人教版2025年高考数学二轮复习模拟试卷与答案

备战2025年高考数学模拟卷

黄金卷01

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的

相应位置直接填写结果。

1.已知全集0=*集合/=卜料>2},则而=.

【答案】［-2,2］

【分析】

根据补集的定义直接进行运算即可.

【详解】因为M={刈乂>2},

所以双={小归2}={尤|-24工42},

故答案为：［-2,2］.

/\f—2X-1,x1//\\1

2.设函数〃“，若/（〃2））=不，贝/=__________.

ICl,X<13L

【答案】2

【分析】根据函数解析式，代入求值.

/\2x—1,x1/、

【详解】函数〃尤）=工1，有"2）=—2x2—1=—5,

贝U/（/（2））=/（-5）=。-5=:=解得q=2.

故答案为：2

3.不等式-/一3尤+4>0的解集为.（用区间表示）

【答案】（T1）

【详解】由-/_3犬+4<0得：T<x<l,所以不等式-/-3工+4>0的解集为（T1）,所以答案应填：（<1）.

考点：一元二次不等式.

4.已知平面向量a=（i,后），=（o,V3-i）,则z在石方向上的投影为.

［答案］8二

2

【分析】先通过5=万-（万-5）求出然后直接使用n在日方向的投影的定义同♦cosR,0即得结果.

【详解】由于，«=（1,V3）,=（0,5^-1）,从而方=万一（万一方）=（1,1）,

,,/一八a-b1+61+672+76

故苕在方方向上的投影为同,cos",6）=同==飞==一?一

72+76

故答案为:

2「

5.若抛物线〉=!》2的焦点到直线y=l的距离为1,则实数加的值为.

m

【答案】8

（m

【分析】先求得抛物线的焦点为尸［o，］vriJ\,根据题意，列出方程彳-1=1,即可求解.

【详解】由抛物线>=工/可化为炉=〃少，可得其焦点为歹卜,;］,

mI4）

1vyi

因为抛物线y=-x2的焦点到直线y=1的距离为1,可得丁-1=1,

m4

解得加=8或根=0（舍去），故实数加的值为8.

故答案为：8.

6.复数Z'T一^T，贝！Iz3=____.

3+41

【答案】1/0.2

【分析】先利用复数的除法运算化简z,再利用复数的乘法计算即可.

l+2i（l+2i）（3-4i）ll+2i112.

【详解】-----——--------------=------=11

3+4i（3+4i）（3-4i）252525

z."E+Zipl_Z]=?+*=空」

（2525人2525）6256256255

故答案为：—.

7.如图，正方体A8cr>-A8|G2中，E为A8的中点，产为正方形比。耳的中心，则直线砂与侧面321cle

所成角的正切值是.

【分析】连接班，得到ZEFB即为EP与平面88。。所成的角，在直角△跳2中，即可求解.

【详解】如图所示，连接取，

在正方体ABCD-ABCA中，可得，平面BCC,B,,

所以㈤B即为所与平面BBiGC所成的角，

设正方体ABCD-ABC。的棱长为2,贝1|EB=1,2尸=行，

在直角△跳2中，tanZEFB=—=—.

BF2

故答案为：冬

8.已知多项式(1+》)(1-*)5=/+01%+%X2+。3》3+44》4+。5丁+4》,对一切实数X恒成立，贝I」/+生=

【答案】1

【分析】赋值x=0可得q=1,再用通项求出。3=。，相加即可.

【详解】令X=0可得%=1,

又(I-域展开式的通项为&=G(f)',

令r=3可得C：(—l)3=—10；令r=2,可得C；=10,

所以为=1x(—10)+1x10=0,

所以。0+。3=1，

故答案为：L

9.函数“同=8$(8+0)9€(0,2兀)在彳€1<上是单调增函数，且图像关于原点对称，则满足条件的数对

(①,<p)=___________.

【答案】陷,吟

【分析】

由函数在R上单调增得出出=0,再由函数图像关于原点对称得出f(x)=cose=0,即可得出答案.

【详解】当0片0时，〃x)=cos((yx+e)0€(0,2兀)在xeR上必有增有减，不合题意,

故切=0,此时f(x)=cose0W(O,2TI),为常值函数，由其图像关于原点对称,

713兀3兀

所以/(%)=COS°=0,所以。=5或g,故满足条件的数对为［呜J,［。,

22

故答案为：卜加吟］

10.非空集合A中所有元素乘积记为7(A).已知集合"={1,4,57.8},从集合〃的所有非空子集中任选一

个子集A,则7(A)为偶数的概率是.(结果用最简分数表示)

24

【答案】

【分析】先求出集合M的所有非空子集的个数，然后求出T(A)为奇数的集合A的个数，从而求出7(A)为

偶数的集合A的个数，最后由古典概型的概率计算公式可求.

【详解】解：因为集合知={145,7,8},所以集合M的所有非空子集共有25-1=31个，

若T(A)为奇数，则A中元素全部为奇数，

又{1,5,7}的非空子集个数，共有23-1=7个，

所以7(A)为偶数的共有31-7=24个，

故T⑷为偶数的概率是亲

..、24

故答案为：—.

【点睛】结论点睛：若集合A有〃个元素，则集合A的子集有2'个，非空子集有2"-1个.

11.设点尸在直线5=0上，点。在曲线「：y=x+lnx上，线段PQ的中点为。为坐标原点，

则|两|的最小值为.

【答案】述

5

【分析】通过转化可得的最小值为。(电沃+山々)到西+5)距离平方的最小值，利用导数

求出切线即可得.

5

【详解】由题可设*%,2%-5),e(x2,^+lnx2),则加］五产，k上殳］

贝11OM|2=+广一5+；2+—2

即41OM•xj丁+［(“2+lnx,)—(-2无］+5)丁，

2

即41OM|的最小值为Q(X2,X2+山々)至I］N(-石,一2%+5)距离平方的最小值，

其中点。在曲线y=x+lnx上，N在直线y=2x+5上，

IQN|的最小值为在曲线y=x+l皿上与直线y=2x+5平行的切线的切点到直线y=2x+5的距离,

设切点为（Xo，x（）+lnxo）,

因为曲线'=》+质导数y=l+L则1+工=2,解得%=1,所以切点为（1,1）,

xxo

所以|Q”m=皑所以|0M|.=迷.

'lnun«+227551lmm5

故答案为：—.

5

【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将问题转化。卜再+历々）到N（f,-2Al+5）距离平方的最小值，从

而结合导数的意义即可得解.

tzn+log2n,l<M<10

12.数列5｝满足,ny-10⑺，且％=。，s.为何｝的前〃项和，求:吧s.=

10

I2⑴•—>10

【答案］362918+17log23+71og25+4log27

【分析】逐项代入可得4,4…如，再根据等比数列求和与极限求解即可.

【详解】由题，%=0,=0+log2l=0,a3=0+log22=l,a4=l+log23,

a5=l+log23+log24=3+log23,a6=3+log23+log25,

a-j=3+log23+log25+log26=4+2log23+log25,

4=4+21og23+log25+log27,

%=4+21og23+log25+log27+log28=7+2log23+log25+log27,

%。=7+2log23+log25+log27+log29=7+4log23+log25+log27.

an=8+4log23+2log25+log27.

S[[=0+0+1+(1+log23)+(3+log23)+(3+log23+log25)+(4+21og23+log25)

+(4+2log23+log25+log27)+(7+2log23+log25+log27)+(7+4log23+log25+log27)

+(8+4log23+2log25+log27)

=38+171og23+7log25+41og27.

又当〃>10时，a向,故

a

=Sll+2'°

7+41823+log25+log27

=38+171og23+71og25+4log,7+2°

741og231Ofe5log27

=38+171og23+71og25+41og27+2x2x2x2

=38+171og23+71og25+41og27+128x81x5x7

=362918+171og23+71og25+41og27.

故答案为：362918+17log23+71og25+4log27

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一

个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑.

13.函数y=2sinx-cosx(xeR)的最小正周期为()

3兀71

A.2兀B.兀C.—D.一

22

【答案】A

【分析】利用辅助角公式将函数化成y=Asin(s+°)的形式，代入周期公式可得结论.

【详解】易知y=2sinx-cosx=A/^sin(x+9),其中tan°=-g,

由周期公式可得其最小正周期为7=3=2九

co

故选：A

14.为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据(见下表)：

X12345

y0.50.911.11.5

若已求得一元线性回归方程为、="+0.34,则下列选项中正确的是()

A.«=0.21

B.当x=8时，y的预测值为2.2

C.样本数据y的第40百分位数为1

D.去掉样本点(3,1)后，尤与y的样本相关系数r不会改变

【答案】D

【分析】由表格数据求出样本点的中心坐标，代入可得a的值由此即可判断A,进一步可得回归方程，由此

即可验算B选项，由百分位数的概念即可判断C,由相关系数公式即可判断D.

1+2+3+4+50.5+0.9+1+1.1+1.5

【详解】工==3,y==1,所以样本点的中心坐标为（3,1）,

55

将它代入、=分+0.34得，3a+0.34=1，解得a=0.22，故A错误；

对于B,当x=8时，y的预测值为y=0.22x8+0.34=2.1,故B错误；

对于C,样本数据y的第40百分位数为&受=0.95,故C错误；

对于D,由相关系数公式可知，去掉样本点（3,1）后，尤与y的样本相关系数r不会改变，故D正确.

故选：D.

15.已知点。为VABC的外心，且常.通+的.元〈文.方，则VA2C为（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定

【答案】C

【分析】取的中点N,BC的中点M,AC的中点E,可得ON_LAB,OMLBC,OELAC,分别利

用协通=（萍+呵正;画:丽屈=〔厚+呵屈=；网）,

前.Gugau的｝=（『和余弦定理可得答案.

【详解】VABC三个角所对的三边分别为。，瓦c,

取AB的中点N,BC的中点M,AC的中点E,

连接ON,OM,OE,则ON_LAB,OMLBC,OELAC,

所以彷荏平通+而卜丽=；（碉2+而.而△（砌2=为，

（2j22

苑配=g就+砌屈=；（而）2+砺.前=（（而）2f二

2

W-CA=（-CA+W]-CA=-（CA^+W-CA=-（CA^=-b,

12）222

因为荷・亚+的•反,

所以工。2+,/<工62,即02+/<62,

222

「242_人2

由余弦定理得cosB='二——＜0,因为0＜3＜兀，所以一＜3＜几，

2ac2

即VABC为钝角三角形.

故选：C.

B

NM

O

16.已知定义在R上的函数/(x),g⑺的导数满足/(x)|Vg，(x),给出两个命题：

①对任意占，尤2eR,都有/(占)-/(%2)闫8(占)-8(尤2)|；②若g(x)的值域为W，"]J(T)=〃2，〃1)=M,

则对任意尤eR都有/(x)=g(x).

则下列判断正确的是()

A.①②都是假命题B.①②都是真命题

C.①是假命题，②是真命题D.①是真命题，②是假命题

【答案】B

【分析】对于①，根据不等式|〃占)-八9)|V|g(网)-g优)|,构造函数为(无)=/(%)-g(Hm(x)=/(x)+g(x),

然后利用函数的单调性证明即可；对于②，根据函数的值域和单调性，结合不等式求解即可.

【详解】0W『")|4g'(x),故g(x)在R上递增，

对于①，设无1>々，，g(%)>g(%)，

设为(X)=/(x)-g(x),加(X)=/(无)+g(尤)，

\f'(x)\<g\x),-g\x)<f'(x)<g'(x),

h'(x)=((尤)一g'(x)<0,/(无)=f'(x)+g'(尤)>0,

单调递减，m(x)单调递增，

"(%)-g(%)4〃/)-g®)，即/(石)-/(马)Vg&)-gQ)，

〃石)+8(玉)2/(%)+8(%),即〃3)-/(%)*(%2)-8(%),

.•.|/(^)-/(x2)|<<g(x1)-g(x2)

故I”再)-/(%)目g(%)-g(々)1,故①是真命题.

对于②，由①知,|/(-1)-/(1)|<|§(-1)-§(1)|,

即“一根Sg(-l)-g⑴

•••Ig(-l)-g(l)|<M-m,故Ig^-g(V)\=M-m.

且g(x)在R上递增，故g6=M,g(T)=m,

,市(%)一〃X2)归|g(?i)-g(X2)|vM-〃，，

故外力的值域为[私M],

所以

|/(l)-/(x)|<|g(l)-g(x)|

即故/(x)=g(x),

②是真命题.

故选:B

【点睛】关键点点睛：本题①判断的关键是首先根据导数和函数单调性的关系得到g(x)在R上递增，再构

造函数//(尤)=/(3-g(尤)，皿x)=f(x)+g(x),利用导数得到其单调性，最后得到

|/(xj-/(x2)|<g(xj-g(x2)，则可判断①.

三、解答题(本大题共有5题，满分78分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.

17、(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)

直四棱柱AB。-A耳GA，AB//DC,AB1AD,AB=2,AD=3,0c=4

⑴求证：”〃面DCG。；

(2)若四棱柱体积为36,求二面角\-BD-A的大小.

【答案】(1)证明见解析

0,2行

(2)arctan-------

3

【分析】(1)由面面平行的判定定理与性质定理证明，

(2)由棱柱的体积公式求解高，再由二面角的定义求解,

【详解】(1)由题意得A4/。。，AB//CD,

平面,£)]£),CDu平面2CD,

，4A〃平面RC。，ABH平面RC。

而AAnAB=A,平面A4B〃平面RCO,

又♦.•A8u平面AAB,，AB〃平面OCCQ

(2)四棱柱体积V=SABC"AA，

^f36=1x（2+4）x3xA41,得9=4,

过A点作/忘,助，垂足为E,连接AE,

由AA_L平面ABC。，瓦）得AE_L8D（三垂线定理），

故ZA.EA即为二面角A.-BD-A的平面角，

,―2x36

32,例=3,得心不才正’

故tan/A£A=^=+=孚，ZAEA=arctan

18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）

已知数列｛4｝满足log,a„+1=1+log2an,且q=2.

（1）求生。的值；

,A,

⑵若数列｛见+一｝为严格增数列，其中4是常数，求2的取值范围.

an

【答案】⑴4。=1024

（2）2<8

【分析】（1）根据对数运算性质可得。用=2%,即可判断｛%｝为等比数列，即可根据等比数列的通项求解,

（2）利用作差法可得4<2?向对正整数“恒成立，即可求解.

【详解】（1）由bg2%+i=l+bg2。”，得bg2a同=log2（2a"），故%+1=2%,即％3'=2.

an

又q=2R。，故数列｛%｝是以2为首项，2为公比的等比数列.

从而，%=%0i=2".所以即,=1024.

2A

（2）设数列｛2｝满足d=%+—=2"+^,

因为数列｛〃,｝为严格增数列，

21

+1

故bn+l-b„=（2"+9）-⑵+?;）>0对正整数九恒成立，

即X<22,1+1对正整数“恒成立，

当〃=1时，2?用取到最小值8.所以几<8.

19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）

ChatGPT是OpenAI研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够基于在

预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数据信息的影响，不一定完全

正确.某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正

确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18.假设每次输入的问题出现语法错误的概率

为0.1,且每次输入问题，ChatGPT的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战一下ChatGPT,小

张和ChatGPT各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答，已知在这10个问题中，小张能正确作答其中

的9个.

⑴求小张能全部回答正确的概率；

（2）求一个问题能被ChatGPT回答正确的概率；

（3）在这轮挑战中，分别求出小张和ChatGPT答对题数的期望与方差.

【答案】⑴

（2）0.9；

（3）小张答对题数的的期望为8.1,方差为0.09,ChatGPT答对题数的期望为8.1,方差为0.81.

【分析】（1）根据古典概型的概率公式，即可求得答案；

（2）设事件A表示“输入的问题没有语法错误”，事件8表示“一个问题能被ChatGPT正确回答“，确定相

应概率，根据全概率公式，即可求得答案；

（3）根据期望以及方差的计算公式，即可求得答案；

【详解】（1）设小张答对的题数为X,贝I]P（X=9）=3=[.

jo1U

（2）设事件A表示“输入的问题没有语法错误”，事件3表示“一个问题能被ChatGPT正确回答”，

由题意知尸（3=0.1,尸（网A）=0.98,P（B|A）=0.18,

则P（A）=l-P（A）=0.9,

P（B）=P（BnA）+P（BnA）=P（B|A）P（A）+P（B|A）P（A）

=0.98x0.9+0.18x0.1=0.9；

（3）设小张答对的题数为X,则X的可能取值是8,9,

且尸（X=8）=等=4，尸（X=9）=S$,

jo1ULqo1U

设ChatGPT答对的题数为y,则y服从二项分布3（9,5）,

91

贝ljE(X)=8x而+9x而=8.1,E(Y)=np=9x0.9=8.1,

D(X)=(8-—)2x—+(9-—)2x—=0.09,

10101010

£>(y)=/ip?=9x0.9x0.1=0.81.

20、(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.

如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆r：］+V=i的左，右焦点外别为£,鸟，设P是第一象限内：r上的一

点，尸耳PE的延长线分别交「于点Q2.

⑴求氾的周长；

(2)求△尸片&面积的取值范围;

(3)求名期&-5»尸必的最大值.

【答案】⑴40;

(3)述,

3

【分析】(1)根据题意，由椭圆的定义即可得到△尸2盘的周长为4a,从而得到结果；

(2)根据题意，联立直线尸色与椭圆方程，结合韦达定理与弦长公式代入计算，即可得到结果；

(3)根据题意，联立直线与尸的方程与椭圆方程，代入计算，即可得到点0的坐标，同理可得点Q的坐标,

然后表示出S△两Q-S△网必，结合基本不等式即可得到结果.

【详解】(1)..・丹,鸟为椭圆C的两焦点，且P,Q?为椭圆上的点，

PFI+PF2=Q再+Q2F2=2a,从而APR耳的周长为4a.

由题意，得4a=4夜，即△尸的周长为4点.

(2)由题意可设过尸。2的直线方程为》=冲+1,*为,%),。2(为2，%)，(%>0,%>0)

联立；二，消去X得"+2)y2+2殁-1=0,

因为直线尸&所过定点(1,0)在椭圆内,则直线与椭圆必有两交点，

mi2m1

贝1%+%=FTP%，%=，

m+2m+2

所以|%-%|=

令力=1——0<r<-

m2+2[2

则1%-%|=，,一/）<72（当，=；时等号成立，即加=0时）

所以，咫0=与||%-%|=。'2.|%-%|=|%-％区0，

22

（3）设乌（%,%），直线平的方程为「台（川），将其代入椭圆「的方程可得

整理可得（2%+3）x2+4jgX—3%g—4x（）=0,

_3x；_4%/曰3x0y+4%3%+41]=%

则xox1=得网=————,y.

2x0+32尤o+3%+112x0+3J2x0+3

3%+4y

故。0

2XQ+3'2x0+3

当"叫直线切勺方程为：户和（1）,将其代入椭圆方程并整理可得

（-2x0+3）x~-4芥尤—3龙;+4x0=0,

3%-4%,

同理，可得Q?2%—32XQ—3J

所以Sg°2-S,"2,=gx2-（一%）-gx2-（一y）

-y_y-_I______%_8X（）%=8<8=2抗

~2X0+32尤。-3-无。2+18%2一员.18%-2卜。18%—3

%%~V%%

当且仅当天=¥，%=吟时，等号成立.

若巴…轴时，易知尸卜［卜=二%=一£,

,,n.cc_V2（应］_2近

S

此时余期@-.PF2Q,=%一%=一而一1一-=

综上，S-SAPF0的最大值为2f.

【点睛】关键点点睛：本题主要考查了直线与椭圆相交问题，以及椭圆中三角形面积问题，难度较大，解

答本题的关键在于联立直线与椭圆方程，结合三角形的面积公式代入计算.

21、(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.

若函数，=/(尤)满足：对任意的实数s,小(0,+8),有/(s+r)>f(s)+y⑺恒成立，则称函数y=/(x)为14S

增函数”.

⑴求证:函数y=sinx不是“E增函数”；

⑵若函数y=是“E增函数”，求实数々的取值范围；

⑶设g(x)=e*ln(l+x),若曲线y=g(x)在x=/处的切线方程为'=心求/的值，并证明函数y=g(x)是

“E增函数

【答案】(1)证明见解析

(3)无o=。，证明见解析

【分析】(1)取反