解三角形五类题型-2025年高考数学冲刺大题专项练习（解析版）

专题01五类解三角形题型

2025年高考数学大题秒杀技巧及专项练习(解析版)

解三角形问题一般分为五类：类型1：三角形面积最值问题；

类型2：三角形周长定值及最值；

类型3：三角形涉及中线长问题；

类型4：三角形涉及角平分线问题

类型5：三角形涉及长度最值问题。

类型1：面积最值问题

技巧：正规方法：面积公式+基本不等式

2

(1)<S-^absinCa=2abcosC+c~>2ab^>ab<—,-----------r

a2+b~-c2=2abcosC2(1-cosC)

1

S=—cicsinB22cr»/b2

2+c=2accosB+b>2ac^>ac<—；----------r

222

a+c-b=2acCOsB2(1—cos引

222

(3)<$z^/7+c=2/?ccosA+tz>2bc=>bc<—y-------、

b1+C1-a1-2bccosA2(1-cosA)

秒杀方法：

在AA5C中，已知5=6,AC=x

।(A5+BCymax.

则n：^cMBCmax=-——J—D

O

其中(AB+3C)max=2氏1府+2mncos6加，〃分别是R4、5c的系数

2-

面积最值问题专项练习

1.44BC的内角A,B,C的对边分别为a,》,c,c=2(acosC-，)，c2+a2=b2+y/iac,6=2.

⑴求A；

IT

⑵若在线段BC上且和&C都不重合，ZMAN=],求AAWN面积的取值范围.

【答案】(1)5

^3^3

⑵

~T'~2

7

【详解】（1）由c=2（acosC-＞）得2acosC=c+26,由正弦定理得

所以2cosAsinC+sinC=O,又因为C«。，兀），所以sinCVO,

所以cosA=—],又A£（0,71）,所以A=万~,

(2)由+“2=+6QC,得—〃=6时，由余弦定理知COSB='"----—=，

2ac2

又因为兀），所以8=9

o

JT

所以。=兀—A—5=:，所以b=c=2,如图，设NBAM=a,

6

TTSjrjr

则NCAN=——a,/BMA=——a,ZCNA=-+a,

362

•“csinB61

在AABM中,由正弦定理可知人知=嬴商港=下「二不「

sin------asin—+a

I6）（6

C•兀

2sm—

…Z?sinC61

在△4VC中,=

由正弦定理可知AN=嬴N丽.(71cosa

sin—+a

12

L-sin巴

S=-AM-AN-sinZMAN=-百

故“AMMNN22cosa3

4sina+-\cosa

I6

_________y/3____________________V|_________

2^A/3sinct+coscosa2^/3sinacosa+2cos2a

岛in2c+cos2a+l2sin,+j+l'

因为所以B<2a+g〈学，所以:<sin(2a+VI,

V3J6662I6J

<口无<____B____<正

所以2<2sin2a+z+1W3,所以3一0.乙兀U2，

I6)2sinl26Z+—1+1

7

2.已知AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若J§csin8=a-6cosC.

⑴求B；

（2）^DC=AD,BD=2,求44BC的面积的最大值.

【答案】⑴m

0

⑵8-

【详解】（1）由题意，

在AABC中，y/3csmB=a—bcosC,

・・〃

•-----=---b---=----c--,A+5+C=兀

sinAsinBsinC

73sinCsinB=sinA-sinBcos。，即6sinCsin3=sin（3+C）—sin3cosC,

:.^A/3sinB-cosBjsinC=0,

sinCw0,0<B<7i

V3sinB-cos3=0,可得tanB=，解得：B=j

36

（2）由题意及（1）得

jr

在AABC中，B=~,DC=AD，BD=2,

6

。为边AC的中点，4|BD|2=4x22=16

UUWUUULU

2BD=BA+BC,

：.4（BD）2=（BA+BC）2=（BA）2+2BA-BC+（BC^,即

4|BD|2=|BA|2+2|BA||BC|COSB+|B^2=16,

设,A|=C,pc|=a,贝Ua?+/+/+百ac=162（2+6）4c,

所以或石=32T6后，当且仅当a=c时，等号成立.

ABC=^ACsinB=—ac<S—4\/3,当且仅当a=c时，等号成立，

AABC的面积的最大值为8-46.

3.在“BC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且2asinA=（2b-c）sinB+c（2sinC-sinB）.

⑴求A;

（2）点D在边3c上，且BD=3OC,AD=4,求AABC面积的最大值.

【答案】（1）A=]

0、64>/3

9

【详解】(1)v2tzsinA=(2Z?-c)sinB+c(2sinC-sinB),

2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,

即

Ae(O,^-)

・•・A=~,

3

_____,__,____3__,i__.3__

(2)根据题意可得茄=须+豆5=4§+-比=一瓶+—XS,

444

1QQTT

所以平方可得16=白02+3〃+/ccosg.

Io1683

256

又256=c2+9b2+3bc>9bc,所以。。工,

当且仅当b=电@,c="@时，等号成立，

93

所以S=Lsin为L变、3二处1

232929

即“1BC面积的最大值为史i.

9

4.AABC的内角A,5,C的对边分别为〃"，c,已知。=2(acosC—，)，c2+a2=b2+^3ac,

b=2.

⑴求A；

TT

⑵若M是直线BC外一点，ZBMC=~,求△BMC面积的最大值.

兀

【答案】⑴g2

(2)373

【详解】(1)由c=2(acosC—6)得2acosC=c+2Z?,

由正弦定理得2sinAcosC=sinC+2sinB,

因为sinB=sin(兀-A-C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

所以2cosAsinC+sinC=0.

又因为。£(0,兀)，所以sinCwO,

所以cosA=一‘.

2

因为Ae（O,兀）,所以A=手.

(2)由+。2=/得/+。2一/=,

c2+a2-b2_6

故cosB

lac2

因为3e(0,7t),所以8=2,

o

TT

所以C=7i—A—5=：,可得b=c=2.

6

2x3

根据正弦定理三可得，a=3=—=2技

smAsinBsin3j_

2

设BM-m,CM=n,

jr

在△BMC中，ZBMC=~,

由余弦定理可得〃=疗+n--2mncos—=m2+n2—mn=12.

所以12=疗+“2_>2mn—mn=mn，

当且仅当根=77=2石时取等号，

所以wz<12.

所以SAMBC=mwsinj='mn<乎xl2=36■

故△BMC面积的最大值为3#)■

5.在44BC中，角A,B,C对边分别为a,b,c,(sinA+sinB)(a-b)=c(sinC-sinB),D

为BC边上一点，AD平分NBAC,AO=2.

⑴求角A；

(2)求AABC面积的最小值.

【答案】⑴力=*

(2)|V3

【详解】(1)由(sinA+sin5)(a—8)=c(sinC—sin5),可得(a+b)(a—b)=c(c—〃),

整理得Z72+02—="，则cosA=1十°——=-^-=—,

2bc2bc2

又0cA〈兀，贝!jA=g.

(2)过点。作OE1AC于E,作于忆

TT

y.^OAC=ZDAB=-,AD=2,贝!江=Z)E=1,

6

则=1&csinA=1(Z?+c)-l,

贝U其c=20+c),又b+cN2痴(当且仅当6=c时等号成立)，

16

则其c24痴，贝!|bcN可，

则(当且仅当』时等号成立)，

4L

则“13C面积的最小值为耳6.

，C

"F力

6.在①m=(2a-c,b),n=(cosC,cosB),mlIn;②bsinA=acos〔B-野；③

(a+b)(a-b)=(a-c)c三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.在“IBC

中，内角A,8C的对边分别是°,6,c,且满足.注：如果选择多个条件分别解答,

按第一个解答计分.

⑴求角8；

⑵若6=2,求"RC面积的最大值.

【答案】⑴2

⑵6

【详解】(1)解:选①：因为机=(2〃—c,，)，n=(cosC,cosB)

由正//K可得(2a—c)cos3-。cosC=。，

由正弦定理得:(2sinA-sinC)cosB—sinBcosC

=2sinAcosB-(sinCeosB+sinBcosC)=2sinAcosB-sin(B+C)=0,

因为B+C=71—A,可得sin(3+C)=sinA,所以2sinAcos5—sinA=0,

又因为Aw(O,»),可得sinA>0,所以cos5=；,

因为5w(0,»),所以3

选②：因为bsinA=〃cos(3-,

由正弦定理得sinBsinA=sinA-cosB+—sinB),

又因为Ac(。,万)，可得sinA>0,贝!]51113二避<053+!$1118,

22

BP-sinB=迫cosB,可得tan3=6，

22

因为Be(0,m,所以8

选③：因为(a+b)(a—b)=(a—c)c,可得6+/一〃=农，

由余弦定理得cosB==旦=!，

2ac2ac2

又因为Be©》)，所以

(2)解:因为B=g,且6=2,

由余弦定理知b2=a2+c2—2accosB,即4=+c?—2℃cos§,

可得片+0?-“c=4,

又由a?+<?2-acN2ac-ac=ac,当且仅当时，等号成立，

所以acV4,

所以AABC的面积,曲；=^-«csinjB<^x4xsin-|-=V3,

即AABC的面积的最大值为

类型2：三角形周长定值及最值

类型一：已知一角与两边乘积模型

第一步：求两边乘积

第二步：利用余弦定理求出两边之和

类型二：已知一角与三角等量模型

第一步：求三角各自的大小

第二步：利用正弦定理求出三边的长度

最值步骤如下：

第一步：先表示出周长/=a+b+c

第二步：利用正弦定理a=2RsinAS=2火5也5,。=2火5达。将边化为角

第三步：多角化一角+辅助角公式，转化为三角函数求最值

周长定值及最值问题专项练习

7.在锐角三角形AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,⑸为C?在而方向上的

投影向量，且满足2csinB=^|丽

⑴求cosC的值；

(2)若=a=3ccosB,求AABC的周长.

【答案】(1)&

⑵0+2有

【详解】(1)由国为国在B方向上的投影向量，贝"前|=bcosC,即2csin2=®cosC,

根据正弦定理，2sinCsin8=>/^sinBcosC,

在锐角AABC中，Be[。，')则sinB>0,即2sinC=J^cosC,

由Ce]o,1^|,则cc^C+sin2c=1,整理可得cos?C+；cos2c=1,解得cosC=|.

(2)由。=3ccos5,根据正弦定理，可得sinA=3sinCcosB,

在AABC中，A+B+C=TT,则sin(5+C)=3sinCcosB,sinBcosC+cosBsinC=3sinCeosB,

sinBcosC=2sinCeosB,

2

由（1）可知cosC=1,sinC=A/1-COS2C=,则sin5=6cosB,

3

由sin?B+cos?3=1,贝15cos23+cos?5=1,解得cos5=^^,sinB=

66

b贝Jc=sin：j,〃=逅0=6,

根据正弦定理，可得一二

sinBsinCsmB2

故AABC的周长6枷=。+人+。=26+血.

8.如图，在梯形ABC。中，AB!/CD,NO=60。.

(1)若AC=3,求人48周长的最大值；

(2)若CD=2Afi,/BCD=75。，求tanNZMC的值.

【答案】⑴9

⑵3+石.

【详解】(1)在AACD中，AC2=AD2+DC2-2AD-DCcosD=AD2+DC2-ADDC

=(AD+DC)2-3ADDC>(AD+DC)。-3[仞；-,=(A£);CD)2,

即9^(4。+CD>，解得：AD+DC46,当且仅当AD=OC=3时取等号.

4

故AACD周长的最大值是9.

(2)设NZMC=a,贝!]ZDG4=120°—口，ZBC4=a-45°.

CDAC

在AACD中,

sinasin60°

AB_AC2sin(a45。)_sin105°

在△羯CP中，~~7/——~Ineo，两式相除得,

sin(a-45°)sin105°sinasin60°

&十6

因为sin105。=sin(45°+60°)=sin45°cos600+cos45°sin60°=

4

2点

(V6-母)sina=2^6cosa,故tanADAC=tana=—；=---产=3+^3.

V6-V2

9.已知AABC的面积为S,角A3,C所对的边为a,6,c.点。为的内心，8=2百且

5=乌/+,2一/).

4

(1)求B的大小；

⑵求MOC的周长的取值范围.

【答案】⑴B=]

【详解】(1)因为5=3(/+,2-〃)=j_acsinB,

42

所以YEx2accosB=』acsinB,即J^cosB=sinB,可得tanB=J^,

42

因为Be(0,it),所以B="|.

(2)设AAOC周长为/,ZOAC=a,如图所示,

A

因为点。为AABC的内心，Q4,OC分别是NA,/C的平分线，且8=(,

所以ZAOC=?2兀,

OA0C273

在AAOC中，由正弦定理可得一?=而£=一^^，

sin(j-cr)sin—

所以/=OA+OC+AC=4sina+4sin(三一a)+2-J3=4sina+4(^-cosa-sinor)+2也

=2sina+2>/3cosa+2-43=4sin(a+])+2G,

因为ae(0g),所以a+^e(],/可得sin(a+])e[等,11,

可得AAOC周长Z=4sin(a+])+26e卜6,4+2百].

10-在锐角的0中，角4-C所对应的边分别为a,b,c,已知畸詈=嚼.

⑴求角8的值;

（2）若a=2,求VRC的周长的取值范围.

【答案】（1）5

0

⑵(3+后2+2@

sinA-sinBsinCa-bc

【详解】（1）,由正弦定理得:

6a-ca+ba+b

即a2+c2-b2=>/3ac，

由余弦定理得：cosB=g±互=/竺=立,

laclac2

因为3«0,兀）,

所以8=3

O

(2)锐角44BC中，a=2,B=y,

6

2_Z?_c

由正弦定理得：sinAsin至sinC，

6

故712sinC(6JV3sinA+cosA,

b=------,c=---------=-----------------=---------------------

sinAsinAsinAsinA

1।1

则6+c=』sinA+cosA+l=』+、J=』+1+Vl+tan2A

sinAtanAtanA

=73+—1—+./-^^+],

tanAVtanA

因为锐角AABC中，B=?

o

故0+ce(l+6,2@,a+6+ce(3+6,2+2@

所以三角形周长的取值范围是(3+括,2+2看).

11.在AABC中，角A,2,C的对边分别是&c,(a-c)(a+c)+/2(/?-a)=0.

⑴求C；

(2)若c=6，AABC的面积是且，求“LBC的周长.

2

【答案】⑴*

⑵3+技

【详解】(1)由题意在AABC中，(a—c)(a+c)+b(〃-a)=。,

^a2+b2-c2=ab,故cosC-十，一。」,

2ab2

jr

由于Ce(0,7t),所以C=g.

(2)由题意AABC的面积是3，C=g,即SABc=LabsinC=Y^4b=4^,，ab=2,

23"ABC242

由c=y/3，c2=cr+b2-2而cosC得3—ci~+b~—ab—(a+b)°-6,a+b=3,

故AABC的周长为a+b+c=3+A/3.

类型3：三角形涉及中线长问题

①中线长定理：(两次余弦定理推导可得)+(一次大三角形一次中线所在三角形+同余弦

值)

人如：在ZVLBC与AABD同用cosB求AD

DC2

②中线长常用方法

A

cosZADB+cosZADC=0

③已%M3+A己一菽t方的范围

VAB+AC为定值，故满足椭圆的第一定义

半短轴WAOV半长轴

三角形涉及中线长问题专项练习

12.在44BC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且匕=7,c=5.

7

(1)若sinB=7，求cosC的值；

o

⑵若BC边上的中线长为&T，求a的值.

【答案】⑴叵

8

(2)8

b_c

(1)由正弦定理.-csinB5

sinBsinC/.sinC=------

b78

又b>c,若C为钝角，则B也为钝角，与三角形内角和矛盾，故Ce]o，W

(2)取BC边上的中点。，则AO=J五，设8D=x

S+m-AB?21+--5?-4+尤2

在AABD中，利用余弦定理知cosZADB=

2ADBD2yf21x2A/21X

AO?+CO?-AC?_21+炉-7。_-28+Y

在AACD中，利用余弦定理知cos/ADC=

2ADCD2A/21X2A/21X

又ZADB+ZADC=7t,贝!JcosZADB+cosZADC=0

即-4+X2—28+x2

2A/21X+2%x=0,即2/_32=0,解得x=4

又a=2x=8

故a的值为8.

13.在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=0,6=正,c=l.

(1)求sinA,sinB,sinC中的最大值;

⑵求AC边上的中线长.

【答案】⑴最大值为sin5=]

⑵？

【详解】(1)A/5>\/2>1,故有b>a>cnsinB>sinA>sinC,

(^)2+l2-(V5)2_72

由余弦定理可得cos8==

2x0x1—2'

又如。㈤，故=4

­.1-.—.

(2)设AC边上的中线为30,则3。=](84+3。),

(2BD)2=(BA+BC)2=c2+a2+2cacosB=l2+(V2)2+2xlxV2xcos—=1,

4

.■—.\B►D\1=^,即AC边上的中线长为31.

14.在“LBC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,且满足J§&sinA=acosB+a.

⑴求角3的值;

⑵若c=8,44BC的面积为20A/L求8C边上中线的长.

【答案】（1）三

(2)7

【详解】(1)解：由正弦定理得GsinBsinA=sinAcosB+sinA,AG(0,TI),

sinAw0

则sin/4]=；,

/.6sinB=cosB+1,BG(O,7T),

-4

(2),/S=-6zcsinB=2073,c=8,/.tz=10,

2

由余弦定理AO之++出-2x|accosB=64+25-40=49,

得AD?=49,:.AD=7,

15.如图，在AABC中，内角A、2、C的对边分别为a、b、c.已知b=3,c—6,sin2C=sinB,

且A。为BC边上的中线，AE为NA4C的角平分线.

⑵求及4。£的面积.

【答案】(l)cosC=J,BC=6

后

8

【详解】(1)sin2C=sinB,•*.2sinCcosC=sinB,/.2ccosC=b,cosC=—

zy2_i_g_3A1

由余弦定理得cosC=J°=±na=6(负值舍去)，即BC=6.

6a4

(2)VcosC=—>0,Cef0,^,sinC=SABC=-CA-CB-sinC=^^~,

4I2J4A/IDC24

〈AE平分NBAC,sinZBAE=sinZCAE,

BE_A5CE_AC

由正弦定理得:

sin/BAEsinZAEBsinZCAEsinZAEC

其中sinNA£B=sinNAEC,

・空=殷=』。lc

,,ACCE△谢=3AABC'

为BC边的中线，..•％Wc=gs®；c，

・q_c_c_J_q_3^/^

**^Z\ADE=^AADC-,^AAEC=T^AABC=Q'

oo

2万

16.在AABC中，44=丁，AC=2,,点D在AB上，CD=3g.

⑴若。为中线，求AABC的面积；

⑵若。平分/ACB,求BC的长.

【答案】⑴9-3君

⑵6

⑴解：由余弦定理得CD?=AC2+Ar>2—2・ACA£)・cosA,

...(3V2)23=(2^3J"+A£>2-2x273xA£>x,解得A£)=--±3(负值舍).

所以，AB=2AD=6-2y/3,

故Lsc=JAB-AC：、(6-2省卜2。¥=9-33

(2)

CDAC3'J^_2百r-

解：由正弦定理得‘三=.,即其「sinaWC，解得sin/ADC=±.

sinAsinZADC—2

2

XZA=—,则/AZ)Ce(0,工］,:.ZADC=-,:.AACD=7r.

3I3J43412

IT

又。。平分NAC3,则NAC5=2/ACQ=—.

6

2万TTTT

所以，ZB=^------=则ZB=ZACB,故A3=AC=2A/L

366

由余弦定理得

BC2=AB2+AC2-2ABAC-cosA=(2⑹°+R岛-2x273x2^3xj=36.

因此，BC=6.

17.在①>/1inC+V^cosC)；②asinC=csin；③acosC+gc=。，这三个条件

中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.在44BC中，内角A,B,C的

对边分别为。，b,c.已知.

⑴求角A；

(2)若b=l,c=3,求8C边上的中线AZ)的长.

注：若选择多个条件分别进行解答，则按第一个解答进行计分.

【答案】(1)任选一个，答案均为会

(2)叵.

2

(2)在Z\ABD和△ACD中分别应用余弦定理后相加可得AD.

【详解】(1)选①岛=Q(sinC+指cos。)，

由正弦定理得sinB=sinA(sinC+^3cosC),

V3sin(A+C)=sinAsinc+^3sinAcosC,

^3(sinAcosC+cosAsinC)=sinAsinC+^3sinAcosC,

百cosAsinC=sinAsinC,二角形中sin。。。，所以tanA=百，又Aw(。,1),

所以A=?；

选②〃sinC=csin史＜•

-2

由正弦定理得sinAsinC=sinCsin'十。=sinCcos-三角形中sinCwO,

2

AA1

所以2sin—cos—=cos—又三角形中cos丁0,所以s呜V，Ae(0㈤,

222

所以g=即A=g；

263

选③QCOSC+』C=b,

一2

由余弦定理得'=整理得"+/一储=历,

2b2

所以cosA="+：；一/二,而Ae(0/),A=J；

2bc23

(2)由(1)a1=b2+c2-2Z?ccosA=l+9-2xlx3cos—=7,a=Jl,

3

由余弦定理得：b1=AD2+CD2-2AD-CDcosZCDA

c2=AD2+BD2-2ADBDcosZBDA,又BD=CD,cosZCDA=-cosZBDA,

所以〃+0?=2AD2+BD2+CD2=2AD2+-a2,

2

所以步=91+9_葭7)=；,AD=叵.

2242

类型4：三角形涉及角平分线问题

张角定理

如图，在AA3C中，D为BC边上一点,连接设A£>=/,/BAD=a,NCAD=0

』.sin(cr+£)sinasinB

则nrl一定有一',-=-----+--

Ibc

三角形涉及角平分线问题专项练习

18.设a,6,c分别是AABC的内角A,B,C的对边，(sin3-sinC)b=(a-c)(sinA+sinC).

(1)求角A的大小；

(2)从下面两个问题中任选一个作答，两个都作答则按第一个记分.

①设角A的角平分线交8C边于点且45=1,求AABC面积的最小值.

②设点。为BC边上的中点，且AT>=1,求AABC面积的最大值.

【答案】(1)A=?;

⑵①g②£

【详解】(1)V(sinB-sinC)Z?=(d!-c)(sinA+sinC),

(b-=(a—C)(Q+C),即b2+c2—a2=be

b2+c2-a2be_1

cosA=又Ae(O,%),

2bc2bc~2

/.A=-；

3

(2)选①平分NBAC,

1n

：.ZBAD=ZCAD=—NBAC=-,

26

BDC

•S^ABD+S^ACD=^AABC，

；.^AB-ADsinZBAD+^ACADsinZCAD=^b-c-sinA,

gpcsinJ+/?sin9=bcsinW，

o63

***c+b=y/3bc

由基本不等式可得：

6bc=b+c>2>Jbc,

/.bc>^,当且仅当b=c=空时取

33

S4e=3bcsinA=当bcN号,

AB

即"WC的面积的最小值为也；

3

②因为是8c边上的中线，

在AADB中由余弦定理得cosNADB=

2x-|xl

在AADC中由余弦定理得cosZADC=⑷--------

2x|xl

*.*cosZADB+cosZADC=0,

22

,\^-+2=b+c,

在AABC中，A=|,由余弦定理得〃=〃+/—灰，

**•4—bc=b2+c2

***4—bc=b2+c2>2bc,

解得6c42，当且仅当b=c=2®时取“=”，

33

所以SAABC=/csinA=中•历4坐,

即AABC的面积的最大值为".

3

19.在锐角三角形ABC中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且

出出

csinB+^-/7cos(A+B)=-^-Z?.

(1)求角。的大小;

Q)若c=6,角A与角B的内角平分线相交于点。，求△ABD面积的取值范围.

【答案】(呜

’3-6亚

⑵4，7

【详解】（1）解：：csinB+16cos（A+B）=[■b,

由正弦定理可得：sinCsinB+^-sinBcos（A+B）=-^-sinB,

sinCsinB-sinBcosC=sinB,

33

*.*sinB0,sinC-^-cosC=2^,

33

.・.sin（c—Vg,：C为锐角,

7171

,1•c4e•--=-n

7,C66

(2)解：由题意可知=设乙。"=。，：.ZABD=^-af

n71

9：0<2a<-,又•.•8=2aaG

22

ABAD

在△ABD中，由正弦定理可得:

sinZADB~sinZABD'

AD

71a

即：.2兀.,/.AD=2sin~~

sin二sin

3

SAARC=—AB-AD-sincr=—xV3x2sin--asintz

Z-XnDL>223J

3.如sir?a=正力

=—sincrcoscr-sin]2a+?

222一彳'

九71712〃

VaG,2aH—£

1257633

下）（3-g73

sin12a+?

sin26z+—G----------------C,----------------------------------

I6244'4'

叵

・・・三角形面积的取值范围为

‘4.

20.已知疑。的三个内角A,B,。的对边分别为。，b,。满足

(Z?cosC+ccosB)sinB+A/3Z?COSA=0.

(1)求A;

(2)若c=2,a=2yf3,角B的角平分线交边AC于点O,求3。的长.

O-jr

【答案】(1)—；(2)^6.

【详解】(1)由正弦定理化边为角可得：

(sinBcosC+sinCcosB)sinB+6sinBcosA=0,

即sin(8+C)sin3+gsin5cosA=0

所以sinAsinB+6sinBcosA=0,

因为sin5w0,所以sinA+册cosA=0

即tanA=-A/3.

因为OvAvu,所以

(2)在AABC中，由余弦定理得a?=〃+/—2〃ccosA,

代入数据可得：12=/+4-26、2，［-；］即12=62+4+26.

解得：6=2或b=-4(舍).

7T

所以b=c=2,所以8=。=^,

O

JT

在中，由30是/ABC的角平分线,^ZABD=—,

12

则/4。3=无一/一方71

4

BD

ABBD口口----

在△ABD中，由正弦定理得:------------=------------EP.71.2K

sinZADBsinABADsin—sin—

43

2xsin®2x6

可得：BD=32=76.

.71

sin—

42

21.已知44BC的内角A3,C的对应边分别为”,b,c,且有

>/3cosA(ccosB+Z?cosC)+asinA=0.

(1)求A；

(2)设AD是"3C的内角平分线，边b,c的长度是方程*-6x+4=0的两根，求线段AD

的长度.

【答案】(1)A=?2万；(2)AD=12.

【详解】(1)由正弦定理得：V3cosA(sinCcosB+sinBcosC)+sin2A=0,

即6cosAsin(8+C)+sin2A=0,Xsin(B+C)=sin(^--A)=sinA,

/.-y/3sinAcosA=sin2A，又入£(。,4),..sinAw。,

2万

sinA——y/3cosA,「.tanA——y/3,3^A£(°,兀),..A二；

(2)•「反。为方程f一6尢+4=0的两根，/.Z?+c=6,bc=4,

Z冗TT

由(i)知：A=——,ZBAD=ZCAD=~,

33

cco.271cAe.兀bac.7lb+cAC.兀

丁SJBC=S.ABD+S，.•.-fecsin--=-ADsin-+-Ar)sm-=——•ADsin-,

乙。乙J乙。乙J

即"AD=6,解得：AD=-.

23

C2J3)

22.在①6sinB+csinC=bsinC+asinA；②cos?C+sin3sinC=sin?3+cos?A;③