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文档简介
6.2实数与估算【十大题型】【沪科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1实数的分类】 1【题型2实数的性质】 3【题型3实数与数轴的关系】 6【题型4利用数轴化简】 8【题型5实数的运算】 10【题型6实数的应用】 11【题型7估算无理数的范围】 17【题型8已知无理数的范围求值】 18【题型9估算无理数最接近的值】 19【题型10无理数整数、小数部分问题】 20【知识点1实数的分类】【知识点2无理数的概念】无限不循环小数叫做无理数.常见类型:①特定结构的无限不循环小数,如0.303003000300003…(两个3之间依次多一个0).②含有π的绝大部分数,如2π.【题型1实数的分类】【例1】把下列各数分别填入相应的集合里.100,﹣0.82,﹣3012,3.14,﹣2,0,﹣2011,﹣3.1.,37,-正分数集合:{3.14,37…}整数集合:{100,﹣2,0,﹣2011…};负有理数集合:{﹣0.82,﹣3012,﹣2,﹣2011,﹣3.1⋅…非正整数集合:{﹣2,0,﹣2011…};无理数集合:{-π4,2.010010001……【分析】根据分数,有理数,整数以及无理数的概念进行判断即可.【解答】解:正分数集合:{3.14,37,…整数集合:{100,﹣2,0,﹣2011,…}负有理数集合:{﹣0.82,﹣3012,﹣2,﹣2011,﹣3.1⋅非正整数集合;{﹣2,0,﹣2011,…}无理数集合:{-π4,2.010010001…,…故答案为:3.14,37;100,﹣2,0,﹣2011;﹣0.82,﹣3012,﹣2,﹣2011,﹣3.1⋅;﹣2,0,﹣2011;-【变式1-1】下列各数:①3.141、②0.33333…、③5-7、④π、⑤±2.25、⑥-23、⑦0.3030030003…(相邻两个3之间0的各数逐次增加【分析】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念,一定要同时理解有理数的概念,有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数,而无限不循环小数是无理数.【解答】解:③5-7、④π、⑦0.3030030003…(相邻两个3之间0的各数逐次增加故答案为:③④⑦.【变式1-2】我们规定:相等的实数看作同一个实数.有下列六种说法:①数轴上有无数多个表示无理数的点;②带根号的数不一定是无理数;③每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示;④数轴上每一个点都表示唯一一个实数;⑤没有最大的负实数,但有最小的正实数;⑥没有最大的正整数,但有最小的正整数.其中说法错误的有⑤(注:填写出所有错误说法的编号)【分析】根据实数的定义,实数与数轴上的点一一对应,可得答案.【解答】解:①数轴上有无数多个表示无理数的点是正确的;②带根号的数不一定是无理数是正确的,如4=2③每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示是正确的;④数轴上每一个点都表示唯一一个实数是正确的;⑤没有最大的负实数,也没有最小的正实数,原来的说法错误;⑥没有最大的正整数,有最小的正整数,原来的说法正确.故答案为:⑤.【变式1-3】把下列各数填在表示它所在的数集的圈内:3π,﹣12,+6,3.8,﹣6,25,8.7,2002,-13,0,﹣4.2,3.1415,﹣1000【分析】根据有理数、无理数、非正数、非负整数的意义选出即可.【解答】解:.【题型2实数的性质】【例2】已知a、b互为相反数,c、d互为倒数,m的倒数等于它本身,求cdm2+(a+b)m【分析】根据题意得a+b=0,cd=1,m=±1,以整体的形式代入所求的代数式即可.【解答】解:∵a、b互为相反数,∴a+b=0,∵c、d互为倒数,∴cd=1,∵m的倒数等于它本身,∴m=±1,①当a+b=0;cd=1;m=1时,cdm2+(a+b)m﹣m=1+0﹣1∴cdm2+(a+b)m﹣m的立方根为②当a+b=0;cd=1;m=﹣1时,cdm2+(a+b)m﹣m=1+0+1∴cdm2+(a+b)m﹣m综上所述,cdm2+(a+b)m﹣m的立方根是0【变式2-1】已知实数a、b互为相反数,c、d互为倒数,x的绝对值为49,求代数式(a+b+cd)x+a+b【分析】根据题意可得a+b=0,cd=1,x=±7,然后代入代数式求值即可.【解答】解:49=7∵a、b互为相反数,∴a+b=0,∵c、d互为倒数,∴cd=1,∵x的绝对值为49.∴x=±7,当x=7时,原式=(0+1)×7+=7﹣1=6,当x=﹣7时,原式=(0+1)×(﹣7)+=﹣7﹣1=﹣8,∴所求代数式的值为6或﹣8.【变式2-2】已知实数a,b,c,d,e,f,且a,b互为倒数,c,d互为相反数,e的绝对值为2,f的算术平方根是8,求12ab+c+d5+【分析】根据相反数,倒数,以及绝对值的意义求出c+d,ab及e的值,代入计算即可.【解答】解:由题意可知:ab=1,c+d=0,e=±2,f=64,∴e2=(±2)2=2,3f∴12ab+c+d5+e2+3【变式2-3】已知a,b为实数,下列说法:①若ab<0,且a,b互为相反数,则ab=-1;②若a+b<0,ab>0,则|2a+3b|=﹣2a﹣3b;③若|a﹣b|+a﹣b=0,则b>a;④若|a|>|b|,则(a+b)×(a﹣b)是正数;⑤若a<b,ab<0且|a﹣3|<|b﹣3|,则a+b>6,其中正确的是【分析】①除0外,互为相反数的商为﹣1,可作判断;②由两数之和小于0,两数之积大于0,得到a与b都为负数,即2a+3b小于0,利用负数的绝对值等于它的相反数化简得到结果,即可作出判断;③由a﹣b的绝对值等于它的相反数,得到a﹣b为非正数,得到a与b的大小,即可作出判断;④由a绝对值大于b绝对值,分情况讨论,即可作出判断;⑤先根据a<b,得a﹣3<b﹣3,由ab<0和有理数乘法法则可得a<0,b>0,分情况可作判断.【解答】解:①若ab<0,且a,b互为相反数,则ab=-②若ab>0,则a与b同号,由a+b<0,则a<0,b<0,则|2a+3b|=﹣2a﹣3b,本选项正确;③∵|a﹣b|+a﹣b=0,即|a﹣b|=﹣(a﹣b),∴a﹣b≤0,即a≤b,本选项错误;④若|a|>|b|,当a>0,b>0时,可得a>b,即a﹣b>0,a+b>0,所以(a+b)•(a﹣b)为正数;当a>0,b<0时,a﹣b>0,a+b>0,所以(a+b)•(a﹣b)为正数;当a<0,b>0时,a﹣b<0,a+b<0,所以(a+b)•(a﹣b)为正数;当a<0,b<0时,a﹣b<0,a+b<0,所以(a+b)•(a﹣b)为正数,本选项正确;⑤∵a<b,∴a﹣3<b﹣3,∵ab<0,∴a<0,b>0,当0<b<3时,|a﹣3|<|b﹣3|,∴3﹣a<3﹣b,不符合题意;所以b≥3,|a﹣3|<|b﹣3|,∴3﹣a<b﹣3,则a+b>6,本选项正确;则其中正确的有4个.故答案为:①②④⑤.【题型3实数与数轴的关系】【例3】如图,O,A,B,C四点在数轴上,其中O为原点,且AC=2,OA=2OB,若C点所表示的数为m,则B点所表示的数正确的是()A.﹣2(m+2) B.m-22 C.m+22 D【分析】表示出点A所表示的数,进而求出OA,再求出OB,进而确定点B表示的数.【解答】解:由点A、B、C在数轴上的位置,AC=2,若C点所表示的数为m,∴点A表示的数为m﹣2,∴OA=|m﹣2|=2﹣m∵OA=2OB,∴OB=12OA故选:D.【变式3-1】如图,数轴上表示1,3的对应点分别为A,B,以点A为圆心,AB长为半径画圆,与数轴的交点为C,则点C所表示的数为2-3【分析】计算出AB的长度,进而求出AC的长,再根据点A所表示的数为1,点C在点A的左侧,即可求出点C所表示的数.【解答】解:∵A,B在数轴上表示的数为1和3,∴AB=3-又∵AC=AB,∴点C所表示的数为:1﹣(3-1)=2-故答案为:2-3【变式3-2】如图所示的数轴上,点C与点B关于点A对称,A、B两点对应的实数分别是1和5,则点C对应的实数是()A.1-5 B.5-2 C.-5 D【分析】根据数轴上两点之间距离的计算方法,以及中心对称的意义,列方程求解即可.【解答】解:∵A、B两点对应的实数分别是1和5,∴AB=5-又∵点C与点B关于点A对称,∴AC=AB,设点C所表示的数为c,则AC=1﹣c,∴1﹣c=5-∴c=2-5故选:D.【变式3-3】如图,一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B,点A表示-2,设点B所表示的数为m(1)实数m的值是2-2(2)求|m+1|+|m﹣1|的值;(3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d,且有|2c+d|与d2-16互为相反数,求2c﹣3【分析】(1)点A表示-2,沿着x轴向右移动2个单位到达点B,B所表示的数为,-2+2,即:故答案为:2-2(2)m=2-2,则m+1>0,m﹣1<0,进而化简|m+1|+|m﹣1|(3)根据非负数的意义,列方程求出c、d的值,进而求出2c﹣3d的值,再求出2c﹣3d的平方根.【解答】解:(1)m=-2+2=2(2)∵m=2-2,则m+1>0,m﹣1<0∴|m+1|+|m﹣1|=m+1+1﹣m=2;答:|m+1|+|m﹣1|的值为2.(3)∵|2c+d|与d2∴|2c+d|+d2∴|2c+d|=0,且d2-16解得:c=﹣2,d=4,或c=2,d=﹣4,①当c=﹣2,d=4时,所以2c﹣3d=﹣16,无平方根.②当c=2,d=﹣4时,∴2c﹣3d=16,∴2c﹣3d的平方根为±4,答:2c﹣3d的平方根为±4.【题型4利用数轴化简】【例4】(2022春•荔湾区校级期中)如图,化简a2-|a+b|+(c-a)2+【分析】先根据数轴上点的位置确定出a、b、c的符号,再利用绝对值性质和二次根式的性质a2【解答】解:(1)由数轴得:b<a<0<c,|c|>|b|>|a|,∴a+b<0,c﹣a>0,b+c>0.∴原式=|a|﹣|a+b|+|c﹣a|+|b+c|=﹣a﹣(﹣a﹣b)+(c﹣a)+(b+c)=﹣a+a+b+c﹣a+b+c=﹣a+2b+2c.【变式4-1】(2022秋•镇江期末)如图,a、b、c分别是数轴上A、B、C所对应的实数,试化简:b2-|a﹣c|【分析】根据数轴判断出a、b、c的正负情况以及大小,再根据算术平方根、立方根的定义,绝对值的性质进行化简,然后进行整式的加减计算即可得解.【解答】解:∵a<0,b<0,c>0,∴a<c∴原式=|b|﹣|a﹣c|+(a+b)=﹣b+(a﹣c)+(a+b)=﹣b+a﹣c+a+b=2a﹣c.【变式4-2】(2022春•芜湖期末)实数a、b在数轴上的位置如图,则化简a2A.0 B.﹣2a C.2(b﹣a) D.﹣2b【分析】先根据数轴确定a,b的范围,再根据二次根式的性质进行化简,即可解答.【解答】解:由数轴可得:a<0<b,a﹣b<0,∴原式=|a|﹣|b|﹣|a﹣b|=﹣a﹣b+a﹣b=﹣2b.故选:D.【变式4-3】(2022秋•攀枝花校级期中)已知实数x、y、z在数轴上的对应点如图所示,化简:(x-y)2-(|y-z|)【分析】先根据数轴判断x,y,z的正负,进而判断x﹣y,y﹣z,x﹣z的正负,再根据二次根式的性质,进行化简,即可解答.【解答】解:∵由数轴可得:x<y<0<z,∴x﹣y<0,y﹣z<0,x﹣z<0,原式=|x﹣y|﹣|y﹣z|+x﹣z=y﹣x﹣z+y+x﹣z=2y﹣2z.【题型5实数的运算】【例5】(2022春•呼和浩特期中)计算(1)(-5)2-|3(-3)3+(2)327-|2-3|+(﹣1【分析】(1)先根据平方根、立方根性质化简根式,再去绝对值符号和计算乘法、最后计算加减即可;(2)先计算立方根、去绝对值符号、乘方,再去括号,最后计算加减即可.【解答】解:(1)原式=5﹣|﹣3+2|+(﹣0.8)×20=5﹣1﹣16=﹣12;(2)原式=3﹣(3-2)=3﹣3+2=1+2【变式5-1】(2022春•环江县期末)计算:2-【分析】根据二次根式的性质及立方根的概念先化简,再合并同类二次根式即可得到答案.【解答】解:原式==﹣2.【变式5-2】(2022秋•盘龙区校级期中)-100+16-4【分析】分别根据立方根、算术平方根的计算法则分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果即可.【解答】解:原式=﹣10+4﹣2+23-43=﹣6﹣2-=﹣823【变式5-3】(2022•太平区期末)下计算下列各题:(1)16+(2)|7-2(3)(-6)【分析】(1)先计算算术平方根、立方根,再计算有理数的加减即可;(2)先化简绝对值、计算平方根,再计算实数的加减即可;(3)先计算算术平方根、化简绝对值、立方根、实数的平方,再计算实数的加减即可.【解答】解:(1)16=4+(﹣3)-12=118(2)|7-=(7-2)﹣(π-2=7-2-π=﹣π;(3)(-6=6+(2-1)﹣=8+2【题型6实数的应用】【例6】(2022春•南汇区期中)如图,矩形内小正方形的一条边在大正方形的一条边上,两个正方形的面积分别为3和5,那么阴影部分的面积是多少?【分析】先根据所给正方形的面积,可分别求出正方形的边长BE、HM,而S阴影=S矩形ABEF﹣S正方形GHMN,易求阴影的面积.【解答】解:如图,设大正方形为BCDE,矩形为ABEF,小正方形为GHMN,∵S正方形BCDE=5,∴BE=5∵S正方形GHMN=3,∴HM=AB=3S阴影=S矩形ABEF﹣S正方形GHMN=3×答:阴影部分的面积为15-3【变式6-1】(2022春•汝南县月考)如图,有一个长方体的水池长、宽、高之比为2:2:4,其体积为16000cm3.(1)求长方体的水池长、宽、高为多少?(2)当有一个半径为r的球放入注满水的水池中,溢出水池外的水的体积为水池体积的160,求该小球的半径为多少(π取3,结果精确到0.01cm【分析】(1)直接利用已知假设出长方体的水池长、宽、高,进而利用长方体体积求出即可;(2)利用球的体积公式,进而开立方求出即可.【解答】解:(1)∵有一个长方体的水池长、宽、高之比为2:2:4,其体积为16000cm3,∴设长方体的水池长、宽、高为2x,2x,4x,∴2x•2x•4x=16000,∴16x3=16000,∴x3=1000,解得:x=10,∴长方体的水池长、宽、高为:20cm,20cm,40cm;(2)设该小球的半径为rcm,则:43πr3=1∴r3=160×∴r≈4.05,答:该小球的半径为4.05cm.【变式6-2】(2022秋•高港区期中)数轴是一个非常重要的数学工具,它使数和数轴上的点建立起对应关系,揭示了数与点之间的内在联系,它是“数形结合”的基础.小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究:操作一:(1)折叠纸面,若使表示的点1与﹣1表示的点重合,则﹣2表示的点与2表示的点重合;操作二:(2)折叠纸面,若使1表示的点与﹣3表示的点重合,回答以下问题:①3表示的点与数﹣2-3②若数轴上A、B两点之间距离为8(A在B的左侧),且A、B两点经折叠后重合,则A、B两点表示的数分别是﹣5和3;操作三:(3)在数轴上剪下9个单位长度(从﹣1到8)的一条线段,并把这条线段沿某点折叠,然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段(如图).若这三条线段的长度之比为1:1:2,则折痕处对应的点所表示的数可能是198或72或37【分析】(1)根据对称性找到折痕的点为原点O,可以得出﹣2与2重合;(2)根据对称性找到折痕的点为﹣1,①设3表示的点与数a表示的点重合,根据对称性列式求出a的值;②因为AB=8,所以A到折痕的点距离为4,因为折痕对应的点为﹣1,由此得出A、B两点表示的数;(3)分三种情况进行讨论:设折痕处对应的点所表示的数是x,如图1,当AB:BC:CD=1:1:2时,所以设AB=a,BC=a,CD=2a,得a+a+2a=9,a=94,得出AB、BC、CD的值,计算也x的值,同理可得出如图2、3对应的【解答】解:操作一,(1)∵表示的点1与﹣1表示的点重合,∴折痕为原点O,则﹣2表示的点与2表示的点重合,故答案为:2;操作二:(2)∵折叠纸面,若使1表示的点与﹣3表示的点重合,则折痕表示的点为﹣1,①设3表示的点与数a表示的点重合,则3-(﹣1)=﹣1﹣aa=﹣2-3②∵数轴上A、B两点之间距离为8,∴数轴上A、B两点到折痕﹣1的距离为4,∵A在B的左侧,则A、B两点表示的数分别是﹣5和3;故答案为:①﹣2-3,②﹣5和3操作三:(3)设折痕处对应的点所表示的数是x,如图1,当AB:BC:CD=1:1:2时,设AB=a,BC=a,CD=2a,a+a+2a=9,a=9∴AB=94,BC=94x=﹣1+9如图2,当AB:BC:CD=1:2:1时,设AB=a,BC=2a,CD=a,a+a+2a=9,a=9∴AB=94,BC=92x=﹣1+9如图3,当AB:BC:CD=2:1:1时,设AB=2a,BC=a,CD=a,a+a+2a=9,a=9∴AB=92,BC=CDx=﹣1+9综上所述:则折痕处对应的点所表示的数可能是198或72或故答案为:198或72或【变式6-3】(2022春•海淀区校级期中)如图,面积为a(a>1)的正方形ABCD的边AB在数轴上,点B表示的数为1.将正方形ABCD沿着数轴水平移动,移动后的正方形记为A'B'CD',点A、B、C、D的对应点分别为A'、B'、C、D',移动后的正方形A'B'C'D'与原正方形ABCD重叠部分图形的面积记为S.当S=a时,数轴上点B'表示的数是a或2-a(用含【分析】平移可分两种情况,左平移,右平移.根据面积求得边长,继而求得平移距离.【解答】解:因为正方形面积为a,所以边长AB=a当向右平移时,如图1,因为重叠部分的面积为S=AB'•AD=aAB'×a所以AB'=1,所以平移距离BB'=AB﹣AB'=a-所以OB'=OB+BB'=1+a则B'表示的数是a;当向左平移时,如图2,因为重叠部分的面积为S=A'B•A'D'=aA'B×a所以A'B=1,所以平移距离BB'=A'B'﹣A'B=a-所以OB'=OB﹣B'B=1﹣(a-1)=2-则B'表示的数是2-a【知识点3估算法】(1)若,则;(2)若,则;根据这两个重要的关系,我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数,来估算和的大小.例如:,则;,则.常见实数的估算值:,,.【题型7估算无理数的范围】【例7】(2022春•朝阳区校级月考)已知432=1849,442=1936,452=2025,462=2116.若n为整数,且n<2048<n+1,则A.43 B.44 C.45 D.46【分析】用夹逼法估算无理数的大小即可得出答案.【解答】解:∵2025<2048<2116,∴45<2048<∴n=45.故选:C.【变式7-1】(2022春•滨海新区期末)估计23大小在()A.2与3之间 B.3与4之间 C.4与5之间 D.5与6之间【分析】直接利用16<【解答】解:∵16<∴4<23<∴23在4~5之间.故选:C.【变式7-2】(2022春•巩义市期末)估计15-1A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间【分析】根据平方运算,先估算出15的值,即可解答.【解答】解:∵9<15<16,∴3<15<∴2<15-1<∴估计15-1的值在2和3故选:B.【变式7-3】(2022•东莞市一模)已知a=13+A.1<a<2 B.2<a<3 C.3<a<4 D.4<a<5【分析】估算确定出13的大小范围,进而确定出所求即可.【解答】解:∵9<13<16,∴3<13<4,即4<13+则4<a<5.故选:D.【题型8已知无理数的范围求值】【例8】(2022秋•乳山市校级月考)满足-5<x<14的整数x【分析】先估算出5和14的大小,然后再确定x的值即可.【解答】解:∵4<5<9,∴2<5<∴﹣3<-5∵9<14<16,∴3<14<∴整数x的值为﹣2,﹣1,0,1,2,3.故答案为:6.【变式8-1】(2022秋•永春县期末)如果整数a满足7<a<A.1 B.2 C.3 D.4【分析】先计算(7)2=7,(11)2=11,然后看哪个平方数在7和11之间即可.【解答】解:∵7<9<11,∴7<3<∴如果整数a满足7<a<11,则故选:C.【变式8-2】(2022春•自贡期末)若a、b为正整数.且a>10,b<6,则a+b的最小值为5【分析】先估算出a、b的取值范围,然后再求得a+b的最大值即可.【解答】解:∵9<10<16,4<6<9,∴3<10<4,2<又∵a、b为正整数,∴当a=4,b=1时,a+b有最小值,∴a+b的最小值为5.故答案为:5.【变式8-3】(2022春•昆明期中)若a<40<b,且a,b是两个连续的整数,则a+b的值为13【分析】先估算出40的范围,求出a、b的值,再代入求出即可.【解答】解:∵6<40<∴a=6,b=7,∴a+b=13,故答案为:13.【题型9估算无理数最接近的值】【例9】(2022•玄武区二模)下列整数中,与10-30A.3 B.4 C.5 D.6【分析】先估算出30的范围,再估算10-30【解答】解:∵25<30<36,30离25更近,∴5<30<6,且更接近∴﹣6<-30<-∴4<10-30<5,且更接近故选:C.【变式9-1】(2022春•凤凰县期末)与50的算术平方根最接近的整数是()A.6 B.7 C.8 D.9【分析】先计算50位于哪两个相邻的整数之间,再确定50距离哪个整数的平方接近即可确定答案.【解答】解:∵49<50<64,∴49<即7<50<∵7.52=56.25,50<56.25,∴与50最接近的整数是7.故选:B.【变式9-2】(2022春•思明区校级期中)若m=4n(m、n是正整数),且8<m<9,则与实数A.3 B.4 C.5 D.6【分析】根据题中条件求出m的范围,进而得到n的取值范围,得到n的最大值,估算无理数的大小即可得出答案.【解答】解:∵8<m<∴64<m<81,∵m=4n(m、n是正整数),∴16<n<20.25,∴n的最大值为20,∴n的最大值为20,∵16<20<20.25,∴4<20<∴与实数n的最大值最接近的数是4.故选:B.【变式9-3】(2022春•潮安区期末)若m=5n(m、n是正整数),且10<m<12,则与实数A.4 B.5 C.6 D.7【分析】根据m的取值范围确定n的取值,再根据m、n为整数
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