人教版九年级数学上册教案

第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程1.通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax²+bx+c=0(a≠0),分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念.2.了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解.重点通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax²+bx+c=0(a≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题.难点一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别.活动1复习旧知1.什么是方程?你能举一个方程的例子吗?2.下列哪些方程是一元一次方程?并给出一元一次方程的概念和一般形式.3.下列哪个实数是方程2x-1=3的解?并给出方程的解的概念.A.0B.1C.2D.3活动2探究新知根据题意列方程.(1)正方形的大小由什么量决定?本题应该设哪个量为未知数?(2)本题中有什么数量关系?能利用这个数量关系列方程吗?怎么列方程?(3)这个方程能整理为比较简单的形式吗?请说出整理之后的方程.提出问题：(1)本题中有哪些量?由这些量可以得到什么?(2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系?如果有5个队参赛，每个队比赛几场?一共有20场比赛吗?如果不是20场比赛，那么究竟比赛多少场?3.一个数比另一个数大3,且两个数之积为0,求这两个数.本题需要设两个未知数吗?如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列?4.一个正方形的面积的2倍等于25,这个正方形的边长是多少?活动3归纳概念1.一元二次方程：只含有个未知数，并且未知数的最高次数是_,这样的方程，叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0(a≠0),其中ax²是二次项，a是二次项系(1)一元二次方程的一般形式有什么特点?等号的左、右分别是什么?(2)为什么要限制a≠0,b,c可以为0吗?(3)2x²-x+1=0的一次项系数是1吗?为什么?3.一元二次方程的解(根):使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次活动4例题与练习(4)2x²-2x(x+7)=0.(3)含有未知数的项的最高次数是2.注意有些方程化简前含有二次项，但是化简后二次项系数为0,这样的方程不是一元二次方程.例3以-2为根的一元二次方程是()是否相等.2.将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项.(1)4x²=81;(2)(3x-2)3.教材第4页练习第2题.4.若-4是关于x的一元二次方程2x²+7x-k=0的一个根，则k的值为活动5课堂小结与作业布置我们学习了一元二次方程的哪些知识?一元二次方程的一般形式是什么?一般形式中有什么限制?你能解一元二次方程吗?教材第4页习题21.1第1~7题.21.2解一元二次方程21.2.1配方法(3课时)第1课时直接开平方法教学目标<<<理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题.然后知识迁移到解a(ex+f)²+c=0型的一元二次方程.重点运用开平方法解形如(x+m)²=n(n≥0)的方程，领会降次——转化的数学思想.通过根据平方根的意义解形如x²=n的+m)²=n(n≥0)的方程.教学设计<<<学生活动：请同学们完成下列各题.问题1:填空(1)x²-8x+=(x—)²;(2)解：根据完全平方公式可得：(1)164;(2)42;问题2:目前我们都学过哪些方程?二元怎样转化成一元?一元二次方程与一元一次方程有什么不同?二次如何转化成一次?怎样降次?以前学过哪些降次的方法?上面我们已经讲了x²=9,根据平方根的意义，直接开平方得x=±3,如果x换元为2t+1,即(2t+1)²=9,能否也用直接开平方的方法求解呢?老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x,那么2t+1=±3解：略.例2市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m²提高到14.4m²,求每年人均住房面积增长率.分析：设每年人均住房面积增长率为x,一年后人均住房面积就应该是10+10x=10(1+x);二年后人均住房面积就应该是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)²解：设每年人均住房面积增长率为x,则：10(1+x)²=14.4直接开平方，得1+x=±1.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x₂=-2.2应舍去.所以，每年人均住房面积增长率应为20%.共同特点：把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程.我们把这种思想称为“降次转化思想”.教材第6页练习.本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x²=p(p≥0)的方程，那用直接开平方法解形如(mx+n)²=p(p≥0)的方程，那么mx+n=±Vp,达到降次转化之目的.若p<0则方程无解.教材第16页复习巩固1.第2课时配方法的基本形式理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题.通过复习可直接化成x²=p(p≥0)或(mx+n)²=p(p≥0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的一元二次方程的解重点难点<<<讲清直接降次有困难，如x²+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤.难点将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧.(1)3x²-1=5(2)4(x-1)²-9=0(3)4x²+16x+16=9(老师点评：上面的方程都能化成x²=p或(mx+n)²=p(p≥0)的形式，那么可得x=±√p或mx+n=±Vp(p≥0).如：4x²+16x+16=(2x+4)²,你能把4x²+16x=-7化成(2x+4)²=9吗?问题：要使一块矩形场地的长比宽多6m,并且面积为16m²,求场地的长和宽各是多少?的完全平方式而后二个不具有此特征.可以验证：x₁=2,x₂=-8都是方程的根，但场地的宽不能是负值，所以像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法.可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.分析：(1)显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方解：略.三、巩固练习教材第9页练习1,2.(1)(2).是非负数，可以直接降次解方程的方程.五、作业布置教材第17页复习巩固2,3.(1)(2).第3课时配方法的灵活运用教学目标<<<重点对于用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，通常把常数项移加上的常数是一次项系数一半的平方；对于二次项系数不为1的一元二次方程，要先化二次项系数为1,再用配方法求解.解：略.(2)与(1)有何关联?(5)变形为(x+p)²=q的形式，如果q≥0,方程的根是x=-p±Vq;如果q<0,方程无实根.(1)2x²+1=3x(2)3x²-6x+4=0(3)(1+x)个含有x的完全平方式.解：略.1.配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤.2.配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性.在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到.教材第17页复习巩固3.(3)(4).的值.二次方程.复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax²+bx+c=0(a≠0)的求根公式的推导，并应用公式法解一元二次方程.重点求根公式的推导和公式法的应用.难点一元二次方程求根公式的推导.教学设计<<<1.前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”,比如，方程提问1这种解法的(理论)依据是什么?提问2这种解法的局限性是什么?(只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程.)2.面对这种局限性，怎么办?(使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式.)实根.如果这个一元二次方程是一般形式ax²+bx+c=0(a≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题.问题：已知ax²+bx+c=0(a≠0),试推导它的两个根(这个方程一定有解吗?什么情况下有解?)分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a,b,c也当成一个具体数字，二次项系数化为1,得即由上可知，一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a,b,c而定，因此：将a,b,c代入式子就得到方程的根.(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式.(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.公式的理解(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.例1用公式法解下列方程：分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可.教材第12页练习1.(1)(3)(5)或(2)(4)(6).本节课应掌握：(1)求根公式的概念及其推导过程；(3)应用公式法解一元二次方程的步骤：1)将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0;2)找出系数a,b,c,注意各项的系数包括符号；3)计算b²-4ac,若结果为负数，方程无解；4)若结果为非负数，代入求根公式，算出结果.(4)初步了解一元二次方程根的情况.五、作业布置掌握用因式分解法解一元二次方程.通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题.重点用因式分解法解一元二次方程.让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题更简便.(1)2x²+x=0(用配方法)(2)3x²+6x=0(用公式法)老师点评：(1)配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应的一半应因(学生活动)请同学们口答下面各题.(老师提问)(1)上面两个方程中有没有常数项?(2)等式左边的各项有没有共同因式?(学生先答，老师解答)上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解.因此，上面两个方程都可以写成：因为两个因式乘积要等于0,至少其中一个因式要等于0,也就是(1)x=0或2x+1=0,(2)3x=0或x+2=0,所以x₁=0,x₂=-2.(以上解法是如何实现降次的?)因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次，这种解法叫做因式分解法.例1解方程：(1)10x-4.9x²=0(2)x(x-2)+x-2=0(4)(x-1)²=(3-思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么?解：略(方程一边为0,另一边可分解为两个一次因式乘积.)练习：下面一元二次方程解法中，正确的是()A.(x-3)(x-5)=10×2,∴x-3=10,x-5=2,∴xi=13,B.(2-5x)+(5x-2)²=0,∴(5x-2)(5x-D.x²=x,两边同除以x,得x=1四、课堂小结本节课要掌握：(1)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用.(2)因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0,再分别使各一次因式等五、作业布置教材第17页习题6,8,10,11.21.2.4一元二次方程的根与系数的关系1.掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用.2.培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力.3.渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律.4.培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神.重点根与系数的关系及其推导难点正确理解根与系数的关系.一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和、 于零.)3(4)√2x²+√6x=√3例2不解方程，检验下列方程的解是否正确?(1)x²-2√2x+1=0(x₁=√例3已知一元二次方程的两个根是-1和2,请你写出一个符合条件的方程.(你有几种方法?)例4已知方程2x²+kx-9=0的一个根是-3,求另一根及k的值.变式一：已知方程x²-2kx-9=0的两根互为相反数，求k;变式二：已知方程2x²-5x+k=0的两根互为倒数，求k.三、课堂小结1.根与系数的关系.2.根与系数关系使用的前提是：(1)是一元二次方程；(2)判别式大于等于零.1.不解方程，写出下列方程的两根和与两根积.(1)x²-5x-3=0(2)9x+2=x²(32.已知方程x²-3x+m=0的一个根为1,求另一根及m的值.3.已知方程x²+bx+6=0的一个根为-2,求另一根及b的值.21.3实际问题与一元二次方程(2课时)第1课时解决代数问题1.经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤.2.通过学生自主探究，会根据传播问题、百分率问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤.3.通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准.重点利用一元二次方程解决传播问题、百分率问题.难点如果理解传播问题的传播过程和百分率问题中的增长(降低)过程，找到传播问题和百分率问题中的数量关系.一、引入新课1.列方程解应用题的基本步骤有哪些?应注意什么?2.科学家在细胞研究过程中发现：(1)一个细胞一次可分裂成2个，经过3次分裂后共有多少个细胞?(2)一个细胞一次可分裂成x个，经过3次分裂后共有多少个细胞?(3)如是一个细胞一次可分裂成2个，分裂后原有细胞仍然存在并能再次分裂，试问经过3次分裂后共有多少个细胞?二、教学活动活动1:自学教材第19页探究1,思考教师所提问题.有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮几个人?(1)如何理解“两轮传染”?如果设每轮传染中平均一个人传染了x个人，第一轮传染后共有人患流感，第二轮传染后共有人患流感.流感，第二轮有x(1+x)人被传染上了流感.于是可列方程：因此每轮传染中平均一个人传染了10个人.变式练习：如果按这样的传播速度，三轮传染活动2:自学教材第19页~第20页探究2,思考老师所提问题.两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600(1)如何理解年平均下降额与年平均下降率?它们相等吗?(3)增长率(下降率)公式的归纳：设基准数为a,增长率为x,则一月(或一年)后产量为如果已知n月(n年)后总产量为M,则有下面等式：M=1.列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答.最后要检验根是否符合实际.2.传播问题解决的关键是传播源的确定和等量关系的建立.3.若平均增长(降低)率为x,增长(或降低)前的基准数是a,增长(或降低)n次后的量是4.成本下降额较大的药品，它的下降率不一定也较大，成本下降额较小的药品，它的下降率不一定也较小.教材第21-22页习题21.3第2-7题.第2课时解决几何问题1.通过探究，学会分析几何问题中蕴含的数量关系，列出一元二次方程解决几何问题.2.通过探究，使学生认识在几何问题中可以将图形进行适当变换，使列方程更容易.3.通过实际问题的解答，再次让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准.教学设计<<<活动1创设情境1.长方形的周长,面积,长方体的体积公式.2.如图所示：制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是,高是_,体积是制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是,高是,体积是 活动2自学教材第20页～第21页探究3,思考老师所提问题(3)若设上、下边衬的宽均为9xcm,左、右边衬的宽均为7xcm,则中央矩形的长为 积占整块面积的75%,等宽且互相垂直的两条路的面积占25%,求路的宽度.答案：路的宽度为5米.课堂小结1.利用已学的特殊图形的面积(或体积)公式建立一元二次方程的数学模型，并运用它解决实际问题的关键是弄清题目中的数量关系.2.根据面积与面积(或体积)之间的等量关系建立一元二次方程，并能正确解方程，最后对所得结果是否合理要进行检验.作业布置教材第22页习题21.3第8,10题.第二十二章二次函数22.1二次函数的图象和性质22.1.1二次函数1.从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系.2.理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式.3.会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围.重点二次函数的概念和解析式.难点本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力.一、创设情境，导入新课问题1现有一根12m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使矩形的面积最大?小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗?问题2很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线?怎样计算篮球达到最高点时的高度?这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”(板书课题).二、合作学习，探索新知请用适当的函数解析式表示下列情景中的两个变量y与x之间的关系：(1)圆的半径x(cm)与面积y(cm²);(2)王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为x,两年后王先生共得本息y元；(3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为120m,室内通道的尺寸如图，设一条边长为x(m),种植面积为y(m²).(一)教师组织合作学习活动：1.先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式.2.上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨.(1)y=πx²(2)y=20000(1+x)²=20000x²+40000x+20000(3)y=(6(二)上述三个函数解析式具有哪些共同特征?让学生充分发表意见，提出各自看法.教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具有y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的形式.板书：我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数(4)y=x(1-x)(5)y=(x-1)²(1)y=x²+1(2)y=3x²+7x-123.若函数y=(m²-1)xm²-m为二次函数，则m的值为教材第41页第1,2题.22.1.2二次函数y=ax²的图象和性质1.下列哪些函数是二次函数?哪些是一次函数?活动1:画函数y=-x²的图象.活动2:在坐标纸上画函数y=-0.5x²,y=-2x²的图象.活动3:在同一个直角坐标系中画函数y=x²,y=0.5x²,y=2x²的图象.图象(草图)开口方向对称轴最高或最低点最值 活动4:达标检测(1)函数y=-8x²的图象开口向,顶点是,对称轴是,当_教材第32页练习.22.1.3二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质教学目标<<<1.经历二次函数图象平移的过程；理解函数图象平移的意义.2.了解y=ax²,y=a(x-h)²,y=a(x-h)²+k三类二次函数图象之间的关系.3.会从图象的平移变换的角度认识y=a(x-h)²+k型二次函数的图象特征.重点难点<<<重点从图象的平移变换的角度认识y=a(x-h)²+k型二次函数的图象特征.难点对于平移变换的理解和确定，学生较难理解.1.名称:2.顶点坐标;3.对称轴;4.当a>0时，抛物线的开口向,顶点是抛物线上的最点，图象在x轴的(除顶点外);当a<0时，抛物线的开口向,顶点是抛物线上的最点，图象在x轴的 三、探究二次函数y=ax²和y=a(x-h)²图象之间的关系1.结合学生所画图象，引导学生观察与的图象位置关系，直观得②也可以把这些对应点在图象上用彩色粉笔标出，并用带箭头的线段表示平移过程.3.请你总结二次函数y=a(x-h)²的图象和性质.函数y=a(x-h)²的图象的顶点坐标是(h,0),对称4.做一做抛物线开口方向对称轴得到.得出：只要把抛物线先向左平移2个单位，在向上平移3个单位，就的图象.函数解析式图象的对称轴图象的顶点坐标a(x-h)²+k的图象.4.练习：课本第37页练习教材第41页第5题22.1.4二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质(2课时)第1课时二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质1.二次函数y=a(x-h)²+k的图象，可以由函数y=ax²的图象先向平移 2.二次函数y=a(x-h)²+k的图象的开口方向,对称轴是_,顶点坐活动1:通过配方，确定抛物线描点画图.次函数y=ax²+bx+c(a>0)活动4:已知抛物线y=x²-2ax+9的顶点在坐标轴上，求a的值.活动5:检测反馈1.填空：(2)抛物线y=2x²-2x-1的开口,对称轴是_;(3)二次函数y=ax²+4x+a的最大值是3,则a=(1)y=3x²+2x;(2)y=-2x²+8x-8.4.抛物线y=ax²+2x+c的顶点是(-1,2),则a,c的值分别是多少?开口向下，x=2,(2,0);3.对称轴x=m);4.a=1,c=3.教学目标<<<性.1.抛物线y=-2(x+4)²-5的顶点坐标是,对称轴是,在 2.抛物线y=2(x-3)²+6的顶点坐标是,对称轴是,在 为快捷.系数的符号图象特征a的符号抛物线开口向抛物线开口向的符号抛物线对称轴是轴c的符号抛物线与y轴交于抛物线与y轴交于抛物线与y轴交于本节课你学到了什么?四、作业布置教材第40页练习1,2.22.2二次函数与一元二次方程1.总结出二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根.2.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.3.会用计算方法估计一元二次方程的根.重点难点<<<重点方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.一、复习引入1.二次函数：y=ax²+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线，它的开口由什么决定呢?补充：当a的绝对值相等时，其形状完全相同，当a的绝对值越大，则开口越小，反之成立.2.二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象和性质：(3)增减性与最值.当a>0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大；当,函数y有最小值当a<0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；当时，函数y有最大探索二次函数与一元二次方程：二次函数y=x²+2x,y=x²-2x+1,y=x²-2x+2的图象如图所示.(1)每个图象与x轴有几个交点?(2)一元二次方程x²+2x=0,x²-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x²-2x+2=0有根吗?(3)二次函数y=ax²+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax²+bx+c=0的根有什么关系?归纳：二次函数y=ax²+bx+c的图象和x轴交点有三种情况：①有两个交点，②有一个交点，③没有交点.当二次函数y=ax²+bx+c的图象和x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax²+bx+c=0的根.当b²-4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点，交点的横坐标是一元二次方程0=ax²+bx+c的两个根x₁与x₂;当b²-4ac=0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点；当b²-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点.举例：求二次函数图象y=x²-3x+2与x轴的交点A,B的坐标.结论：方程x²-3x+2=0的解就是抛物线y=x²-3x+2与x轴的两个交点的横坐标.因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的.即：若一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根是x1,x₂,则抛物线y=ax²+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是A(x₁,0),B(x₂,0).例1已知函数(1)写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与y轴的交点关于图象对称轴的对称点，然后画出函数图象的草图；(2)自变量x在什么范围内时，y随着x的增大而增大?何时y随着x的增大而减少；并求出函数的最大值或最小值.请完成课本练习：第47页1,2四、课堂小结二次函数与一元二次方程根的情况的关系.五、作业布置第1课时用二次函数解决利润等代数问题能够理解生活中文字表达与数学语言之间的关系，建立数学模型.利用二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象的性质解决简单的实际问题，能理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，并能应用这些关系解决实际问题.重点把实际生活中的最值问题转化为二次函数的最值问题.难点1.读懂题意，找出相关量的数量关系，正确构建数学模型.2.理解与应用函数图象顶点、端点与最值的关系.教学设计<<<1.二次函数常见的形式有哪几种?二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标是,对称轴是_;二2.二次函数知识能帮助我们解决哪些实际问题呢?活动1:问题：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h=30t-5t²(O≤t≤6).小球运动的时间是多少时，小球最高?小球运动中的最大高度是多少?活动2:问题：某商场的一批衬衣现在的售价是60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知该衬衣的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大?1.问题中的定价可能在现在售价的基础上涨价或降价，获取的利润会一样吗?2.如果你是老板，你会怎样定价?3.以下问题提示，意在降低题目梯度，提示考虑x的取值范围.(1)若设每件衬衣涨价x元，获得的利润为y元，则定价为元，每件利润为 (2)若设每件衬衣降价x元，获得的利润为y元，则定价为元，每件利润为 活动3:达标检测某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x(元/件)与每(2)写出每天的利润w与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价答案：(1)y=-x+180;(2)w=(x-100)y=-(x-140)²+1600,当售价定为140元，w最大为1600元.三、课堂小结与作业布置课堂小结通过本节课的学习，大家有什么新的收获和体会?尤其是数形结合方面你有什么新的体作业布置教材第51～52页习题第1～3题，第8题.第2课时二次函数与几何综合运用能根据具体几何问题中的数量关系，列出二次函数关系式，并能应用二次函数的相关性质解决实际几何问题，体会二次函数是刻画现实世界的有效数学模型.应用二次函数解决几何图形中有关的最值问题.函数特征与几何特征的相互转化以及讨论最值在何处取得.一、引入新课上节课我们一起研究用二次函数解决利润等代数问题，这节课我们共同研究二次函数与几何的综合应用.二、教学过程问题1:教材第49页探究1.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长1的变化而变化.当1为多少米时，场地的面积S最大?提问1:矩形面积公式是什么?提问2:如何用1表示另一边?提问3:面积S的函数关系式是什么?问题2:如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m,这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?提问1:问题2与问题1有什么不同?提问2:我们可以设面积为S,如何设自变量?提问3:面积S的函数关系式是什么?提问4:如何求解自变量x的取值范围?墙长32m对此题有什么作用?答案：0<60-2x≤32,即14≤x<30.提问5:如何求最值?问题3:将问题2中“墙长为32m”改为“墙长为18m”,求这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?提问1:问题3与问题2有什么异同?提问2:可否模仿问题2设未知数、列函数关系式?提问3:可否试设与墙平行的一边为x米?则如何表示另一边?答案：设矩形面积为Sm²,与墙平行的一边为x米，则提问5:如何求自变量的取值范围?答案：0<x≤18.提问6:如何求最值?答案：由于30>18,因此只能利用函数的增减性求其最值.当x=18时，Smax=378.小结：在实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围来确定.通过问题2与问题3的对比，希望学生能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值.三、回归教材阅读教材第51页的探究3,讨论有没有其他“建系”的方法?哪种“建系”更有利于题目的解答?四、基础练习1.教材第51页的探究3,教材第57页第7题.2.阅读教材第52～54页.五、课堂小结与作业布置课堂小结1.利用求二次函数的最值问题可以解决实际几何问题.2.实际问题的最值求解与函数图象的顶点、端点都有关系，特别要注意最值的取得不一定在函数的顶点处.作业布置教材第52页习题第4～7题，第9题.第二十三章旋转23.1图形的旋转1.了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念，了解旋转对应点的概念及其应用它们解决一些实际问题.2.通过复习平移、轴对称的有关概念及性质，从生活中的数学开始，经历观察，产生概念，应用概念解决一些实际问题.3.旋转的基本性质.重点旋转及对应点的有关概念及其应用.难点旋转的基本性质.(学生活动)请同学们完成下面各题.1.将如图所示的四边形ABCD平移，使点B的对应点为点D,作出平移后的图形.2.如图，已知△ABC和直线1,请你画出△ABC关于1的对称图形△A'B'C'.3.圆是轴对称图形吗?等腰三角形呢?你还能指出其它的吗?(1)平移的有关概念及性质.(2)如何画一个图形关于一条直线(对称轴)的对称图形并口述它具有的一些性质.(3)什么叫轴对称图形?二、探索新知我们前面已经复习平移等有关内容，生活中是否还有其它运动变化呢?回答是肯定的，下面我们就来研究.1.请同学们看讲台上的大时钟，有什么在不停地转动?旋转围绕什么点呢?从现在到下课时针转了多少度?分针转了多少度?秒针转了多少度?(口答)老师点评：时针、分针、秒针在不停地转动，它们都绕时钟的中心.从现在到下课时针转了度，分针转了度，秒针转了度.2.再看我自制的好像风车风轮的玩具，它可以不停地转动.如何转到新的位置?(老师点评略)3.第1,2两题有什么共同特点呢?共同特点是如果我们把时钟、风车风轮当成一个图形，那么这些图形都可以绕着某一固定点转动一定的角度.像这样，把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.如果图形上的点P经过旋转变为点P',那么这两个点叫做这个旋转的对应点.下面我们来运用这些概念来解决一些问题.例1如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB,它绕0点按顺时针方向旋转得到△OEF,在这个旋转过程中：(1)旋转中心是什么?旋转角是什么?(2)经过旋转，点A,B分别移动到什么位置?解：(1)旋转中心是0,∠AOE,∠BOF等都是旋转角.(2)经过旋转，点A和点B分别移动到点E和点F的位置.请看我手里拿着的硬纸板，我在硬纸板上挖下一个三角形的洞，再挖一个点O作为旋转中心，把挖好的硬纸板放在黑板上，先在黑板上描出这个挖掉的三角形图案(△ABC),然后围绕旋转中心O转动硬纸板，在黑板上再描出这个挖掉的三角形(△A'B'C),移去硬纸板.(分组讨论)根据图回答下面问题(一组推荐一人上台说明)1.线段OA与OA',OB与OB',OC与OC有什么关系?2.∠AOA',∠BOB',∠COC′有什么关系?3.△ABC与△A'B'C的形状和大小有什么关系?老师点评：1.0A=OA',OB=OB',OC=OC,也就是对应点到旋转中心的距离相等.2.∠AOA'=∠BOB'=∠COC',我们把这三个相等的角，即对应点与旋转中心所连线段的夹角称为旋转角.3.△ABC和△A'B'C'形状相同和大小相等，即全等.综合以上的实验操作得出：(1)对应点到旋转中心的距离相等；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3)旋转前、后的图形全等.例2如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D,试确定顶点B的对应点的位置，以及旋转后的三角形.分析：绕C点旋转，A点的对应点是D点，那么旋转角就是∠ACD,根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即∠BCB'=∠ACD,又由对应点到旋转中心的距离相等，即CB=CB',就可确定B'的位置，如图所示.(2)以CB为一边作∠BCE,使得(4)连接DB',则△DB'C就是△AB1.对应点到旋转中心的距离相等；2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；3.旋转前、后的图形全等及其它们的应用.教材第62～63页习题4,5,6.23.2中心对称23.2.1中心对称1.正确认识什么是中心对称、对称中心，理解关于中心对称图形的性质特点.2.能根据中心对称的性质，作出一个图形关于某点成中心对称的对称图形.重点中心对称的概念及性质.难点问题：作出下图的两个图形绕点O旋转180°后的图案，并回答下列的问题：1.以0为旋转中心，旋转180°后两个图形是否重合?2.各对应点绕O旋转180°后，这三点是否在一条直线上?老师点评：可以发现，如图所示的两个图案绕O旋转180°后像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心.这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.(2)作关于一定点O为对称中心的对称图形.第二步，以△ABC的C点(或O点)为中心，旋转180°画出△A'B'C图(1)图(2)分别连接对称点AA',BB',CC',点O在这些线段上且O平分这些线段.所以点0在线段AA'上，且OA=OA',即点O是线段AA'的中点.同样地，点O也在线段BB'和CC上，且OB=OB',OC=OC',即点O是BB'和CC'的中点.1.关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平2.关于中心对称的两个图形是全等图形.分析：中心对称就是旋转180°,关于点O成中心对称就是绕O旋转180°,因此，我们连AO,BO,CO并延长，取与它们相等的线段即可得到.解：(1)连接AO并延长AO到D,使OD=OA,于是得到点A的对称点D,如图所示.(3)顺次连接DE,EF,FD,则△DEF即为所求的三角形.例2(学生练习，老师点评)如图，已知四边形ABCD和点O,画四边形A'B'CD',使四边形A'B'CD'和四边形ABCD关于点O成中心对称(只保留作图痕迹，不要求写出作法).2.关于中心对称的两个图形是全等图形及其它们的应用.教材第66页练习了解中心对称图形的概念及中心对称图形的对称中心形的有关概念及其他的运用.重点中心对称图形的有关概念及其它们的运用.区别关于中心对称的两个图形和中心对称图形.(老师口述):关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心中心所平分.2.(学生活动)作图题.(1)作出线段AO关于0点的对称图形，如图所示.从另一个角度看，上面的(1)题就是将线段AB绕它的中点旋转180°,因为OA=OB,所以，就是线段AB绕它的中点旋转180°后与它本身重合.如图所示.也就是，ABCD绕它的两条对角线交点O旋转180°后与它本身重合.因此，像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.(学生活动)例1从刚才讲的线段、平行四边形都是中心对称图形外，每一位同学举出三个图形，它们也是中心对称图形.老师点评：老师边提问学生边解答的特点.(学生活动)例2请说出中心对称图形具有什么特点?老师点评：中心对称图形具有匀称美观、平稳的特点.例3求证：如图，任何具有对称中心的四边形是平行四边形.分析：中心对称图形的对称中心是对应点连线的交点，也是对应点间的线段中点，因此，直接可得到对角线互相平分.证明：如图，0是四边形ABCD的对称中心，根据中心对称性质，线段AC,BD必过点O,且AO=CO,BO=DO,即四边形ABCD的对角线互相平分，因此，四边形ABCD是平行四边形.三、课堂小结(学生归纳，老师点评)1.中心对称图形的有关概念；2.应用中心对称图形解决有关问题.四、作业布置教学目标<<<理解点P与点P'关于原点对称时它们的横纵坐标的关系，掌握P(x,y)关于点为P'(-x,-y)的运用.运用.重点两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原-y)及其运用.难点运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题.1.已知点A和直线1,如图，请画出点A关于1对称的点A'.2.如图，△ABC是正三角形，以点A为中心，把△ABC顺时针旋转60°,画出旋转后的图形.3.如图△ABO,绕点O旋转180°,画出旋转后的图形.老师点评：老师通过巡查，根据学生解答情况进行点评.(略)E(3,-3),F(-2,-2),作出A,B,C,D,E,F点关于原点O的中心对称点，并写出老师点评：画法：(1)连接AO并延长AO;(2)在射线AO上截取OA'=OA;(3)过A作AD'⊥x轴于点D',过A'作AD"⊥x轴于点D".同理可得B,C,D,E,F这些点关于原点的中心对称点的坐标.(学生活动)分组讨论(每四人一组):讨论的内容：关于原点作中心对称时，①它们的横坐标与横坐标绝对值什么关系?纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系?②坐标与坐标之间符号又有什么特点?提问几个同学口述上面的问题.老师点评：(1)从上可知，横坐标与横坐标的绝对值相等，纵坐标与纵坐标的绝对值相等.(2)坐标符号相反，即P(x,y)关于原点O的对称点P'(-x,-y).两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点O的对称点为P(-x,-y).例1如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与线段AB关于原点对称的图分析：要作出线段AB关于原点的对称线段，只要作出点A、点B关于原点的对称点A',解：点P(x,y)关于原点的对称点为P'(-x,-y),因此，线段AB的两个端点A(0,1),B(3,0)关于原点的对称点分别为A'(0,-1),B(-3,0).连接A'B'.则就可得到与线段AB关于原点对称的线段A'B'.(学生活动)例2已知△ABC,A(1,2),B(-1,3),C(-2,4),利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出△ABC关于原点对称的图形.老师点评分析：先在直角坐标系中画出A,B,C三点并连接组成△ABC,要作出△ABC关于原点O的对称三角形，只需作出△ABC中的A,B,C三点关于原点的对称点，依次连接，便可得到所求作的△A'B'C'.三、巩固练习点P(x,y)关于原点的对称点为P'(-x,-y).意的图案.胆联想，设计出一幅幅美丽的图案.重点设计图案.难点如何利用平移、轴对称、旋转等图形变换中的一种或它们的组合得出图案.1.如图，已知线段CD是线段AB平移后的图形，D是B点的对称点，作出线段AB,并回答AB与CD有什么位置关系.C错误!,第2题图)D,第3题图)2.如图，已知线段CD,作出线段CD关于对称轴1的对称线段C'D',并说明CD与对称线段C'D'之间有什么关系?3.如图，已知线段CD,作出线段CD关于D点旋转90°的旋转后的图形，并说明这两2.过D点作DE⊥1,垂足为E并延长，使ED'=ED,同理作出C点，连接CD',则CD'即为所求.CD的延长线与CD'的延长线相交于一点，这一点在1上并且CD=CD'.计.例1(学生活动)学生亲自动手操作题.按下面的步骤，请每一位同学完成一个别致的图案.老师必要时可以给予一定的指导.三、课堂小结利用平移、轴对称和旋转的图形变换中的一种或组合设计图案.第二十四章圆经历形成圆的概念的过程，理解圆及其有关概念.理解圆的概念的形成过程和圆的集合性定义.活动1创设情境，引出课题1.多媒体展示生活中常见的给我们以圆的形象的物体.2.提出问题：我们看到的物体给我们什么样的形象?活动2动手操作，形成概念在没有圆规的情况下，让学生用铅笔和细线画一个圆.教师巡视，展示学生的作品，提出问题：我们画的圆的位置1.从以上圆的形成过程，总结概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O2.小组讨论下面的两个问题：问题1:圆上各点到定点(圆心O)的距离有什么规律?问题2:到定点的距离等于定长的点又有什么特点?3.小组代表发言，教师点评总结，形成新概念.因此，我们可以得到圆的新概念：圆心为0,半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合.(一个图形看成是满足条件的点的集合，必须符合两点：在图形上的每个点，都满足这个条件；满足这个条件的每个点，都在这个图形上.)活动3学以致用，巩固概念1.教材第81页练习第1题.2.教材第80页例1.多媒体展示例1,引导学生分析要证明四个点在同一圆上，实际是要证明到定点的距离等于定长，即四个点到O的距离相等.活动4自学教材，辨析概念1.自学教材第80页例1后面的内容，判断下列问题正确与否：(3)在同圆中，半径相等，直径是半径的2倍.同圆或等圆中的弧.)(5)大于半圆的弧是劣弧，小于半圆的弧是优弧.2.指出图中所有的弦和弧.活动5达标检测，反馈新知活动6课堂小结，作业布置课堂小结1.圆、弦、弧、等圆、等弧的概念.要特别注意“直径和弦”“弧和半圆”以及“同圆、等圆”这些概念的区别和联系.等圆和等弧的概念是建立在“能够完全重合”这一前提条件下的，它将作为今后判断两圆或两弧相等的依据.2.证明几点在同一圆上的方法.3.集合思想.作业布置1.以定点0为圆心，作半径等于2厘米的圆.2.如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠C=90°,∠D=90°,点O是AB的中点.求证：A,B,C,D四个点在以点O为圆心的同一圆上.24.1.2垂直于弦的直径理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题.通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解.重点垂径定理及其运用.难点探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题.一、复习引入①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆.固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙0”,读作“圆O”.②连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC,AB;③经过圆心的弦叫做直径，如图线段AB;④圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，以A,C为端点的弧记作“AC”,读作“圆弧AC”或“弧AC”.大于半圆的弧(如图所示ABC)叫做优弧，小于半圆的弧(如图所示AC或BC叫做劣弧.⑤圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.⑥圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.(学生活动)请同学按要求完成下题：如图，AB是⊙0的一条弦，作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.(1)如图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么?(2)你能发现图中有哪些等量关系?说一说你理由.(老师点评)(1)是轴对称图形，其对称轴是CD.(2)AM=BM,AC=BC,AD=BD,即直径CD平分弦AB,并且平分AB及ADB.这样，我们就得到下面的定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.下面我们用逻辑思维给它证明一下：已知：直径CD、弦AB,且CD⊥AB垂足为M.分析：要证AM=BM,只要证AM,BM构成的两个三角形全等.因此，只要连接OA,OB或AC,BC即可.证明：如图，连接OA,OB,∵⊙0关于直径CD对称，进一步，我们还可以得到结论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.(本题的证明作为课后练习)例1有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB=60m,水面到拱顶距离CD=18m,当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施?请说明理由.分析：要求当洪水到来时，水面宽MN=32m是否需要采取紧急措施，只要求出DE的长，因此只要求半径R,然后运用几何代数解求R.解：不需要采取紧急措施，解得R=34(m),解得x₁=4,x₂=64(不合题意，舍去),∴不需采取紧急措施.三、课堂小结(学生归纳，老师点评)垂径定理及其推论以及它们的应用.1.垂径定理推论的证明.24.1.3弧、弦、圆心角1.理解圆心角的概念和圆的旋转不变性，会辨析圆心角.2.掌握在同圆或等圆中，圆心角与其所对的弦、弧之间的关系，并能应用此关系进行相关的证明和计算.重点圆心角、弦、弧之间的相等关系及其理解应用.难点从圆的旋转不变性出发，发现并论证圆心角、弦、弧之间的相等关系.教学设计<<<活动1动手操作，得出性质及概念1.在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙0和⊙0'.2.将⊙0绕圆心旋转任意角度后会出现什么情况?圆是中心对称图形吗?3.在⊙0中画出两条不在同一条直线上的半径，构成一个角，这个角叫什么角?学生先说，教师补充完善圆心角的概念.如图，∠AOB的顶点在圆心，像这样的角叫做圆心角.4.判断图中的角是否是圆心角，说明理由.活动2继续操作，探索定理及推论1.在⊙0'中，作与圆心角∠AOB相等的圆心角∠A'OB',连接AB,A'B',将两张重合，在操作的过程中，你能发现哪些等量关系，理由是什么?请与小组同学交流.2.学生会出现多对等量关系，教师给予鼓励，然后，老师小结：在等圆中相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.3.在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等吗?所对的弦相等吗?4.综合2,3,我们可以得到关于圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.请用符号语言把定理表示出来.5.分析定理：去掉“在同圆或等圆中”这个条件，行吗?6.定理拓展：教师引导学生类比定理，独立用类似的方法进行探究：(1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角，所对的弦也分别相等吗?(2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，所对的弧也分别相等吗?出它们所对应的其余各组量也相等.活动3学以致用，巩固定理1.教材第84页例3.多媒体展示例3,引导学生分析要证明三个圆心角相等，可转化为证明所对的弧或弦相等.鼓励学生用多种方法解决本题，培养学生解决问题的意识和能力，感悟转化与化归的数学思想.活动4达标检测，反馈新知活动5课堂小结，作业布置课堂小结1.圆心角概念及圆的旋转不变性和对称性.2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，以及其应用.3.数学思想方法：类比的数学方法，转化与化归的数学思想.作业布置1.如果两个圆心角相等，那么()A.这两个圆心角所对的弦相等B.这两个圆心角所对的弧相等C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D.以上说法都不对2.如图，AB和DE是⊙0的直径，弦AC//DE,若弦BE=3,求弦CE的长.3.如图，在⊙0中，C,D是直径AB上两点，且AC=BD,MC⊥AB,ND⊥AB,M,(2)若C,D分别为OA,OB中点，则AM=MN=BN成立吗?得出AM=BN;(2)成立.第1课时圆周角的概念和圆周角定理1.理解圆周角的概念，会识别圆周角.2.掌握圆周角定理，并会用此定理进行简单的论证和计算.重点难点<<<重点圆周角的概念和圆周角定理.难点用分类讨论的思想证明圆周角定理，尤其是分类标准的确定.活动1复习类比，引入概念1.用几何画板显示圆心角.2.教师将圆心角的顶点进行移动，如图1.学生会马上猜出：圆周角.教师给予鼓励，引出课题.3.总结圆周角概念.(1)鼓励学生尝试自己给圆周角下定义.估计学生能类比圆心角给圆周角下定义，顶点在圆周上的角叫圆周角，可能对角的两边没有要求.(2)教师提问：是不是顶点在圆周上的角就是圆周角呢?带着问题，教师出示下图.与圆相交.最后让学生再给圆周角下一个准确的定义：顶点叫圆周角.然，因此，学习圆周角的概念，一定要注意角的两边“都与圆相交”这一条件.活动2观察猜想，寻找规律1.教师出示同一条弧所对圆周角为90°,圆心角为180°和同一条弧所对圆周角为45°,圆心角为90°的特殊情况的图形.2.教师提出：在一般情况下，对着同一条弧的圆周角还是圆心角的一半吗?通过上面的特例，学生猜想，得出命题：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.活动3动手画图，证明定理1.猜想是否正确，还有待证明.教师引导学生结合命题，画出图形，写出已知、求证.2.先分小组交流画出的图形，议一议：所画图形是否相同?所画图形是否合理?3.利用实物投影在全班交流，得到三种情况.若三种位置关系未出现全，教师利用电脑演示同一条弧所对圆周角的顶点在圆周上运动的过程，得出同一条弧所对的圆心角和圆周角之间可能出现的不同位置关系，得到圆心角的顶点在圆周角的一边上、内部、外部三种情4.引导学生选一种最特殊、最容易证明的“圆心角的顶点在圆周角的一边上”进行证明，写出证明过程，教师点评.5.引导学生通过添加辅助线，把“圆心角的顶点在圆周角的内部、外部”转化成“圆心角的顶点在圆周角的一边上”的情形，进行证明，若学生不能构造过圆周角和圆心角顶点的直径，教师给予提示.然后小组交流讨论，上台展示证明过程，教师点评证明过程.6.将“命题”改为“定理”,即“圆周角定理”.活动4达标检测，反馈新知2.如图，∠BAC和∠BOC分别是⊙0中的弧BC所对的圆周角和圆心角，若∠BAC=60°,那么∠BOC=3.如图，AB,AC为⊙0的两条弦，延长CA到D,使AD=AB,如果∠ADB=30°,答案：1.略；2.120°;3.120°.活动5课堂小结，作业布置课堂小结1.圆周角概念及定理.2.类比从一般到特殊的数学方法及分类讨论、转化与化归的数学思想.作业布置教材第88页练习第4题，教材第89页习题第5题.第2课时圆周角定理推论和圆内接多边形1.能推导和理解圆周角定理的两个推论，并能利用这两个推论解决相关的计算和证明.2.知道圆内接多边形和多边形外接圆的概念，明确不是所有多边形都有外接圆.3.能证明圆内接四边形的性质，并能应用这个性质解决简单的计算和证明等问题.重点圆周角定理的两个推论和圆内接四边形的性质的运用.难点圆内接四边形性质定理的准确、灵活应用以及如何添加辅助线.活动1温习旧知1.圆周角定理的内容是什么?3.如图，四边形ABCD中，∠B与∠1互补，AD的延长线与DC所夹的∠2=60°,4.判断正误：(1)圆心角的度数等于它所对的弧的度数；()(2)圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.()答案：1.略；2.100°,50°;3.120°,60°;4.略活动2探索圆周角定理的“推论”1.请同学们在练习本上画一个⊙0.想一想，以A,C为端点的弧所对的圆周角有多少个?试着画几个.然后教师引导学生：观察下图，∠ABC,∠ADC,∠AEC的大小关系如何?为什么?让学生得出结论后，教师继续追问：如果把这个结论中的“同弧”改为“等弧”,结论正确吗?2.教师引导学生观察下图，BC是⊙O的直径.请问：BC所对的圆周角∠BAC是锐角、直角还是钝角?让学生交流、讨论，得出结论：∠BAC是直角.教师追问理由.3.如图，若圆周角∠BAC=90°,那么它所对的弦BC经过圆心吗?为什么?由此能得出什么结论?4.师生共同解决教材第87页例4.活动3探索圆内接四边形的性质1.教师给学生介绍以下基本概念：圆内接多边形与多边形的外接圆；圆内接四边形与四边形的外接圆.2.要求学生画一画，想一想：在⊙0上任作它的一个内接四边形ABCD,∠A是圆周角吗?∠B,∠C,∠D呢?进一步思考，圆内接四边形的四个角之间有什么关系?3.先打开几何画板，验证学生的猜想，然后再引导学生证明，最后得出结论：圆内接四边形对角互补。4.课件展示练习：(3)四边形ABCD内接于⊙0,∠A:∠C=1:3,则∠A=;(5)想一想对于圆的任意内接四边形都有这样的关系吗?答案：(1)180°,180°,100°,80°;(2)130°,50°;(3)45°;(4)75°;(5)都有.活动4巩固练习2.圆的内接梯形一定是梯形.3.若ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立()活动5课堂小结与作业布置课堂小结本节课我们学习了圆周角定理的两个推论和圆内接四边形的重要性质，要求同学们理解圆内接四边形和四边形的外接圆的概念，理解圆内接四边形的性质定理；并初步应用性质定理进行有关问题的证明和计算.作业布置教材第89～91页习题第5,6,13,14,17题.1.理解并掌握设⊙0的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有：点P在圆外一d>r;点P在圆上⇔d=r;点P在圆内⇔d<r及其运用.2.理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用.3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念.4.了解反证法的证明思想.图方法，给出不在同一直线上的三个点确定一个圆的结论.接着从这三点到圆心的距离逐渐引入点P到圆心距离与点和圆位置关系的结论，并运用它们解决一些实际问题.点和圆的位置关系的结论：不在同一直线上的三个点确定一个圆及它们的运用.难点讲授反证法的证明思路.1.圆的两种定义是什么?2.你能至少举例两个说明圆是如何形成的?3.圆形成后圆上这些点到圆心的距离如何?4.如果在圆外有一点呢?圆内呢?请你画图想一想.所形成的图形叫做圆；圆心为0,半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形.由上面的画图以及所学知识，我们可知：设⊙0的半径为r,点P到圆心的距离为OP则有：点P在圆外=d>r;反过来，也十分明显，如果d>r→点P在圆外；如果d=r→点P在圆上；如果d<r=点P在圆内.设⊙0的半径为r,点P到圆的距离为d,则有：点P在圆外一d>r;这个结论的出现，对于我们今后解题、判定点P是否在圆外、圆上、圆内提供了依据.下面，我们接着研究确定圆的条件：(学生活动)经过一点可以作无数条直线，经过二点只能作一条直线，那么,经过一点能作几个圆?经过二点、三点呢?请同学们按下面要求作圆.(1)作圆，使该圆经过已知点A,你能作出几个这样的圆?(2)作圆，使该圆经过已知点A,B,你是如何做的?你能作出几个这样的圆?其圆心的分布有什么特点?与线段AB有什么关系?为什么?(3)作圆，使该圆经过已知点A,B,C三点(其中A,B,C三点不在同一直线上),你是如何做的?你能作出几个这样的圆?(老师在黑板上演示)(1)无数多个圆，如图(1)所示.(2)连接A,B,作AB的垂直平分线，则垂直平分线上的点到A,B的距离都相等，都满足条件，作出无数个.其圆心分布在AB的中垂线上，与线段AB互相垂直，如图(2)所示.②分别作线段AB,BC的中垂线DE和FG,DE与FG相交于点O;③以O为圆心，以OA为半径作圆，⊙0就是所要求作的圆，如图(3)所示.在上面的作图过程中，因为直线DE与FG只有一个交点O,并且点O到A,B,C三个点的距离相等(中垂线上的任一点到两端点的距离相等),所以经过A,B,C三点可以作一个圆，并且只能作一个圆.即不在同一直线上的三个点确定一个圆.也就是，经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆.外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心.下面我们来证明：经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆.证明：如图，假设过同一直线1上的A,B,C三点可以作一个圆，设这个圆的圆心为P,那么点P既在线段AB的垂直平分线l,又在线段BC的垂直平分线l₂,即点P为1₁与l₂交点，而I₁⊥1,I₂⊥1,这与我们以前所学的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾.所以，过同一直线上的三点不能作圆.上面的证明方法与我们前面所学的证明方法思路不同，它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立(即假设过同一直线上的三点可以作一个圆),由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到命题成立.这种证明方法叫做反证法.在某些情景下，反证法是很有效的证明方法.例1某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示.为复制该瓷盘确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心.取两条线段，作线段的中垂线，交点就是我们所求的圆心.则O就为所求的圆心.图略.教材第95页练习1,2,3.1.点和圆的位置关系：设⊙0的半径为r,点P到圆心的距离为d,则2.不在同一直线上的三个点确定一个圆.3.三角形外接圆和三角形外心的概念.4.反证法的证明思想.5.以上内容的应用.教材第101,102页习题1,7,8.第1课时直线和圆的三种位置关系(2)理解设⊙0的半径为r,直线1到圆心O的距离为d,则有：直线1和⊙O相交一d<r;直线1和⊙O相切一d=r;直线1和⊙0相离一d>r.重点难点<<<理解直线和圆的三种位置关系.由上节课点和圆的位置关系迁移并运动直线导出直线和圆的位置关系教学设计<<<位置关系.设⊙0的半径为r,点P到圆心的距离OP=d.点P在圆内→d<r,如图(c)所示.前面我们讲了点和圆有这样的位置关系，如果这个点P改为直线1呢?它是否和圆还有如图(a),直线1和