集合与常用逻辑用语-2025年高考数学复习易错题（新高考专用解析版）

专题0£集合".辑用语

目录

题型一：集合

易错点01忽视集合中元素的互异性

易错点02未弄清集合的代表元素

易错点03遗忘空集

题型二常用逻辑用语

易错点04判断充分性必要性位置颠倒

易错点05由命题的真假求参数的取值范围

题型一：集合

易错点01：忽视集合中元素的互异性

易错陷阱与避错攻略

典例(24-25高三上•云南•期中)已知集合4={1,3,°2},3={1,°+2},若AB=B,贝ijae()

A.{2}B.{1,-2}C.{-1,2}D.{-1,1,2}

【答案】A

【分析】利用子集关系来求解参数，最后要检验元素的互异性.

【详解】因为AB=B,所以3=由4={1,3,片},3={1,“+2},

所以4+2=3或4+2=/,解得a=2或-1或1,

经检验集合中元素的互异性，把。=1或-1舍去，所以ae{2}.

故选：A.

【易错剖析】

本题易忽略集合元素的互异性而错选D.

【避错攻略】

类型1集合与元素关系的判断

⑴直接法：集合中的元素是直接给出的.

(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.

【提醒】若集合是有限集，可将集合中的元素化简并一一列出，再与有限集内的元素进行逐个对照，确定

是否存在与其相等的元素，进而判断集合与元素的关系；若集合是无限集，可将元素变形，看能否化为集

合中元素的形式，也可以代入集合的约束条件，判断是否满足，若满足则属于该集合，否则不满足.

类型2根据元素与集合以及集合间关系求参数

第一步：求解，根据集合中元素的确定性，解出字母的所有取值；

第二步：检验，根据集合中元素的互异性，对解出的值进行检验；

第三步：作答，此处所有符合题意的字母取值(范围).

易错提醒：集合中元素的三个性质，一定要理解透彻并掌握其基本作用：

(1)确定性：判断对象能否构成集合的依据.

(2)互异性：常用于检验解的合理性，如求解集合中元素含有参数的问题，先根据其确定性列方程，求出值

后，再根据其互异性检验.

(3)无序性：常用于判断集合相等.

叁举一反三

1.(24-25高三上•湖南长沙•期中)已知集合4={-1,0同,3={-1,2,3}.若4。3={-1,0,2,3},则实数。的取

值集合为()

A.{2,3}B.{0,2,3)

C.{-1,2,3}D.{0,-1,2,3)

【答案】A

【分析】利用集合的基本运算及集合中元素的互异性可确定选项.

【详解】由4口3={-1,0,2,3}及集合中元素的互异性可得。=2或。=3,故实数。的取值集合为{2,3}.

故选：A.

2.(2024•全国•模拟预测)已知集合A={“,/},3={1,4},若leA,则A8中所有元素之和为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】由leA,求出。=1或。=-1,再分类讨论由集合的互异性可求出Al5={-1,1,4},即可得出答案.

【详解】由IEA得。=1或"=1,解得：a=l或1=一1,

若a=l,则/=1,不符合题意；

若a=—l,A={-1,1},从而A,3={-1,1,4},

所以A3中所有元素之和为4,

故选：C.

3.（2024.内蒙古呼伦贝尔.二模）已知集合4={1,耳，8={2,/},若AB中恰有三个元素，则由。的取值

组成的集合为（）

A.{0}B.{-1,2}C.{0,2}D.{0,-1,2}

【答案】D

【分析】A8中恰有三个元素，则两集合中有一个相同元素，分类讨论列方程求解并检验即可.

【详解】因为A8中恰有三个元素，所以。=2或a=/或1=4，

结合集合中元素的互异性，解得。=2或。=0或。=1（舍去）或。=-1.

故选：D.

・易错题通关

1.（2024•全国•模拟预测）已知集合A={1,16,8a},B={l,fl4},则满足A3=3的实数a的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根据集合运算得集合关系，结合集合元素的性质分类讨论求解即可.

【详解】依题意，B^A,若/=i6,解得。=-2（a=2时不满足集合的互异性，舍去），

若/=8a,解得a=0（a=2时不满足集合的互异性，舍去），

综上所述，々=0或a=—2.

故选：B

2.（2025高三•全国・专题练习）已知集合4={。,帆,1一3〃z+2},且2eA,则实数m为（）

A.2B.3C.0或3D.0,2,3

【答案】B

【分析】由题意可得m=2或疗一3机+2=2,分类讨论，结合集合元素的互异性，即可求得答案.

【详解】因为4={0,"层-3m+2}且2eA,

所以机=2或加2一3根+2=2,

①若根=2,此时苏-3根+2=0,不满足元素的互异性；

②若4-3加+2=2,解得根=0或3,

当机=0时不满足元素的互异性，当相=3时，A={0,3,2}符合题意.

综上所述，m=3.

故选：B

3.（2024.四川攀枝花.二模）已知集合&={1,4},8={1,4,。},若4=8,则实数。组成的集合为（）

A.{-2-1,0,2}B.{-2,2}C.{-1,0,2}D.{-2,0,2）

【答案】D

【分析】根据题意分“2=4和片=。两种情况运算求解，注意集合的互异性.

.22

a=4a=a

【详解】AGB,则有或,解得〃=2或。=一2或a=。，

〃w4。声4

实数〃组成的集合为{-2,0,2}.

故选：D

4.（23-24高三上•全国•阶段练习）已知机eR,集合A=卜%-1,2},B=\cr\aeA^,若C=AB,且C的

所有元素和为12,则机=（）

A.-3B.0C.1D.2

【答案】A

【分析】先确定集合8中可能的元素，根据两集合中元素的和求出加的值，再根据集合中元素的互异性取

值.

【详解】集合8中的元素可能为：m2,1,4

因为用w—1,m手2.

若机=1,则4={1,-1,2},5={1,4},则。={1,—1,2,4},元素和不为12；

若m=-2,则4={—2,-1,2},3={1,4},则C={-2,-1,2,4},元素和不为12；

当相*±1,±2时，C={%-1,2,帆2,1,4},因为C中所有的元素和为12,

所以m2+功=6,解得根=—3或加=2（舍去）.

综上：m=-3.

故选：A

5.已知aeR,beR,若集合=则/+6皿°的值为（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【分析】结合已知条件，利用集合的互异性即可求解.

【详解】•.•集合卜。一九0},分母中0,

b=0,〃=1,且a?。。—〃=々，解得。=—1,

・・・6019+y020=T.

故选：B.

6.（24-25高三上•四川成都・期中）已知集合4={1,。+2},3={4,1,3},若对VxeA,都有xe3,贝M为（

A.1B.-1C.2D.1或2

【答案】C

【分析】得到A=分°+2=/和。+2=3两种情况，求出。，舍去不合要求的解，得到答案.

【详解】由题意得4=3,

当a+2="时，解得a=2或-1,

当a=2时，8={4,1,3}满足要求，

当a=-l时，a+2=l,a2=1,A,3中元素均与互异性矛盾，舍去，

当a+2=3时，a=l,此时/=i,B中元素与互异性矛盾，舍去，

综上，a=2.

故选：C

7.已知x为实数，A={2,x,x2},集合A中有一个元素恰为另一个元素的2倍，则实数x的个数为（

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】由题意分情况讨论并判断即可.

【详解】由题意：

当2=2x时，x=l,此时集合A二{2,1,1},不成立；

当2=2九2时，x=±l,%=1时不成立，尸一1时，集合A={2,-1,1},成立；

当x=2x2=4时，集合A={2,4,16},成立；

当元=2必时，x=o或x=；,尤=0时集合A={2,0,0},不成立，尤=1时集合A=成立；

当f=2x2时，x=±2,%=2时集合A={2,2,4},不成立，工=-2时集合A={2,—2,4},成立；

当炉=2%时，x=0或x=2,x=0时集合A={2,0,0},不成立，x=2时不成立；

故2,—,

故选：B.

8.（2024・贵州・模拟预测）已知集合A={NW<3,X£N},B=,C={3,m,3m-2},若3=C,

则AcB的子集个数为（）

A.2B.4C.7D.8

【答案】B

【分析】本题根据仄C两集合相等，则元素相同，然后分类讨论求出参数相，进而求出两个集合，再求集

合A、5的交集，然后可求子集的个数.

【详解】由题意得，A={0,l,2,3},又集合3=C,

若2加一1=3,则根=2,止匕时5={2,3,4},

则AI3={2,3},故Ac5子集个数为22=4;

若2m-l=m,则m=1,此时显然瓦C集合不成立，舍去；

若2帆-1=3刃-2,m=l,同理舍去.

综上得：机=2时，Ac3子集个数为4个；

故选：B.

9.（多选）（24-25高三上•江西新余•阶段练习）若集合A={〃+2a,3a+2,8},则实数。的取值可以是（）

A.2B.3C.-4D.5

【答案】BD

【分析】根据集合中元素的互异性求解.

【详解】集合A={a?+2a,3a+2,8},则6+2。w8,3a+2w8,/+2°w3a+2,

解得々W-4,QW2MW—1,可知BD符合题意，

故选：BD.

10.（多选）（23-24高三上.福建宁德•期中）设集合M={3,9,3x},N={3,J},且Nq",则工的值可以为

（）

A.-3B.3C.0D.1

【答案】AC

【分析】由子集的概念解出了,并注意验证集合间元素是否满足互异性.

【详解】因为N=所以Y=9或尤2=3尤，解得x=±3或*=0.

当元=3时，3x=9,集合〃中的元素不满足互异性，故舍去.

当x=-3时，符合题意.

当x=0时，也符合题意.

故选：AC.

11.（2024・安徽•三模）已知集合A=",2,-l},B={y|y=若A3的所有元素之和为12,则实数

4=.

【答案】-3

【分析】分类讨论2是否为1,-2,进而可得集合8,结合题意分析求解.

【详解】由题意可知：2大-1且彳/2,

当x=4,则y=%2；当x=2,则y=4；当x=-l,则y=l；

若彳=1,则3={1,4},此时AU8的所有元素之和为6,不符合题意，舍去；

若4=-2,则3={1,4},此时A3的所有元素之和为4,不符合题意，舍去；

若目.2,贝ij8={1,4,分},故/I?+4+6=12,解得2=—3或4=2（舍去）；

综上所述：2=-3.

故答案为：-3.

易错点02：未弄清集合的代表元素

易错陷阱与避错攻略

典例（2024•湖南衡阳•一模）已知集合4={,丫=3（尤2一工-2）},则AB=（）

3

A.（-1,2）B.[-,+<»）C.（0,+co）D.R

【答案】D

【分析】根据对数型函数求值域得4根据二次函数求得函数定义域得8,根据交集运算得解.

【详解】4={y|y=lg，-了-2）}为函数y=lg（/一尤一2）的值域，

令/=》2_工-2>0=>%>2或％<—1,te(0,+oo)ny=lgrnyeR,

B={x\丁=\/%二%+2}为函数y=Jx^x+2的定义域,

即y=J（x-；y+]，因为（尤-：）2+[N],所以函数丫=，，_*+2定义域为R,

故AB=R,

故选：D.

【易错剖析】

本题易忽略集合的代表元素，没有注意到集合A表示的是函数的值域，而集合B表示的是函数的定义域而

出错.

【避错攻略】

在进行集合间运算时，常用的方法为列举法和赋值法：

方法1列举法

列举法就是通过枚举集合中的所有元素，然后根据集合基本运算的定义求解的方法。

【具体步骤】

第一步：定元素，确定已知集合中的所有元素，利用列举法或画数轴写出所有元素或范围；

第二步：定运算，利用常见不等式或等式解未知集合；

第三步：定结果。

方法二：赋值法

高考对集合的基本运算的考查以选择题为主,所以我们可以利用特值法解题,即根据选项之间的明显差

异,选择一些特殊元素进行检验排除,从而得到正确选项.

【具体步骤】

第一步：辨差异，分析各选项,辨别各选项的差异；

第二步：定特殊，根据选项的差异，选定一些特殊的元素；

第三步：验排除，将特殊的元素代入进行验证，排除干扰项；

第四步：定结果，根据排除的结果确定正确的选项。

易错提醒：在进行集合的运算时，一定要先观察集合的代表元素，因为代表元素决定了集合的性质，通过

集合的代表运算可以确定集合是数集还是点集、代表元素是实数还是整数，另外在进行补集运算时，一定

要注意全集的性质，不要想当然的认为是R.

举一反三

1.（24-25高三上•黑龙江哈尔滨•期中）已知集合"={引y=x2-2x-2}N=(

A.[-3,1)B.[-1,1)C.(1,3)D.[1,4]

【答案】A

【分析】先化简集合M，N,再利用交集定义即可求得McN.

［详解］M={引y=x2-2x-2］=^y\y=(x-1)2-31={y|y>-3}

故McN={y|y>-31n|x|x<1}=[-3,1)

故选：A

2.(24-25高三上•江苏盐城•期中)已知集合4={-1,1},8={(x,y)|xeA,yeA},则AB=()

A.AB.BC.0D.R

【答案】C

【分析】根据题意可知集合B表示点集，而集合A表示数集，即可根据交集的定义求解.

【详解】由8={(x,y)|xeAye4}可得3={(-1,1),(-1,-1),(1,-1),(1,1)),

故AB=0,

故选：C

3.(24-25高三上•山东•期中)集合A={1,2,3,4,5,6},B={xeN|2xeA),则。B=()

A.{1,3,6}B.{3,4,6}C.{1,2,3}D.{4,5,6}

【答案】D

【分析】由补集定义可得答案.

【详解】因为A={1,2,3,4,5,6},3={xeN|2xeA},

所以3={1,2,3},^={4,5,6}.

故选：D.

,易错题通关

1.(2024•浙江温州•模拟预测)设集合&=卜©2卜2一3元-4<0},B={x||x+l|<1},则AB=(

A.{-1,0}B.{-2,-1,0}

C.{0,1,2}D.{0,1}

【答案】A

【分析】解不等式化简集合A8,再利用交集的定义求解即可.

【详解】依题意，A={xeZ|-l<x<4]={-1,0,1,2,3,4},B={x|-l<x+l<l)={x|-2<x<0},

所以Ac3={T,0}.

故选：A

2.(24-25高三上•陕西汉中•期中)已知全集。={犬1尤-1<0},集合A={xl尤2+3X_4<0},则gA=()

A.(-»,-4)B.(f-4]C.㈠/)D.[-4,1)

【答案】B

【分析】先求解集合A,然后利用补集的定义即可求解

【详解】根据题意，集合A={xl/+3%一4<0}=华一4Vx<1},

因为u=(-e,i),所以ea=(-8,-4].

故选：B

3.(2024广东肇庆.一模)已知集合4={尤eN|(x-l)(x-4)W0},8=30<尤<3},则AB=()

A.{1,2}B.(1,3)C.{2,3}D.[1,3)

【答案】A

【分析】解不等式可得A={1,2,3,4},再由交集运算可得结果.

【详解】由不等式4)W0,Ml<x<4,所以A={1,2,3,4},

又3={x|0<x<3},可得Ac3={l,2}.

故选：A

4.(24-25高三上•浙江•阶段练习)已知集合〃=卜，)y=N=卜,y)?+/=l]，则McN的元

素个数为()

A.0B.1C.2D.无数

【答案】C

【分析】根据集合的元素类型，列方程组求解集即可得元素个数.

【详解】因为集合M=(x,y)y=14,N=Ux,y)^-+y2=l

1X

y=1—

2x=0x=2

则联立2，解得y=i或

X1y=0'

——+y2-I

[4J

故McN=｛（0,l）,（2,0）｝,集合中有2个元素.

5.（24-25高三上•安徽合肥•阶段练习）已知集合A=[x\y=log3（9-1）｝,集合8=｛曲=3一，｝,则AB=（）

A.(0,1)B.(1,2)C.(l,+oo)D.(2,+co)

【答案】C

【分析】根据题意，将集合A8化简，再结合交集的运算，即可得到结果.

[详解1A=^x\y=log3(/_i)}={耳/-1>o}={小>1或％<-11,

8={y|y=3T}={y|y>。},所以Ac3=(l,+x),

故选：c

6.（24-25高三上•广东东莞•阶段练习）设A=｛。,月及=尤2-了｝,B=｛（x,y）\y=x],则AB=（）

A.{(0,0),(2,2)}B.{(0,0)}C.{(2,2)}D.0

【答案】A

【分析】联立集合A与集合B的方程组，解方程组可得答案.

y=x2-x

【详解】根据题意知联立集合A与集合B方程组得

y=x

解之可得或所以Ac3=｛（0,0）,（2,2）｝.

故选：A

7.（24-25高三上•山东济宁•期中）已知集合「=卜卜=岸=11,2=卜卜=4^],则P他Q）=（）

A.0B.[1,+co）C.（-<»,0）D.（^x>,-l]

【答案】D

【分析】首先根据偶次方根的被开方数非负求出集合P,再求出集合。，最后根据集合的运算法则计算可

得.

【详解】由y=二1可得V-120,解得或xW-1,

所以P=卜b==(-oo,-l]u[l,+<»),

又V-INO,贝1]-=」尤2一120,所以Q=卜卜=_1]=[0,+8),

所以4Q=(F,0)，所以尸&Q)=(-8,-I].

故选：D.

易错点03：遗忘空集

易错陷阱与避错攻略

典例(24-25高一上•重庆万州・期中)已知集合人=何工>5},8={x|5o-l<x<a+ll},B=A,则。

的取值范围为()

A.(-oo,-6]B.■|,+0OjC.■|,3)D.[3,+oo)

【答案】B

【分析】由并集的定义可知A3=A得到3=A,讨论集合B是否为空集，得到对应的参数。的范围，再

求并集得到结果.

【详解】因为AB=A,所以3aA.

若3=0,贝U5a-12a+ll,即。23；

[a<36

若3w0,则,小,解得百。<3.

ptz-l>55

综上所述，。的取值范围是

故选：B

【易错剖析】

因为空集是任何集合的子集，根据包含关系求参数时一定分析集合为空集的情况，本题易忽略对3=0的讨

论而错选C..

【避错攻略】

L当已知4=5,48=0求参数时，一定要分析集合为空集的情况；

2.若集合为不等式的解集，往往借助于数轴进行分析；

【具体步骤】

第一步：化简，化简所给集合；

第二步：画图，用数轴表示所给集合；

第三步：列示，根据集合端点间关系列出不等式（组）；

第四步：求解，解出不等式（组的解；

第五步：检验，通过返回代入验证端点是否能够取到.

3.若集合为正整数集或抽象集合，可借助于韦恩图分析，若集合是点集，可借助于曲线的图像分析.

易错提醒：己知集合关系求参数时，除去要分析空集的情况，还一定要分析端点值能否取得，可采用代入

检验的方法加以区分，避免出错.

奥举一反三

L集合4=何2丁-5尤+2=0},B={x|ar-2=0},若B=AB,则实数a的取值集合为（）

A.{-1,T}B.{0,—1,—4}C.{1,4}D.{0,1,4}

【答案】D

【解析】首先求出集合A,依题意可得B=再分8=0、台={2}、8=］；；三种情况讨论

因为4={无|2产—5尤+2=0}=,B=AB,所以BqA,又3=36_2=0}

当3=0,则a=O,当3={2},即2a-2=0,解得a=l,当B即;。-2=0,解得。=4,综上可

得实数a的取值集合为{0,1,4},故选：D

2.设集合。=R,集合A={x|-2WxW5},3={x|"z-6Wx<2"z-l},若Ac3=0,则实数加的取值范围为

()

【答案】D

【解析】结合8是否为空集进行分类讨论可求皿的范围

当3=0时，AnB=0,则加一622加一1,即机＜一5

m-6<2m-1\m-6<2m-1

当3W0时，若AcB=0,则2m-l<-2或1加一6〉5

解得-或加＞11,综上，实数加的取值范围为［s,_（11,+®）

故选：D

3.（24-25高三上•贵州贵阳•阶段练习）设集合P={x[—2<x<3},Q={x\?>a<x<a+\}.

（1）若尸Q=0,求。的取值范围.

（2）若尸Q=P,求。的取值范围.

【答案】（1）（一°°，一3]口

【分析】（1）根据题意，分Q=0和QN0两种情况进行讨论，结合尸0=0,列出不等式，即可求解;

（2）根据题意，分。=0和两种情况进行讨论，结合PQ=P,列出不等式，即可求解；

【详解】（1）解：由集合尸={无|一2<%<3},且。={彳|3。<为<。+1}

因为尸。=0,可分。=0和Q*0两种情况进行讨论：

当Q=0时，可得3aNa+l,解得。2）,此时满足P2=0；

_[3a<a+l（3a<a+l

当Qw0,因为P。=0,则满足一。或'，解得3,

[a+l<-2[3a>3

综上可得，实数a的取值范围为（-s,-3]。耳,+s）.

（2）解：由集合P={x|-2<x<3},且。={幻3。<》<々+1},

因为PQ=P,可分。=。和Q-0两种情况进行讨论：

当。=0时，可得3aNa+l,解得a'g,此时满足尸Q-P；

3〃<〃+1

21

当Qw0,因为尸Q=P,则满足。+1<3,解得—v〃<

3a>-2

综上可得，实数。的取值范围为一

♦易错题通关

1.（2024・河南.模拟预测）已知集合A={疝<%<2},8={俎<%<。},若8屋4,则实数。的取值范围是（）

A.（2,+oo）B.（1,2]C.（-oo,2]D.[2,+oo）

【答案】C

【分析】由集合的包含关系，对集合B是否是空集分类讨论即可求解.

【详解】集合A={x|l<尤<2},B={x[l<x<a},若8屋4,

则若。<1,则3=0=A满足题意；

若a>l,且3=贝iJl<aW2,

综上所述，实数。的取值范围是（-8,2].

故选：C

2.设集合A={x[2a+l<x<3a-5},B=1x|x2-21x+80<0^,若AB=A,贝!]（）

A.1a|2<a<7}B.1a|6<a<7jC.|a|t?<7}D.{a|a<6}

【答案】C

【分析】解不等式化简集合s再利用集合的包含关系求解即得.

【详解】显然8=卜卜2-21x+8040}={x|54x416},由AB=A,得A=B,

当A=0时，即2a+l>3a-5,解得a<6,满足AgB,贝Ua<6；

当Aw0时，贝115V2a+lV3a-5V16,解得6WaW7；

所以aW7.

故选：C

3.（23-24高一上•广东肇庆•阶段练习）已知U=R,集合4=卜上2-尤一2=0卜B={x\mx+l=O},

31（毛4）=0,则实数比=（）

A.一4或1B.一4或0C.1或0D.一4或1或0

222

【答案】D

【分析】求出集合A中方程的解确定A,即可求出心A,根据31（^4）=0,分两种情况加=0和小/0讨

论即可.

【详解】由题可知，A={2,-1},则2A={x|xw-1或尤#2},

因为5={划如;+1=0},

所以当根=0时，5=0,则即⑹A）=0,符合题意；

当相。0时，B={-■-},

m

由3I@A）=0知，--?~=一1或——=2,即m=1或相=一，，

mm2

综上所述，实数优为。或1或-;，

故选：D.

4.（24-25高三上•辽宁沈阳•期中）集合尸={x||x-l|<l},Q=[^a-l<x<a+\\,且P。=0,则实数。的

取值范围为（）

A.a<-1a>3B.-1<a<3C.a>3D.a<-l

【答案】A

【分析】首先化解集合A,又QN0,即可得到a+l«O或a-122,解得即可.

【详解】由忖一1|<1,BP-l<x-l<l,解得0v%<2,

所以尸={x[<1}={x10<%<2},

又0={乂[-1<%<々+1},显然Q-0,

因为PQ=0,所以a+IWO或。一122,

解得a«-1或a23,

即实数〃的取值范围为a<-l或。23.

故选：A

5.（24-25高一上•四川达州•期中）已知集合A={x\-2<x<lQ},B={x|l-m<x<l+m}BcaA=0,则

实数机的取值范围为（）

A.m<3B.m<9C.m<3^cm<9D.3<m<9

【答案】A

【分析】已知BIaA=0,这意味着5集合与A集合在R中的补集没有交集，那么8集合是A集合的子集.

接下来通过分析B集合的边界与A集合边界的关系来确定加的取值范围.

【详解】々A={x|x<—2或1〉10}.因为51aA=0,所以

由于5={%|1-加4％«1+加},要满足3=

当5=0,BP1—m>l+m,解得?nvO.

m>0

当则有<1—相2—2.解得：04根<3.

l+m<10

综上，加的取值范围为机V3.

故选：A.

6.已知集合4={小2-1=0},B={x\ax=]},若AB=B,则实数a取值集合为（）

A.{—1}B.{1}C.{-1,1}D.{—1,0,11

【答案】D

【分析】由题意知3=A,分别讨论3=0和两种情况，即可得出结果.

【详解】由AB=B,知B=因为A={x|d-l=0}={-M},B={x\ax=1],

若3=0,则方程冰=1无解，所以a=0：

若3/0,a/0,则2={x|ar=1}=|xx=,

因为8=4,所以工=±1,贝!|a=±l；

a

故实数。取值集合为{TO,1}.

故选：D.

7.（24-25高三上•江苏南通・期中）已知集合4={-2,1,3,4},8={利％-2|〈加,xeR},若A转=0,则实数

加取值范围为（）

A.m>4B.m>4C.m<2D.m>2

【答案】A

【分析】根据集合B计算48,利用A\B=0求参数的取值范围.

【详解】由A42=0得，B^0,m>O.

由B={x\\尤一2|〈加，尤eR}得，B={x\2-m<x<2+m],

：.18={x|x<2-m^x>2+m],

J2-m<-2

解得

12+m>4m>4.

故选：A.

8.（24-25高三上•上海青浦•阶段练习）已知集合A=，B={x|m+l<x<3m,meR）,若

AB=A,则根的取值范围是

【答案】/«<|4

【分析】解绝对值不等式可得集合4由AlB=A得B=讨论2为空集和不为空集情况，解相应不等

式，即得答案.

53353/531

［详解］解即即A=xlx_jV；卜{X|1〈XW4},

乙乙乙乙乙I乙乙I

由AB=A,得B=A;

当3={x|m=即机+1>3"「.加<；,符合题意；

m+1<3m

14

当6w0时，需满足r机+121,解得

3m<4

4

综合可得根

4

故答案为：

9.（24-25高三上•河北•阶段练习）已知集合4={%|%2—2x-3K0},B={x\m-2<x<m+2］,若AB=0,

则m的取值范围是.

【答案】{加|机<一3或加>5}

【分析】化简集合A,由两集合交集为空集，列出不等式即可求解.

【详解】A={x\x2-2x-3<0］={x\-l<x<3}

因为AB=0

所以根+2v—1或帆—2>3

解得：根<一3或机>5

故答案为：卜7?忸<-3或能>5}

10.（24-25高三上•河南•开学考试）己知集合4={工|-14尤42},8={刈尤-1区机},若AB=B,则实数，”的

取值范围为.

【答案】［2,y）

【分析】求出集合B,根据集合的包含关系列不等式组求解可得.

【详解】因为AB=B,所以AuB,

当机v0时，B=0,不满足题意；

当机20时，由«相解得3={x|l-机+机},

（1—机<—1

依题意有[+根]2，解得相、2,即实数机的取值范围为[2,+8）.

故答案为：[2,内）

11.（2024•江苏常州•三模）集合A={x|-14x+lV6},B=^x\m-\<x<2m+\,m^^,若AB=A,则实

数m的取值范围为.

【答案】（一。—2]U[—1,2]

【分析】结合2是否为空集进行分类讨论可求加的范围.

【详解】由=且A={x|-2«x«5},

当5=0时，B^A,则相一122加+1,即加2,

m-1>-2

当时，若则<加>一2,解得—10m42,

2m+1<5

综上，实数加的取值范围为（一2]u[—l,2].

故答案为：（y,—2]u[—l,2].

题型二：常用逻辑用语

易错点04：判断充分性必要性位置颠倒

易错陷阱与避错攻略

典例命题“\"目1,2],%2-。<0”为真命题的一个充分不必要条件是（）

A.a<4B.a>4C.a<5D.a>5

【答案】D

【解析】求解命题"Vxe[l,2],Y一。<0”为真命题时aN4,即可根据真子集求解

命题"Vxe[l,2],f-aWO”为真命题，则心/对立41,21恒成立，所以。乂0皿*,故所以命题

Vxe[l,2],/一。<0，，为真命题的充分不必要条件需要满足是{谓“}的真子集即可，由于{谓25}是

{4々24}的真子集，故符合，故选：D

【易错剖析】

本题易混淆A是B的充分条件和A的充分条件是B的区别而出错.

【避错攻略】

1掌握充分、必要条件的概念及类型

⑴如果p=>q,则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；

(2)如果p=>q,但4抑，则p是q的充分不必要条件；

(3)如果p=>q,且q=>p,则p是q的充要条件；

(4)如果q=>p,且p^q,则p是q的必要不充分条件；

(5)如果p分q,且q冷p,则p是q的既不充分又不必要条件.

【解读】

(l)p是4的充分条件，是指以p为条件可以推出结论必但这并不意味着由条件p只能推出结论一般

来说，给定条件p,由p可以推出的结论是不唯一的.

(2)“p是q的充分条件”与是p的必要条件”表述的是同一个逻辑关系，即p'q,只是说法不同.

(3)p是q的充要条件意味着“p成立，则q一定成立；p不成立，则q一定不成立"，要判断p是否为q

的充要条件，需要进行两次判断：一是看p能否推出小二是看4能否推出p.若p能推出q,4也能推出p,

就可以说p是4的充要条件，否则，就不能说p是〃的充要条件.

2.灵活运用判断充分、必要条件的方法

(1)定义法：直接利用定义进行判断；

(2)图示法：多个条件间关系的判断时，可以用用“T，、"n”、“u”将条件彼此相连，然后再判断它们之

间的关系.

(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q都是集合,那么若则p是q的充分不必要

条件；若p?%则p是q的必要不充分条件；若p=q,则p是q的充要条件，尤其对于数的集合，可以利用小范

围的数一定在大范围中，即小今大，会给我们的解答带来意想不到的惊喜.

(4)举反例：要说明p是q的不充分条件，只要找到尤oC{x|p},但xoE{尤|q}即可.

易错提醒：在判断充分、必要条件时，一定要先对条件进行等价化简，然后再结合合适的方法进行判断，

为避免位置颠倒出错，可先用推出符号标注好判断的方向再进行分析.

叁举一反三

1.已知命题P：Vxe[T,2],^x2-a>0,则。为真命题的一个充分不必要条件是()

A.a<—2B.a<0C.a<8D.a<16

【答案】A

【解析】先分离参数求出a的取值范围，则?为真命题的一个充分不必要条件应该是（y,o］的一个真子集，

由题设命题为真，即。44一在xe［Y,2］上恒成立，所以=0,则。为真命题的一个充分不必

2I，7min

要条件应该是（9,0］的一个真子集，

故选：A

2.（24-25高三上・云南・期中）“Hx>0,（a-3）x-1=0”成立的充分必要条件是（）

A.a>lB.A<1C.a>3D.a<3

【答案】C

【分析】讨论。-3是否为0,当。-3=0时，显然无解，故。片3,用。表示出方程的解，令结果大于0,求

得。的取值范围.

【详解】当。-3=0即a=3时，Vx>0,（a-3）x-l=-1^0,所以。力3；

当。一3片0即时，3x>0,（a—3）x—l=0ox=--—>0=a>3.

a—3

故选：C.

3.（24-25高三上•江苏扬州•开学考试）若不等式卜+1|<。成立的充分条件是0<x<4,则实数。的取值范围

是（）

A.a<—\B.a<5C.a>-\D.tz>5

【答案】D

【分析】先分情况求不等式|x+l|<。的解集，再根据集合的包含关系求参数。的取值范围.

【详解】设不等式k+l|<a的解集为A,5=（0,4）,

因为不等式上+1|<。成立的充分条件是0<x<4,,所以3=

所以Aw0,所以a>0.

由|x+11<a——a<x+1<a-a-l<x<a—1,以A=（—a—1,ci—1）.

由8屋4可得｛=>a>5.

a-l>4

故选：D

>易错题通关.

1.（24-25高三上•青海西宁•期中）已知a>0,b>0,则使a+622成立的一个充分条件是（）

A.a1+b2=\B.a+b-ab

C.2"+2"=4D.a+b1=2

【答案】B

【分析】利用充分条件的定义，结合基本不等式、二次函数性质判断.

【详解】对于A,取“=b=B,显然有片+〃=1成立，但不成立，不符合题意.

22

对于B,由a+Z?=ab,—+—=1,所以a+6=（a+b）（—+7]=2+。+/24,可推出a+~N2,符合题意.

ab\ab）ab

对于C,4=2"+2">2J2a.26=2"三，可得a+b<2,不符合题意.

对于D,由々+廿=2,得a=2—因为a>0,b>0,所以O<b<0,所以

1+。=一/+6+2=—[/?一；）+、£[0，不能推出a+bN2,不符合题意.

故选：B.

2.使“〃<方”成立的一个充分不必要条件是（）

A.Vxe（O,l],a^b+xB.VXG（O,1],a+x<b

C.3XG[0,1],a<b+xD.3XG[0,1],a+x^b

【答案】B

【分析】根据不等式的关系结合充分不必要条件分别进行判断即可.

【详角军】对于A,若Vx£（O,l],aWb+尤，当a=Z?时，a=b<b+x成立,

所以“Vx£（O,l],aWb+x”N“a〈b”,A不满足条件；

对于B,Vxe（0,1],a+x<b,贝！Java+xvZ?,即〃<b,

所以“Vx£（0,l],a+x〈b''n"a〈b'',

若〃<b,贝！JVx£(0,l],不妨取a=l,b=1.2,x=0.5,贝+

所以“V%£（o,l],a+x<b**F<b”,

所以“V%£（o』，a+xvb"是的充分不必要条件，B满足条件；

对于C,若a<b,则HXE[0,1],使得Qvb<〃+x,即avb+x,

即"a<b"=>Fxe[0,1],avb+x”,

所以Fxe[0,l],〃<b+x”是“a<b”的充分条件，C不满足条件；

对于D,若*e[0,l],a+x^b,贝!Ja〈a+x<6,即当且仅当x=0时，等号成立，

所以“女目0』，a+xWb"R“a<6"，D不满足条件.

故选：B.

3.（24-25高三上•河北张家口•开学考试）已知。，dceR,使成立的一个充分不必要条件是（）

A.a+c>b+cB.ac>be

C.a2>b2D.ac1>be1

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式性质求解即得.

【详解】对于A,a+c>b+coa>b,A不是；

对于B,当c<0时，由双>历，得avZ?,B不是；

对于C,a2>,可能有a<b,如〃=-2/=1,C不是；

对于D,ac2>be1,得，>0，贝」。1>人；若a>〃,c=0,贝lac?=/?（?,D是.

故选：D

4.（2024・陕西咸阳・模拟预测）直线％+>+匕=0与圆。:（元+1）2+（丁-1）2=5有公共点的一个充分不必要条件

是（）

A.啊B.Y-师啊

C.6e[T,4]