2024-2025学年高中数学第二章随机变量及其分布2.2二项分布及其应用2.2.2事件的相互独立性课后课时精练新人教A版选修2-3

PAGE1-2.2.2事务的相互独立性A级：基础巩固练一、选择题1．袋内有大小相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，用B表示“其次次摸到白球”，则A与B是()A．互斥事务B．相互独立事务C．对立事务D．非相互独立事务答案D解析依据互斥事务、对立事务及相互独立事务的概念可知，A与B为非相互独立事务．2．在某段时间内，甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨之间没有影响，则这段时间内，甲、乙两地都不下雨的概率为()A．0.12B．0.88C．0.28D．0.42答案D解析P＝(1－0.3)×(1－0.4)＝0.42.3．甲射手击中靶心的概率为eq\f(1,3)，乙射手击中靶心的概率为eq\f(1,2)，甲、乙两人各射一次，那么eq\f(5,6)等于()A．甲、乙都击中靶心的概率B．甲、乙恰好有一人击中靶心的概率C．甲、乙至少有一人击中靶心的概率D．甲、乙不全击中靶心的概率答案D解析设“甲、乙两人都击中靶心”为事务A，则P(A)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)，甲、乙不全击中靶心的概率为P(eq\o(A,\s\up10(－)))＝1－P(A)＝eq\f(5,6).4．在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳动时，均从一片跳到另一片)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A片上，则跳三次之后停在A片上的概率是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,9)C.eq\f(4,9)D.eq\f(8,27)答案A解析由题意知逆时针方向跳的概率为eq\f(2,3)，顺时针方向跳的概率为eq\f(1,3)，青蛙跳三次要回到A只有两条途径：第一条，按A→B→C→A，P1＝eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27)；其次条，按A→C→B→A，P2＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,27)，所以跳三次之后停在A上的概率为P1＋P2＝eq\f(8,27)＋eq\f(1,27)＝eq\f(1,3).5．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队须要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为()A.eq\f(3,4)B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,5)D.eq\f(1,2)答案A解析问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P1＝eq\f(1,2)；其次类，需竞赛2局，第一局甲负，其次局甲赢，其概率P2＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).故甲队获得冠军的概率为P1＋P2＝eq\f(3,4).二、填空题6．某人有8把外形相同的钥匙，其中只有一把能打开家门．一次该人醉酒回家，每次从8把钥匙中随意拿一把开门，试用后又不加记号放回，则该人第三次打开家门的概率是________．答案eq\f(49,512)解析由已知每次打开家门的概率为eq\f(1,8)，则该人第三次打开家门的概率为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,8)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,8)))×eq\f(1,8)＝eq\f(49,512).7．某条道路的A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内平均开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是________．答案eq\f(35,192)解析P＝eq\f(25,60)×eq\f(35,60)×eq\f(45,60)＝eq\f(35,192).8．如图，元件Ai(i＝1,2,3,4)通过电流的概率是0.9，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在M，N之间通过的概率是________．答案0.8829解析电流能通过A1，A2的概率为0.9×0.9＝0.81，电流能通过A3的概率为0.9，故电流不能通过A1，A2且也不能通过A3的概率为(1－0.81)×(1－0.9)＝0.019.故电流能通过系统A1，A2，A3的概率为1－0.019＝0.981.而电流能通过A4的概率为0.9，故电流能在M，N之间通过的概率是0.981×0.9＝0.8829.三、解答题9．甲、乙二人进行一次围棋竞赛，约定先胜3局者获得这次竞赛的成功，竞赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局竞赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．(1)求再赛2局结束这次竞赛的概率；(2)求甲获得这次竞赛成功的概率．解记“第i局甲获胜”为事务Ai(i＝3,4,5)，“第j局乙获胜”为事务Bj(j＝3,4,5)．(1)设“再赛2局结束这次竞赛”为事务A，则A＝A3A4∪B3B4，由于各局竞赛结果相互独立，故P(A)＝P(A3A4∪B3B4)＝P(A3A4)＋P(B3B4)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52.(2)记“甲获得这次竞赛成功”为事务B，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次竞赛成功当且仅当在后面的竞赛中，甲先胜2局，从而B＝A3A4∪B3A4A5∪A3B4A5，由于各局竞赛结果相互独立，故P(B)＝P(A3A4∪B3A4A5∪A3B4A5)＝P(A3A4)＋P(B3A4A5)＋P(A3B4A5)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)·P(A5)＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648.B级：实力提升练10．某车间共有八位工人，为了保障平安生产，每月1号要从中选取四名工人参与同样的技能测试，每个工人通过每次测试的概率都是eq\f(3,4).甲从事的岗位比较特别，每次他都必需参与技能测试，另外乙和丙从事同一岗位的工作，所以他们不能同时离开岗位参与技能测试．(1)每次测试时，共有多少种选取方式？(2)工厂规定：工人连续2次没通过测试，则被撤销上岗资格，求甲工人恰好参与4次测试后被撤销上岗资格的概率．解(1)乙、丙均不选，有Ceq\o\al(3,5)＝10种；乙、丙中选一个，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,5)＝20种．所以共有30种选法．(2)设事务A为“甲工人恰好参与4次测试后被撤销上岗资格”，记A1为“甲第一二次通过，第三四次未通过测试”，则P(A1)＝eq\f(3,4)×eq\f(3,4)×eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(9,256)，记A2为“甲第一次未通过，其次次通过，第三四次未通过测试”，则P(A2)＝eq\f(1,