.ZB=90°-50°=40°,

故选：D.

【点睛】本题考查直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键.

6.（2023春・广西贵港•八年级统考期中）将一副直角三角板如图放置，使含30。角的三角板

的短直角边和含45。角的三角板的一条直角边重合，则N1的度数为（）度.

A.60B.75C.45D.30

【答案】B

【分析】利用三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解.

【详解】解：由题意得NA=60。，ZB=45°,

0Z1=ZACB=180°-ZA-ZB=75°,

故选：B.

【点睛】本题考查了三角形内角和定理，对顶角的性质，掌握相关性质是解题的关键.

7.（2023秋・重庆忠县•八年级统考期末）如图所示，将-A沿着3C折叠到-A所在平面

内，点A的对应点是A，，若NA=54。，贝吐1+/2=（）

A.144°B.108°C.72°D.54°

【答案】B

【分析】先根据折叠求出N1和N2的补角，再求N1+N2即可.

【详解】回将—A沿着折叠到—A所在平面内，点A的对应点是A,

回N1的补角为2NACB,N2的补角为2NABC,

0ZA=54°,

0ZABC+ZACB=180°-ZA=180°-54°=126°,

02ZABC+2ZACB=252°,

0Z1+Z2=180°-2ZABC+180°-2ZACB=360°—252°=108°,

故选B.

【点睛】本题考查了折叠的性质和三角形内角和定理，根据折叠的性质得到N1+N2和-A

的关系是解题的关键.

8.（2023秋•山东济南•八年级校考期末）两个直角三角板如图摆放，其中

NBAC=NEDF=90°,ZE=45°,ZC=30°,AB与DF交于点M.若3C7/E尸，则

NBMD的大小为（）

BDC

A.60°B.67.5°C.75°D.82.5°

【答案】C

【分析】根据BC//EF,可得NFD3=N/=45。,再根据三角形内角和即可得出答案.

【详解】由图可得NB=60。，ZF=45°,

0SC//EF,

0ZFDB=ZF=45°,

0NBMD=180°-NFDB-ZB=180°-45°-60°=75°,

故选：C.

【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和，掌握平行线的性质和三角形的内角

和是解题的关键.

二、填空题

9.（2023秋•广东汕头•八年级统考期末）如图，在ABC中，点、D、E分别在3C、AC

上，ZB=40°,ZC=60°.若DE//AB,则

It

D

【答案】100

【分析】先根据三角形内角和定理求出0A=80。，再根据平行线的性质，求出一血＞,即

可.

【详解】解:0=40°,ZC=60°,

函4=180°-40°-60°=80°,

旦DE//AB,

0ZAED=180°-80°=100°.

故答案是100.

【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角

互补，是解题的关键.

10.(2023秋・山东济宁•八年级统考期末)如图，ABC中，ZB=80°,ZC=70°,将

"。沿石尸折叠，A点落在形内的A,则N1+N2的度数为.

【答案】60°

【分析】先根据三角形内角和定理求出-A的度数，进而得出4止F+加E的度数，再根

据图形翻折变换的性质得出NA'EF+NA'FE的度数，最后由四边形的内角和为360。即可得

到结论.

【详解】解：ZB=80°,ZC=70°,

.•.ZA=180°-ZB-ZC=180°-80°-70°=30°,

ZA£F+ZAFE=180°-ZA=180°-30°=150°,

AEF由AAEF折叠而成，

ZAEF+ZAFE=ZAEF+ZAFE=150°,

.-.Zl+Z2=360°-ZB-ZC-(ZAEF+ZAFE)=360°-80°-70°-150°=60°,

故答案为：60°.

【点睛】本题考查了三角形内角和定理和折叠问题，熟知三角形内角和是180。，折叠前后

对应的角相等是解答此题的关键.

11.（2023秋•甘肃定西•八年级校考期末）如图，ABC中，ZA=60°,点、E、尸在A3、

AC上，沿E尸向内折叠AAEf，得_DEF,则图中N1+N2等于.

【分析】根据三角形的内角和等于180。求出加F+WE的度数，再根据折叠的性质求出

的度数，然后根据平角等于180。解答.

【详解】解：乙1=6。。,

ZAEF+ZAFE=180°-60°=120°,

沿跖向内折叠尸，得DEF,

ZAED+ZAFD=2（ZAEF+ZAFE）=2x120°=240°,

.-.Zl+Z2=180ox2-240°=360°-240°=120°.

故答案为：120°.

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，翻转变换的性质，整体思想的利用是解题的关

键.

12.（2023秋•黑龙江齐齐哈尔,八年级统考期末）如图，在ABC中，沿DE折叠，点A落

在三角形所在的平面内的4处，若NA=30。，々图=8。°,则/C£4=.

【分析】根据折叠的性质得出=44即=/4区＞,根据NBDA=80°,得

出NAED=100。，根据/（7码=44应）+441a）-180。，即可求解.

【详解】解：回沿DE折叠，点A落在三角形所在的平面内的A处，

EZADE=NADE,NAED=Z^ED,

=80°,

0ZAD^=ZADE+Z^DE=100°,

EINAOE=NAOE=50°

SZAED=1800-ZA-ZADE=100°

0ZA£D=Z^£Z）=1OOO

0ZC£A=NAED+ZA,ED-180°=20°,

故答案为：20.

【点睛】本题考查了折叠问题中的三角形内角和定理的应用，掌握折叠的性质以及三角形

内角和定理是解题的关键.

13.（2023秋•河南郑州•八年级校考期末）如图所示，将三角形纸片A3C沿DE折叠，点A

落在点尸处，已知/1+/2=128。，则NA是度.

【分析】根据折叠的性质可知NAD£=NEDP,ZAED=ZDEP,利用平角是180。，求出

ZADE与NAED的和，然后利用三角形内角和定理求出NA的度数.

【详解】解：将纸片ABC沿DE折叠，点A落在点尸处，

:.ZADE=ZEDP,ZAED=ZDEP,

.-.Z1+2ZADE+Z2+2ZAED=180°+180°,

Z1+Z2+2（ZADE+ZAED）=360°,

又［Zl+Z2=128°,

ZADE+ZAED=116°,

ZA=1SO0-（ZADE+ZAED）=64°.

故答案是：64.

【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），解题的关键是挖掘出隐含于题中的已知条件:

三角形内角和是180。、平角的度数也是180。.

14.（2023秋•北京东城•八年级北京市第五中学分校校考期中）如图，D,E分别为一ABC

的边A3,AC上的点，DE//BC,将ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点尸

处.若4=55。，则ZBDF的度数为。.

【答案】70

【分析】首先根据平行线的性质，可得NADE=NB=55。，再根据折叠的性质，可得

ZADE=ZEDF=55°,再根据平角的性质，即可求得答案.

【详解】解：DE//BC,

:.ZADE=NB=55。,

根据折叠的性质，可得ZADE=NEDF=55。,

NBDF=180°-ZADE-ZEDF=180°-55°-55°=70°,

故答案为：70.

【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，平角的性质，熟练掌握和运用各图形的

性质是解决此题的关键.

三、解答题

15.（2023秋•八年级课时练习）如图，点P为.ABC的内角平分线3尸与CP的交点，求

证：ZBPC=90°+-ZA.

2

【答案】见解析

【分析】由角平分线的定义求得NABC=2NPBC,ZACB=2NBCP,再利用三角形的内角

和定理即可证明.

【详解】证明：BP、CP是角平分线，

:.ZABC=2NPBC,ZACB=2NBCP,

ZASC+ZACB+ZA=180°,

2NPBC+2/BCP+NA=180。，

又NPBC+NBCP+NBPC=180。,

:.ZBPC=9G0+-ZA.

2

【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理

是解题的关键.

16.（2023春•湖南岳阳•八年级统考期中）AD.BE为ABC的高，AD、鹿相交于X点，

ZC=50°,求NBHD.

【答案】50°

【分析】根据同角的余角相等求出NBHD=NC,从而得解.

【详解】解：EIAD是一ABC的高，

©ZBHD+ZHBD=90P,

团班是一ABC的高，

EZfi®D+ZC=90°,

0ZBHD=ZC,

回"=50。，

ElZBHD=50°..

【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，同角的余角相等的性质，熟记性质并

准确识图是解题的关键.

17.（2023秋•浙江湖州•八年级统考期末）如图，在ABC中，CO是/ACB的平分线，高

AE与CP相交于点O.若Zfi4C=70。，ZACB=60°.求：

（1）/3的度数；

（2）ZAOD的度数.

【答案】⑴50。

（2）60°

【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可求出答案.

（2）利用角平分线求出/COE度数，在根据三角形内角和定理即可求出NEOC的度数,

利用对顶角相等可求出ZAO。的度数.

【详解】（1）解：ZBAC=10°,ZACB=60。，

•.ZB=180°-ZBAC-ZACB=180°-70°-60°=50°；

(2)解：ZACB=60°,8是/4?3的平分线,

ZDCB=-ZACB=30°,

2

.高AE与CO相交于点。,

.-.AE±BC,

:.ZAEC^90°,

.ZCOE=180°-90°-30°=60°,

ZAOD=ZEOC（对顶角相等），

ZAOD=ZEOC=60°.

【点睛】本题主要考查的知识点有三角形内角和定理、角平分线的定义和对顶角相等，解

题过程中是否能熟练运用定理和性质是解题的关键.

18.（2023春・浙江•八年级专题练习）用反证法证明"三角形三个内角中，至少有一个内角

小于或等于60。.”

己知：/A,NB,/C是4ABe的内角.

求证：/A,NB,2C中至少有一个内角小于或等于60。.

【答案】见解析

【分析】根据反证法证明方法，先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结

论成立.

【详解】证明：假设求证的结论不成立，那么三角形中所有角都大于60。，

.-.ZA+ZB+ZC>180°,

这与三角形的三内角和为180。相矛盾.

假设不成立，

三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度.

【点睛】本题考查了三角形内角和定理考查反证法，解题关键要懂得反证法的意义及步

骤.反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成

立，则结论成立.在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只

有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定.

19.（2023秋•贵州贵阳•八年级统考期末）如图，在ABC中，3。平分/ABC,C£>平分

NACB,ZA=70°,求一。的度数.

【答案】125。

【分析】先根据三角形内角和定理求出NABC+NACB=110。，再由角平分线的定义推出

ZDBC+ZDCB=55°,进而利用三角形内角和定理求出NO的度数.

【详解】解：0ZA=7O°,

0ZABC+ZACB=180°-ZA=110°,

回8。平分/ABC,CD平分，ACS,

EZDBC=-ZABC,ZDCB=-ZACB,

22

0ZDBC+ZDCB=-ZABC+-ZACB=55°,

22

EZD=180°-ZDBC-ZDCB=125°.

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形内角和为180。

是解题的关键.

20.（2023春・河南郑州•八年级郑州外国语中学校考期末）学习了证明的必要性，张明尝试

证明三角形内角和定理，下面是他的部分证明过程.

已知：如图，BBC,求证：ZA+ZB+ZC=180°.

证明：过点A作直线OE〃3C...

【答案】见解析

【分析】过点A作直线根据平行线的性质可证得=ZEAC=Z.C,

再根据平角的性质，即可证得.

【详解】证明：如图：过点A作直线DE〃3C,

QZDAB+ABAC+NEAC=180°,

.-.ZB+ZBAC+ZC=180o.

【点睛】本题考查了三角形内角和定理的证明方法，熟练掌握和运用三角形内角和定理的

证明方法是解决本题的关键.

21.（2023秋•四川达州•八年级校考期末）如图，在A4BC中,CDSAB,垂足为，点E在

上，EF^AB,垂足为尸，01=02.

（1）试说明OG0BC的理由；

（2）如果02=34。，且她。£>=47。，求团3的度数.

【答案】（1）DG0BC,详见解析；（2）03=103。.

【分析】（1）先根据垂直定义得出回CDFWEFB=90。，根据平行线判定可得出CD回EF,故可得

出回2=E1BCD,推出ElbEIBCD,根据平行线的判定即可得出结论；

（2）先根据CDI3AB得出0BDC=90。，由直角三角形的性质得出回BCD的度数，故可得出0ACB

的度数，再根据平行线的性质即可得出结论.

【详解】解：（1）DG0BC.