黑龙江省大庆市实验中学实验二部2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

大庆实验中学20242025学年度上学期高一年级期中考试数学试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共60分.1.已知集合，，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函数的定义，逐项判断即可.【详解】对于A，集合中的元素在集合中没有元素与之对应，A不是；对于B，集合中的元素在集合中没有元素与之对应，B不是；对于C，集合中的每个元素，按照，在集合中都有唯一元素与之对应，C是；对于D，集合中的元素在集合中没有元素与之对应，D不是.故选：C2.已知全集，集合或，或，则图中阴影部分表示的集合为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用集合的交并补运算，及韦恩图求阴影部分对应的集合.【详解】由题设或，或，所以，由图知，阴影部分为，所以.故选：D3.已知：，.若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（）A.0,1 B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解分式不等式、对数不等式求对应范围，结合充分不必要条件有，即可得范围.【详解】由，可得；由，因为是的充分不必要条件，则.故选：C4.函数在上的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数奇偶性，可排除B；由时，可排除选项CD，可得出正确答案【详解】，所以函数是奇函数，排除选项B，又，排除选项CD，故选：A5.已知函数既是二次函数又是幂函数，若函数，则（）A.2024 B.2025 C.4048 D.4049【答案】D【解析】【分析】根据已知有，进而可得、，利用对称性求目标式的值.【详解】由题可知：，则，所以，且，则.故选：D6.已知是定义在上的偶函数，且对任意的，都有恒成立，则关于的不等式的解集为（）A. B.1,+∞C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题设有在上递减，且函数图象关于对称，利用单调性和对称性解不等式求解集.【详解】由题设，在上递减，且函数图象关于对称，根据，则，所以，可得.故选：D7.若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题设及对应二次函数性质知的对称轴为且求参数关系及范围，进而求目标式范围.【详解】由题设，二次函数的对称轴为，则，且，即，所以，可得，所以.故选：B8.设函数，正实数，满足，则的最小值为（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】由题设可得，应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件.【详解】由题设，则，整理得，所以，当且仅当，即时等号成立，所以目标式最小值为.故选：B二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.9.下列命题为真命题的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，，，则【答案】BCD【解析】【分析】利用不等式性质判断A、B、C，应用作差法判断D.【详解】A：时有，错；B：由，必有，对；C：由，即，则，对；D：，，且，，，故，所以，即，对.故选：BCD10.已知，若，，则下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】AB【解析】【分析】利用对数的运算性质，用表示出，结合各项判断正误.【详解】A：时，，，故，，所以，对；B：同A分析，，，若，则，对；C：由B分析，，则或，错；D：同C分析，，则或，错.故选：AB11.已知函数，若方程有4个不同的零点，，，，且，则（）A. B.C. D.的最小值是32【答案】BC【解析】【分析】根据解析式画出的大致图象，数形结合研究与交点横坐标，得，并由对数函数、二次函数性质得、，进而判断各项正误.【详解】由题设的大致图象如下，，，，为与交点横坐标，由图知，，，A错；且，，B、C对；由，而，所以，无最小值，D错.故选：BC12.已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意都满足，则下列说法正确的是（）A.B.是偶函数C.若，则D.若当时，，则在单调递减【答案】ACD【解析】【分析】A令判断；B令结合在上的不恒为零判断；C令得，再由已知求；D若，由题设得，令结合单调性定义及已知判断单调性.【详解】A：令，可得，对；B：令，则，由在上的不恒为零，故不恒成立，错；C：令，则，则，令，则，对；D：若，则，即，取，则，显然，即，所以，即，故在单调递减，对.故选：ACD第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数，则不等式的解集是_________.【答案】【解析】【分析】根据题意，先分析函数的奇偶性，再分析该函数的单调性即可得．【详解】，则，又，故的定义域为，故为奇函数，当时，有均为单调递增函数，故在上为增函数，又为奇函数，故该函数在定义域上单调递增，即可得，解得．故答案为：．14.定义：x表示不超过的最大整数，如，，已知函数，，则函数的值域为______.【答案】【解析】【分析】根据新定义及分式型函数的值域，求在、x∈0,+∞上对应值域，即可得结果.【详解】由，当时，，则；当x∈0,+∞时，，则.所以函数的值域为.故答案为：15.函数在区间上严格递增，则实数的取值范围是___________．【答案】【解析】【分析】运用复合函数的单调性分别研究当与时在上的单调性，且在恒成立，结合二次函数的单调性即可求得结果.【详解】由题意知，且，令，则其对称轴为，①当时，由复合函数的单调性可知，在上单调递增，且在恒成立，则，解得，②当时，由复合函数的单调性可知，在上单调递减，且在恒成立，则，解得，综述：或.故答案为：.16.已知函数，若的图象上存在不同的两个点关于原点对称，则实数的取值范围为_________．【答案】【解析】【分析】根据的图象上存在不同的两个点关于原点对称列方程，利用换元法来求得的取值范围.【详解】，由于的图象上存在不同的两个点关于原点对称，所以f−x即，①，令，当且仅当时等号成立，则，则①可化为，依题意，此方程在上有解，当，解得，当时，，符合题意.当时，，不符合题意.当，即②时，设，的开口向上，对称轴，要使在上有零点，则或，解得或，结合②得.综上所述，的取值范围是.故答案为：【点睛】易错点睛：对称点条件的正确使用：在列出关于原点对称的条件时，容易因条件代入不准确而导致方程错误.在运用对称点条件时，需确保每个代入步骤的符号处理正确.一元二次方程的解集判断：在判断一元二次方程的解的存在性时，特别是对参数的范围进行分类讨论时，容易遗漏某些特殊情况或边界条件.因此，在讨论每种情况时，要确保所有可能性都得到了充分考虑.四、解答题：本大题共6小题，其中17题满分10分，其余各题满分12分，共70分.17.设函数的定义域为，的定义域为.（1）求集合，；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由根式、对数性质求函数定义域，确定集合；（2）根据包含关系列不等式求参数范围.【小问1详解】由题意，，即，解得，即，由题意，，因为，则，可得，即.【小问2详解】因为，所以，解得，又，所以，即实数的取值范围.18.已知函数，.（1）求函数的值域；（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题设有，应用换元法，令，将问题化为求二次函数的值域；（2）同（1）换元，问题化为，能成立，结合对勾函数性质求右侧最大值，即可得范围.【小问1详解】由，设，则，当时，取得最小值；当时，取得最大值，所以函数的值域为0,4.【小问2详解】由，令，则又，能成立，设，函数在上单调递减，在上单调递增.又，，所以，由不等式在上有解，得，因此，的取值范围是.19.已知幂函数为奇函数，.（1）若，求；（2）已知，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义可得或，结合奇偶性即可求解，进而可得的表达式，代入即可求解，（2）利用单调性的定义求解的单调性，即可根据单调性求解函数的最值，问题转化成，即可求解.【小问1详解】对于幂函数，得，解得或，当时，不是奇函数，舍去，当时，是奇函数，满足题意.∴，∵，∴.【小问2详解】关于的不等式在上恒成立，即在上恒成立，令，下面先研究函数的单调性，不妨设，则，∵，∴，，，∴，即，故在上单调递增，∴，由题意，，解得，所以的取值范围是.20.已知函数是偶函数，其中为实数.（1）求的值；（2）若函数，是否存在实数，使得的最小值为0？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在.【解析】【分析】（1）根据偶函数性质得到恒等式，求参数值即可；（2）由题设有，应用换元法，令且，结合二次函数性质，讨论对称轴与区间位置研究最小值，即可得参数值.【小问1详解】因函数（）是偶函数，故，因x∈R且不恒为0，故，得.【小问2详解】由（1），得，则，设，因，则，，其对称轴为，①当时，在区间上单调递减，则，解得，不符题意，舍去；②当时，在区间上先减后增，故，解得，故；③当时，在区间上单调递增，则，解得，不符题意，舍去.故存在，使得的最小值为0.21.已知函数的定义域为，对于给定的，若存在，使得函数满足：①函数在是单调函数；②函数在上的值域是，则称是函数的级“理想区间”.（1）判断函数fx=1x，x∈0,+∞是否存在1级“理想区间（2）证明：函数存3级“理想区间”；（3）设函数，，已知函数hx单调递增，若函数hx存在级“理想区间”，求的值.【答案】（1）存在，（2）证明见解析（3）2或3.【解析】【分析】（1）直接由“理想区间”的定义判断即可.（2）由题意结合函数的单调性得，即方程有两个不等实根.设，由零点存在定理知有零点，，所以方程组有解，即函数存在3级“理想区间”（3）根据函数在上为单调递增得到，转化为方程在上有两个不等实根进而转化为在至少有一个实根.分、三种情况，分别求得满足条件的k即可.【小问1详解】存在.【小问2详解】设函数存在3级“理想区间”，则存在区间，使的值域是.因函数在R上单调递增，所以，即方程有两个不等实根.设，可知，，，，由零点存在定理知，存在，，使，.设，，所以方程组有解，即函数存在3级“理想区间”.【小问3详解】若函数存在级“理想区间”，则存在区间，函数的值域是.因为，任取，且，有，因为，所以，所以，即，所以函数在上为单调递增函数.所以，于是方程在上有两个不等实根.即在上有两个不等实根.显然是方程的一个解，所以在至少有一个实根.（1）当时，，不合题意，舍；（2）当时，方程无实根，舍；（3）时，,所以，解出.所以，又因为，所以或.22.设定义在上的函数满足：①对，，都有；②时，；③不存在，使得.（1）求证：为奇函数；（2）求证：在上单调递增；（3）若，不等式对恒成立，试求的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）赋值法求得，然后再令可证得奇函数；（2）由已知先证得，再根据单调性定义可得答案；（3）由已知求出，然后已知不等式化简后由函数的单调性转化为二次不等式恒成立，从而求得的范围，最后再由二次函数性质可得答案．【小问1详解】的定义域为，关于原点对称，令，得，解得或，又不存在，使得，∴，令，得，∴，，∴为奇函数；【小问2详解】时，，，∴，当且仅当，等号成立，又不存在，使得，∴，∴时，，又∵为奇函数，∴时，，∴对，，任取，则，，而，∴，又，∴，∴，∴，，∴在上单调递增；【小