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第1章行列式1.1.1二阶行列式对于二元一次方程组定义二阶行列式则当时上述二元一次方程组有唯一解,并且通过带入消元法方程组的解为1.1二阶与三阶行列式即可用二阶行列式表示为,例1

解二元一次方程组解,1.1.2三阶行列式定义三阶行列式为则三元一次方程组当时方程组的解可用三阶行列式表示为例2

计算行列式解

1.2逆序与对换1.2.1排列与逆序自然数组成的有序数组称为一个元排列,记为.

规定按从小到大的顺序排列的叫做标准排列(自然排列).为标准排列.即排列定义1

在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序,一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数.排列的逆序数记为

计算排列逆序数的方法:对于排列,其逆序数为每个元素的逆序数之和.中元素,如果比大且排在前面的元素有个,就说的逆序数为,全体元素的逆序数之和为

即对于排列即

例3求排列的逆序数.解在排列中

定义2逆序数为偶数的排列称为偶排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列.1.2.2对换

定义3

把一个排列中某两个数的位置互换而其余的数不动就得到另一个排列,这样一个变换称为一个对换.对换改变排列的奇偶性.

将一个奇排列变成标准排列需要奇数次对换,将一个偶排列变成标准排列需要偶数次对换.1.3阶行列式的定义定义4

由个数组成数表从中选取处在不同行不同列的个元素相乘,其中为的一

个全排列,并冠以符号,则为阶行列式,记作称和或简记为,其中表示处在第行,第列位置的元素.

例4

计算行列式其中未写出部分全为零.解在行列式的展开式中共有个乘积

,显然如果则必为零,

从而这个项也必为零,因此只须考虑的项.同理只须考虑

,也即行列式的展开式中只有(其他的项乘积均为零),而,因而其符号为正.因此

定义5

对角线以上(下)的元素全为零的行列式称为下(上)三角行列式.

由例4还可得出关于上、下三角行列式的如下结论:例5

计算行列式解在行列式的展开式中共有个乘积,

显然如果则必为零,从而这个项也必为零,因此只须考虑

的项.同理只须考虑,也即行列式的展开式中只有(其他的项乘积均为零),而因而其符号为,因此由例5还可得出下三角行列式的如下结论:

以上各种形式是计算行列式的常用形式,应该对这几种形式加以注意并加强对它们的理解和应用.1.4行列式的性质

行列式的计算是一个重要的问题,也是一个很麻烦的问题.对于阶行列式,当很大时直接从行列式的定义进行行列式的计算几乎是不可能的.为此有必要对行列式的性质进行研究,从而简化行列式的计算.记称行列式为行列式的转置行列式.性质1

行列式与其转置行列式相等,即性质2

互换行列式的两行(列)元素,则行列式变号.推论1

若行列式中某两行元素对应相等,则行列式的值为零.性质3

行列式某行元素都乘以数等于用乘以行列式,即推论2

由性质3知若行列式中某行(列)元素含有公因数可以将数提到行列式外.,则推论3

若行列式的某两行(列)元素对应成比例,则此行列式的性质4

若行列式的某一行(列)是两组数之和,则这个行列式可值为零.以写成两个行列式的和,即此性质可以推广到某一行元素为多组数之和的形式.性质5

把行列式中某行(列)元素的倍加到另外一行(列)的对应元素上去,行列式的值不变.即例6

计算行列式的值,其中解

例7

计算行列式的值,其中解法一分别将行列式的第二行、第三行、第四行加到第一行得解法二利用行列式的性质将行列式的第一行和第四行互换可得例8

计算行列式的值,其中解

例9计算行列式的值,其中解把前一列乘以加到后一列上去得再将第三列乘以加到第四列上去,第二列乘以加到第三列上去得由于此时行列式的第三列和第四列相等,因此由行列式的性质可得1.5行列式按行(列)展开1.5.1余子式与代数余子式定义6

在阶行列式

中划去元素

所在的第行和第

列的元素,剩下的个元素按原来的排法构成一个阶的行列式,称为元素的余子式,记作

.对冠以符号后称为元素

的代数余子式,记为

,即1.5.2行列式按行(列)展开引理设是一个阶行列式,如果其中第行所有元素除

外都为零,那么这个行列式的值等于乘以它的代数,即余子式定理1

行列式的值等于其某行(列)元素与其代数余子式乘积之和,即

.这个定理称为行列式按行(列)展开法则.例10

算行列式的值,其中解

例11

计算行列式的值,其中解

例12

设行列式为求的值.解为行列式按第二行的展开式,因此的值等于行列式.而因此.作为定理1的推论,我们有推论

阶行列式的的任意一行(列)的各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即,或

综合定理1及其推论,我们有关于代数余子式的下述性质:或1.6克莱姆法则1.6.1克莱姆(Cramer)法则

现在我们来应用行列式解决线性方程组的问题.在这里只考虑方程个数与未知量个数相等的情形.定理2

如果线性方程组的系数构成的行列式那么线性方程组有解,并且解是惟一的,解可以由下式给出其中是行列式中第列换成方程组的常数项而得到的行列式.

此定理称为克莱姆法则,克莱姆法则主要解决方程个数与未知量个数相等的方程组的求解问题,而这类方程组又是非常特殊、非常重要的方程组.例17

解方程组解方程组的系数行列式由克莱姆法则得所以方程组的唯一解为.定理3如果齐次线性方程组的系数构成的行列式那么它只有零解.1.6.2克莱姆法则的推论定理4

若非齐次线性方程组无解或有多个解,则其系数.行列式推论:如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式.例18

为何值时,方程组

有非零解.

解由以上推论知,当齐次线性方程组有非零解时它的系数行列式,即所以.不难验证,当时方程组确有非零解.第2章矩阵及其运算2.1矩阵的基本概念2.2矩阵的运算2.3逆矩阵2.4矩阵分块法定义1由个数排成的行列的数表,

称为行列的矩阵,简称矩阵.

记作2.1矩阵的基本概念2.1.1矩阵的定义2.1.2几种特殊形式的矩阵1.行矩阵与列矩阵2.同型矩阵与矩阵的相等两个矩阵行数相等、列数也相等时,称为同型矩阵.如果矩阵与矩阵是同型矩阵,且它们的对应元素相等,即那么就称这两个矩阵相等.记作3.零矩阵元素都是零的矩阵称为零矩阵.记作注意:不同型的零矩阵是不同的.或4.方阵行数与列数都等于的矩阵称为阶矩阵或阶方阵阶方阵的元素称为主对角线元素5.上(下)三角矩阵6.对角矩阵7.单位矩阵2.2矩阵的运算

2.2.1矩阵的加法

1.定义2

2.运算规律3.负矩阵4.矩阵的减法例2.2.2数与矩阵的乘法1.定义3

数与矩阵的乘积记作或规定为注:与为同型矩阵2.运算规律例

设求解

2.2.3矩阵与矩阵的乘法1.定义4

其中注意:(1)(2)只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,两个矩阵才能相乘的元素就是第一个矩阵与第二个矩阵的第列的对应元素的乘积和的第行例

设求解记则,设则注:(1)矩阵的乘法一般不满足交换律,即一般来说,

(2)进行矩阵乘法时,一定要注意乘的次序,不能随意改变例设求与解

例设求与解

注意:注:对于两个阶矩阵,若则称方阵是可以交换的.如2.运算规律(假定运算都是可行的),(其中为数)(左分配律)(右分配律)3.矩阵的幂为正整数矩阵的幂满足下列运算规律注:一般来说例

例线性方程组

若设则其矩阵形式为2.2.4矩阵的转置1.定义6

设称为矩阵的转置矩阵.

即把矩阵的行换成同序号的列得到的一个新矩阵.

2.运算规律(假定运算都是可行的)如例

3.定义7

设矩阵为阶方阵,如果满足即

那么称为对称矩阵如果满足即

那么称为反对称矩阵注:(1)对称矩阵的特点是:它的元素以主对角线为对称轴对应相等(2)反对称矩阵的特点是:它的元素以主对角线为轴对应互为相反数,且主对角线元素全为零阶方阵2.2.5方阵的行列式1.定义8由(每个元素的位置不变),称为方阵的行列式.记作或.的元素所构成的行列式2.方阵的行列式满足的运算规律3.奇异矩阵与非奇异矩阵当时,称为奇异矩阵;时,称当为非奇异矩阵

2.2.6方阵的伴随矩阵1.定义9

由阶方阵的行列式的各个元素的代数余子式所构成的阶方阵

称为的伴随矩阵,简称伴随阵.例

2.方阵的伴随矩阵满足的性质(,正整数);若,则

,正整数);2.2.7共轭矩阵1.定义10设为复矩阵,表示的共轭复数,记称为的共轭矩阵2.运算规律2.3逆矩阵2.3.1逆矩阵的定义及性质1.定义11设为阶方阵,若存在阶方阵,使,则称方阵可逆,称为的逆矩阵

注:如果矩阵是可逆矩阵,那么的逆矩阵是惟一的

的逆矩阵记作.

,即满足的与互为逆矩阵

即可逆,且2.3.2方阵可逆的充分必要条件及的求法

定理1若矩阵可逆,则,即为非奇异矩阵.定理2

若,则矩阵,其中,为矩阵的伴随矩阵.由以上两定理可知矩阵可逆的充分必要条件是,即可逆矩阵就是非奇异矩阵;若可逆,则

若可逆,则于是可逆,且时,矩阵推论

若方阵满足(或),则都可逆,且

所以,当可逆时,矩阵不可逆

当因为从而,当例

求矩阵,使解

若存在,则例

设阶矩阵满足,证明

都可逆,并求它们的逆矩阵.证明由得于是由,知可逆,且

由,知可逆,且

2.3.3可逆矩阵的性质若可逆,则也可逆,且

若可逆,则也可逆,且

若可逆,数则也可逆,且

若为同阶可逆矩阵,则也可逆,且

若可逆,则也可逆,且

2.4矩阵分块法1.定义用若干条纵线和横线分成许多小矩阵,每一个小矩阵称为的子块,以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.将矩阵2.4.2分块矩阵的运算1.分块矩阵的加法与减法设矩阵为同型矩阵,采用相同的分块法,有

2.数与分块矩阵的乘法3.分块矩阵的乘法的列数分别等于的行数,则4.分块矩阵的转置2.4.3分块对角矩阵都是方阵)形如称为分块对角矩阵分块对角矩阵性质若都可逆,则可逆,且例

第3章

矩阵的初等变换与线性方程组3.1初等变换与初等矩阵3.1.1矩阵的初等变换与初等矩阵定义1矩阵的初等行变换指的是以下三种变换:(1)互换矩阵中任意两行元素的位置(记作);(2)用非零数乘以矩阵的某一行(记作);

(3)把矩阵中第行的倍加到第行上去(记作).以上三种变换对列也同样成立,称为初等列变换,标记时只须把换成,即三种初等列变换分别写成,.,矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换.例1

设利用初等行变换将矩阵化为行阶梯形.解

在行阶梯形的基础上,如果再对矩阵进行初等行变换,则可将矩阵化为行最简形,即矩阵的非零元素行的第一个非零元素为1,并且其所在的列其他元素为零.如上例中

利用矩阵的初等变换行将矩阵化为行阶梯形和行最简形是解决矩阵问题的主要方法之一.同学们应该熟练掌握.

对于矩阵的行最简形,如果再对其进行初等列变换,则可以得到一种更为为简洁的形式——标准形.例如矩阵即为标准形,其特点是:左上角是一个单位矩阵,其余元素为零.对于矩阵,总可以经过初等变换(初等行变换和初等列变换)把它化为标准形其中为阶单位阵,即为矩阵的行阶梯形中非零元素行的行数.3.1.2初等矩阵定义2

对单位矩阵施行一次初等行(列)变换得到的矩阵称为初等矩阵.

由初等矩阵的定义知,对应于三种初等变换,初等矩阵具有以下三种形式:(1)互换的第两行(或第两列),得(2)用非零数乘以矩阵的第行(或第列),得(3)把矩阵的第行的倍加到第行上,得定理1对矩阵施行一次初等行变换,相当于在的左边乘以一个相应的阶初等阵;对施行一次初等列变换,相当于在的右边乘以一个相应的阶初等阵定理2设矩阵为阶可逆矩阵,则可经过有限次初等变换化为单位矩阵.定理3设为可逆阵,则存在有限个初等阵,使.推论矩阵的充分必要条件是:存在阶可逆阵及阶可逆阵,使3.1.3用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵例2利用初等行变换求矩阵的逆矩阵,其中解因此例3利用初等行变换求矩阵的逆矩阵,其中解因此例4解下面的矩阵方程,其中解分析:因为,所以可逆,下面首先利用初等变换法求出的逆阵,再对方程两边分别左乘,可得所以因此3.2矩阵的秩3.2.1矩阵秩的概念定义3设矩阵为型矩阵,在中选定

行列,则位于这

行列交叉位置上的个元素按照原来的排列方式构成一个阶方阵,称为矩阵的阶子矩阵,的阶子方阵的行列式称为的阶子式.定义4设矩阵中存在阶非零子式,并且所有的(如果存在的话)阶子式全为零,则称矩阵

的秩为,记作,并称该

阶子式为矩阵的最高阶非零子式.3.2.2用初等变换求矩阵的秩定理4若矩阵与矩阵等价,则例7

求矩阵的秩.解对施行初等行变换到行阶梯形,即由于,因此例8求矩阵的秩,并求的一个最高阶非零子式.解先求的秩,为此对作初等行变换,将化成行阶梯形矩阵.上式最后一个矩阵是行阶梯形矩阵,其非零元素行的行数为因此.所以下面再求的一个最高阶非零子式.为此先求的一个最高阶非零子式.显然在中,第行与第列的元素构成的三阶子式为为的一个最高阶非零子式,同时注意到在求的秩时我们只对作了初等行变换,中第行分别与中行对应,而的第列即为的第列,因此得出的最高阶(三阶)非零子式为3.3线性方程组的解3.3.1齐次线性方程组的解对于齐次线性方程组必有零解,但我们关心其在什么条件下具有非零解,为此我们给出定理5

齐次线性方程组(1)有非零解的充分必要条件是,其中为其系数矩阵.(1)例9求解方程组解对方程组的系数矩阵进行初等行变换因为,所以方程组有非零解.与矩阵对应的方程组为并且与原方程组等价.当未知量取定某一组值时,的值也随之确定,即得到方程组的一组解,因此对于未知量的任意一组取值,均能得到方程组的解,我们称满足这样条件的未知量为自由未知量.设自由未知量,得(其中为任意常数).例10解方程组解对方程组的系数矩阵进行初等行变换得所以因此该方程组只有零解.例11解方程组.解对方程组的系数矩阵进行初等行变换与对应的方程组的同解方程组为令,则得(其中为任意常数)也即(其中为任意常数)3.3.2非齐次线性方程组的解对于非齐次线性方程组(2)的情况,我们有如下定理定理6非齐次线性方程组(2)有解的充分必要条件是其中称为方程组的增广矩阵.对一般的元线性方程组当时方程组无解,当时方程组有解,并且(1)当时,方程组有唯一解;(2)当时,方程组有无数解.例12解方程组解对方程组的增广矩阵进行初等行变换因此有令得(其中为任意常数)例13求解线性方程组解对方程组的增广矩阵进行初等变换,化其为行阶梯形,因为,所以原方程组无解.例14讨论方程组当取何值时方程组有惟一解;

无解;

有无限多个解.解当且时有,此时方程组有惟一解;当时,此时方程组无解;当时,,此时方程组有无数解.第4章向量组与线性方程组的解的结构

4.1向量组及其线性组合4.2向量组的线性相关性4.3向量组的秩4.4线性方程组的解的结构即矩阵4.1向量组及其线性组合4.1.1维向量的概念

1.维向量的定义个有次序的数组成的数组称为维向量,这个数称为该向量的分量,第个数称为第个分量(或第个坐标).

行向量列向量即矩阵2.零向量3.负向量4.向量的相等5.向量组同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合称为向量组4.1.2维向量的线性运算

1.加法与数乘为任意实数,则2.加法与数乘的运算规律(略)注:利用向量的运算,对于方程组则4.1.3向量组的线性组合与线性表示1.定义2(1)给定向量组,对于任何一组实数,表达式称为向量组

的一个线性组合,称为该线性组合的系数(2)给定向量组和向量,如果存在一组实数,使则称是向量组的线性组合,或称可由向量组线性表示2.定理1

可由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵的秩等于矩阵的秩注:设可由向量组唯一线性表示的充分必要条件是例

试问能否由线性表示?若能,写出具体表示式解

所以能否由惟一线性表示,且例

因为,所以,不能由线性表示

4.1.4向量组的等价1.定义3

设两个向量组若向量组中的每个向量都可由向量组线性表示,则称向量组可由向量组线性表示若向量组与向量组可以互相线性表示,则称向量组与向量组等价2.定理2设向量组与向量组等价向量组可由向量组线性表示推论:维向量组4.2向量组的线性相关性4.2.1线性相关与线性无关的定义1.定义4

设有,若存在一组不全为零的数使

,则称向量组线性相关,否则称为线性无关.换言之,若线性无关,则上式当且仅当时才成立.

2.由定义4可知,(1)仅含一个零向量的向量组必线性相关;(2)仅含一个非零向量的向量组必线性无关;(3)任何包含零向量在内的向量组必线性相关;(4)向量组线性相关齐次线性方程组有非零解4.2.2向量组线性相关的充分必要条件定理3

向量组线性相关线性相关向量组例讨论向量组的线性相关性解

由于,从而线性相关定理4

向量组线性相关向量可以由其余个向量线性表示向量组中至少有一个注:两个向量线性相关的充要条件是它们的对应分量成比例4.2.3线性相关性的判断定理定理5

(1)若线性相关,则也线性相关2)线性无关向量组的任何部分组必线性无关定理6

线性无关,而若线性相关,则能由线性表示,且表示式是惟一的定理7

设有两个向量组若向量组线性无关,则向量组也线性无关;若向量组线性相关,则向量组也线性相关注:向量组的线性相关与线性无关的概念可用于线性方程组.当方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时,这个方程就是多余方程,此时称方程组(各个方程)是线性相关的;当方程组中没有多余方程,则称该方程组(各个方程)是线性无关(或线性独立)的.4.3向量组的秩4.3.1向量组的极大无关组与秩的定义1.定义5

设有向量组,如果在中能选出个向量满足⑴向量组线性无关;⑵向量组中任意一个向量都能由线性表示那么称是向量组的一个极大线性无关组,简称极大无关组;极大线性无关组所含向量的个数称为向量组的秩注:(1)只含零向量的向量组没有极大线性无关组,规定它的秩为0.

(2)任何非零向量组必存在极大无关组.

(3)向量组的极大无关组与向量组本身等价.

(4)线性无关向量组的极大无关组就是其本身.(5)向量组的极大无关组一般不是惟一的.但每一个极大无关组所含向量的个数是惟一的,等于向量组的秩.列即是列向量组的一个极大无关组,4.3.2向量组的秩与矩阵的秩的关系定理8矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于它的行向量组的秩结论:若是矩阵的一个最高阶非零子式,则所在的所在的是行向量组的一个极大无关组行即是4.3.3利用初等行变换求向量组的秩与极大无关组将所讨论的向量组的每一个向量作为矩阵的列写成一个矩阵,并对此矩阵施行初等行变换,化为行阶梯形矩阵,其非零行的行数就是矩阵的秩,也是向量组的秩(当然也是极大无关组所含向量的个数);行阶梯形矩阵的每一个非零行的第一个非零元所在的列对应的向量构成的向量组就是向量组的一个极大无关组.例

解将向量组构成矩阵,进行初等行变换从而向量组的秩为3,

为其一极大无关组例

解将向量组按列排成矩阵,用初等行变换将化为行阶梯形矩阵故是其一个极大无关组4.4线性方程组的解的结构4.4.1齐次线性方程组的解的结构性质1若为(2)的解,则为(2)的解性质2若为(2)的解,为实数则为(2)的解,称为(2)的解向量组,结论:将方程组(2)的全体解所组成的集合记作如果能找到解向量组的一个极大无关组则的任何线性组合都是方程(2)的解,因此式就是(2)的通解齐次线性方程组的解向量组的极大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系.由上面的讨论,要求齐次线性方程组的通解,只需求出它的基础解系.定理9

设矩阵的秩,则元齐次线性方程组的解向量组的秩例求齐次线性方程组的基础解系与通解解对系数矩阵作初等行变换同解方程组为即所以,方程组的通解为一基础解系为4.4.2非齐次线性方程组的解的结构性质3设是方程(5)的解,则是方程(6)的解性质4设是方程(5)的解,是方程(6)的解,则是方程(5)的解.结论:若为方程(6)的一个基础解系,是方程(5)的一个特解,则方程(5)的通解为

为任意实数)例

求解方程组解对增广矩阵

作初等行变换同解方程组为即所以,方程组的通解为一特解为对应的齐次线性方程组的通解为一基础解系为第5章相似矩阵与二次型5.1向量的内积、正交化方法5.2方阵的特征值与特征向量5.3相似矩阵5.4实对称矩阵的相似矩阵5.5二次型及其矩阵表示5.6二次型的标准形5.7正定二次型5.1向量的内积、正交化方法5.1.1向量的内积定义1

设有维向量称为向量与的内积向量的内积具有下列性质令5.1.2向量的长度定义2

设令称为向量的长度(或范数)向量的长度具有下列性质性质1

非负性:当时,;当时,性质2

齐次性:(为实数)

性质3

三角不等式当时,可以证明称为维向量与的夹角

当时,称向量与显然,零向量与任何向量都正交.正交5.3.3正交向量组定义3

一组两两正交的非零向量组,称为正交向量组两两正交的单位向量组,称为单位正交向量组,记作正交向量组有下列性质性质1

若是正交向量组,则线性无关性质2

设为单位正交向量组,为同维数的任一向量,若存在数,使则例已知两个3维向量正交,求一个非零向量使两两正交.解记,则应满足齐次线性方程组,即因为所以同解方程组为,通解为一基础解系为,取即可5.1.4正交化方法(施密特(Schimidt)正交化过程)设为一线性无关向量组(1)正交化取依次类推,一般的,有可以证明,两两正交,且与等价(2)单位化令则为单位正交向量组,且等价例已知,求一组非零向量,使两两正交.解

应该满足即其同解方程组为它的通解为一基础解系为把基础解系正交化,即为所求.取于是得即为所求.阶矩阵5.1.5正交矩阵定义4

如果满足,那么称为正交矩阵,简称正交阵.

例如都是正交矩阵.为正交阵,那么正交矩阵有下列性质:性质1

若是可逆阵,且或-1;为正交阵,那么性质2

是正交阵;为正交阵性质3

性质4

若为同阶正交矩阵,则也是正交矩阵.的特征值,非零列向量称为方阵5.2方阵的特征值与特征向量

5.2.1方阵的特征值与特征向量

定义5设是一个阶方阵,如果存在数及

维非零列向量

使得

,那么,这样的数

称为方阵的对应于(或属于)特征值的特征向量.是方阵的特征值,是对应的特征向量(此为个未知数个方程的齐次线性方程组)

是方阵的特征值是对应于的特征向量是齐次线性方程组的非零解(右式称为的特征多项式,记为,称为特征方程)(设)5.2.2求方阵的特征值与特征向量的步骤

计算的特征多项式求出特征方程的所有根(重根按重数计算):对每个特征值,求出相应的齐次线性方程组的一个基础解系为对应于的全部特征向量.不全为零)则例

求矩阵的特征值与特征向量

所以的特征值为

对于特征值解方程,由得同解方程组通解为一基础解系为.

所以对应于的全部特征向量为.

对于特征值解方程,由得同解方程组通解为一基础解系为所以对应于的全部特征向量为例求矩阵的特征值与特征向量.解

所以有2重特征值,有单特征值

对于特征值,解方程,得同解方程组故得通解所以对应于特征值的全部特征向量为由对于特征值,解方程得同解方程组故得通解对应于特征值的全部特征向量为重特征值算作阶方阵是可逆方阵5.2.2特征值的性质性质1

若的全部特征值为(个特征值)则:性质2

设的一个特征值,

为对应的特征是的一个特征值,

为对应向量,且则特征向量;是方阵性质3

设的一个特征值,

为对应的特征是的一个特征值,

为对应特征向量;向量,则是一个正整数,

是方阵性质4

设的一个特征值,

为对应的特征是的一个特征值,

为对应特征向量;向量,若则的特征值都不为零,知可逆,故例设3阶矩阵的特征值为,求.解因为.而所以把上式记作,则

故的特征值为:

于是的互不相同的特征值,5.2.3特征向量的性质

是方阵性质1

设的一个特征值,

为对应的特征向量,若又有数

,则.性质2

设是方阵是对应于的特征向量,则向量组即对应于互不相同特征值的特征向量线性无关.线性无关.的相似矩阵,或称方阵5.3相似矩阵定义6

设都是阶方阵,若有可逆矩阵,使,则称是与相似,记作.,有,从而.即.如5.3.1相似矩阵的概念的对应于与的某个特征值,若是5.3.2相似矩阵的性质性质1

(因为性质2

若则性质3

若则性质4

相似矩阵有相同的特征多项式,从而所有的特征值都相同;性质5设是是的特征向量,则的对应于的特征向量.

(3)可以证明,对应于的每一个重特征值若正好有个线性无关的特征向量,即则必有个线性无关的特征向量,从而一定可以对角化.定理1阶方阵与对角矩阵相似(即能对角化)的充分必要条件是有个线性无关的特征向量.推论(能对角化的充分条件)如果阶方阵的个特征值互不相等,则与对角矩阵相似.注意(1)推论的逆命题未必成立.(2)当有重特征值时,就不一定有线性无关的特征向量,从而不一定能对角化.5.3.3矩阵的相似对角化的特征多项式为例判断下列矩阵是否可以对角化?若可以对角化,求可逆矩阵使之对角化.解(1)的特征值为1,3,是两个不同的特征值,所以可以对角化.对,解方程.,由于同解方程组为通解为一基础解系为对,解方程,由于同解方程组为通解为一基础解系为令则因此,的特征值为1,1,3.的特征多项式为(2)对,解方程.,由于同解方程组为通解为,一基础解系为对,解方程

,由于同解方程组为通解为一基础解系为

有三个线性无关的特征向量,所以可以对角化.令则是5.4实对称矩阵的相似矩阵5.4.1实对称矩阵的性质性质1

实对称矩阵的特征值都是实数,特征向量为实向量;性质2

实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量相互正交;性质3

设阶实对称矩阵,是的则齐次线性方程组重特征根,的系数矩阵的秩,从而的对应于特征值性无关的特征向量恰有的线个.个特征值.是定理2

设阶实对称矩阵,则存在正交矩阵使,其中为对角矩阵,且元素是矩阵对角线上的的5.4.2实对称矩阵的相似对角形

根据上述定理,任何一个实对称矩阵都与对角阵正交相似.寻找正交矩阵,使成为对角阵的步骤如下:1.根据特征方程,求出矩阵的特征值的所有不同及它们的重数2.对每一个特征值,解齐次线性方程组,求得它的一个基础解系3.利用施密特正交化方法,把向量组正交单位化得单位正交向量组从而得到个两两正交的单位特征向量组:的个4.令则为正交矩阵,且为对角矩阵,且对角线上的元素含恰好是矩阵个特征值.其中的主对角元素的重数为顺序与,并且排列排列顺序相对应.中正交向量组的例设,求一个正交矩阵,使为对角矩阵.解由得的特征值为

对应于,解方程,由得同解方程组

通解为一基础解系为,单位化得对应于,解方程由得同解方程组通解为一基础解系为取单位化,得,令则有注意上例中若令可逆,则例设,求解

为实对称矩阵所以可以对角化,即存在可逆矩阵,使为对角矩阵.于是从而由得的特征值为于是对于,由得对于,由得令,再求出,于是一般地,为正整数).合同.5.5二次型及其矩阵表示5.5.1合同矩阵定义7

设有两个阶矩阵,如果存在一个可逆矩阵使得,则称矩阵与

合同关系是矩阵之间的又一重要关系,它是研究二次型的主要工具.合同关系具有以下性质:性质1

与自身合同.

性质2

若合同,则与合同.与性质3若

合同,与合同,则与合同.与个变量的二次齐次函数5.5.2二次型及其矩阵表示定义8

含有称为二次型.

取则实二次型可以写成:

则二次型可记作

任给一个二次型,就惟一确定一个对称矩阵;反之,任给一个对称矩阵,也可惟一确定一个二次型.这样,实二次型与实对称矩阵之间存在一一对应关系.因此,我们把对称矩阵叫做二次型的矩阵,也把叫做对称矩阵的二次型.对称矩阵的秩就叫做二次型的秩.例如可表示为可逆变换,正交变换.经可逆变换二次型的矩阵变为与合同的矩阵且二次型的秩不变.

研究矩阵的合同与实二次型理论的关系.在将实二次型变化的过程中,我们常常需要作变换,这种变换可以用如下关系描述:称为由变量到变量线性变换.矩阵形式为5.6二次型的标准形定义9

如果二次型通过可逆线性变换化成二次型且仅含平方项.即

则称上式为二次型的标准形.一般的,二次型的标准形不惟一.标准形所对应的矩阵为对角矩阵,即5.6.1二次型的标准形的定义其中是矩阵的特征值,正交矩阵的个列向量是对应于的特征向量.定理3任给一个二次型总存在正交变换使化为标准形5.6.2用正交变换法化二次型为标准形用正交变换化二次型为标准型的关键试找到一个正交矩阵使二次型的矩阵化成对角矩阵,具体步骤如下

1.写出二次型的矩阵2.求出矩阵3.对重特征值(如

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