类比与探究（原卷版）

专题09类比与探究

❶定义型

全等类

类比与探究木❸材料类

V❹定理类

【典例解析】

【例1】（2020•江苏南京月考）阅读理解

如图①，"BC中，沿/胡C的平分线AB1折叠，剪掉重复部分将余下部分沿/81/1C的平分线A1B2

折叠，剪掉重复部分；.…；将余下部分沿的平分线A„Bn+\折叠，点B,,与点C重合.无论折叠

多少次，只要最后一次恰好重合，ZBAC是△NBC的好角.小丽展示了确定乙B/C是△NBC的好角的两

种情形.

情形一：如图②，沿等腰三角形/2C顶角/A4C的平分线AB1折叠，点B与点C重合；

情形二：如图③，沿NB4c的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下的部分沿/3L41C的平分线A1B2

折叠，此时点B1与点C重合.

探究发现

（1）A4BC中，Z5=2ZC,NB4c是不是A4BC的好角？（填“是"或‘不是”）

（2）猜想若经过n次折叠后发现乙B/C是△/8C的好角，则与NC（不妨设N8>/C）之间的等量

关系为;

应用提升

（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15。、60。、25。,发现60。和/05。的两个角都是此三角形的好

角.

请你完成，如果一个三角形的最小角是12。，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此

三角形的好角.

AAA

图①图②图③

【变式1-1］（2020•重庆市月考）阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一

个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”例如：一个三角形三个内角的度数分别是

120°,40°,20°,这个三角形就是一个“梦想三角形”.反之，若一个三角形是“梦想三角形"，那么这个三角

形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍.

（1）如果一个“梦想三角形”有一个角为108。，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为

（2）如图1,已知NMON=60。，在射线上取一点/,过点/作交ON于点8,以N为端点

作射线交线段于点C（点C不与。、2重合），若//C2=80。.判定△/。以△/OC是否是“梦想

三角形"，为什么？

（3）如图2,点。在△NBC的边上，连接。C,作N/DC的平分线交NC于点E,在DC上取一点尸，使得

乙MC+NADC=180。，3EF—B.若△BCD是“梦想三角形”，求必的度数.

OBNB

D

图1图2

【变式1-2］（2020•宁波市期末）若中刚好有4B=2NC,则称此三角形为“可爱三角形”，并且

ZA称作“可爱角”.现有一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该

是（）.

A.45°或36。B.72°或36°C.45°或72。D.36°或72。或45°

【例2】（2020•江苏泰州月考）

（1）如图1：在四边形/2C中，4B=AD,乙B=UDC=90°,E、尸分别是2C、CD上的点，且斯=

BE+FD,探究图中乙8/£、乙FAD、㈤厂之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是：延长ED到点

G,使。G=5E.连接/G,先证明△/8E三A4OG,再证明A4E尸三A4GE可得出结论，他的结论应是:

（2）如图2,若在四边形48co中，AB=AD,180°.E、尸分别是3C、CD上的点，且即=

BE+FD,上述结论是否仍然成立，并说明理由；

（3）如图3,已知在四边形N5C。中，/-ABC+/-ADC^\^°AB=AD,若点£在C8的延长线上，点尸在

CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD,请写出乙版厂与〃>48的数量关系，并给出证明过

程.

图1图2图3

【变式2-1］（2018•河南洛阳月考）（1）操作发现：将等腰RSABC与等腰RSADE按如图1方式叠放，

其中44。5=/4。£=90°，点。，£分别在48，/C边上，V为AE■的中点，连结。/,ZW.小

明发现你认为正确吗？请说明理由.

（2）思考探究：小明想：若将图1中的等腰RMADE绕点/沿逆时针方向旋转一定的角度，上述结论会

如何呢？为此进行以下探究：

探究一：将图1中的等腰RMADE绕点2沿逆时针方向旋转45°（如图2）,其他条件不变，发现结论

=依然成立.请你给出证明.

探究二：将图1中的等腰RMADE绕点Z沿逆时针方向旋转135°（如图3）,其他条件不变，则结论

=还成立吗？请说明理由.

【变式2-2］（2020•浙江椒江期末）

（阅读材科）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，

如果具有公共的项角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规

律的图形称为“手拉手”图形.如图1,在“手拉手”图形中，小明发现若乙AB=AC,AD=AE,则

△ABDmA4CE.

（材料理解）（1）在图1中证明小明的发现.

（深入探究）（2）如图2,A45c和A4E。是等边三角形，连接AD,EC交于点。，连接/O,下列结论：

①BD=EC；@Z50C=60°；③乙4。£=60。；®EO=CO,其中正确的有.（将所有正确的序号填在横

线上）.

（延伸应用）（3）如图3,AB=BC,UBC=^BDC=6Q°,试探究乙4与NC的数量关系.

图1图2图3

【例3】(2020•湖南广益期中)同学们应该都见过光线照射在平面镜上出现反射光线的现象。如图1,AB

是放置在第一象限的一个平面镜，一束光线CD经过反射后的反射光线是DE,。〃是法线，法线垂直于镜

面AB.入射光线CD和平面镜所成的角ZADC叫做入射角，反射光线DE与平面镜所成的角N4DE叫做反

射角。镜面反射有如下性质：入射角等于反射角，根据以上材料完成下面问题：

(1)如图1,法线交x轴于点F,交y轴于点H,试探究/DPC与之间的数量关系并加以证明；

(2)如图2,第一象限的平面镜AB交x轴于点B,交y轴于点A,x轴负半轴上也放置了一块平面镜，

入射光线CD经过两次反射后得到反射光线EG,DH是法线,射线CD和EG的反向延长线交于点P.

①若第一象限平面镜与x轴夹角为26。，问入射角NADC为多少时，反射光线EG与48平行？

②若平面镜N8绕点。旋转，是否存在一个定值公使得NDCE—NDEC=kNOHF总、是成

立，若存在请求出左值，若不存在，请说明理由.

图1图2

【变式3-1］（2020•江西期中）数学课上，同学们探究下面命题的正确性，顶角为36。的等腰三角形我们称

之为黄金三角形，“黄金三角形’具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可以把它分成两个小等腰三角

形，为此，请你，解答问题：

（1）已知如图1：黄金三角形A42c中，乙4=36。，直线AD平分乙42c交/C于点。，求诬AABD和△D2C

都是等腰三角形；

（2）如图2,在A48C中，AB=AC,乙4=36。，请你设计三种不同的方法，将A48C分割成三个等腰三角形，

不要求写出画法，不要求证明，但是要标出所分得的每个三角形的各内角的度数.

（3）已知一个三角形可以被分成两个等腰三角形，若原三角形的一个内角为36。，求原三角形的最大内角

的所有可能值.

【例4】（2020•山西平定期中）请阅读下列材料，并完成相应任务.

塞瓦定理

塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大发现.如图，塞瓦定理是指在AZ8C

BDCEAF

内任取一点O,延长20,50,CO分别交对边。，E,尸于，则——X——X——=1.

DCEABF

任务:

（1）当点分别为边6G/C的中点时，求证：点尸为48的中点;

(2)若A4BC为等边三角形，4B=12,ZE=4,点。是3c边的中点，求3尸的长.

【习题专练】

1.(2020・湖南长沙月考)规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“雅系特征值”,

记作心若k=2,则该等腰三角形的顶角为

3

2.(2020•江苏鼓楼期末)在的两边上各取点2、C,在平面上任取点尸(不与点/、B、C重合)，连

接尸8、PC,设N8PC为Nl,UBP为乙2,乙4c尸为43.请探索N1、乙2、N3和N8/C这4个角之间的数量

关系.

分析问题：由于点尸是平面上的任意点，要考虑全面，需对点尸的位置进行如下分类.

(1)若点P在NM4N的两边上，易知点8、C将两边分成线段/8、AC,射线8河、CN四个部分，根据提

小，完成表格;

条件一级分类二级分类图形表示数量关系

Z2=0°

点尸在

且N1=N3+N8/C

线段43

上

ACN

点P在线4M上

/MANA

Z2=180°fi

的两边点P在

N1+N3+NB,4C=180°

上射线BM

上

ACA

点P在线

图略

段NC上

点P在射

线4V上点P在射

线CN上图略

(2)点P在4的内部，如图1,线段2C将内部分成线段BC,区域①，区域②三个部分.若点尸在

线段8C上，则所求数量关系：21=180。且N2+N3+NR4C=180。；

若点尸在区域①中，则所求数量关系为：—；

若点尸在区域②中，写出这4个角之间的数量关系，并利用图2加以证明.

类比解决:

(3)点尸在乙也N的外部时，直接写出当点尸在该部分时这4个角之间的数量关系.

3.(2019・湖北房县)请按照研究问题的步骤依次完成任务.

(问题背景)

(1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明乙4+N3=NC+ND.

（简单应用）

（2）如图2,AP.CP分别平分N24D、4BCD,若乙42c=20。，UDC=26。,求4的度数（可直接使用问题

（1）中的结论）

（问题探究）

（3）如图3,直线4P平分NA4。的外角CP平分乙BCD的外角乙BCE,若乙42c=36。，乙4DC=16。，

猜想NP的度数为一；

（拓展延伸）

（4）在图4中，若设NC=x,LB=y,^CAP=-/.CAB,L.CDP=-/.CDB,试问乙P与NC、乙8之间的数量关

33

系为（用x、y表示NP）；

（5）在图5中，4P平分乙BAD,CP平分48的外角乙BCE,猜想“与乙8、。的关系，直接写出结

论.

4.（2019・南京师范大学附属中学期中）（约定）若一个三角形中有一个是直角，称此三角形为I类美丽三角形

若一个三角形中有一个角是另一个角的2倍，称此三角形为II类美丽三角形；若一个三角形中有一个角是另

一个角的3倍，称此三角形为ni类美丽三角形；I、n、ni类美丽三角形合称为美丽三角形.

如图1中的八45。中，ZC=90°＞则AIBC是I类美丽三角形；

如图2中的A48C中，ZC=2ZB=2a,则A48C是n类美丽三角形；

如图3中的A42C中，NC=2NB=3a,则心?。是皿类美丽三角形；

（结论1）美丽三角形都可以用一条过某一顶点的直线分割成两个等腰三角形.

（1）请在图1、2、3中分别画出分割线，并标出相等的角（用a表示）或相等的边.

（应用1）（2）如图4,一个含有20。和15°角的三角形，再拼上一个三角形后就可以拼成一个美丽三角形,

图5就是其中的一种拼法.请在该三角形的三边上各拼上一个三角形，使之成为I、II、III类美丽三角形各

一个，在备用图中分别画出来并在图上标出所拼三角形的三个角的度数.

（结论2）如果过一个三角形某一顶点的直线可以把它分割成两个等腰三角形，那么这个三角形一定是美丽

三角形.

（应用2）（3）如图6,如果在图4中的最短边NC上拼上一个三角形后所形成的△2CD能被两条直线分割

成三个等腰三角形，其中一个等腰三角形的底边为8C、底角为/自设所拼三角形中与20。角相邻的角为a,

请直接写出所有a的大小.

A

（备用图）

5.（2020•湖南广益期末）对于平面直角坐标系X。中的点尸（。,6）,若点尸'的坐标为（。+祐,心+3）（其

中左为常数，且左。0）,则称点尸'为点尸的“左属派生点”.例如：尸（1,4）的“2属派生点”为

尸'（1+2x4,2x1+4）,即尸'（9,6）.

（1）若点尸的“3属派生点”P的坐标为（6,2）,求点尸的坐标；

（2）若点尸在x轴的正半轴上，点尸的“左属派生点”为P点，且线段0P的长度为线段0?长度的2倍,

求上的值；

（3）如图，已知点2（0,2）,点尸是x轴上一点，且是点（2,4）的“左属派生点”，以线段4P为一边，在其

一侧作如图所示等边三角线4PQ.现尸点沿了轴运动，当点尸运动到原点O处时，记。的位置为8.问

三角形48。的面积是否是一个定值，如果是，请求出面积；如果不是，请说明理由.

6.在等腰三角形中，过其中的一个顶点的直线如果能把这个等腰三角形分成两个小的等腰三角形，我们称

这种等腰三角形为“少见的三角形”，这条直线称为分割线，下面我们来研究这类三角形.

（1）等腰直角三角形是不是“少见的三角形”？

（2）已知如图所示的钝角三角形是一个“少见的三角形”，请你画出分割线的大致位置，并求出顶角的度数

（3）锐角三角形中有没有“少见的三角形”？如果没有，请说明理由；如果有，请画出图形并求出顶角的度

数.

B

7.(2019・湖南天心期末)定义：若两个三角形，有两边相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全

等三角形，我们就称这两个三角形为偏差三角形.

(1)如图1,已知/(3,2),B(4,0),请在x轴上找一个C,使得△048与△CMC是偏差三角形.你