6.2 实数与估算【十大题型】（举一反三）（沪科版）（教师版）

6.2实数与估算【十大题型】【沪科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1实数的分类】 1【题型2实数的性质】 3【题型3实数与数轴的关系】 6【题型4利用数轴化简】 8【题型5实数的运算】 10【题型6实数的应用】 11【题型7估算无理数的范围】 17【题型8已知无理数的范围求值】 18【题型9估算无理数最接近的值】 19【题型10无理数整数、小数部分问题】 20【知识点1实数的分类】【知识点2无理数的概念】无限不循环小数叫做无理数.常见类型：①特定结构的无限不循环小数，如0.303003000300003…（两个3之间依次多一个0）．②含有π的绝大部分数，如2π．【题型1实数的分类】【例1】把下列各数分别填入相应的集合里．100，﹣0.82，﹣3012，3.14，﹣2，0，﹣2011，﹣3.1．，37，-正分数集合：{3.14，37…}整数集合：{100，﹣2，0，﹣2011…}；负有理数集合：{﹣0.82，﹣3012，﹣2，﹣2011，﹣3.1⋅…非正整数集合：{﹣2，0，﹣2011…}；无理数集合：{-π4，2.010010001……【分析】根据分数，有理数，整数以及无理数的概念进行判断即可．【解答】解：正分数集合：{3.14，37，…整数集合：{100，﹣2，0，﹣2011，…}负有理数集合：{﹣0.82，﹣3012，﹣2，﹣2011，﹣3.1⋅非正整数集合；{﹣2，0，﹣2011，…}无理数集合：{-π4，2.010010001…，…故答案为：3.14，37；100，﹣2，0，﹣2011；﹣0.82，﹣3012，﹣2，﹣2011，﹣3.1⋅；﹣2，0，﹣2011；-【变式1-1】下列各数：①3.141、②0.33333…、③5-7、④π、⑤±2.25、⑥-23、⑦0.3030030003…（相邻两个3之间0的各数逐次增加【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．【解答】解：③5-7、④π、⑦0.3030030003…（相邻两个3之间0的各数逐次增加故答案为：③④⑦．【变式1-2】我们规定：相等的实数看作同一个实数．有下列六种说法：①数轴上有无数多个表示无理数的点；②带根号的数不一定是无理数；③每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示；④数轴上每一个点都表示唯一一个实数；⑤没有最大的负实数，但有最小的正实数；⑥没有最大的正整数，但有最小的正整数．其中说法错误的有⑤（注：填写出所有错误说法的编号）【分析】根据实数的定义，实数与数轴上的点一一对应，可得答案．【解答】解：①数轴上有无数多个表示无理数的点是正确的；②带根号的数不一定是无理数是正确的，如4=2③每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示是正确的；④数轴上每一个点都表示唯一一个实数是正确的；⑤没有最大的负实数，也没有最小的正实数，原来的说法错误；⑥没有最大的正整数，有最小的正整数，原来的说法正确．故答案为：⑤．【变式1-3】把下列各数填在表示它所在的数集的圈内：3π，﹣12，+6，3.8，﹣6，25，8.7，2002，-13，0，﹣4.2，3.1415，﹣1000【分析】根据有理数、无理数、非正数、非负整数的意义选出即可．【解答】解：．【题型2实数的性质】【例2】已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的倒数等于它本身，求cdm2+（a+b）m【分析】根据题意得a+b＝0，cd＝1，m＝±1，以整体的形式代入所求的代数式即可．【解答】解：∵a、b互为相反数，∴a+b＝0，∵c、d互为倒数，∴cd＝1，∵m的倒数等于它本身，∴m＝±1，①当a+b＝0；cd＝1；m＝1时，cdm2+（a+b）m﹣m＝1+0﹣1∴cdm2+（a+b）m﹣m的立方根为②当a+b＝0；cd＝1；m＝﹣1时，cdm2+（a+b）m﹣m＝1+0+1∴cdm2+（a+b）m﹣m综上所述，cdm2+（a+b）m﹣m的立方根是0【变式2-1】已知实数a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为49，求代数式（a+b+cd）x+a+b【分析】根据题意可得a+b＝0，cd＝1，x＝±7，然后代入代数式求值即可．【解答】解：49=7∵a、b互为相反数，∴a+b＝0，∵c、d互为倒数，∴cd＝1，∵x的绝对值为49．∴x＝±7，当x＝7时，原式＝（0+1）×7+＝7﹣1＝6，当x＝﹣7时，原式＝（0+1）×（﹣7）+＝﹣7﹣1＝﹣8，∴所求代数式的值为6或﹣8．【变式2-2】已知实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为2，f的算术平方根是8，求12ab+c+d5+【分析】根据相反数，倒数，以及绝对值的意义求出c+d，ab及e的值，代入计算即可．【解答】解：由题意可知：ab＝1，c+d＝0，e＝±2，f＝64，∴e2＝（±2）2＝2，3f∴12ab+c+d5+e2+3【变式2-3】已知a，b为实数，下列说法：①若ab＜0，且a，b互为相反数，则ab=-1；②若a+b＜0，ab＞0，则|2a+3b|＝﹣2a﹣3b；③若|a﹣b|+a﹣b＝0，则b＞a；④若|a|＞|b|，则（a+b）×（a﹣b）是正数；⑤若a＜b，ab＜0且|a﹣3|＜|b﹣3|，则a+b＞6，其中正确的是【分析】①除0外，互为相反数的商为﹣1，可作判断；②由两数之和小于0，两数之积大于0，得到a与b都为负数，即2a+3b小于0，利用负数的绝对值等于它的相反数化简得到结果，即可作出判断；③由a﹣b的绝对值等于它的相反数，得到a﹣b为非正数，得到a与b的大小，即可作出判断；④由a绝对值大于b绝对值，分情况讨论，即可作出判断；⑤先根据a＜b，得a﹣3＜b﹣3，由ab＜0和有理数乘法法则可得a＜0，b＞0，分情况可作判断．【解答】解：①若ab＜0，且a，b互为相反数，则ab=-②若ab＞0，则a与b同号，由a+b＜0，则a＜0，b＜0，则|2a+3b|＝﹣2a﹣3b，本选项正确；③∵|a﹣b|+a﹣b＝0，即|a﹣b|＝﹣（a﹣b），∴a﹣b≤0，即a≤b，本选项错误；④若|a|＞|b|，当a＞0，b＞0时，可得a＞b，即a﹣b＞0，a+b＞0，所以（a+b）•（a﹣b）为正数；当a＞0，b＜0时，a﹣b＞0，a+b＞0，所以（a+b）•（a﹣b）为正数；当a＜0，b＞0时，a﹣b＜0，a+b＜0，所以（a+b）•（a﹣b）为正数；当a＜0，b＜0时，a﹣b＜0，a+b＜0，所以（a+b）•（a﹣b）为正数，本选项正确；⑤∵a＜b，∴a﹣3＜b﹣3，∵ab＜0，∴a＜0，b＞0，当0＜b＜3时，|a﹣3|＜|b﹣3|，∴3﹣a＜3﹣b，不符合题意；所以b≥3，|a﹣3|＜|b﹣3|，∴3﹣a＜b﹣3，则a+b＞6，本选项正确；则其中正确的有4个．故答案为：①②④⑤．【题型3实数与数轴的关系】【例3】如图，O，A，B，C四点在数轴上，其中O为原点，且AC＝2，OA＝2OB，若C点所表示的数为m，则B点所表示的数正确的是（）A．﹣2（m+2） B．m-22 C．m+22 D【分析】表示出点A所表示的数，进而求出OA，再求出OB，进而确定点B表示的数．【解答】解：由点A、B、C在数轴上的位置，AC＝2，若C点所表示的数为m，∴点A表示的数为m﹣2，∴OA＝|m﹣2|＝2﹣m∵OA＝2OB，∴OB=12OA故选：D．【变式3-1】如图，数轴上表示1，3的对应点分别为A，B，以点A为圆心，AB长为半径画圆，与数轴的交点为C，则点C所表示的数为2-3【分析】计算出AB的长度，进而求出AC的长，再根据点A所表示的数为1，点C在点A的左侧，即可求出点C所表示的数．【解答】解：∵A，B在数轴上表示的数为1和3，∴AB=3-又∵AC＝AB，∴点C所表示的数为：1﹣（3-1）＝2-故答案为：2-3【变式3-2】如图所示的数轴上，点C与点B关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是1和5，则点C对应的实数是（）A．1-5 B．5-2 C．-5 D【分析】根据数轴上两点之间距离的计算方法，以及中心对称的意义，列方程求解即可．【解答】解：∵A、B两点对应的实数分别是1和5，∴AB=5-又∵点C与点B关于点A对称，∴AC＝AB，设点C所表示的数为c，则AC＝1﹣c，∴1﹣c=5-∴c＝2-5故选：D．【变式3-3】如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示-2，设点B所表示的数为m（1）实数m的值是2-2（2）求|m+1|+|m﹣1|的值；（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+d|与d2-16互为相反数，求2c﹣3【分析】（1）点A表示-2，沿着x轴向右移动2个单位到达点B，B所表示的数为，-2+2，即：故答案为：2-2（2）m＝2-2，则m+1＞0，m﹣1＜0，进而化简|m+1|+|m﹣1|（3）根据非负数的意义，列方程求出c、d的值，进而求出2c﹣3d的值，再求出2c﹣3d的平方根．【解答】解：（1）m=-2+2＝2（2）∵m＝2-2，则m+1＞0，m﹣1＜0∴|m+1|+|m﹣1|＝m+1+1﹣m＝2；答：|m+1|+|m﹣1|的值为2．（3）∵|2c+d|与d2∴|2c+d|+d2∴|2c+d|＝0，且d2-16解得：c＝﹣2，d＝4，或c＝2，d＝﹣4，①当c＝﹣2，d＝4时，所以2c﹣3d＝﹣16，无平方根．②当c＝2，d＝﹣4时，∴2c﹣3d＝16，∴2c﹣3d的平方根为±4，答：2c﹣3d的平方根为±4．【题型4利用数轴化简】【例4】（2022春•荔湾区校级期中）如图，化简a2-|a+b|+(c-a)2+【分析】先根据数轴上点的位置确定出a、b、c的符号，再利用绝对值性质和二次根式的性质a2【解答】解：（1）由数轴得：b＜a＜0＜c，|c|＞|b|＞|a|，∴a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＞0．∴原式＝|a|﹣|a+b|+|c﹣a|+|b+c|＝﹣a﹣（﹣a﹣b）+（c﹣a）+（b+c）＝﹣a+a+b+c﹣a+b+c＝﹣a+2b+2c．【变式4-1】（2022秋•镇江期末）如图，a、b、c分别是数轴上A、B、C所对应的实数，试化简：b2-|a﹣c|【分析】根据数轴判断出a、b、c的正负情况以及大小，再根据算术平方根、立方根的定义，绝对值的性质进行化简，然后进行整式的加减计算即可得解．【解答】解：∵a＜0，b＜0，c＞0，∴a＜c∴原式＝|b|﹣|a﹣c|+（a+b）＝﹣b+（a﹣c）+（a+b）＝﹣b+a﹣c+a+b＝2a﹣c．【变式4-2】（2022春•芜湖期末）实数a、b在数轴上的位置如图，则化简a2A．0 B．﹣2a C．2（b﹣a） D．﹣2b【分析】先根据数轴确定a，b的范围，再根据二次根式的性质进行化简，即可解答．【解答】解：由数轴可得：a＜0＜b，a﹣b＜0，∴原式＝|a|﹣|b|﹣|a﹣b|＝﹣a﹣b+a﹣b＝﹣2b．故选：D．【变式4-3】（2022秋•攀枝花校级期中）已知实数x、y、z在数轴上的对应点如图所示，化简：(x-y)2-（|y-z|）【分析】先根据数轴判断x，y，z的正负，进而判断x﹣y，y﹣z，x﹣z的正负，再根据二次根式的性质，进行化简，即可解答．【解答】解：∵由数轴可得：x＜y＜0＜z，∴x﹣y＜0，y﹣z＜0，x﹣z＜0，原式＝|x﹣y|﹣|y﹣z|+x﹣z＝y﹣x﹣z+y+x﹣z＝2y﹣2z．【题型5实数的运算】【例5】（2022春•呼和浩特期中）计算（1）(-5)2-|3(-3)3+（2）327-|2-3|+（﹣1【分析】（1）先根据平方根、立方根性质化简根式，再去绝对值符号和计算乘法、最后计算加减即可；（2）先计算立方根、去绝对值符号、乘方，再去括号，最后计算加减即可．【解答】解：（1）原式＝5﹣|﹣3+2|+（﹣0.8）×20＝5﹣1﹣16＝﹣12；（2）原式＝3﹣（3-2）＝3﹣3+2＝1+2【变式5-1】（2022春•环江县期末）计算：2-【分析】根据二次根式的性质及立方根的概念先化简，再合并同类二次根式即可得到答案．【解答】解：原式=＝﹣2．【变式5-2】（2022秋•盘龙区校级期中）-100+16-4【分析】分别根据立方根、算术平方根的计算法则分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果即可．【解答】解：原式＝﹣10+4﹣2+23-43＝﹣6﹣2-＝﹣823【变式5-3】（2022•太平区期末）下计算下列各题：（1）16+（2）|7-2（3）(-6)【分析】（1）先计算算术平方根、立方根，再计算有理数的加减即可；（2）先化简绝对值、计算平方根，再计算实数的加减即可；（3）先计算算术平方根、化简绝对值、立方根、实数的平方，再计算实数的加减即可．【解答】解：（1）16＝4+（﹣3）-12＝118（2）|7-＝（7-2）﹣（π-2＝7-2-π＝﹣π；（3）(-6＝6+（2-1）﹣＝8+2【题型6实数的应用】【例6】（2022春•南汇区期中）如图，矩形内小正方形的一条边在大正方形的一条边上，两个正方形的面积分别为3和5，那么阴影部分的面积是多少？【分析】先根据所给正方形的面积，可分别求出正方形的边长BE、HM，而S阴影＝S矩形ABEF﹣S正方形GHMN，易求阴影的面积．【解答】解：如图，设大正方形为BCDE，矩形为ABEF，小正方形为GHMN，∵S正方形BCDE＝5，∴BE=5∵S正方形GHMN＝3，∴HM＝AB=3S阴影＝S矩形ABEF﹣S正方形GHMN=3×答：阴影部分的面积为15-3【变式6-1】（2022春•汝南县月考）如图，有一个长方体的水池长、宽、高之比为2：2：4，其体积为16000cm3．（1）求长方体的水池长、宽、高为多少？（2）当有一个半径为r的球放入注满水的水池中，溢出水池外的水的体积为水池体积的160，求该小球的半径为多少（π取3，结果精确到0.01cm【分析】（1）直接利用已知假设出长方体的水池长、宽、高，进而利用长方体体积求出即可；（2）利用球的体积公式，进而开立方求出即可．【解答】解：（1）∵有一个长方体的水池长、宽、高之比为2：2：4，其体积为16000cm3，∴设长方体的水池长、宽、高为2x，2x，4x，∴2x•2x•4x＝16000，∴16x3＝16000，∴x3＝1000，解得：x＝10，∴长方体的水池长、宽、高为：20cm，20cm，40cm；（2）设该小球的半径为rcm，则：43πr3=1∴r3=160×∴r≈4.05，答：该小球的半径为4.05cm．【变式6-2】（2022秋•高港区期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：操作一：（1）折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与2表示的点重合；操作二：（2）折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题：①3表示的点与数﹣2-3②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是﹣5和3；操作三：（3）在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是198或72或37【分析】（1）根据对称性找到折痕的点为原点O，可以得出﹣2与2重合；（2）根据对称性找到折痕的点为﹣1，①设3表示的点与数a表示的点重合，根据对称性列式求出a的值；②因为AB＝8，所以A到折痕的点距离为4，因为折痕对应的点为﹣1，由此得出A、B两点表示的数；（3）分三种情况进行讨论：设折痕处对应的点所表示的数是x，如图1，当AB：BC：CD＝1：1：2时，所以设AB＝a，BC＝a，CD＝2a，得a+a+2a＝9，a=94，得出AB、BC、CD的值，计算也x的值，同理可得出如图2、3对应的【解答】解：操作一，（1）∵表示的点1与﹣1表示的点重合，∴折痕为原点O，则﹣2表示的点与2表示的点重合，故答案为：2；操作二：（2）∵折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，则折痕表示的点为﹣1，①设3表示的点与数a表示的点重合，则3-（﹣1）＝﹣1﹣aa＝﹣2-3②∵数轴上A、B两点之间距离为8，∴数轴上A、B两点到折痕﹣1的距离为4，∵A在B的左侧，则A、B两点表示的数分别是﹣5和3；故答案为：①﹣2-3，②﹣5和3操作三：（3）设折痕处对应的点所表示的数是x，如图1，当AB：BC：CD＝1：1：2时，设AB＝a，BC＝a，CD＝2a，a+a+2a＝9，a=9∴AB=94，BC=94x＝﹣1+9如图2，当AB：BC：CD＝1：2：1时，设AB＝a，BC＝2a，CD＝a，a+a+2a＝9，a=9∴AB=94，BC=92x＝﹣1+9如图3，当AB：BC：CD＝2：1：1时，设AB＝2a，BC＝a，CD＝a，a+a+2a＝9，a=9∴AB=92，BC＝CDx＝﹣1+9综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是198或72或故答案为：198或72或【变式6-3】（2022春•海淀区校级期中）如图，面积为a（a＞1）的正方形ABCD的边AB在数轴上，点B表示的数为1．将正方形ABCD沿着数轴水平移动，移动后的正方形记为A'B'CD'，点A、B、C、D的对应点分别为A'、B'、C、D'，移动后的正方形A'B'C'D'与原正方形ABCD重叠部分图形的面积记为S．当S=a时，数轴上点B'表示的数是a或2-a（用含【分析】平移可分两种情况，左平移，右平移．根据面积求得边长，继而求得平移距离．【解答】解：因为正方形面积为a，所以边长AB=a当向右平移时，如图1，因为重叠部分的面积为S＝AB'•AD=aAB'×a所以AB'＝1，所以平移距离BB'＝AB﹣AB'=a-所以OB'＝OB+BB'=1+a则B'表示的数是a；当向左平移时，如图2，因为重叠部分的面积为S＝A'B•A'D'=aA'B×a所以A'B＝1，所以平移距离BB'＝A'B'﹣A'B=a-所以OB'＝OB﹣B'B＝1﹣（a-1）＝2-则B'表示的数是2-a【知识点3估算法】（1）若，则；（2）若，则；根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算和的大小．例如：，则；，则．常见实数的估算值：，，．【题型7估算无理数的范围】【例7】（2022春•朝阳区校级月考）已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n为整数，且n＜2048＜n+1，则A．43 B．44 C．45 D．46【分析】用夹逼法估算无理数的大小即可得出答案．【解答】解：∵2025＜2048＜2116，∴45＜2048＜∴n＝45．故选：C．【变式7-1】（2022春•滨海新区期末）估计23大小在（）A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间【分析】直接利用16＜【解答】解：∵16＜∴4＜23＜∴23在4～5之间．故选：C．【变式7-2】（2022春•巩义市期末）估计15-1A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间【分析】根据平方运算，先估算出15的值，即可解答．【解答】解：∵9＜15＜16，∴3＜15＜∴2＜15-1＜∴估计15-1的值在2和3故选：B．【变式7-3】（2022•东莞市一模）已知a=13+A．1＜a＜2 B．2＜a＜3 C．3＜a＜4 D．4＜a＜5【分析】估算确定出13的大小范围，进而确定出所求即可．【解答】解：∵9＜13＜16，∴3＜13＜4，即4＜13+则4＜a＜5．故选：D．【题型8已知无理数的范围求值】【例8】（2022秋•乳山市校级月考）满足-5＜x＜14的整数x【分析】先估算出5和14的大小，然后再确定x的值即可．【解答】解：∵4＜5＜9，∴2＜5＜∴﹣3＜-5∵9＜14＜16，∴3＜14＜∴整数x的值为﹣2，﹣1，0，1，2，3．故答案为：6．【变式8-1】（2022秋•永春县期末）如果整数a满足7＜a＜A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先计算（7）2＝7，（11）2＝11，然后看哪个平方数在7和11之间即可．【解答】解：∵7＜9＜11，∴7＜3＜∴如果整数a满足7＜a＜11，则故选：C．【变式8-2】（2022春•自贡期末）若a、b为正整数．且a＞10，b＜6，则a+b的最小值为5【分析】先估算出a、b的取值范围，然后再求得a+b的最大值即可．【解答】解：∵9＜10＜16，4＜6＜9，∴3＜10＜4，2＜又∵a、b为正整数，∴当a＝4，b＝1时，a+b有最小值，∴a+b的最小值为5．故答案为：5．【变式8-3】（2022春•昆明期中）若a＜40＜b，且a，b是两个连续的整数，则a+b的值为13【分析】先估算出40的范围，求出a、b的值，再代入求出即可．【解答】解：∵6＜40＜∴a＝6，b＝7，∴a+b＝13，故答案为：13．【题型9估算无理数最接近的值】【例9】（2022•玄武区二模）下列整数中，与10-30A．3 B．4 C．5 D．6【分析】先估算出30的范围，再估算10-30【解答】解：∵25＜30＜36，30离25更近，∴5＜30＜6，且更接近∴﹣6＜-30＜-∴4＜10-30＜5，且更接近故选：C．【变式9-1】（2022春•凤凰县期末）与50的算术平方根最接近的整数是（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】先计算50位于哪两个相邻的整数之间，再确定50距离哪个整数的平方接近即可确定答案．【解答】解：∵49＜50＜64，∴49＜即7＜50＜∵7.52＝56.25，50＜56.25，∴与50最接近的整数是7．故选：B．【变式9-2】（2022春•思明区校级期中）若m＝4n（m、n是正整数），且8＜m＜9，则与实数A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据题中条件求出m的范围，进而得到n的取值范围，得到n的最大值，估算无理数的大小即可得出答案．【解答】解：∵8＜m＜∴64＜m＜81，∵m＝4n（m、n是正整数），∴16＜n＜20.25，∴n的最大值为20，∴n的最大值为20，∵16＜20＜20.25，∴4＜20＜∴与实数n的最大值最接近的数是4．故选：B．【变式9-3】（2022春•潮安区期末）若m＝5n（m、n是正整数），且10＜m＜12，则与实数A．4 B．5 C．6 D．7【分析】根据m的取值范围确定n的取值，再根据m、n为整数