河北省邢台市部分高中2025届高三上学期12月期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省邢台市部分高中2025届高三上学期12月期末数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，故.故选：B.2.已知单位向量和的夹角为，且，则（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】，即.故选：D.3.已知椭圆的两个焦点为，，点在该椭圆上，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，设，，，则，，，则，则，所以椭圆的离心率为.故选：A.4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，则，，.故选：D.5.已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，，，，，则“”是“”的（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】充分性：若，因为，，，所以，因为，所以，则充分性成立.必要性：当时，与不一定垂直，则必要性不成立.所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A6.设是等差数列的前项和，若，，则（）A12 B.16 C.24 D.32【答案】B【解析】因为，所以，所以，则.故选：B.7.运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（）A.72 B.96 C.114 D.124【答案】C【解析】将5名志愿者分为1，2，2，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法有种.将5名志愿者分为1，1，3，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法有种.故不同的安排方法共有种.故答案为：C.8.已知函数是定义在上的减函数，且为奇函数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】令，则，由，可得，即，.因为是定义在R上的减函数，所以也是定义在R上的减函数，故，即.因为，所以，即实数的取值范围是.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知集合恰有两个子集，则的值可能为（）A. B. C.4 D.【答案】AC【解析】由，可得由题可知中只有一个元素.当时，解得，此时，符合题意；当时，即，则或是方程的解.当是方程的解时，解得，此时，符合题意；当是方程的解时，无解.故或4.故选：AC.10.若过点恰好可作曲线的两条切线，则的值可以为（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】令，则，设切点为，所以切线方程为，切线过点，代入得，即方程有两个解，则，解得或.故选：BCD.11.在棱长为6的正方体中，为的中点，点满足，，，则下列说法正确的是（）A当时，B.当时，三棱锥的体积为定值C.当时，平面D.当，时，三棱锥外接球的表面积为【答案】ACD【解析】设，，，，分别为棱，，，，的中点，当时，点在线段上，平面，所以平面，又平面，所以，A正确.当时，点在线段上，，平面，与平面不平行，所以三棱锥的体积不是定值，B错误.当时，点在线段上，因为，分别为棱，的中点，所以,不在平面内，所以平面，因为，分别为棱，的中点，所以,不在平面内，所以平面，平面，平面平面，又平面，所以平面，C正确.当，时，为的中点，如图，三棱锥与三棱柱的外接球相同.在中，，，由余弦定理得，所以.设外接圆的半径为，在中，由正弦定理得，故外接圆的半径.设三棱柱外接球的半径为，由勾股定理得，则三棱锥外接球的表面积，D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某篮球运动员投球的命中率是，他投球4次，恰好投进3个球的概率为______.（用数值作答）【答案】【解析】投球4次，恰好投进3个球的概率为.故答案为：.13.已知数列，满足，，则______.【答案】解析】由，，可得，.故答案为：14.设，为双曲线上两点，线段的中点为，，则的取值范围为______.【答案】【解析】设，.由的中点为，得，.因为，在双曲线上，则，两式相减得，所以，故直线的方程为，即，联立方程,消去得，显然，此时，令，可得，所以或，结合，故或，即的取值范围为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.为了研究性别与感冒的关系，某医学研究小组在11月感冒易发季节对某一社区男性和女性的感冒情况进行抽样调研，得到如下列联表.性别感冒情况合计不感冒感冒男性301545女性451055合计7525100（1）请根据列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析能否认为性别与感冒情况具有相关性；（2）利用分层随机抽样的方法从样本中不感冒的人群中随机抽取5人，再从这5人中选出2人分享发言，记分享发言中女性的人数为，求随机变量的分布列及数学期望.附：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）零假设为：性别与感冒情况不具有相关性.根据列联表中的数据，得，根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，即认为性别与感冒情况无关.（2）根据分层随机抽样的知识可知，男性有2人，女性有3人，所以随机变量的所有可能取值为0，1，2，则，，，所以的分布列为012所以.16.记的内角，，的对边分别为，，，已知.（1）求角；（2）若为上一点，，，求的面积.解：（1）由，可得，所以由正弦定理得.由余弦定理可知，所以，因为，所以.（2）因为，所以.因为，所以.由（1）可知，又，所以.所以的面积为.17.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，平面平面.（1）证明：.（2）若点在线段上，且平面与平面的夹角为，求.（1）证明：因为，，，所以，所以，又因为平面平面，且平面平面，所以平面.又因为平面，所以.（2）解：如图，取为的中点，连接，平面中，作，交于点，因为，所以，因为平面，所以，又平面，所以平面，又所以平面，所以以为原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，设，即，可得，，，设平面的法向量为，则令，则，，得，易得平面的一个法向量为，因为平面与平面的夹角为，所以，整理得，解得或（舍去），所以，又因为，所以.18.已知是抛物线：的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，且过点的直线与相切于点，.（1）求抛物线的方程.（2）设过点的直线交于，两点，直线与的另一个交点为，点在与之间.（i）证明：轴平分.（ii）记的面积为，的面积为，求的取值范围.（1）解：由题可知，，，由已知得直线的斜率恒不为0，故可设：.联立，可得，因为直线与相切于点，所以，解得，则，.因为，所以，解得，即抛物线的方程为.（2）如图：（i）证明：由已知得直线的斜率恒不为0，故设的方程为，Ax1,y1由（1）得.联立方程组，可得，则，，所以.故轴平分.（ii）解：由（i）可知直线与关于轴对称，所以点，关于轴对称，则.不妨设，因为点在与之间，所以，，，，则，令，则，令，则，解得；由，则，解得.则在上单调递增，在上单调递减，，所以的取值范围为.19.定义：，，是曲线上三个不同的点，直线与曲线在点处的切线平行，若，，成等差数列，则称为“等差函数”，若，，成等比数列，则称为“等比函数”.（1）若函数是二次函数，证明：是“等差函数”.（2）判断函数是否为“等差函数”，并说明理由.（3）判断函数是否为“等比函数”，并说明理由.（1）证明：令.设，，是曲线上三个不同的点.直线的斜率，因为，所以曲线在点处的切线斜率，直线与曲线在点处的切线平行，则，即，则，故是“等差函数”.（2）解：假设函数为“等差函数”.因为，且，，成等差数列，所以.直线的斜率，因为，所以曲线在点处的切线斜率，直线与曲线在点处的切线平行