湖北省随州市部分高中2024-2025学年高二上学期1月期末联考数学试题答案

高二数学试题答案一、选择题：1、解析：D建立如图所示的空间直角坐标系,则D1(0,0,2),A1(2,0,2),D(0,0,0),B(2,2,0),=(0,0,2),=(2,0,2),=(2,2,0),设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),由取x=1,则n=(1,1,1)是平面A1BD的一个法向量,所以点D1到平面A1BD的距离是。故选D。2、解析：A如图,以B为原点,射线BC,BA,BP分别为x轴、y轴、z轴的非负半轴,建立空间直角坐标系,则B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,4,0),P(0,0,4),故=(2,0,4),=(0,4,4),取a==(2,0,4),上的单位方向向量u=(0,1,1),则点C到直线PA的距离是,即点C到直线PA的距离为2。故选A。3、解析：B以A为原点,AC,AM所在直线分别为y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,易知A(0,0,0),B(,1,0),F(0,1,),M(0,0,2),所以=(,1,2),=(0,1,)。设异面直线MB与AF所成角为θ,则cosθ=|cos<,,所以异面直线MB与AF所成角的余弦值为。故选B。4、解析:D在直三棱柱ABC⁃A1B1C1中,BB1⊥底面ABC,因为AB⊥BC,所以BA,BC,BB1两两垂直,以直线BA,BC,BB1分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设BB1=a(a>0),则A(2,0,0),A1(2,0,a),B1(0,0,a),C(0,2,0),所以=(2,0,a),=(0,0,a),=(2,2,0)。设平面AA1C1C的法向量为n=(x,y,z),则令x=1,得n=(1,1,0)为平面AA1C1C的一个法向量,所以直线AB1与侧面AA1C1C所成角的正弦值为sin,n>|=,得a=2,所以A1(2,0,2),=(2,0,2)。设异面直线A1B与AC所成的角为θ,则cosθ=|cos<,,所以异面直线A1B与AC所成角的正弦值为。故选D。5、解析:C由题意知直线l的斜率存在,且不为0。设所求直线的方程为y1=k(x2)。令x=0,得y=12k,所以点Q的坐标为(0,12k)。又因为M为线段PQ的中点,点P的纵坐标为0,所以根据中点坐标公式得=1,解得k=,所以所求直线的方程为x+2y4=0。故选C。6、解析：C等轴双曲线的一个焦点是F1(0,6),故焦点在y轴上,c=6且a=b,根据a2+b2=c2,得a=b=3,故双曲线的标准方程为=1。故选C。7、解析：A由双曲线C:=1可得左焦点F(5,0),顶点(4,0),(4,0)。若l⊥x轴,则|AB|=2×<8,不符合题意,舍去;若l与x轴不垂直,与C的左支交于A,B两点,则|AB|=8,存在两条直线;若l与x轴不垂直,与C的左、右支各交于一点,则只有A,B为顶点时满足|AB|=8,存在一条直线。综上可得,满足条件的直线有3条。故选A。8、解析：B抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=1。根据题意可得,|PQ|=|PF|+|QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8。故选B。二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9、解析：AD如题图,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,倾斜角分别为α1,α2,α3,则k2>k3>0,k1<0,故>α2>α3>0,且α1为钝角。故选AD。10、。解析：ACA项,直线y=(x1)过点(1,0),所以抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),所以=1,p=2,2p=4,A项正确,且抛物线C的方程为y2=4x。B项,设M(x1,y1),N(x2,y2),由消去y并化简得3x210x+3=(x3)(3x1)=0,解得x1=3,x2=,所以|MN|=x1+x2+p=3+,B项错误。C项,设线段MN的中点为A,M,N,A到直线l的距离分别为d1,d2,d,因为d=(d1+d2)=(|MF|+|NF|)=|MN|,即A到直线l的距离等于|MN|的一半,所以以线段MN为直径的圆与直线l相切,C项正确。D项,由上述分析可知y1=×(31)=2,y2=,所以|OM|=,|ON|=,所以三角形OMN不是等腰三角形,D项错误。故选AC。11、解析：BCD椭圆=1(a>b>0)的焦点在x轴上,顶点在坐标轴上,因为椭圆的一个焦点和一个顶点在圆x2+y25x4y+4=0上,所以可先求出圆x2+y25x4y+4=0与坐标轴的交点。令y=0,得x25x+4=0,解得x=1或x=4,所以圆x2+y25x4y+4=0与x轴的交点为A(1,0),B(4,0);令x=0,得y24y+4=0,解得y=2,所以圆x2+y25x4y+4=0与y轴相切于点C(0,2)。当点A(1,0)为焦点,C(0,2)为顶点时,c=1,b=2,所以a=,则离心率e=;当点A(1,0)为焦点,B(4,0)为顶点时,c=1,a=4,则离心率e=;当点B(4,0)为焦点,C(0,2)为顶点时,c=4,b=2,所以a=,则离心率e=。故选BCD。三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分12、解析：3。因为=(3,1,1),=(m+1,n2,2),且A,B,C三点共线,所以存在实数λ,使得=λ,即(m+1,n2,2)=λ(3,1,1)=(3λ,λ,λ),所以所以m+n=3。13、解析：(x+1)2+(y+1)2=2。kxy2k+2=0可化为k(x2)y+2=0,所以直线kxy2k+2=0(k∈R)过定点A(2,2)。因为圆C上的动点P到直线kxy2k+2=0(k∈R)的距离的最大值为4,所以圆心C到直线kxy2k+2=0(k∈R)的距离的最大值为4。又圆心C在直线x+y+2=0上,所以可设C(a,a2)。如图,易知直线CA与直线kxy2k+2=0(k∈R)垂直时,圆心C到直线kxy2k+2=0(k∈R)的距离最大,即,解得a=1,故圆心C(1,1),故圆C的标准方程为(x+1)2+(y+1)2=2。14、解析：(∞,5)∪(2,+∞)。因为该方程表示双曲线,所以(m+2)(m+5)>0,即m>2或m<5,即m的取值范围为(∞,5)∪(2,+∞)。四、解答题：本题共5小题，共75分15、（本小题满分12分）解(1)证明:以A为原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系。设AB=a,则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E,B1(a,0,1)。故=(0,1,1),·×0+1×1+(1)×1=0,所以,即B1E⊥AD1。(2)存在满足要求的点P,假设在棱AA1上存在一点P(0,0,z0),0≤z0≤1,使得DP∥平面B1AE,此时=(0,1,z0)。设平面B1AE的法向量为n=(x,y,z)。=(a,0,1),。因为n⊥平面B1AE,所以n⊥,n⊥,得取x=1,则故n=是平面B1AE的一个法向量。要使DP∥平面B1AE,只需n⊥,即az0=0,解得z0=。所以存在点P,满足DP∥平面B1AE,此时AP=。16、（本小题满分12分）解(1)证明:(),因为··()=(··)+()=0,所以C1O⊥BD。因为CC1=2,CO=,∠C1CO=45°,所以C1O=,所以C1O2+OC2=C,所以C1O⊥OC,又因为BD∩OC=O,且BD,OC⊂平面ABCD,所以C1O⊥平面ABCD。(2)如图建立空间直角坐标系,则B(,0,0),A(0,,0),C1(0,0,),C(0,,0),所以A1(0,2,),D(,0,0),所以=(,,0),=(0,,),=(,,0),设平面AA1B与平面AA1D的一个法向量分别为n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),则有不妨取x1=x2=1,则n1=(1,1,1),n2=(1,1,1)。设二面角B⁃AA1⁃D的平面角为θ,则|cosθ|=,sinθ=。所以二面角B⁃AA1⁃D的正弦值为。17、（本小题满分12分）解(1)设A'(x,y),由已知条件得所以A'。(2)在直线m上取一点M(2,0),则M(2,0)关于直线l的对称点M'必在直线m'上。设对称点M'(a,b),则故M'。设直线m与直线l的交点为N,则由即N(4,3)。又因为m'经过点N(4,3),所以由两点式得直线m'的方程为9x46y+102=0。(3)设P(x,y)为l'上任意一点,则P(x,y)关于点A(1,2)的对称点为P'(2x,4y),因为P'在直线l上,所以2(2x)3(4y)+1=0,即2x3y9=0。18、（本小题满分12分）解(1)由已知可得,c=2,所以a=。又由a2=b2+c2,解得b=,所以椭圆C的标准方程是=1。(2)设T点的坐标为(3,m),则直线TF的斜率kTF==m。当m≠0时,直线PQ的斜率kPQ=,直线PQ的方程是x=my2。当m=0时,直线PQ的方程是x=2,也符合x=my2的形式。设P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得消去x,得(m2+3)y24my2=0,其判别式Δ=16m2+8(m2+3)>0。所以y1+y2=,y1y2=,所以x1+x2=m(y1+y2)4=。因为四边形OPTQ是平行四边形,所以,即(x1,y1)=(3x2,my2)。所以解得m=±1。此时,四边形OPTQ的面积S四边形OPTQ=2S△OPQ=2×·|OF|·|y1y2|=2。19、（本小题满分12分）解(1)由抛物线C:x2=2py经过点(2,1),得p=2。所以抛物线C的方程为x2=4y,其准线方程为y=1。(2)证明:抛物线C