2024-2025学年新教材高中数学第五章三角函数5.2.2同角三角函数的基本关系教师用书新人教A版必修第一册

PAGE1-5．2.2同角三角函数的基本关系考点学习目标核心素养同角三角函数基本关系理解同角三角函数基本关系式数学运算同角三角函数基本关系的应用能正确运用同角三角函数的基本关系进行求值、化简和证明数学运算逻辑推理问题导学预习教材P182－P184，并思索以下问题：1．同角三角函数的基本关系式有哪两种？2．同角三角函数的基本关系式适合随意角吗？同角三角函数的基本关系关系式文字表述平方关系sin2α＋cos2α＝1同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1商数关系eq\f(sinα,cosα)＝tan__α同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切■名师点拨(1)留意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“随意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不肯定成立．(2)sin2α是(sinα)2的简写，读作“sinα的平方”，不能将sin2α写成sinα2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区分，并能正确书写．(3)留意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tanα＝eq\f(sinα,cosα)仅对α≠eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)成立．推断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对随意角α，sin24α＋cos24α＝1都成立．()(2)对随意角α，eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))＝taneq\f(α,2)都成立．()(3)存在角α，β有sin2α＋cos2β＝1.()答案：(1)√(2)×(3)√已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq\f(3,5)，则cosα等于()A.eq\f(4,5) B．－eq\f(4,5)C．－eq\f(1,7) D.eq\f(3,5)答案：B化简：(1＋tan2α)·cos2α等于()A．－1 B．0C．1 D．2答案：C已知3sinα＋cosα＝0，则tanα＝________．答案：－eq\f(1,3)利用同角基本关系式求值(1)已知α是其次象限角，且cosα＝－eq\f(12,13)，则tanα的值是()A.eq\f(12,13) B．－eq\f(12,13)C.eq\f(5,12) D．－eq\f(5,12)(2)已知eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝2，则eq\f(3sinα－cosα,2sinα＋3cosα)＝________．【解析】(1)因为α为其次象限角，所以sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)))\s\up12(2))＝eq\f(5,13)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\f(5,13),－\f(12,13))＝－eq\f(5,12).(2)由eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝2，化简得sinα＝3cosα，所以tanα＝3.原式＝eq\f(3tanα－1,2tanα＋3)＝eq\f(8,9).【答案】(1)D(2)eq\f(8,9)(变问法)本例(2)条件不变，计算2sin2α－3sinαcosα的值．解：因为tanα＝3，所以原式＝eq\f(2sin2α－3sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(\f(2sin2α－3sinαcosα,cos2α),\f(sin2α＋cos2α,cos2α))＝eq\f(2tan2α－3tanα,tan2α＋1)＝eq\f(2×32－3×3,32＋1)＝eq\f(9,10).eq\a\vs4\al()(1)求三角函数值的方法①已知sinθ(或cosθ)求tanθ常用以下方法求解②已知tanθ求sinθ(或cosθ)常用以下方法求解当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)探讨．(2)已知角α的正切求关于sinα，cosα的齐次式的方法①关于sinα，cosα的齐次式就是式子中的每一项都是关于sinα，cosα的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cosα的n次幂，其式子可化为关于tanα的式子，再代入求值；②若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值．1．已知sinα＝－eq\f(1,3)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，则tanα＝()A．－eq\f(2\r(2),3) B.eq\f(2\r(2),3)C.eq\f(\r(2),4) D．－eq\f(\r(2),4)解析：选C.由α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，得cosα<0，又sinα＝－eq\f(1,3)，所以cosα＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))\s\up12(2))＝－eq\f(2\r(2),3)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\r(2),4).2．已知α是其次象限角，且tanα＝－eq\f(7,24)，则cosα＝________.解析：因为α是其次象限角，故sinα＞0，cosα＜0，又tanα＝－eq\f(7,24)，所以eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(7,24)，又sin2α＋cos2α＝1，解得cosα＝－eq\f(24,25).答案：－eq\f(24,25)利用同角三角函数关系化简化简下列各式：(1)eq\f(sinα,1＋sinα)－eq\f(sinα,1－sinα)；(2)eq\f(\r(1＋2sin10°cos10°),cos10°＋\r(1－cos210°)).【解】(1)eq\f(sinα,1＋sinα)－eq\f(sinα,1－sinα)＝eq\f(sinα（1－sinα）－sinα（1＋sinα）,（1＋sinα）（1－sinα）)＝eq\f(－2sin2α,1－sin2α)＝eq\f(－2sin2α,cos2α)＝－2tan2α.(2)eq\f(\r(1＋2sin10°cos10°),cos10°＋\r(1－cos210°))＝eq\f(\r(（cos10°＋sin10°）2),cos10°＋sin10°)＝eq\f(|cos10°＋sin10°|,cos10°＋sin10°)＝1.eq\a\vs4\al()三角函数式的化简技巧(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而削减函数名称，达到化繁为简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低次数，达到化简的目的．1．化简：sin2αtanα＋eq\f(cos2α,tanα)＋2sinαcosα.解：原式＝sin2α·eq\f(sinα,cosα)＋cos2α·eq\f(cosα,sinα)＋2sinαcosα＝eq\f(sin4α＋cos4α＋2sin2αcos2α,cosαsinα)＝eq\f(（sin2α＋cos2α）2,sinαcosα)＝eq\f(1,sinαcosα).2．若eq\f(π,2)<α<π，化简eq\f(cosα,\r(1－cos2α))＋eq\f(sinα\r(1－sin2α),1－cos2α).解：因为eq\f(π,2)<α<π，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)，sinα＝eq\r(1－cos2α)，所以原式＝eq\f(cosα,sinα)＋eq\f(sinα（－cosα）,1－cos2α)＝eq\f(cosα,sinα)－eq\f(sinαcosα,sin2α)＝eq\f(cosα,sinα)－eq\f(cosα,sinα)＝0.利用同角三角函数关系证明求证：eq\f(tanαsinα,tanα－sinα)＝eq\f(tanα＋sinα,tanαsinα).【证明】法一：因为右边＝eq\f(tan2α－sin2α,（tanα－sinα）tanαsinα)＝eq\f(tan2α－tan2αcos2α,（tanα－sinα）tanαsinα)＝eq\f(tan2α（1－cos2α）,（tanα－sinα）tanαsinα)＝eq\f(tan2αsin2α,（tanα－sinα）tanαsinα)＝eq\f(tanαsinα,tanα－sinα)＝左边，所以原等式成立．法二：因为左边＝eq\f(tanαsinα,tanα－tanαcosα)＝eq\f(sinα,1－cosα)，右边＝eq\f(tanα＋tanαcosα,tanαsinα)＝eq\f(1＋cosα,sinα)＝eq\f(1－cos2α,sinα（1－cosα）)＝eq\f(sin2α,sinα（1－cosα）)＝eq\f(sinα,1－cosα)，所以左边＝右边，原等式成立．eq\a\vs4\al()证明简洁三角恒等式的思路(1)从一边起先，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则．(2)证明左右两边等于同一个式子．(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1.(4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．求证：eq\f(1＋2sinαcosα,sin2α－cos2α)＝eq\f(1＋tanα,tanα－1).证明：左边＝eq\f(sin2α＋cos2α＋2sinαcosα,sin2α－cos2α)＝eq\f(（sinα＋cosα）2,（sinα－cosα）（sinα＋cosα）)＝eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(1＋tanα,tanα－1)＝右边．所以原式成立．1．已知sinα＝eq\f(2,3)，tanα＝eq\f(2\r(5),5)，则cosα＝()A.eq\f(1,3) B.eq\f(\r(5),3)C.eq\f(\r(7),3) D.eq\f(\r(5),5)解析：选B.因为tanα＝eq\f(sinα,cosα)，所以cosα＝eq\f(sinα,tanα)＝eq\f(\f(2,3),\f(2\r(5),5))＝eq\f(\r(5),3).2．化简eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,sinα)＋\f(1,tanα)))(1－cosα)的结果是()A．sinαB．cosαC．1＋sinαD．1＋cosα解析：选A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,sinα)＋\f(1,tanα)))(1－cosα)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,sinα)＋\f(cosα,sinα)))(1－cosα)＝eq\f(1－cos2α,sinα)＝eq\f(sin2α,sinα)＝sinα.3．若sinθ＝－eq\f(4,5)，tanθ>0，则cosθ＝____________．解析：由已知条件可得角θ的终边在第三象限，所以cosθ＝－eq\r(1－sin2θ)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))\s\up12(2))＝－eq\f(3,5).答案：－eq\f(3,5)4．已知cosα＝－eq\f(3,5)，求sinα，tanα的值．解：因为cosα＝－eq\f(3,5)<0，所以α是其次或第三象限角．当α是其次象限角时，sinα>0，tanα<0，所以sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))\s\up12(2))＝eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(4,3)；当α是第三象限角时，sinα<0，tanα>0，所以sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))\s\up12(2))＝－eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(4,3).

[A基础达标]1．若cosα＝eq\f(1,3)，则(1＋sinα)(1－sinα)等于()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,9)C.eq\f(2\r(2),3) D.eq\f(8,9)解析：选B.原式＝1－sin2α＝cos2α＝eq\f(1,9)，故选B.2．若α是第四象限角，tanα＝－eq\f(5,12)，则sinα＝()A.eq\f(1,5) B．－eq\f(1,4)C.eq\f(5,13) D．－eq\f(5,13)解析：选D.因为tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(5,12)，sin2α＋cos2α＝1，所以sinα＝±eq\f(5,13).因为α是第四象限角，所以sinα＝－eq\f(5,13).3．(2024·安徽滁州期末)已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，则sin4α－cos4α的值为()A．－eq\f(3,5) B．－eq\f(1,5)C.eq\f(1,5) D.eq\f(3,5)解析：选A.sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)·(sin2α－cos2α)＝sin2α－(1－sin2α)＝2sin2α－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)))eq\s\up12(2)－1＝－eq\f(3,5).4．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝eq\f(5,9)，则sinθcosθ的值为()A.eq\f(\r(2),3) B．－eq\f(\r(2),3)C.eq\f(1,3) D．－eq\f(1,3)解析：选A.由sin4θ＋cos4θ＝eq\f(5,9)，得(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝eq\f(5,9)，所以sin2θcos2θ＝eq\f(2,9).因为θ是第三象限角，所以sinθ<0，cosθ<0，所以sinθcosθ＝eq\f(\r(2),3).5．假如tanθ＝2，那么1＋sinθcosθ＝()A.eq\f(7,3) B.eq\f(7,5)C.eq\f(5,4) D.eq\f(5,3)解析：选B.1＋sinθcosθ＝eq\f(1＋sinθcosθ,1)＝eq\f(sin2θ＋cos2θ＋sinθcosθ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tan2θ＋tanθ＋1,tan2θ＋1)，又tanθ＝2，所以1＋sinθcosθ＝eq\f(22＋2＋1,22＋1)＝eq\f(7,5).6．已知eq\f(sinα＋2cosα,5cosα－sinα)＝eq\f(5,16)，则tanα＝____________．解析：由eq\f(sinα＋2cosα,5cosα－sinα)＝eq\f(5,16)，得eq\f(tanα＋2,5－tanα)＝eq\f(5,16)，解之得tanα＝－eq\f(1,3).答案：－eq\f(1,3)7．若tanα＋eq\f(1,tanα)＝3，则sinαcosα＝________．解析：因为tanα＋eq\f(1,tanα)＝3，所以eq\f(sinα,cosα)＋eq\f(cosα,sinα)＝3，即eq\f(sin2α＋cos2α,sinαcosα)＝3，所以sinαcosα＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)8．已知eq\f(sinα－2cosα,3sinα＋5cosα)＝－5，那么tanα＝________．解析：易知cosα≠0，由eq\f(sinα－2cosα,3sinα＋5cosα)＝－5，得eq\f(tanα－2,3tanα＋5)＝－5，解得tanα＝－eq\f(23,16).答案：－eq\f(23,16)9．化简下列各式：(1)eq\f(sin760°,\r(1－cos240°))；(2)tanαeq\r(\f(1,sin2α)－1)(其中α是其次象限角)．解：(1)eq\f(sin760°,\r(1－cos240°))＝eq\f(sin（2×360°＋40°）,\r(sin240°))＝eq\f(sin40°,|sin40°|)＝eq\f(sin40°,sin40°)＝1.(2)因为α是其次象限角，所以sinα>0，cosα<0.故tanαeq\r(\f(1,sin2α)－1)＝tanαeq\r(\f(1－sin2α,sin2α))＝tanαeq\r(\f(cos2α,sin2α))＝eq\f(sinα,cosα)·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(cosα,sinα)))＝eq\f(sinα,cosα)·eq\f(－cosα,sinα)＝－1.10．求证：sinα(1＋tanα)＋cosα·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,tanα)))＝eq\f(1,sinα)＋eq\f(1,cosα).证明：左边＝sinαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(sinα,cosα)))＋cosαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(cosα,sinα)))＝sinα＋eq\f(sin2α,cosα)＋cosα＋eq\f(cos2α,sinα)＝eq\f(sin2α＋cos2α,sinα)＋eq\f(sin2α＋cos2α,cosα)＝eq\f(1,sinα)＋eq\f(1,cosα)＝右边．即原等式成立．[B实力提升]11．若△ABC的内角A满意sinAcosA＝eq\f(1,3)，则sinA＋cosA的值为()A.eq\f(\r(15),3) B．－eq\f(\r(15),3)C.eq\f(5,3) D．－eq\f(5,3)解析：选A.因为A为△ABC的内角，且sinAcosA＝eq\f(1,3)＞0，所以A为锐角，所以sinA＋cosA＞0.又1＋2sinAcosA＝1＋eq\f(2,3)，即(sinA＋cosA)2＝eq\f(5,3)，所以sinA＋cosA＝eq\f(\r(15),3).12．若角α的终边在直线x＋y＝0上，则eq\f(sinα,\r(1－cos2α))＋eq\f(\r(1－sin2α),cosα)＝________．解析：因为eq\f(sinα,\r(1－cos2α))＋eq\f(\r(1－sin2α),cosα)＝eq\f(sinα,|sinα|)＋eq\f(|cosα|,cosα)，又角α的终边落在x＋y＝0上，故角α的终边在其次、四象限，当α在其次象限时，原式＝eq\f(sinα,sinα)＋eq\f(－cosα,cosα)＝0，当α在第四象限时，原式＝eq\f(sinα,－sinα)＋eq\f(cosα,cosα)＝0.综上所述，原式＝0.答案：013．已知sinα＝eq\f(1,3)，求eq\f(1－2sinαcosα,（2cos2α－1）（1－tanα）)的值．解：eq\f(1－2sinαcosα,（2cos2α－1）（1－tanα）)＝eq\f(（sinα－cosα）2,（2cos2α－sin2α－cos2α）（1－tanα）)＝eq\f(（cosα－sinα）2,（cosα＋sinα）（cosα－sinα）（1－tanα）)＝eq\f(cosα－sinα,（cosα＋sinα）（1－tanα）)＝eq\f(1－tanα,（1＋tanα）（1－tanα）)＝eq\f(1,1＋tanα)，当角α是第一象限角时，cosα＝eq\f(2\r(2),3)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\r(2),4)，所以原式＝eq\f(1,1＋\f(\r(2),4))＝eq\f(8－2\r(2),7)；当角α是其次象限角时，cosα＝－eq\f(2\r(2),3)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(\r(2),4)，所以原式＝eq\f(1,1－\f(\r(2),4))＝eq\f(8＋2\r(2),7).14．已知sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，且0<θ<π.(1)求tanθ的值；(2)求eq\f(sin2θ,cos2θ－2sinθcosθ)的值．解：(1)因为sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，①所以(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝eq\f(1,25)，所以2sinθcos