全等三角形辅助线与模型（考题猜想7种热考模型）原卷版

专题02全等三角形辅助线与模型（考题猜想，7种热考模

型）

墨型人集合

题型一：3暨超片中线模型（共4题）

题型二:平行线+线段中点构造全等模型（共6题）

题型三：角平分线+垂直构造全等模型（共1。题）

-------全等三角形辅助线与模型题型四：三垂直（K字）二一线三等角模型（共6题）

题型五：手拉手模型（共晦）

题型六：夹半角与截长补短（共8题）

题型七：婆罗摩笈逑妈（共5题）

大通关

题型一：中点模型之倍长中线模型（共4题）

1.（2022秋•郸州区校级期末）如图，在RtAABC中，ZACB=90°,。为Afi的中点，连结DC,作D"_LOC

交AC于点M.若AB=1O,AM=2,则CM=.

2.（2022秋•常德期末）（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1,在AABC中，

若AB=13,AC=9,求3c边上的中线AD的取值范围.

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，延长的＞至点E,使。E=AD,连接BE,容易证得

AADCMAEDB,再由“三角形的三边关系”可求得A3的取值范围是

解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所

求证的结论集中到同一个三角形之中.

(2)【初步运用】如图2,AD是A/RC的中线，3E交AC于E,交4)于尸，且.若隹二人

EC=3,求线段加7的长.

(3)【拓展提升】如图3,在AABC中，。为3c的中点，DE，//分别交AC于点E,F.求证:

BE+CF>EF.

图1

3.(2022秋•梅里斯区期末)阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明.

己知：如图，点E是3C的中点，点A在Z史上，且ZBAE=NCDE.

求证：AB=CD.

分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的

两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证=必须

添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形.

(1)现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明.

①如图1,延长DE到点尸，使EF=DE,连接所；

②如图2,分别过点3、C作斯，DE,CG±DE,垂足分别为点P,G.

(2)请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明.

/图1图2图3

»

4.（2022秋•桐柏县校级期末）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容:

例4理13213,在△ABC中，D是边BC的中

点，过点C画直线CE,使CE/AB,交AD的延长线/

于点E,求证：AD=ED/\

证明/CE//AB（已知）//\

Z.4BD=ZECD.ZBAD=ZCED（两直线平BD/C

行，内错角相等）./

在AABD与AECD中，

'：Z.ABD=ZECD5ZBAD=ZCED（已证），

BD=CD（已知：）,图13213

「.△ABD丝ZkECD（A.A.S），

「.AD=ED（全等三角形的对应边相等）.

</

（1）【方法应用】如图①，在AABC中，AB=6,AC=4,则边上的中线AD长度的取值范围

是.

（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，AB//CD,点E是3c的中点,若是44£＞的平分线,

试猜想线段4?、AD.0c之间的数量关系，并证明你的猜想；

（3）【拓展延伸】如图③，已知AB//CF,点E是3c的中点，点。在线段发1上，ZEDF=ZBAE,若AB=5,

CF=2,直接写出线段DF的长.

A

图①图②图③

题型二：平行线+线段中点构造全等模型(共6题)

1.(2024春•平房区期末)如图，己知AB//CF,点E是3c的中点，点。在线段?1E上，ZEDF=ZBAE,

若AB=5,CF=2,则线段DF的长为.

2.(2023秋•东莞市校级期末)AABC中，尸是3C边上的一点，过P作直线交至于Af,交AC的延长线

于N,且.PM=PN,MF//AN,

(1)求证：APMF=APNC;

(2)若AB=AC,求证：BM=CN.

3.(2023春•浦东新区校级期末)如图，在四边形ABCD中，AD//BC,E是筋的中点，连接上并延长

交C3的延长线于点P,点G在边3c上，且4=N2.

(1)求证：MDE^ABFE；

(2)连接EG,试说明EG与OF垂直的理由.

4.(2024秋•丰台区校级月考)如图，A,B,C二点共线，D,C,E二点共线，ZA^ZDBC,EFA.AC

于点F,AE=BD.

(1)求证：C是DE的中点；

(2)求证：AB=2CF.

5.(2023秋•岳阳楼区校级期末)如图，等腰RtAACB中，ZACB=90°,AC=BC,E点为射线CB上一动

点，连接AE,作且=

(1)如图1,过尸点作FG_LAC交AC于G点，求证：AAGF=AECA；

(2)如图2,连接■交AC于。点，若一=3,求证：E点为中点；

CD

(3)如图3,当E点在CB的延长线上时，连接班'与AC的延长线交于。点，若些=但(其中〃为正

BEn

数)，则任=.(用含〃的代数式表示)

CD

F

6.（2024春•锦州期末）【问题提出】

期末复习课上，数学丁老师出示了下面一个问题：如图1,在AABC中，。是54延长线的点，E是AC边

上一点，且满足/汨=3。，ZDEA=ZACB,那么A是瓦）的中点，请你说明理由.

【思路探究】

小王同学从条件出发分析解题思路：以DE为腰构造等腰ACER和平行八字型全等三角形，如图2,以点。

为圆心，以DE长为半径画弧，交C4的延长线于点尸，先应用等腰三角形的轴对称性，再应用三角形全等

“A4s”（或“ASA”）的判定方法即可得=AD,小张同学从结论出发分析解题思路：以至为腰构造

等腰AAB厂，将说明A£>=Afi的问题转化为说明AD=班'的问题，如图3,以点3为圆心，以AB长为半径

画弧，交AC于点尸，于是可得N3E4=NS4产，再应用三角形全等“AAS”（或“ASA”）的判定方法即

可得=B尸=AD.

图1图4

（1）请你选择小张同学或小王同学的思路或按自己的思路写出完整的解题过程;

【学以致用】

（2）请你在理解了小张同学或小王同学解题思路的基础上，解答下面一道图形较为复杂的同类问题：如图

4,在四边形ABCD中，AB=AC=CD,ZACD=90°,过点3作线段BE_LAB,且=连接DE,

交BC的延长于点b，猜想DF与防的数量关系并说明理由.

题型三：角平分线+垂直构造全等模型（共10题）

1.（2023秋•睢阳区期末）如图，AABC的面积为9cBP平分ZABC,APLBP于P,连接尸C,则AP3C

的面积为（）

A.3cm2B.4cm2C.4.5cm2D.5cm2

2.（2024春•泰山区期末）如图，P,。分别是3C,AC上的点，过点P作m_L45于点R,作尸S_LAC

于点S,若4。=尸。，PR=PS,则下面三个结论：①AS=AR；②QP//AR；®ABRP=ACSP,正确的

是（）

A.①③B.②③C.①②D.①②③

3.（2023秋•巴中期末）如图，。为ABAC的外角平分线上一点并且DG垂直平分3c交3c于点G,过。

作DE_LAC于E,交84的延长线于P,则下列结论：①）ACDE合NBDF；®AC-AF^BF-,③

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.（2023秋•苍梧县期末）如图，A4BC的面积为4cBP平分且"_L3尸于P,则AP3C的面

积为arr.

5.（2023秋•金山区期末）如图，NABC和NACD的平分线交于点E,过E作EG_L54交的延长线于点

G,EF_LAC交AC于点尸.

（1）求证：EG=EF；

（2）联结AE,求证：ZAEG=ZAEF.

G

6.（2023秋•鹿寨县期末）已知：如图，在AABC中，ZB=60°,D、E分别为AB、3C上的点，且AE、

CD交于点若AE、CD为AABC的角平分线.

（1）求NAFC的度数；

(2)若4)=6,CE=4,求AC的长.

5

7.(2023秋•潢川县期末)如图，在RtAABC中，ZACB=90°,ZA=60°,AC=4,CD平分NACB,交

边AB于点。，点E是边AB的中点.点P为边CB上的一个动点.

(1)AE=,ZACD=度；

(2)当四边形ACPD为轴对称图形时，求CP的长；

(3)若ACPD是等腰三角形，求NCPD的度数；

(4)若点Af在线段8上，连接MP、ME,直接写出MP+用石的值最小时CP的长度.

8.(2023秋•奉化区期末)如图，在AABC中，ZC>ZB,AD平分Na4C,点E是3C的中点，过点E作

团，AD交AD延长线于点

(1)求证：NC—NB=2NDEH.

(2)若45=加，AC=n,ZACB-ZDEH=60°,求EH的长(用机、”的代数式表示).

A

9.（2022秋•长沙期末）如图，AD为AABC的角平分线.

(1)如图1,若CE_LAD于点P,交至于点E,AB=8,AC=5.则5E=

(2)如图2,若NC=2NB,点E在他上，S.AE^AC,AB^a,AC^b,求CD的长；（用含a、6的

式子表示）

(3)如图3,BG1AD,点G在AD的延长线上，连接CG,若AACG的面积是7,求AABC的面积.

10.（2021秋•九龙坡区校级期末）如图，在等腰直角A4BC中，44C=9O。，点加为3c边上的中点.

（1）如图1,若点。、点E分别为线段AC、43上的点，且DC=E4,连接MD、ME,求证：MELMD-,

（2）如图2,若点。为线段AC上的点，点E为线段AB延长线上的点，且OC=£B,ZAED=3O°,连接

ED,交于点N,£F是NAED的角平分线，交AM于点F,连接⑷V、FD,探究线段4V、FD、AC

之间的数量关系，并给出证明.

E

题型四：三垂直（K字）、一线三等角模型（共6题）

1.（2023秋•永定区期末）在△ABC中，ZACB=9Q°,AC=3C,过点C作直线MN,于点A/,

BNIMNT点、N.

(1)若MN在△ABC外(如图1),求证：MN=AM+BN-,

(2)若跖V与线段互相交(如图2),>AM=2.6,BN=1.1,则MN=

图1图2

2.（2023秋•梅里斯区期末）在AABC中，ZACB^9O°,AC=3C,直线MN经过点C,且AD_LMN于。,

BELMN于E.

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，

求证：①AADCMACEB；

®DE=AD+BE-,

（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立,

说明理由.

3.（2024春•康平县期末）（1）猜想：如图1,已知：在AABC中，N54C=9O。，AB=AC,直线m经过点

A,3D，直线〃7,CEL直线力,垂足分别为点。、E.试猜想DE、BD、CB有怎样的数量关系，请直

接写出;

（2）探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2,将（1）中的条件改为：在AABC中，

AB=AC,D,A、E三点都在直线〃7上，ZBDA=ZAEC=ZBAC=a（其中c为任意锐角或钝角）

如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）解决问题：如图3,尸是角平分线上的一点,且和AACF均为等边三角形，D、E分别是直线

m上A点左右两侧的动点,D、E、A互不重合，在运动过程中线段DE的长度始终为〃，连接3D、CE,

若ZBDA=ZAEC=ZBAC,试判断AD所的形状，并说明理由.

图3

4.（2023秋•武威期末）在直线机上依次取互不重合的三个点。，A,E,在直线机上方有AB=AC,且

^^.ZBDA=ZAEC=ZBAC=a.

（1）如图1,当&=90。时，猜想线段DE,BD,CE之间的数量关系是；

(2)如图2,当0<«<180时，问题(1)中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说

明理由；

(3)拓展与应用：如图3,当#=120。时，点/为454C平分线上的一点，且=分别连接fB,FD,

FE,FC,试判断ADE尸的形状，并说明理由.

5.(2023秋•台江区期末)阅读理解，自主探究：

“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90。，于是有三组边相互垂直.所

以称为“一线三垂直模型”.当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形.

(1)问题解决：如图1,在等腰直角△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,过点C作直线DE,ADYDE

于。，于E,求证：△ADC-CEB；

(2)问题探究：如图2,在等腰直角△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,过点C作直线CE,AD_LCE于

D,比_LCE于E,AD=2.5cm,DE=\1cm,求班的长；

(3)拓展延伸：如图3,在平面直角坐标系中，A(-l,0),C(l,3),△ABC为等腰直角三角形，ZACB=90°,

AC^BC,求3点坐标.

6.(2023秋•金乡县期末)如图所示，在RtAABC中，NC=90。，点。是线段C4延长线上一点，且.点

尸是线段他上一点，连接上，以DF为斜边作等腰RtADFE.连接E4,且E4_LAB.

(1)若ZAEF=20。，ZADE=50°,则ZABC=°；

(2)过。点作DG_LAE,垂足为G.

①填空：ADEG=A；

②求证：AE=AF+BC；

（3）如图2,若点尸是线段54延长线上一点，其他条件不变，请写出线段招，AF,3c之间的数量关

系，并简要说明理由.

题型五：手拉手模型（共9题）

1.（2023秋•河东区期末）如图，已知：AC=BC,DC=EC,ZACB=ZECD=90°,ZEBD=38°,现有

下列结论：®ABDC=AAEC；②N4£B=128。；@BD=AE；®AE±BD.其中不正确的有（）

C.2个D.3个

2.（2023秋•华亭市校级期末）（1）如图（1）,AACB和ADCE均为等腰三角形，且NACB=NDCE=90。，

点A、D、E在同一直线上，连接班.则44£5的度数为一度，线段相>与庞:的数量关系为—（用

几何语言填写）.

（2）如图（2）,AACB和ADCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接3E.若NC4£>=30。,

求互与班的位置关系.

(1)

3.（2023秋•道外区期末）AABC中，ZCAB=ZCBA,分别以AC、为边作等边AACE、等边ABCD,

BD、AE交于点尸，连接CF并延长交AB于点G.

（1）如图1,求证：点G是钻的中点；

（2）如图2,连接小，在不添加字母和辅助线的情况下，直接写出图中所有能用图中字母表示的等腰三角

形（非等边三角形）.

4.（2023秋•斗门区期末）通过完全平方公式的灵活运用，可以解决很多数学问题.

例如：若a+b=3,ab=l,求4+6?的值.

解：a+b=3,ab=1,

;.（。+b）2=9,2ab=2.

a?+。~+2ab-9.

:.a2+b2=7.

根据上面的解题思路与方法解决下列问题：

(1)若a+b=3,ab-1,贝!|(a-6)2=；

(2)已知AABC,分别以钻、AC为直角边向AA5C两侧作等腰直角AABE和等腰直角AACD,其中

ZBAE=ZCAD=90°.

①如图1,若NS4c=90。，AABC的面积为12,AA5E和AACD的面积之和为26,求线段CE的长；

②如图2,若DC与BC在同一直线上，连接CE,延长ZM与CE交于点尸，连接砥并延长3尸与边AE交

于点G,且AF=AG,若AABE和AACD的面积之和为20,AABG的面积为6,求线段EG的长.

〃+2b——2

5.(2023秋•霸州市期末)如图1,在平面直角坐标系中，已知A(0,a)、8(6,0)且a、6满足

a-2b=6

(1)求证：ZOAB=ZOBA；

(2)若BC_LAC,求44CO的度数；

(3)如图2,若。是AO的中点，DEHBO,尸在线段43的延长线上，NEOF=45°,连接EF,试探究

和EF的关系.

6.（2023秋•红桥区期末）在A4BC和AAEF中，AB=AC,AE^AF,ZBAC=ZEAF,连接BE,CF.

【发现问题】如图①，若ZBAC=3O°,延长助交CF于点D,则助与CF的数量关系

是,N3DC的度数为.

【类比探究】如图②，若N54C=120。，延长BE,R?相交于点£）,请猜想BE与CF的数量关系及NBDC

的度数，并说明理由.

【拓展延伸】如图③，若NS4c=90。，且点5,E,尸在同一条直线上，过点A作垂足为点

M,请猜想加CF,AM之间的数量关系，并说明理由.

7.（2023秋•渝中区期末）已知，RtAABC中，ZACB=90°,N&4c=30。，点。为AC边上一动点，以BD

为边在BD的右侧作等边ABDE.

(1)如图1,若AC=6,80平分NABC,求3E的长；

(2)如图2,点尸是他的中点，CF的延长线交DE于点G,求证：DG=EG；

(3)若。为直线AC上一动点，在(2)的条件下，连接？1E,当ADCG为等腰三角形时，直接写出/心

的度数.

8.(2023秋•丹江口市期末)如图①,平面直角坐标系xOy中，已知A(a,0),B(0,b),且。，b满足

Ja+6=126—-36.

(1)填空：a=,b=,ABAO—

(2)如图②，C(M,0)是x轴正半轴上的一个动点，连接3C,将BC绕点3逆时针旋转90。至3D,问点。

是否在某条直线上运动？若是，请求出这条直线；若不是，请说明理由;

(3)如图③，当点C与点A关于y轴对称时，在直线至上的一点E满足EC=£O,请判断线段£B与CB

的数量关系，并说明理由.

图①图②图③

9.(2023秋•鼓楼区校级期末)已知，在平面直角坐标系中，A(a,0),Bg,0)为x轴上两点，且。，。满足：

/+6。+9+(°+6)2=0,点C(0,石)，NC4B=3O。，D为线段AB上一动点.

(1)则a=，b=;

(2)如图1,若点。在AC的垂直平分线上，作NBDE=120。，交BC的延长线于点E,连接AE,求证:

AE_Lx轴；

(3)如图2,作点。关于AC的对称点连接取3枚中点N.连接&V,CD,判断&V与CD的

数量关系，并说明理由.

图1图2

题型六：夹半角与截长补短（共8题）

方法:邻边相等的四边形中一个角夹它的半角，往往通过截长补短证明一次旋转型全等，再证明一次对称型

全等

1.（2021春•阜南县期末）如图，已知正方形ABCD中，点A/、N分别在边BC、CD上，NM4N=45。.

（1）求证：MN=BM+DN

（2）当AB=6,血W=5时，求ACMN的面积.

2.（2021春•深水区期末）同学们：八年级下册第9章我们学习了一种新的图形变换旋转，图形旋转过程中

蕴含着众多数学规律，以图形旋转为依托构建的解题方法是解决各类几何问题的常用方法.

【问题提出】

如图①，在正方形ABCD中，NM4N=45。，点M、N分别在边BC、CD上.求证：MN^BM+DN.

证明思路如下：

第一步：如图②，将AADN绕点A按顺时针方向旋转90。得到ZVWE,再证明E、B、M三点在一条直线

上.

第二步：证明AAEM三

—

BMCEBMC

图①图②

请你按照证明思路写出完整的证明过程.

【初步思考】

如图③，四边形ABCD和CEFG为正方形，连接DG、BE,得至ljADCG和NBCE.

下列关于这两个三角形的结论：①周长相等；②面积相等;®ZCBE=ZCDG.

其中所有正确结论的序号是—.

5k-------------\\BC

c\\\

Ej-------------

-V

图③图④

【深入研究】

如图④，分别以口ABCD的四条边为边向外作正方形,连接石F,GH,IJ,KL.若口ABCD的面积为8,

则图中阴影部分（四个三角形）的面积之和为.

3.(2023秋•湖北期末)【初步思考】

(1)如图1.在四边形ABCD中，AB=AD,NB=NO=90。，E,F分别是边3C,CD上的点，且

ZBAD=2ZEAF.求证：EF=BE+FD.

小阳发现此题是证明线段的和(差)问题，根据证明此类题型的常见方法，于是就有了如下的思考过程：请

你在下面的框图中填空帮他补全证明思路.

第一步：延长CB至点H,使BH=DF,连接易证三AADF,得出①=AF,

ZBAH=ZDAF-

第二步：ZBAD^ZBAE+ZEAF+ZDAF,ZBAD=2ZEAF,得出=,所以②

=ZEAF.

第三步：易证AE4HMAE4F,得出③=EF,于是BE+④=EF,即EF=BE+Fn

【问题解决】

(2)如图2,在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=18O°,E、F分别是边3C,CD上的点，且

ABAD=2ZEAF,(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由.

【拓展延伸】

(3)如图3,四边形ABCD是边长为7的正方形，Z£BF=45°,求ADEF的周长.

AAAED

4.(2021秋•黄陵县期末)【问题提出】

(1)如图①，在四边形ABCD中，AB=AD,ZB=ZD=90°,E、尸分别是边5。、CD上的点，且

ZEAF=-ZBAD.求证：EF=BE+FD；

2

【问题探究】

(2)如图②，在四边形A6CD中，AB=AD,4+NAZ)C=180。，E、尸分别是边5。、CD延长线上的

点，S.ZEAF=-ZBAD,(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出它们之间

2

的数量关系，并说明理由.

图①图②

5.(2024春•福田区校级期末)在等边AABC的两边的、AC所在直线上分别有两点M、N,。为AABC

外一点，且ZMDN=60。，ZBDC=120°,BD=DC.探究：当M、N分别在直线9、AC上移动时，BM、

NC、"N之间的数量关系及AAAW的周长。与等边AABC的周长L的关系.

(1)如图1,当点〃、N在边AB、AC上，且AM=ZW时，BM、NC、之间的数量关系

是；此时2=；

L

(2)如图2,点M、N在边AB、AC上，且当DMwDN时，猜想(/)问的两个结论还成立吗？若成立请

直接写出你的结论；若不成立请说明理由.

(3)如图3,当/、N分别在边AB、C4的延长线上时，探索BM、NC、之间的数量关系如何？并

给出证明.

6.（2020秋•德清县期末）（1）【问题背景】如图1,在四边形ABCD中，AB=AD,ZB=ZADC=90°,

440=120。，E,P分别是3C,CD上的点，NEAF=60。，求证：BE+FD=EF.

小亮同学认为延长FD到点G,使OG=BE,连结AG,先证明AABE三AADG,再证明AAEF三AAGF,即

可得证，并写出了以下的思维框图：

请问：小亮同学②处用到的判定依据是.

A.SSS

B.ASA

C.SAS

D.AAS

（2）【探索延伸】如图2,在四边形A5CD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E,P分别是BC,CD上的

点，ZEAF=-ZBAD,上述结论是否仍然成立？请说明理由.

2

(3)【结论运用】在平面直角坐标系中，正方形Q4BC如图3放置，。是坐标原点，点A、点C分别在y

轴和x轴上，E,尸分别是OC,上的点，ZEAF=45°,若点尸的坐标为0,3),EF=5,试求出点E

的坐标(可直接运用背景结论).

7.(2024春•乐平市期末)(1)如图①，在四边形ABCD中，AB=AD,ZB=ND=90。，E,R分别是边

BC,CD上的点，且=请直接写出线段所，BE,RD之间的数量关系：