解直角三角形（过关检测）-2022年中考数学一轮复习（全国解析版）

专题18解直角三角形

一、单选题

1.（2021•浙江九年级月考）如图，48是河堤横断面的迎水坡，坡高4C=1,水平距离3c=6,则斜坡48

的坡度为（）

A.立B.V3C.30°D.60°

3

【答案】A

【分析】

根据坡度的定义直接求解即可.

【详解】

解：•••坡高/C=l,水平距离8C=石，

・・・斜坡AB的坡度为tanB=*===立,

BC63

故选：A.

2.（2021•杭州市采荷中学九年级二模）如图，在“8C中，NC=90。，设N/,BB,NC所对的边分别为

4,3,5,则（）

A.5=3sin5B.3=5sin5C.4=3tanBD.3=5tanB

【答案】B

【分析】

根据锐角三角函数的定义进行判断即可.

【详解】

解：在A48C中，ZC=9O°,设NA、4B,NC所对的边分别为4,3,5,

1Q

所以sin5=—==，即3=5sin5,因此选项4不符合题意，选项5符合题意,

c5

72

tan5=—=-,即3=4tan5,因此选项C不符合题意，选项。不符合题意，

a4

故选：B.

3.（2021•全国九年级课时练习）如图，在中，ZC=90°,AC=4,BC=8,贝"tan2的值是（）

【答案】B

【分析】

直接利用锐角三角函数关系得出tanfi的值即可.

【详解】

-.■ZC=90°,AC=4,BC=8,

£

BC2

故选：B.

4.（2021•哈尔滨市虹桥初级中学校九年级二模）一辆汽车沿倾斜角为40。的斜坡行驶，它上升的垂直高度

为7米，则小汽车行驶的路程是（）

A7「77

-前C.7cos40°D.——-T

tan40cos40

【答案】A

【分析】

在三角函数中，根据坡度角的正弦值=垂直高度：坡面距离即可解答.

【详解】

解：如图，乙4=40。，NC=90。，CB=1米,

则小汽车行驶的路程是：sin40°=—

_7

故（米）.

sin40

故选：A.

B

5.(2021•兰州市外国语学校九年级期末)计算2cos30。的值为()

A.1B.>/3C.V2D.1

【答案】B

【分析】

直接利用特殊角的三角函数值进行计算即可得出答案.

【详解】

解:2cos30。，

=2x也，

2

故选B.

6.(2021•浙江九年级月考)在A48C中，4=45。，zC=75°,AC=6,则45的长是()

A.2(73+1)B.3(V3+1)C.4(6+1)D.5(73+1)

【答案】B

【分析】

作CDM8于，则△8CD是等腰直角三角形，得AD=CD,LBCD=45°,求出力CD=30。，由直角三角形的

性质得NO=；/C=3,BD=CD=y[3AD=3yl3,即可得出答案.

【详解】

解：作CDL1B于。，如图所示：

则乙BZO£>C=90°,

•4=45°,

・•.△BCD是等腰直角三角形,

：.BD=CD,Z5CD=45°,

■：/-ACB=15°,

••.UCD=UCB-乙BCD=3Q。,

22

.•./D=g/C=gx6=3,CD=^AC-AD=3>/3，

：.BD=CD=3V3,

：.AB=BD+AD=3若+3=3(G+1)；

故选：B.

7.(2021•全国九年级课时练习)如图,在四边形488中，E,尸分别是48,4D的中点，若

EF=2,BC=5,CD=3,贝ijsinC等于)

【答案】C

【分析】

连接8D根据三角形中位线定理求出EF,根据勾股定理的逆定理得到N8OC=90。，根据正弦的定义计算即

可.

【详解】

连接8。，

•・•£，尸分别是幺氏4。的中点,

.-.EF=-BD,

2

VEF=2,

BD=2EF=4,

又一：BC=5,CD=3,

■■BD2+CD2=BC2,

.△BCD是直角三角形，NBDC=90°,

.cBD4

sinC==—.

BC5

故选：C.

8.（2021•山东济南•中考真题）无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测.如图，某农业特色品牌示范

基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135m的A处测得试验田右侧出界N处俯角为

43。，无人机垂直下降40m至8处，又测得试验田左侧边界河处俯角为35。，则N之间的距离为（参

考数据：tan43°®0.9,sin43°a0.7,cos35°»0.8,tan35°«0.7,结果保留整数）（）

MON

A.188mB.269m

C.286mD.312m

【答案】C

【分析】

根据题意易得跖V,"=43。，入睡=35。，CM=135m,AB=40m,然后根据三角函数可进行求解.

【详解】

解：由题意得：OALMN,"=43。，zAf=35。，O/=135m,/2=40m,

OB=OA-AB=95m,

AOB95〜

ON=°=—=150m,OM=---------=——«136m,

tan/N0.9tanZ.M0.7

■.MN=OM+ON=286m:

故选C.

9.（2021•全国九年级课时练习）如图，的半径8,弦于点C,连接/。并延长交。。于点E,连

接EC.若AB=8,CD=2,则tan/EC8为（）

E

A.|R3后2

D.--------------C.一D

133-1

【答案】D

【分析】

根据垂径定理得到AC=BC=^AB=4,

设/0=x,贝lJOC=QD-CD=x-2,在心&4C。中根据勾股定理

得到X?=42+（x-2）2,解得x=5,则OC=3,再由4E是直径，根据圆周角定理得到乙45£=90。，利用0c

是△//BE的中位线得到8E=2OC=6,然后在用△C8E中，由三角函数的定义求出tan/EC3即可.

【详解】

连接BE,如图:

■.■ODLAB,.-.AC=BC=-AB=4,设/O=x,则OC=。。一C£>=无一2,在Rt^/CO中,

2

■-AO1=AC2+OC2,

x2=42+(x—2)2,解得x=5,

；.OC=3,是直径，.•.N/BE=90。，

・••OC是△48E的中位线，.-.BE=2OC=6,

RF63

/.tmZECB=——

BC42

故选：D.

10.（2021•全国九年级课时练习）已知，如图，梯形48CD中，AD//BC,ZB=45°,ZC=120°,AB=8,则CD

的长为（

AD

BC

「班

A,巫B.4^/6D.472

33

【答案】A

【分析】

如图，分别作于点E,DFLBC于点、F,则有4E=Dgsing=sin45。=理=也45,进而求得

AB2

DF

DF、/£的长，再根据sinNOCF=sin60。=无■求解即可.

【详解】

解：如图，分别作AELBC于点E,DFLBC于点、F.

则有AE=DF,sinB=sin45°=——=—,

AB2

DF=AE=—AB=4V2.

2

又ZDCF=1800-ZDCB=60°,

•­•sinNDCF=sin60°=—,

CD2

八八DF4728娓

~2~2

故选A.

二、填空题

11.（2021•江苏泰州市•高港实验学校九年级二模）某人沿着坡度i=l：右的山坡走到离地面25米高的地

方，则他走的路程为一米.

【答案】50

【分析】

根据题意，作出图形，再根据坡度可以求得此为30。的直角三角形，根据性质即可求解.

【详解】

解：根据题意，如下图:

由题意可知：AB=25m,ZACB=90°

坡度/=1：-\/3可知，tan5=-----

BC3

NB=30°

•­.AB=2AC=50m

故答案为50

12.（2021•佛山市华英学校九年级一模）如图，直立于地面上的电线杆N8,在阳光下落在水平地面和坡面

上的影子分别是2C,CD.测得3c=9m,CD=6m,斜坡CD的坡度，=1：也,在D处测得电线杆顶端/

的仰角为30。，则电线杆48的高度为.

【答案】（6+3⑹m

【分析】

延长/D交8C的延长线于尸，作DG1AF于G,根据直角三角形的性质和勾股定理求出。C、CG的长，根

据正切的定义解答即可.

【详解】

解：如图，延长4。交5C的延长线于凡作。G1即于G,

-/LADE=30°,

山FB=30。,

•・・CD=6m,斜坡CD的坡度=1：G，

DG1J3

・••tanzZ)CG=-----=-j==——

CG△3

・"CG=30。,

・・.£)G=3m,CG=3gm,

：.ADFC=^DCF=30°f

・・.DF=DC,

-DGLBF,

.MG=CG=3JJm,

••・/。=6JJm,

：.FB=FC+BC=(673+9)m,

；.AB=BFxtanUFB=(673+9)x@=(6+373)

m.

3

故答案为：（6+3百）m.

13.（2021・湖南师大附中博才实验中学九年级二模）有一斜坡45,坡顶8离地面的高度3C为30m,斜坡

的倾斜角是NR4C,若坡比为2:5,则此斜坡的水平距离/C为

B

【答案】75m

【分析】

根据坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度/的比计算即可.

【详解】

解：,••坡比为2：5,BC=30m,

二二，即迎上

AC5AC5

解得：AC=75,

故答案为：75m.

14.（2021・重庆实验外国语学校九年级开学考试）如图，点、P、A、B、C在同一平面内，点A、B、C在

同一直线上，且尸C1/C,在点A处测得点尸在北偏东60。方向上，在点3处测得点尸在北偏东30。方向上,

若4P=12千米，则A,&两点的距离为一千米.

【答案】46

【分析】

由尸C1/C,在点/处测得点P在北偏东60。方向上，可得/尸C4=90。，ZPAC=30°,

PCL

利用锐角三角函数可求PC=6千米，NC=66千米，在Rtz^BCP中8C=—k=2,千米即可.

tan60

【详解】

解：•.•PCL/C,在点/处测得点P在北偏东60。方向上，

ZPCA=90°,APAC=30°,

•.♦4P=12千米，

1c

.­.PC=^P-sin300=12x-=6^,NC=/尸.cos30°=12x立=66千米,

22

・•・在点B处测得点P在北偏东30。方向上，/PCB=90°,PC=6千米，

在RtABCP中,

ZPBC=60°,

8c=—^=*=2若千米,

tan60°y/3

AB=AC-BC=6y/3-2y/3=4^/3（千米）,

故答案为：46千米.

15.（2021・长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级月考）如图，矩形48co中，48=8,BC=12,以。

为圆心，4为半径作£为。。上一动点，连接NE,以/£为直角边作R/A4E尸，使乙&4歹=90。，tan乙4£尸=

则点产与点C的最小距离为

【答案】4V10--1

【分析】

如图，取的中点G,连接FG,FC,GC,由△£4Gs△£/£>,推出尸G：。£=/尸：/£=1：3,因为

44

4,可得尸G=§,推出点尸的运动轨迹是以G为圆心§为半径的圆，再利用两点之间线段最短即可解决问

题.

【详解】

解：如图，取N8的中点G,连接/G.FC.GC.

B

,-Z-EAF—90°,tanZ-AEF=—，

3

AF

AE3

•・・/B=8,AG=GB,

:・AG=GB=4,

•・・/D=12,

AG41

,・IFF-］，

AFAG

,•瓦-IF'

••・四边形45C7）是矩形，

••/BAD=（B=乙EAF=90°,

.ZFAG—EAD,

••△FAGsAEAD,

:・FG：DE=AF：AE=1：3,

,；DE=4,

:.FG=-,

3

4

.・•点F的运动轨迹是以G为圆心§为半径的圆，

<GC=^GB1+BC1=V42+122=4布-

：.FC>GC-FG,

.•.F（>4Vio

••.c/的最小值为49-1.

4

故答案为：4^/10.

三、解答题

16.（2021•陕西西安•交大附中分校九年级模拟预测）西安进行老旧小区改造，为方便老年人通行，计划将

某小区一段斜坡进行改造，如图所示，斜坡2C长为10米，坡角NC20=25。，改造后坡角NC4D降为

12°.求斜坡新起点/与原起点3的距离48.参考数据（sinl2°«0.21,cosl2°«0.98,tanl2°«0.21,

sin25°=0.42,cos25°=0.91,tan25°=0.47)

【答案】10.8米.

【分析】

根据余弦的定义求出8。，根据正弦的定义求出C。，根据正切的定义求出计算即可.

【详解】

解：由题意得CDL/8,

BDCD

在RSCAD中，coszCSD=——,sinzC5Z）=—,乙CBD=25°,8c=10米，

BCBC

.■-5Z）=JBC«coszCBD=10x0.91=9.1（米），CZ）=SC«sinzCS£）=：10x0.42=4.2（米），

_.CD

在此△中，tanzC4£>=—,4G4。=12。，

AD

：.AB=AD-BD^20-9.2=10.8（米），

答：斜坡新起点/与原起点3的距离AS约为10.8米.

17.（2021・沐阳县怀文中学九年级月考）是长为10m,倾斜角为37。的自动扶梯，平台5。与大楼CE垂

直，且2O=10m,在8处测得大楼顶部C的仰角为65。，求大楼CE的高度（结果保留整数）.（参考数据：

sin37°«—,tan37°«—,sin65°«—,tan65°«——）

54107

/）

晨65。°

AE

【答案】CE=27m

【分析】

作BFLAE于点F.则BF=DE,在直角A48尸中利用三角函数求得BF的长,在直角△CD8中利用三角函数

求得CD的长，则CE即可求得.

【详解】

解：作BFL4E于点F.则5/=Z）E.

BF3

在直角中，sinZ-BAF=---，贝|58=45・57%/_BZQlOx-=6(m).

AB5

在直角△0)8中，tan乙CBD=%~,贝lj8=3。”M65。=10*身:=21(%).

BD7

则CE=DE+CD=BF+CD=6+21=27(m).

答：大楼CE的高度是27m.

18.（2021・绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学九年级二模）如图，某商场从一层到二层的楼梯由台阶CD和

一段水平平台2C构成，48与CD互相平行并且与地面成31。角.已知台阶48=5.2米，CD=2.8米，平台

8c=2.5米.求商场一层的高度（结果精确到0.1米）.参考数据：sin31tM）.515,cos31%0.857,

tan31°~0.601.

【答案】4.1米

【分析】

延长2C与DE交于G,过点8作3F1/E于尸，先证明四边形AFEG是矩形，得到AF=GE,zCGD=90°,

再解直角三角形即可.

【详解】

解：如图所示延长3C与。E交于G,过点8作于尸，

■■BFLAE,DELAE,BC\\EF,

.•.四边形物'EG是矩形,

：.BF=GE,Z.CGD=90°,

■■BFABg,m3]°,GO=COgin31°,

DE=DG+GE=DG+BF=(AB+CD)印in31°«9x0,515~4.1^,

二商场一层的高度为4.1米.

3

19.（2021•浙江九年级月考）如图，在及A/BC中,ZC=90°,BC=4,tanB=~.求sin2的值.

4

【答案］sinA=—.

【分析】

根据3/5和5c的值可以求出直角边4C的值，再由勾股定理即可求得45的值，再根据正弦函数即可求得

sinA的值.

【详解】

解：在REA4BC中,

vzC=90°,BC=4,

ACAC3

：4anB=-----

BC丁4

.SC=3,

2

〈ABZuAC+BC,

・・・AB=5,

,BC4

•'•sinA=----=—

AB5

20.(2021•全国九年级课时练习)如图，定义：在比中，锐角a的邻边与对边的比叫做/a的余切,

记作cota,即C2碧|嚏.根据上述角的余切定义，解下列问题:

(1)cot30°=；

3

(2)如上图，已知tan/=：,其中NZ为锐角，贝!Jcot/的值为

4------------

【答案】(1)V3；(2)|

【分析】

(1)根据直角三角形的性质用8c表示出N8及NC的值，再根据锐角三角函数的定义进行解答即可;

(2)由tan/=>=],所以设8C=3x,/C=4x,再根据锐角三角函数的定义进行解答即可.

【详解】

(1)如图,

Rt^ABC,Na=30°,

,-.BC=-AB,

2

AC-YIAB2-BC2=JAB2--AB2=—AB,

y42

ATt-

/.cot30°=—=V3；

BC

故答案为：VJ.

/、,BC3

(2),/tanA=---=—,

AC4

・••设5c=3x,4C=4x,

,AC4x4

cotA==——=—.

BC3x3

4

故答案为：—

21.(2021•全国九年级课时练习)如图，在凡△4BC中，//。3=90。,8，4方于点刀.

(1)若4c=3,4B=5,求tan/BCD的值；

(2)若AD=1,40=3,求tan/5CD的值.

【答案】(1)7；(2)显

【分析】

(1)根据直角三角形的性质得到以。=乙4,根据正切的定义解答；

(2)根据相似三角形的判定定理证明根据相似三角形的性质求出CD,根据正切的定义解

答.

【详解】

(1)-：ZACB=90°,CDLAB,

vZBCD+/B=/A+/B=90°,

,•"BCD=/A,在比△/5C中，

BC=4AB1-AC1=,52—32=4，

,BC4

tanA=-----=—,

AC3

4

tan/BCD=tan4=一；

3

(2)-ZACB=90°,C