6.4 多边形的内角和与外角和 同步练习

第六章平行四边形第四节多边形的内角和与外角和基础过关全练知识点1多边形的内角和定理1.(2020北京顺义二模)如图，四边形ABCD中，过点A的直线l将该四边形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为α和β，则α+β=()A.360° B.540° C.720° D.900°2.嘉嘉买了一副新眼镜，镜片的形状是八边形，八边形的内角和是.3.通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题，如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有9条，那么该多边形的内角和是度.4.若一个多边形的边数增加1，其内角和变为1440°，求原多边形的边数.知识点2正多边形的内角5.(2020贵州遵义期末)如图，点D、A、B、C是正十边形依次相邻的顶点，分别连接AC、BD相交于点P，则∠DPC=度.6.(2022江苏连云港二模)如图，正八边形ABCDEFGH中，延长对角线BF与边DE的延长线交于点M，则∠M=°.7.(2022河北邯郸二模)如图，在正六边形ABCDEF的内部作正五边形DEMGH.(1)∠CDH=°；(2)连接EG并延长，交AB于点N，则∠ANE=°.知识点3多边形的外角和8.(2022河北石家庄二模)如图，∠1=∠2=∠3=∠4=62°，分别作∠DEF和∠EFA的平分线，并交于点P，则∠P的度数是()A.55° B.56° C.57° D.60°9.如图，BE、DF分别平分四边形ABCD的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD=α，∠BCD=β.(1)试说明：∠MBC+∠NDC的度数与α，β的数量关系；(2)如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD=30°，请写出α、β所满足的等量关系；(3)如图2，若α=β，判断BE和DF的位置关系，并说明理由. 图1 图2能力提升全练10.(2022山东烟台中考)一个正多边形每个内角与每个外角的度数比为3∶1，则这个正多边形是()A.正方形 B.正六边形 C.正八边形 D.正十边形11.(2022四川南充中考)如图，在正五边形ABCDE中，以AB为边向内作正△ABF，则下列结论错误的是()A.AE=AF B.∠EAF=∠CBF C.∠F=∠EAF D.∠C=∠E12.(2021河北保定竞秀一模)嘉淇用一些完全相同的△ABC纸片拼接图案，已知用六个△ABC纸片按如图1所示的方法拼接，可得外轮廓是正六边形图案，若用n个△ABC纸片按如图2所示的方法拼接，那么可以得到外轮廓的图案是() 图1 图2A.正七边形 B.正八边形 C.正九边形 D.正十边形13.(2022广东深圳公明中学期中)如果一个多边形的每一个内角都是144°，那么这个多边形是边形.素养探究全练14.(2022安徽合肥瑶海期末)在多边形中若各个内角度数之比是连续正整数，那么我们称这个多边形为“特质多边形”，例如度数之比为1∶2∶3的三角形就叫做“特质三角形”，1、2、3就是这个三角形的“特质数”.如果一个“特质三角形”有一个内角的度数是50°，那么这个三角形的“特质数”是.

第六章平行四边形第四节多边形的内角和与外角和答案全解全析基础过关全练1.B如图，设直线l与CD交于点E.∵四边形ABCE的内角和为(4-2)×180°=360°，三角形ADE的内角和为180°，∴α+β=360°+180°=540°.故选B.2.答案1080°解析八边形的内角和为(8-2)×180°=1080°.3.答案1800解析设这个多边形的边数为n，∵多边形的一个顶点出发的对角线共有9条，∴n-3=9，∴n=12，∴该多边形的边数是12，∴该多边形的内角和=(12-2)×180°=1800°，故答案是1800.4.解析解法一：设原多边形的边数为n，则原多边形的边数增加1后的多边形的边数为n+1，则(n+1-2)×180°=1440°，解得n=9.故原多边形的边数为9.解法二：∵多边形边数每增加1，其内角和就增加180°，∴原多边形的内角和为1440°-180°=1260°，设原多边形的边数为n，则(n-2)×180°=1260°，解得n=9.故原多边形的边数为9.5.答案144解析∵∠DAB和∠ABC是正十边形的内角，∴∠DAB=∠ABC=(10−2)×180°10=144°，DA=AB=BC∴∠ABD=180°−∠DAB2=180°−144°2∠BCA=180°−∠ABC2=180°−144°2∴∠PBC=∠ABC-∠ABD=144°-18°=126°，∴∠DPC=∠PBC+∠PCB=126°+18°=144°，故答案为144.6.答案22.5解析∵八边形ABCDEFGH是正八边形，∴∠EFG=∠DEF=(8-2)×180°÷8=135°，∴∠FEM=45°，∵八边形ABCDEFGH是正八边形，∴FB平分∠EFG，∴∠EFB=∠BFG=12∠EFG=67.5°∵∠BFE=∠FEM+∠M，∴∠M=∠BFE-∠FEM=67.5°-45°=22.5°，故答案为22.5.7.答案(1)12(2)72解析(1)∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠A=∠F=∠CDE=180°×(6−2)6=120°∵五边形DEMGH是正五边形，∴∠GME=∠HDE=180°×(5−2)5=108°∴∠CDH=∠CDE-∠HDE=12°.(2)∵MG=ME，∠GME=108°，∴∠MEG=∠MGE=36°，由(1)的方法可得∠FEM=12°，∴∠FEN=48°，∴在四边形ANEF中，∠ANE=360°-∠A-∠F-∠FEN=72°.8.B∵∠1=∠2=∠3=∠4=62°，多边形的外角和为360°，∴∠5+∠6=360°-62°×4=112°，∴∠DEF+∠AFE=248°，∵EP，FP分别平分∠DEF和∠AFE，∴∠FEP=12∠DEF，∠EFP=12∠∴∠FEP+∠EFP=12(∠DEF+∠AFE)=124°∴∠P=180°-124°=56°.故选B.9.解析(1)由四边形内角和得，∠ABC+∠ADC=360°-(α+β)，∴∠MBC+∠NDC=(180°-∠ABC)+(180°-∠ADC)=360°-(∠ABC+∠ADC)=360°-360°+α+β=α+β.(2)如图，连接BD，由(1)得，∠MBC+∠NDC=α+β，∵BE、DF分别平分∠MBC和∠NDC，∴∠CBG=12∠MBC，∠CDG=12∠∴∠CBG+∠CDG=12∠MBC+12∠NDC=12(∠MBC+∠NDC)=12(α在△BCD中，∠BDC+∠CBD=180°-∠BCD=180°-β，在△BDG中，∠GBD+∠GDB+∠BGD=180°，∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD=180°，∴(∠CBG+∠CDG)+(∠BDC+∠CBD)+∠BGD=180°，∴12(α+β)+180°-β+30°=180°∴β-α=60°.(3)BE∥DF.理由：如图，延长BC交DF于H，由(1)得，∠MBC+∠NDC=α+β，∵BE、DF分别平分∠MBC和∠NDC，∴∠CBE=12∠MBC，∠CDH=12∠∴∠CBE+∠CDH=12∠MBC+12∠NDC=12(∠MBC+∠NDC)=12(α∵∠BCD=∠CDH+∠DHB，∴∠CDH=∠BCD-∠DHB=β-∠DHB，∴∠CBE+β-∠DHB=12(α+β)∵α=β，∴∠CBE+β-∠DHB=12(β+β)=β，∴∠CBE=∠DHB，∴BE∥能力提升全练10.C设这个正多边形的每个内角的度数是3x°，则每个外角的度数是x°，根据题意得x+3x=180，解得x=45，360°÷45°=8，故选C.11.C∵五边形ABCDE是正五边形，∴AE=AB，∠C=∠E=∠EAB=∠ABC=(5−2)×180°5=108°，故D选项结论正确∵△ABF是正三角形，∴∠FAB=∠FBA=∠F=60°，AB=AF=FB，∴∠EAF=∠EAB-∠FAB=108°-60°=48°，∠CBF=∠ABC-∠FBA=108°-60°=48°，∴∠EAF=∠CBF，故B选项结论正确；∵AB=AE，AB=AF=FB，∴AE=AF，故A选项结论正确；∵∠F=60°，∠EAF=48°，∴∠F≠∠EAF，故C选项结论错误，故选C.12.C正六边形的内角和为(6-2)×180°=720°，所以每个内角的度数为720°÷6=120°，所以∠ACB=120°-80°=40°，所以∠BAC=180°-40°-80°=60°.所以用n个△ABC纸片按题图2的方法拼接得到外轮廓图案的每个外角度数为180°-60°-80°=40°，因为360°40°=9，所以得到外轮廓的图案是正九边形.故选C13.答案十解析∵一个多边形的每个内角都是144°，∴这个多边形的每个外角都是180°-144°=36°，∴这个多边