解三角形中的最值及范围问题-2025年高中数学一轮复习

第09讲解三角形中的最值及范围问题

（15类核心考点精讲精练）

12.考情探究・

命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较中等偏上，分值为13-15分

【备考策略】1会利用基本不等式和相关函数性质解决三角形中的最值及范围问题

2会利用正余弦定理及面积公式解决三角形的综合问题

【命题预测】本节内容一般给以大题来命题、考查正余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的应用，同

时也结合基本不等式和相关函数性质等知识点求解范围及最值，需重点复习。

II考点梳理）

知识点1基本不等式

考点7角平分线最值及范围问题

核心考点考点8高线最值及范围问题

考点9其他线段类最值及范围问题

考点10外接圆及内切圆半径类最值及范围问题

考点11角度类最值及范围问题

考点12正余弦类最值及范围问题

考点13正切类最值及范围问题

考点14向量类最值及范围问题

考点15叁数类最值及范围问题

知识讲解

1

解三角形最值及范围问题中常用到的关联知识点

1.基本不等式

a〉0,b〉On而2当且仅当a=6时取等号，其中小叫做正数a,6的算术平均数,

22

叫做正数a,6的几何平均数，通常表达为：a+b>24^b(积定和最小)，应用条件：“一正，二定,

三相等”

基本不等式的推论重要不等式

Va,ba*2*4-\-b2>lab

a>0,b>0nab工+(和定积最大)

4当且仅当。=6时取等号

当且仅当。=6时取等号

2.辅助角公式及三角函数值域

形如y=asinx+bcosx,(«>0)=^tz2+b2sin(x+^)>其中tan。=一，

对于y=Zsin(ox+°)+/z,y=Zcos(@x+9)+/z类函数，A叫做振幅，决定函数的值域，值域为[一4力]，

有时也会结合其他函数的性质和单调性来求解最值及范围

3.三角形中的边角关系

(1)构成三角形的条件是任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边

(2)在三角形中，大边对大角，小边对小角

(3)在三角形中,边角以及角的三角函数值存在等价关系：

即。>604>3osinZ〉sin8ncosA<cosB

注意：在锐角AA8C中，任意一个角的正弦大于另一个角的余弦，如sinZ〉cos5。

事实上，由Z+B〉工nN〉工—8nsinZ〉sin[°—B]=COS8,即得。由此对任意锐角A48C,

22(2J

总有sin/+sin5+sinC>cosA+cosB+cosCo

考点一、面积类最值及范围问题

典例引领

1.(2024・上海•三模)已知“8c的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且6a=2csirU.

⑴求sinC的值;

(2)若c=3,求A48C面积S的最大值.

【答案】(1)必

2

(2)也

4

2

【分析】（1）由正弦定理即可得sinC="；

2

（2）由余弦定理结合重要不等式可得仍取值范围，再由三角形的面积公式其力0=；。/苗（？可求出面积的

最大值.

【详解】（1）由题意可知，6a=2csinA,

由正弦定理得GsinZ=2sinCsin力，

因为4CG（0,7i）,所以sin/wO,

即sinC=-

2

（2）由（1）可知sinC=且，

2

所以。=1或。=今.

33

在中，由余弦定理得

AB2=AC2+BC2-2ACXBCCOSC,

当。=巴时，c=3,

3

9=b2+a2-lab•—=b2+a2-ab>lab-ab=at,

2

当且仅当。=b=3时取等号，即仍49,

故^ABC的面积S“Be=；〃bsinC=~~ab49f.

兀

当C=午2时，c=3,

9=+/+2ab•—=b2+a2+ab>2ab+ab=3ab,

2

当且仅当。=6=百时取等号，即/（3,

故^ABC的面积SAABC=-^absinC=^-ab

综上所述，的面积最大值为也.

4

2.（2024・河北•模拟预测）在锐角“3C中，a,b,c分别是角48,C的对边，ctan5=（2a-c）tanC.

（1）求3；

⑵若6=6,求的面积S取值范围.

【答案】（呜；

3

西3y5

（2）3,丁

【分析】（1）利用ctanB=（2a-c）tanC进行化简，可求cosB,进而可求8；

（2）由正弦定理及三角恒等变换化简可得S=X）sin2/-巴+叱，结合锐角三角形得到?</<弓，根据

2I6J462

正弦函数的性质即可求解.

【详解】（1）因为ctan8=（2a-c）tanC,所以包0

cosBcosC

根据正弦定理可得sinCsin8cosc=（2sinA-sinC）cosBsinC.

因为Cc（O,兀），所以sinC〉0,

所以sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB=2siny4cosB-sinCcosB,

所以sinBcosC+sinCcosB=2sin/cosB,即sin（B+C）=2sin4cosB.

因为B+C=7T—Z,所以sin（兀—Z）=2sin4cosB,即sin/=2sin/cosB.

因为/£（0,兀），所以sin/>0,所以cosB=；.

因为BW（O,TI）,所以5=半

a_c_b_V3

（2）由正弦定理得sin4sinCsin5百，

所以a=2sinZ,c=2sinC.

所以S=—acsin5=^-ac=-2sinC=A^sin^sinC

244

=V3sin4sin|A+—

枢1-cos2A

=——sin2A-\——sinAcosA=-sin24

2224

=—sin24------cos24H------=——sin2.A.-—cos2A

4442224

因为。3c是锐角三角形,

Q<A<-Q<A<-

所以之，即2解得？</</

八「兀八2兀62

4

LLt、1兀c,兀5兀LLl、r-I2兀'fl-.

所以；＜24—所以sm24一：£不1,

666I6八2」

山Z拒.（c，兀）V3（石36]

2（6）4[24J

（RT.

所以。8c的面积S取值范围为一,*.

I24J

3.（2024・辽宁・模拟预测）如图，在平面内，四边形/BCD满足5,。点在/C的两侧，AB=1,BC=2,AACD

为正三角形，设N/3C=a.

7T

（1）当a=§时，求/C；

（2）当。变化时，求四边形48co面积的最大值.

【答案】（1）6

（2）2+—

4

【分析】（1）在A/L8C中，由余弦定理可得/C的值；

（2）由余弦定理可得AC?的表达式，进而求出正三角形/CD的面积的表达式，进而求出四边形/8CD的

面积的表达式，由辅助角公式及&的范围，可得四边形面积的范围.

【详解】（1）因为N5=l,BC=2,B=,

由余弦定理可得：AC=ylAB2+BC2-2AB-BCcosB=^+4-2xlx2x^=43.

（2）由余弦定理可得NC2=NB2+3c2-2/5-3Ccosa=l+4-2xlx2cose=5-4cosa,

因为ANCD为正三角形，所以Z/CD=手工。2=竽-Gcosa,

S^ABC=—AB•BCsina=—x1x2sina=sina,

所以S四边形ZBCD^SAABC+S„ACD=sina-班cosa+—=2sin

71

因为ae（O,7t）,所以a-^e

5

所以sin[a-；

G-FT

[V3,5行

所以$四边形4BO）e—,2+——,

44

多时，四边形/8CD面积的最大值为2+%回.

故当

64

4.（23-24高三上•江西抚州•阶段练习）已知在平面四边形48co中，AB=BC=CD=1,AD=2.

(1)求2cos/-cosC的值;

⑵记AABD与MBD的面积分别为E和尾，求皮+S-的最大值.

【答案】（呜3

31

⑵z——

32

【分析】（1）在和△BCD中利用余弦定理表示出助2,即可得到方程，解得即可;

（2）利用三角形的面积公式表示出皮+国，然后结合上一问条件求解.

在中，由余弦定理可得AD?=48?+/》一24g.4Dcos/=5-4cos/,

在Z\BCD中，由余弦定理可得BD-=BC2+CD2-2SCCZ)cosC=2-2cosC.

一3

所以5-4cos/=2-2cosC,即2cosA-cosC=—.

2

(2)依题意=!/32./。25苗24=5诒〜，=-BC2-CZ)2sin2C=-sin2C,

444

所以S；+S；=sin2/+；sin2c=1-cos?/+cos2C

,2,1,3丫

=1-cosA-\--------2cosA----

44(2)

、2,3111/13丫31

——2cosAH—cosAH——21cosA—H,

216I8J32

又-1<COS/<1,所以当cosN.时S；+S；取最大值II(此时BD=浮，该四边形符合题意),

6

即S；+S；的最大值为记.

♦即时检测

[_______________________

1.(2024•广东茂名•一模)在AZSC中，内角43,C的对边分别是a,b,c,且加in(2+C)=asin---.

(1)求3的大小；

(2)若。是/C边的中点，且3。=2,求面积的最大值.

【答案】(I"：]

(2)至

3

【分析】(1)借助三角形内角与正弦定理边角转化，结合二倍角公式计算即可得；

(2)借助向量线性运算与基本不等式，结合三角形面积公式计算即可得.

【详解】(1)'：A+B+C-it,■■siib4=sin(5+C),6sin4=asin兀；=acos，，

D

由正弦定理可得sinBsirU=sirUcos—,

2

.nc.BB..BB....B

'：smB=2sin—cos—,「.2sin—cos-sirU=sirUcos—,

22222

,/A,Be(0,7i),siiU0,cos—7^0,sin—=—,即0=4，即8=巴；

222263

(2)依题意，S=—acsinB=——ac,

△AJnJcL24

用+网=2网，腕+网=4,(茄+硝:16,

即a2+c2+2acxcos—=16,

3

即+Q2+〃c=1623ac，当且仅当4=C=勺8时，等号成立，

3

即acV/，.4/8。面积的最大值为述.

32323

ACAD

2.(2024•江苏•模拟预测)在“3C中，点。在边上，且满足今=叱.

BCBD

(1)求证：ZACD=ZBCD；

(2)若tan/+tan8+J5tan/tan3-C=0，CD=2,求AA8C的面积的最小值.

【答案】⑴证明见解析

(2)46

7

AD

r八ACBC4十a…EF/13sinN/DCsinZBDC

【分析】（1）因为工厂="，所以­=诉，由正弦定理可得..℃=.“cn，则可得

BCBDADBDsmZACDsm/BCD

sinZACD^sinZBCD,则得4CD=Z8C。；

（2）由tan/+tan8+6tan/tan8-6=0，化简可得tan（N+8）=VJ,则得c=与，ZACD=ZBCD=,

因为SMBC=SKO+SM8，则可得/Cx8c=2（ZC+BC）,再由基本不等式可得“CxBC24，4Cx2C,

即ZCx8C216,则得到AABC的面积的最小值.

【详解】（1）

/CADznACsinZADC

在A/CD中，由正弦定理-------------，得——二---------

sin/ADCsinZACDADsinZACD

在△BCD中，由正弦定理一^—BDBCsinZBDC

-------------，得zn一二---------

sinZ.BDCsinZBCDBDsinZBCD

ACADACBCsinZADCsinZBDC

因为---=---,所以——=——，所以---------=---------

BCBDADBD77sinZACDsinZBCD

因为//。。+/5。。=兀，所以兀一/BOC,

所以sinZADC=sin（兀一ZBDC）=sinZBDC,

所以sinZACD=sin/BCD,

又因为//CO,/BCD式0,互）,且乙4CD+NBCD<TI,

所以NACD=/BCD.

（2）因为tanZ+tan3+V^tan/tanB-C=0,

所以tanZ+tanB=J3（l-tanAtan月）,

tanA+tanB

所以tan（/+B）=

1-tanAtanB

因为0<4+3<兀，所以4+8=三，所以。=71—（N+B）=T,

TT

由（1）知ZACD=/BCD,则N4C7）=NBCQ=—,

3

因为廉”。=/^ACD+SA5CZ），

|27r1IT1TT

所以一x/Cx5Cxsin——=—xACxCDxsin—+—xBCxCDxsin—,

232323

又CD=2,

所以/CxBC=2/C+23c=2（4C+8C）

8

^AC+BC^2s/AC^BC，

所以“Cx8C=2/C+28c=20C+8C)>4^4CxSC,

所以/CX8C216,当且仅当/C=BC=4时等号成立,

所以的面积的最小值为116x1=46.

22

3.（2024・山东济南•二模）如图，已知平面四边形/BCD中，AB=BC=2y/2,CD=2,AD=4.

D

（1）若42,C,。四点共圆，求/C；

⑵求四边形4BCD面积的最大值.

【答案】⑴ZC=3夜

⑵3s.

【分析】（1）在"BC、"CD中分别利用余弦定理表示出AC2,再由四点共圆得到8544。。=-3乙4班7,

即可求出2C；；

1V

（2）由（1）可得cosNNOC-cosN/8C=—,再由面积公式得到sinNNOC+sinN/BC=—，将两式平方再

44

相力口得至l]2-2cos(//OC+N/8C)=结合余弦函数的性质计算可得.

16

【详解】（1）在“8C中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC1-2AB.BCcosZABC

=8+8-2x8-cos^ABC=16-16cos^ABC,

在A/CD中，由余弦定理得：AC2=AD2+CD2-2AD-CDcosZADC

=16+4-2x8-cosZADC=20-16cos/4DC,

因为42,C,。四点共圆，所以Z43C+乙〃)。=兀，因此COS乙4DC=-COSN/BC,

上述两式相加得：2/02=36,所以/C=3收(负值己舍去).

(2)由(1)得：16-16cos乙48c=20-16cos44DC,

化简得cosZADC-cosZABC=-,

4

则cos?Z.ADC-2cosZ.ADCcosZ.ABC+cos2Z.ABC=—①,

16

四边形ABCD的面积S=-AB-BCsinZABC+-AD-CDsinZADC

22

=—x2V2x2csin/ABC+—x2x4sinNADC

22

9

=4{smZADC+sinZABC),

w

整理得sinNADC+sin/ABC=-,

4

c2

贝ijsin2ZADC+2sinZADCsinZABC+sin2/ABC=—@

16

1ic»2

①②相加得：2-2(cos/4DCcos//L8C-sin/4DCsin43。=^-

1_i_v2

BP2-2cos(ZADC+AABC)==-

由于0<//。。<兀,0<//5。<兀，

所以当且仅当ZADC+ZABC=兀时，cos(ZADC+ZABC)取得最小值-1,

此时四边形/BCD的面积最大，由叶^=4,解得S=3b,

16

故四边形/BCD面积的最大值为3近.

4.(23-24高一下•吉林长春•期中)已知锐角三角形43C的内角N,B,C的对边分别为a,b,c,且

y/3ccosA+csin/=血b-

⑴求角C的大小；

(2)若c=2,角A与角B的内角平分线相交于点。，求面积的最大值.

【答案】⑴C=]

(2)T

【分析】(1)利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式化简得到sinC=6cosC,即可得

解；

(2)依题意设4M2=e,由三角形为锐角三角形求出&,在中利用正弦定

理表示NO,即可表示出再由三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算可得.

【详解】(1)因为VJccosZ+csirU=指^＞，

由正弦定理得百sinCcos/+sinCsinZ二道sin3二道sin(/+C),

所以V3sinCcosA+sinCsinA=6sin4cosc+ApsinCcosA，

所以sinCsin/=6sinAcosC，

10

又0<4<兀，得sin4>0,所以sinC=gcosC,即。nC=‘二'=百

cosC

7T

由0<C<兀，解得。=]；

27r1TT

(2)由题意/(218+/。3/=三，ZDAB+ZDBA=~(ZCAB+ZCBA)=-,

27rTT

所以=—，设/Q/B=a,；./ABD=――a,

33

-0<2a<~,XvZABC=Ti---2a=--2a,则0<0—2a<四，

23332U24j

ARAD

在△板）中,由正弦定理可得：

sinZABD

：-S,ABD=^AB-AD-^ma=-x2sinf--cz]sintz

2V3UJ

sina

2.21-cos2a=sin2a+£OS2«-茎

=2sinacosa--^sin2a=sin2a-

233

所以△48。面积的最大值为—.

3

5.（23-24高三上•江西•期末）如图，在△/8C中，AB=BC=2,。为△/BC外一点，AD=2CD=4,记NB4D=a,

ZBCD=/3.

⑴求2cosa-cos6的值;

⑵若△48。的面积为E，△BCD的面积为邑，求S；+S；的最大值.

【答案】（呜3

11

【分析】（1）利用余弦定理，进行转换即可;

(2)根据题意，由⑴知2cosa-cos尸=33,求出取得最大值，最大值为3学1

【详解】(1)在A/AD中，由余弦定理，^BD2=AB-+AD1-?.AB-ADco9,a=2,.Q-i6co9,a，

在△BCD中，由余弦定理，得BD?=BC?+CD?-2BC•CDcos0=8-8cos0,

所以20-16cosa=8-8cosP,

所以8(2cosa-cos夕)=12,

2coscr-cosyff=—.

(2)由题意知E=；/0/。5吊/切。=4$吊夕，S2-1SC-C£>sinZ5C£>=2sin/?,

S；+S；=16sin2a+4sin2^=16(^l-cos2a)+4(1-cos22)

所以,,

=20-16cosa-4cos/3

由（1）知1,2cosa—cos6=一,所以cos/3=2cosa——,cosaG

2

所以S；+S；=20-16cos2a_412coscrI=-32cos2a+24cosa+11

——321cosex—H---->

I8J2

所以当cosa=0e（；l]时，S；+S；取得最大值，最大值为卫.

O<472

考点二、周长类最值及范围问题

典例引领

A

1.（2024•安徽淮北•二模）记。3C的内角4SC的对边分别为a,Ac,已知c-Z^csii?]

（1）试判断春BC的形状；

（2）若c=l,求28C周长的最大值.

【答案】⑴是直角三角形

⑵/+1

【分析】（1）根据题意，求得COSN=2,利用余弦定理列出方程，得到/+62=02,即可求解；

C

（2）由（1）和c=l,得到。=sin/,6=cos/,则"BC周长为1+sinZ+cosN,结合三角函数的性质，即

12

可求解.

・、4h-n▼/、h-nic•24-rzrn•24C—b-.,1-COSA.C—b

【详解】(1)解：由。-6=2csm2u，可得$11127二:一，r所r以——-——二二一

222c22c

1b匚G、J.b

~~~，所以cosA=—,

吗-等22cc

又由余弦定理得回+/-）=2可得/+〃=02,所以C=E，

2bcc2

所以AASC是直角三角形

（2）解：由（1）知，-8C是直角三角形，且。=1,可得。=sinZ,6=cosZ,

所以“Be周长为1+sin/+cos/=1+后sin（4+；）,

._.、r.，八兀、_/r.7T（713兀］

因为ZE］。；!可付力+r［“了J，

所以，当/=£时，即“8C为等腰直角三角形，周长有最大值为及+1.

2.(2024・四川南充•模拟预测)在“3C中，.=C=sm"n'

sin4+sin3sm5+sinC

⑴求A；

（2）若BC=3,求AABC周长的最大值.

【答案】⑴2?兀

(2)3+273

【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；

（2）利用余弦定理及基本不等式求出6+c的最大值，即可得解.

,、4e、，、e、rsinCsinA-sinB,。a-b

【详解】(1)因为一^—―=————,由正弦定理可得--=--，

sinZ+sin8sin8+sinCa+bb+c

即bec2=a2-b2f

由余弦定理cos="-be_1

2bc~2bc~~2

*/Ae(0,7i),A=-.

(2)因为〃=/+-2bccosA=b2+c2+bc=9f

即+_加=9,

-bc<\^^,当且仅当b=c时取等号，

9=(b+c『-Z)C>(Z)+C)2-=-1(/?+C)2,即b+cW2百，

又b+c>a=3,所以3<b+c«26，当且仅当b=c=G时取等号,

13

:.^ABC^^L=a+b+c<3+2y/3,

即“3。周长的最大值为3+26.

3.（2024・湖南常德•一模）已知“3C的内角4SC的对边分别是“ec,且，—=2氏

cosC

（1）判断ABC的形状；

（2）若“BC的外接圆半径为夜,求“3C周长的最大值.

【答案】（1）等腰三角形

（2）376

【分析】（1）使用正弦定理对条件进行边化角，再用三角恒等变换证明3=C；

（2）先用基本不等式证明sin/+sin5+sinCV为5,然后利用正弦定理与外接圆半径的关系可得到

2

a+6+c43«,最后说明等号可以取到，即得结果.

【详解】（1）由正弦定理并结合已知有

・»万.万„./asinB2/?cosCsin5「

sinBcosC+sinCcos8=sin（8+CJ=sinZ=——-——=-----------------=2sin8cosC.

故sin3cosC=sinCcos3,从而sin（5-C）=sin5cosC-sinCcos5=0.

由于民。£（0,兀），从而8-C«-再兀），故由sin（5—C）=0可知8=C,所以々L8C一定是等腰三角形.

（2）设△45C的外接圆半径为K.

一方面，我彳门有sin4+sinB+sinC=sin（B+C）+sin5+sinC

=sinBcosC+sinCcos5+sin5+sinC

_2sin§•6cosC2sinC6cos8

2G+2忑sin屏sinC

sin25+3cos2Csin2C+3cos2B

<+sin8+sinC

2百2也

22

sin28+3-3sin2csinC+3-3sin5.n

-----------------------j=1产---------bsm§+sinC

2V3------------2V3

-^-sin2jS+sin^-^-sin2C+sinC+出

33

i^La+b+c=2R(sinZ+sinB+sinC)W27?•~~~=2后•~~~=36

另一方面，当△力5C是边长为卡的等边三角形时，有a=b=c=娓,A=B=C=^.

14

此时盛¥=26=26,八/7=$=拒，且”+6+c=3行

52-T

所以AABC周长的最大值是376.

【点睛】关键点点睛：值得一提的是，第2小问证明a+6+cW3"时并不需要使用第1小问得到的B=C.若

使用该条件，则sin/+sinB+sinC可化为2(sinBcosB+sinB),然后再利用

sin8•fcos8+疝丘sin至+等七+而g=_3_+3旦亦可得到结果.但这样并未从本质

V326312J4

上减少工作量，反而使解析失去了一般性和启发性，因此本解析不采用此法.

c

4.(2024・山西・三模)已知。8C的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,满足2cosNcosB=2sir?—.

2

(1)试判断“3C的形状；

⑵若"3C的外接圆半径为2,求AABC周长的最大值.

【答案】(1)“3c为等腰三角形

(2)673

【分析】(1)根据题意结合三角恒等变换可得cos(4-B)=l,结合析Be(O㈤分析求解;

(2)利用正弦定理可得AZSC周长£=8sin/+4sin2N,构建函数/(x)=8sinx+4sin2x,xe[o<1],利用

导数求最值，即可得结果.

r

【详解】(1)由题意可知：2cosAcosB=2sin2—=1-cosC=1+cos(A+B)

=1+cosAcosB-sinAsinB,

整理得cos/cos5+sin/sin5=cos(Z-5)=1,

且45£(0,兀)，则/—5£(—71,兀)，可知4—3=0,即/=8,

所以为等腰三角形.

nhc

(2)由正弦定理^——=-——=-——=4,可得。=4sin4b=4sin5,c=4sinC,

sinAsinBsinC

则A_/4BC周长£=Q+b+c=4sinZ+4sinB+4sinC=4sinZ+4sin8+4sin(Z+5),

由(1)可知：A=BE：,

可得£=4sin/+4sin/+4sin2/=8sin4+4sin2/,

构建函数/(x)=8sinx+4sin2x,xG]O,,

贝|J/r(x)=8cosx+8cos2x=8(cosx+l)(2cosx-l),

因为则COSX£(0,1),

15

当时，cosxeQ,lj,则〉0；

当时，cosxe］。,；］,则/'(x)<0；

可知/(x)在(0,1内单调递增，在内单调递减，

则〃x)W/(B=6百，

所以当且仅当“8C为等边三角形时，28C周长取到最大值6G.

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1.(2024高三下•全国•专题练习)在AASC中，内角/,B,C的对边分别为a,b,c,

sin2B+(cosA+cosC)(cosA-cosC)=sin(/+5)sin(/+C).

⑴求/;

(2)设q=47§，求AA8C周长的最大值.

【答案】(1)4=；

⑵12vL

【分析】(1)将原等式转化为角的正弦的齐次式，再利用正、余弦定理求出角/的余弦值即得.

(2)利用(1)的信息，结合基本不等式求解即得.

【详解】(1)在Ay45c中，由511128+仁054+©05。)仁05/-©05。)=5皿/+5)5皿4+。)，

得sin2B+cos2A-cos2C=sin(兀一C)sin(兀-B),即sin2B+sin2C-sin24=sinCsinB,

由正弦定理得〃+C2”2=6C,由余弦定理得cos/="'又/40,兀)，

所以

(2)由(1)矢口，［=1,b2+c2-a2=bc,X(7=4>/3,

31

则43=b2+c2-be=(He)?-36C>(b+c)2——(b+c)2=—(b+c)2,

44

于是b+c<8百，当且仅当6=c=时取等号，

所以AABC周长的最大值为46+86=12百.

2.(2024・湖南衡阳•模拟预测)在"3C中，内角4民C所对的边分别为a,6,c,已知向量五满足

加=出,-#)，万=(瓜帖6),且有

(1)求角A；

⑵若“3C是锐角三角形，且a=3,求“BC周长的取值范围.

16

【答案】或%

⑵（3+3封9]

【分析】（1）由而，K得到2a•&sinS=痘，再利用正弦定理求解；

（2）根据a=3和4=],利用正弦定理得到外接圆的半径，然后由6+c=6sin153求解.

【详解】1）解：:加，

**•2a•gsinB-y/6b=0,即2。•6sinB=46b.

由正弦定理得2sinZsin3=V5sinB.

/?

VsinS^O,Ain^=—,

S2

*.*4w(0,兀),，4=§或§兀.

（2）・・・〃=3,且三角形45。为锐角三角形,

.•・/=

ab_c

由正弦定理得sin/sinBsinCV3

T

b=2Gsin5,c=26sinC.

6+c=26(sin5+sinC)=273sinB+si

=2A/3sinSd-----cos5+—sin5

22

=2V3x——(Gsiri5+cosB)=3x2——sinB+—cosB=6sinIB..

~I22

7T

又•••”BC为锐角三角形，.•.0<B<彳，

2

3262363

2^<sin(8+2)41,3A/3<6sin^5+—^<6,

3A/3<b+c<6,又,；a=3,

••3+3\/3<a+6+cW9.

AA8C的周长的取值范围为(3+36,9].

3.(2024•四川绵阳•模拟预测)已知在“3C中，。为3c边的中点，且40=。.

17

⑴若端3C的面积为2,cosZADC=，求5；

5

(2)若452=18,求一台。的周长的最大值.

【答案】(1)2

4

⑵10

【分析】(1)根据题意，利用三角形的面积公式，求得80=1,由余弦定理，求得4B=2及,再由正弦定

理求得sinB=4Z,进而求得3的值；

2

(2)设CD=BD=x,分别在△/8D和中，利用余弦定理，列出方程求得x=2,结合

(AB+AC)2<2(AB2+AC2),即可求解.

【详解】(1)解：因为的面积为2,且。为3c的中点，

可得反的=g|AD||AD卜in/4D8=l,

又因为sin/405=sin//。。=---，可得50=1,所以BC=2

5

在/\ABD中，由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD-BD-cosZADB

=(V5)2+l2-2xV5xlx^=8，所以48=2收，

ABAD/目V2

由正弦定理.n，可得sinB=——

sinZADBsinB2

因为ZADC+ZADB=兀且cosAADC=—

5

可得cosZADB=cos（7T-ZADC）=-cosZADC=-,<0,

TT

即//D8为钝角，所以3为锐角，所以8=?.

4

(2)解：设CD=BD=x,分别在△48。和A/CD中，

由余弦定理AB2=AD2+BD2-2AD-BD-cosAADB，

SPAB2=x2+5-2x-45cosZADB,同理可得/C?=工？+5+公•君cosZADB，

所以482+/c2=2(/+5)=18,可得x=2,

又因为(N3+/C)242(/4+/。2)=36,当且仅当=时，等号成立，

所以4B+