2024-2025学年新教材高中数学课时分层作业12已知三角函数值求角新人教B版第三册

PAGEPAGE1课时分层作业(十二)已知三角函数值求角(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1.已知sinx＝eq\f(\r(,3),3)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则x＝()A．arcsineq\f(\r(,3),3) B．eq\f(π,2)＋arcsineq\f(\r(,3),3)C．π－arcsineq\f(\r(,3),3) D．eq\f(2π,3)C[∵arcsineq\f(\r(,3),3)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴π－arcsineq\f(\r(,3),3)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴sinx＝eq\f(\r(,3),3)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，x＝π－arcsineq\f(\r(,3),3).]2.若sin(x－π)＝－eq\f(\r(2),2)，且－2π<x≤0，则x＝()A．eq\f(7,4)π B．－eq\f(5,4)πC．－eq\f(7,4)π或－eq\f(5,4)π D．eq\f(7,4)π或－eq\f(5,4)πC[∵sin(x－π)＝－sin(π－x)＝－sinx＝－eq\f(\r(2),2)，∴sinx＝eq\f(\r(2),2)，∴x＝2kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)，又因－2π<x≤0，所以x＝－eq\f(7,4)π或x＝－eq\f(5,4)π，故选C．]3.已知cosx＝－eq\f(2,3)，x∈[0，π]，则x的值为()A．arccoseq\f(2,3) B．π－arccoseq\f(2,3)C．－arccoseq\f(2,3) D．π＋arccoseq\f(2,3)B[arccoseq\f(2,3)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴π－arccoseq\f(2,3)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)).∴cosx＝－eq\f(2,3)，x∈[0，π]，x＝π－arccoseq\f(2,3).]4．若cos(π－x)＝eq\f(\r(3),2)，x∈(－π，π)，则x的值为()A．eq\f(5π,6)，eq\f(7π,6) B．±eq\f(π,6)C．±eq\f(5π,6) D．±eq\f(2π,3)C[由cos(π－x)＝－cosx＝eq\f(\r(,3),2)得，cosx＝－eq\f(\r(,3),2)，又∵x∈(－π，π)，∴x在其次或第三象限，∴x＝±eq\f(5π,6).]5．已知等腰三角形的顶角为arccoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，则底角的正切值为()A．eq\f(\r(3),3) B．－eq\f(\r(3),3)C．eq\r(3) D．－eq\r(3)A[arccoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝eq\f(2π,3)，故底角为eq\f(π－\f(2π,3),2)＝eq\f(π,6)，∴taneq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),3).]6．已知tanx＝eq\r(,3)，则x＝()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝kπ＋\f(π,3))))) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝kπ＋\f(π,6)))))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝kπ－\f(2π,3))))) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝kπ＋\f(2π,3)))))A[由正切函数的性质可知，由tanx＝eq\r(,3)，得x＝kπ＋eq\f(π,3)，即方程的根为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝kπ＋\f(π,3)))))，k∈Z.]二、填空题7．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝－eq\f(1,2)，x∈[0,2π]，则x的取值集合为________．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)，\f(7π,6)，\f(3π,2)))[令θ＝2x＋eq\f(π,3)，∴cosθ＝－eq\f(1,2).当0≤θ≤π时，θ＝eq\f(2π,3)，当π≤θ≤2π，θ＝eq\f(4π,3).∴当x∈R时，θ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))∈R，∴2x＋eq\f(π,3)＝2kπ＋eq\f(2π,3)或2x＋eq\f(π,3)＝2kπ＋eq\f(4π,3)(k∈Z)，即x＝kπ＋eq\f(π,6)或x＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，又x∈[0,2π]，∴x∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)，\f(7π,6)，\f(3π,2))).]8．若tanx＝eq\r(,3)，且x∈(－π，π)，则x＝________.eq\f(π,3)或－eq\f(2π,3)[∵tanx＝eq\r(,3)＞0，且x∈(－π，π)，∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))，若x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则x＝eq\f(π,3)，若x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))，则x＝eq\f(π,3)－π＝－eq\f(2π,3)，综上x＝eq\f(π,3)或－eq\f(2π,3)，]9．集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx＝\f(1,2)))))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(tanx＝－\f(\r(,3),3)))))，则A∩B＝________.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2kπ＋\f(5π,6)，k∈Z))))[∵sinx＝eq\f(1,2)，∴x＝2kπ＋eq\f(π,6)或2kπ＋eq\f(5,6)π，k∈Z.又∵tanx＝－eq\f(\r(,3),3)，∴x＝kπ－eq\f(π,6)，k∈Z.∴A∩B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2kπ＋\f(5π,6)，k∈Z)))).]三、解答题10．利用三角函数线求满意tanα≥eq\f(\r(3),3)的角α的范围．

[解]如图，过点A(1,0)作单位圆O的切线，在切线上沿y轴正方向取一点T，使AT＝eq\f(\r(3),3)，过点O，T作直线，则当角α的终边落在阴影区域内(包含所作直线，不包含y轴)时，tanα≥eq\f(\r(3),3).由三角函数线可知，在[0°，360°)内，tanα≥eq\f(\r(3),3)，有30°≤α<90°或210°≤α<270°，故满意tanα≥eq\f(\r(3),3)，有k·180°＋30°≤α<k·180°＋90°，k∈Z.][等级过关练]1.已知sinθ＝－eq\f(1,3)且θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))，则θ可以表示成()A．－arcsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3))) B．－eq\f(π,2)－arcsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))C．－π＋arcsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3))) D．－π－arcsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))D[由－1＜－eq\f(1,3)＜0，∴arcsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))由此可知：－arcsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))－eq\f(π,2)－arcsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))－π＋arcsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)，－π))它们都不能表示θ，所以应选D．]2.设α＝arcsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))，β＝arctaneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(2)))，γ＝arccoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))，则α、β、γ的大小关系是()A．α＜β＜γ B．α＜γ＜βC．β＜α＜γ D．β＜γ＜α3.若x＝eq\f(π,3)是方程2cos(x＋α)＝1的解，其中α∈(0,2π)，则α＝______.eq\f(4π,3)[∵2cos(x＋α)＝1，∴cos(x＋α)＝eq\f(1,2)，又∵x＝eq\f(π,3)是方程的解．∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＝eq\f(1,2).又∵α∈(0,2π)，∴eq\f(π,3)＋α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(7π,3)))∴eq\f(π,3)＋α＝eq\f(5π,3)，∴α＝eq\f(4π,3).]4．已知函数f(x)＝eq\r(3)cosωx，g(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,3)))(ω>0)，且g(x)的最小正周期为π.若f(α)＝eq\f(\r(6),2)，α∈[－π，π]，则α的取值集合为________．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(7π,8)，－\f(π,8)，\f(π,8)，\f(7π,8)))[因为g(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,3)))(ω＞0)的最小正周期为π，所以eq\f(2π,ω)＝π，解得ω＝2，所以f(x)＝eq\r(,3)cos2x，由f(α)＝eq\f(\r(,6),2)，得eq\r(,3)cos2α＝eq\f(\r(,6),2)，即cos2α＝eq\f(\r(,2),2)，所以2α＝2kπ±eq\f(π,4)，k∈Z，则α＝kπ±eq\f(π,8)，k∈Z.因为α∈[－π，π]，所以α∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(7π,8)，－\f(π,8)，\f(π,8)，\f(7π,8))).]5．已知函数f(α)＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－α)),tanα＋πsinα＋π)(1)化