空间点、线、面位置关系-2025年高考数学二轮复习学案（含答案）

专题七空间点、线、面位置关系

【题型分析】

考情分析：

从近几年高考的情况来看，以柱体、锥体为背景的线面平行(垂直)、面面平

行(垂直)关系是高考常考内容，试题有选择题、填空题、解答题，难度适中.解题

时要特别注意应用判定定理和性质定理时条件的完整，这是解题的基本规范和要

求.

题型1平行与垂直的证明

典例精析

例1多选题如图，在平行六面体ABCD-AIiGDi中，底面A3CD是正方形,

。为4G与的交点，则下列条件是“AG=4C”的必要条件的有().

A.四边形ACG4是矩形

B.平面平面ACGAi

C.平面平面ABCD

D.直线。4,5c所成的角与直线。C,A3所成的角相等

方法总结：

1.判断或证明线面平行的常用方法

(1)利用线面平行的定义(无公共点).

(2)利用线面平行的判定定理(aCa,bua,a//b^a//a).

(3)利用面面平行的性质(a〃W，B；a//fi,a//a^a///3).

2.证明面面平行的常用方法

(1)面面平行的定义.(2)如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么

这两个平面平行.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)如果两个平面同时平

行于第三个平面,那么这两个平面平行.(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”

的相互转化进行证明.

3.证明线面垂直的四种方法

(1)利用线面垂直的判定定理.

(2)利用“如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂

直于这个平面”.

(3)利用“若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它与另一个平面也垂直”.

(4)利用面面垂直的性质定理.

跟踪训练

如图，已知正方体ABCD-ALBCIDI,M,N分别是A1D,的中点，则().

A.直线AiD与直线DiB垂直,直线〃平面A3CD

B.直线AiD与直线DiB平行,直线平面BDDiBi

C.直线AiD与直线DiB相交,直线MN〃平面A3CD

D.直线AiD与直线DiB异面,直线平面BDDiBi

题型2交线与截面

考向1J截面问题

典例精析

例2已知正方体ABCD-AiSCDi,棱长为2.

(1)求证：AC平面ABA.

(2)若平面a〃平面ABLDI,且平面a与正方体的棱相交，当截面面积最大时，在

所给图形上画出截面图形(不必说出画法和理由)，并求出截面面积的最大值.

(3)在(2)的情形下，设平面a与正方体的棱A3,BBi,3©分别交于点E,F,G,

当截面的面积最大时，求二面角Di-EF-G的余弦值.

方法总结：

立体几何中截面问题的处理思路

(1)直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点的连线即为几何体

与截面的交线，找截面就是找交线的过程；

(2)作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面

平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线；

(3)作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方

法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线；

(4)辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作

一个辅助平面.

忆跟踪训练

如图，已知正方体ABCD-AiBiGDi,E为DD的中点.

⑴过点5作出正方体ABCD-AIiCiDi的截面a,使得截面a〃平面ABE,并说

明理由；

（2方为线段CG上一点，且直线DrF与截面a所成角的正弦值为|,求黑.

考向2J交线问题

典例精析

例3多选题如图，已知正三棱台A3C-AI1G是由一个平面截棱长为6的正四

面体所得的，其中AAi=2,以点A为球心，2夕为半径的球面与侧面3CC/1的

交线为曲线广，P为广上一点，则（

A.点A到平面BCCiBi的距离为2伤

B.曲线厂的长度为4兀

C.CP的最小值为2V3-2

D.所有的线段AP所形成的曲面的面积为空包

3

方法总结：

作交线的方法有如下两种：（1）利用基本事实3作交线；（2）利用线面平行及面面

平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线.

跟踪训练

已知在正方体ABCD-AIiGDi中，A3=4,点P,Q,T分别在棱3为，CG和A3

上，且31P=3,CiQ=l,BT=3,记平面PQT与侧面ADDA,底面ABCD的交

线分别为m,n,则（）.

Am的长度为述B"的长度为延

33

C.n的长度为迪D.〃的长度为叵

33

【真题改编】

1.多选题（2024年全国甲卷，理科T10改编）设a,£是两个平面，加，〃是两条直

线，且an^=7〃.下列结论正确的是（）.

A.若机〃“，则“〃a或〃〃用

B.若m_Ln,则"J_a或nL0

C.若"〃a且"〃4，则机〃〃

D.若〃与a,4所成的角相等，则机_L〃

2.（2023年全国甲卷，理科T15改编）在正方体ABCD-ALBICLDI中，E为CD上

靠近点C的三等分点，R为上靠近点4的三等分点，则以ER为直径的球

的球面与该正方体各棱的交点总数为.

【最新模拟】

（总分：100分单选题每题5分，多选题每题6分，填空题每题5分，共68分；

解答题共32分）

鲁强基训练

1.设m,n是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，则下列说法正确的是

（）.

A.若机_L几，n//a,贝！J

B.若m〃6,0工a,贝！J冽_La

C.若加_L%B，a,贝!J机-La

D.若用_L£,nL0,n^a,贝U机_La

2.已知小〃是两条不重合的直线，£是两个不重合的平面，则下列说法错误

的是（）.

A.若m-La,则“几〃屋是“加_L〃”的必要条件

B.若mta,〃UQ,贝!J"机〃是"加〃a”的充分条件

C若机，a,贝厂加，夕'是％〃夕’的充要条件

D.若m//a,则“加〃〃”是""〃a”的既不充分也不必要条件

3,在三棱锥P-ABC中，AC=BC=PC=2,_SAC±BC,PC,平面ABC,过点尸作

截面分别交AC,BC于点、E,F,且二面角尸石广C的平面角为60。，则所得截面

尸跖的面积的最小值为（）.

A.-B.-C.-D.l

333

4.已知正方体ABCD-AiBCDi的外接球的体积为4遮兀，E,凡G分别为棱A4i,

A1B1,Aid的中点，则平面ERG截球的截面面积为（）.

A—B—CD-

3333

5.多选题如图，有一个正四面体A3CD,其棱长为1,则下列说法正确的是（）.

A.过棱AC的截面中，截面面积的最小值为W

4

B.若P为棱加（不含端点）上的动点，则存在点尸，使得cosNAPC三

C.若M,N分别为直线AC,3。上的动点，则M,N两点间的距离的最小值为立

2

D.与该正四面体各个顶点的距离都相等的截面有10个

6.（改编）已知四棱锥P-A3CD,底面A3CD是正方形，物，平面ABC。，AD=1,

PC与底面A3CD所成角的正切值为在，M为平面A3CD内一点（异于点A）,若

2

AM=^,则以P为球心，P般为半径的球的球面与四棱锥P-A3CD各面的交线长

2

为（）.

A.（V2+V6）7iB.^i^7i

4

C.y/6nD.2V2H

7.（改编）已知正方体ABCD-AiBiGDi的棱长为2,0是空间中的一动点，若

ZO=AAB+（1-A）^4D（0<A<1）,则平面Q4D1截正方体ABCD-AICLDI所得截面面积

的最大值为（）.

A.V2B.4C.2V3D.4V2

8汝口图，球。内切于圆柱。。2,圆柱的高为2,为底面圆。1的一条直径，D

为圆。2上任意一点，则平面DER截球。所得截面面积的最小值为.若

M为球面和圆柱侧面交线上的一点，则^周长的取值范围为.

能力提升

9.多选题如图所示，在平行六面体AIiGDi-ABCD中，。为正方形A3CD的中

心，AiA=AxC=AB,M,N分别为线段4A,AI的中点，则（）.

A.GC〃平面OMN

B.平面ACD〃平面OMN

C.直线MN与平面ArBD所成的角为45°

D.OMlDiD

10.多选题如图，尸是棱长为2的正方体ABCD-AbBiQDi的表面上一个动点，F

是线段4氏的中点，则（）.

A.若点P满足AP±BiC,则动点P的轨迹长度为4V2

B.三棱锥A-PBD体积的最大值为技

C.当直线AP与AB所成的角为45。时，点P的轨迹长度为JI+4V2

D.当点P在底面ABCD上运动，且满足PR〃平面时，线段PR长度的最

大值为2V2

11.（15分）如图，在多面体A3CDER中，平面刚3,平面ABCD,△FAB为等边

三角形，四边形A3CD为正方形，EF//BC,且ER=^C=3,H,G分别为CE,

4

CD的中点.

（1）证明：BFLAD.

（2）求平面BCEF与平面FGH的夹角的余弦值.

（3）作平面FHG与平面ABCD的交线，记该交线与直线AD的交点为P,写出黑

的值（不需要说明理由，保留作图痕迹）.

12.（17分）如图，在五面体ABCDfE中，底面ABCD是菱形，AB=4y/2,EF=42.

⑴证明：AD//EE

⑵已知ABLAD,M是AD的中点，。为3M的中点，OELBM且0E=2,CF=DF.

①HE明：0E,平面A3CD

②求直线AE与平面CDF所成角的正弦值.

副创新思维

13.（原创）如图，在平行六面体ABCD-A向Ci。中，E,F,G,H分别为A3,BC,

CD,DA的中点，M为棱CG上的动点，记平面BiMDi与平面A^FE,平面

D1GH的交线分别为/,加，则直线/与直线机的位置关系为（）.

A身面

B.平行

C.相交

D.以上都有可能

14.（人教A版选择性必修第一册P13例3改编）如图，正方体ABCD-AiBiCiDi的

棱长为1,E,R分别为棱A3,底上的点，若四边形4GRE将正方体分成体积

比为13/41的两部分，则该截面的面积为.

15.（原仓U）在三棱柱ABC-AbBiG中,AiA,平面ABC,ZACB=45°,AXA=AB=BC=2,

若乖=西，丽=西，则过点8,G,H的截面与平面ACG4的交线长为.

参考答案

专题七空间点、线、面位置关系

分类突破题型分析

题型1平行与垂直的证明

例1ACD

【解析】若一个条件是“AG=4。的必要条件，则该条件可由"AG=AC推出.

对于A,因为在平行六面体ABCD-AICiDi中，AAr/ZCCi,AA^CCi,所以四

边形ACG4为平行四边形，又AG=4C,所以四边形ACG4为矩形，故A正

确；

对于B,假设平面A3314,平面ACG4,由选项A可知，四边形ACG4为矩

形，则ACLAAi,又平面ABBiAm平面ACGAi=A4i,ACu平面ACGAi,所以

AC,平面A331A1,因为A3u平面A3B1A1,所以ACLAB,与四边形A3CD为正

方形矛盾，故B错误；

对于C,因为四边形A3CD是正方形，所以ACL3D,因为AC,A4i,A4i〃33,

所以AC±BBi,又BBiCBD=B,BBi,BDu平面BDDB,所以AC±平面BDDh,

又ACu平面A3CD,所以平面BDDbBi，平面A3CD,故C正确；

对于D,因为四边形ACGAi为矩形，0为AiCi的中点，所以OA=OC,连接

。。（图略），在△。4。与4OCD中,AD=CD,。。是公共边，所以△。4。乌△OCD,

所以N04D=N0CD,XBC//AD,AB//CD,所以NOAD,NOCD分别为直线

OA,3c所成的角（或其补角）与直线OC,A3所成的角（或其补角），

则直线3C所成的角与直线OC,A3所成的角相等，故D正确.

跟踪训练A

［解析】连接A£h（图略），则易得点M在ADi上，且〃为ADi的中点，AD」4D

因为A3,平面AAbDiD,AiDu平面AAbDiD,

所以ABLAiD

又ABCADi=A,AB,AD〕u平面Ag,

所以A。，平面ABDi.

又BDiU平面ABA,显然A。与皮异面，所以Ai。与3A异面且垂直.

在^ABD\中，由中位线定理可得MN//AB,

又平面A3CD,ABu平面A3CD,

所以MN〃平面A3CD

易知直线AB与平面BDDB成45。角，

所以直线与平面BDDiB不垂直，

所以选项A正确.

故选A.

题型2交线与截面

考向1截面问题

例2

【解析】

⑴连接43,AiCi,如图1所示.因为ABCD-AiSGDi是正方体，所以平面

ABBiAi.

因为ABC平面ABBrAi,所以3CLAB.又因为四边形ABB^是正方形，所以

AiBXABi.

因为A]3QBC=3,AiB,3Cu平面AbBC,所以AS，平面ALBC因为A《u平面

AiBC,所以ACABi.同理可证得ACDLBI.

DiHC,

B

又因为A3i"8101=31,ABi,BDiU平面ABDi,所以AC平面ASA.

⑵设E,F,G,H,I,J分别是AB,BBi,BiCi,GDi,DDi,AD的中点，连

接EFFG,GH,HI,IJ,JE,如图2所示.

根据题意知当截面面积最大时，截面图形是边长为鱼的正六边形ERGHU,所以

最大的截面面积5=6x|xV2xV2xsin60°=3g.

图3

(3)因为平面a〃平面ABiDi,所以当截面ERG的面积最大时，E,F,G分别是

棱A3,BBi,31cl的中点，以。为原点，建立如图3所示的空间直角坐标系，

则。(0,0,2),EQ,1,0),刀(2,2,1),G(l,2,2).设平面产的法向量为

n=(xi,yi,zi),。出二(2,1,-2),£)1F=(2,2,-1),

则『.丝=2%1+'1_221=0，令.=3,则刀=-2,窈=2,所以平面的一个法

(71.D#=2/+2y1_z1=0,

向量为〃=(3,-2,2).

设平面GER的法向量为加=(必以，Z2),丽=(0,1,1),FG=(-1,0,1),

则jm.竺二%+Z2=0,令也由，则”=-1,Z2=l,所以平面GER的一个法向量

{m,FG=—%2+z2=0,

为m=(l,-1,1),

n.m3x1+(—2)x(-1)+2xl币

v

贝Ucos<n,rn>=—n—m=2；22?Fl222.

\\\\p+(-2>)+2xJl+(-l>)+l51

设二面角Di-EFG的平面角为仇由图可知。为锐角，所以cos6=Z^,所以二

51

面角Di-EF-G的余弦值为亚H

51

跟踪训练

【解析】(1)如图1所示，平面GHCiDi即为截面a理由如下：

D,G

AB

图1

取A4i的中点G,331的中点H,连接DiG,GH,HCi,因为E为。Di的中点，

所以GH//AB,DiG//AE,AB//DxCx,所以GH//D\CX,即G,H,Ci,Di四点

共面.又DiGC平面ABE,AEu平面ABE,所以AG〃平面A3E.因为GHC平面

ABE,A3u平面ABE,所以GH〃平面A3E.

XGHQGDi=G,GH,GDc平面GHCQi,所以平面GHGA〃平面ABE.

故平面GHCiDi即为过Di的正方体的截面a,且截面a平行于平面ABE.

图2

⑵如图2所示，连接DR,以。为原点，DA,DC,DDi所在直线分别为x轴、

y轴、z轴，建立空间直角坐标系.设A4i=2,CF=a,a©[0,2],则5(0,0,2),

A(2,0,0),BQ,2,0),E(0,0,1),F(0,2,a),所以方=(0,2,0),AE=(-

2,0,1),印=(0,2,a-2).设平面ABE的法向量为n=(x,y,z),则

(n.AB=2y=0,取〃=(i,0,2))则截面a的一个法向量为〃=(1,0,2),

[nAE=-2x+z=0,

又直线DiF与截面a所成角的正弦值为I，

所以|cos＜瓦？，卜21七曰=|,解得a=l或a=3(舍去)，

卢1斗四12+(a-2)xV55

所以C尸=1,则署

考向2交线问题

例3ACD

[解析】对于A,如图1,将三棱台A3C431G补形为棱长为6的正四面体SABC,

取3c的中点时，连接SM,交31cl于点跖，连接AMi,则ASBC是边长为6的

等边三角形，且^SBiCi^/\SBC,所以啜=阴曳，即华=字，解得SG=4,

DC□£）OO

所以△SBG是边长为4的等边三角形，又唾=娉=|,所以Mi为ASBC的外

心，则由正四面体SABC知,AMi为正四面体SABC的高，则AM，平面BCCB,

故AMi为点A至U平面BCCiBi的距离，SM!=回西瓦=2V3,则

AMi7sA2_/卫=2m，A正确；

对于B,因为AMi±平面BCCiBi,当r=AP=26r时，可得

22=2,

M{P=y[AP\^Mf=J（2^）-（2^）因此，点P的轨迹是以跖为圆心，2为

半径的圆与等腰梯形BCCiBi重合部分的两段圆弧，分别为蔡和雄（如图2）,

连接MiE,MiF,由MiM=也,MiE=MiF=2,易得NE"LF=三，因此

NCMEMNBMR1所以僦的长度/=92=穹，则点P的轨迹的长度为2/=3,

即曲线厂的长度为竽，B错误；

对于C,CP的最小值为CMi-MiP=SMi-MiP=2g-2,C正确;

对于D,所有的线段AP所形成的曲面的面积为圆锥侧面积的一部分，由选项B

分析知点P的轨迹的长度为等，则曲面的面积为:X2TIX2X2近.瞿=空，D正确.

324n3

故选ACD.

A

跟踪训练A

【解析】

如图所示，连接QP并延长交底的延长线于点E,连接ET并延长交AD于点

S,交CD的延长线于点连接“。，交DDi于点凡连接SR,则加即为SR,

n即为SZ由PB//QC,得黑所以EB=2,EC=6,由AS//EB,得

l/CCDCD

4s4112

-=-----

EBT333

所以=ST=y/AS2+AT2=^-,故C,D错误；由SO〃EC,所以窑=族吟又

n3HEEC9

SR//PQ,所以券嘿=|,所以〃z=SR=|°E奇JQC2+EC2=4f,故A正确，B

错误.

分类突破真题改编

1.AC

【解析】对于A,当〃ua时，因为m〃〃，mu.,所以"〃夕，

当“up时，因为机ua,所以〃〃a,

当〃既不在平面a内也不在平面用内时，因为机〃“，mua,mu.,所以“〃a且

n//13,故A正确；

对于B,若机_L〃，则〃与a,6不一定垂直，故B错误；

对于C,如图，过直线〃分别作两个平面与a,〃分别相交于直线s和直线f,

因为“〃a,过直线〃的平面与平面a的交线为直线s,所以根据线面平行的性质

定理知n//s,

同理可得〃〃/,则s〃f,因为sC平面用，/u平面夕，所以s〃平面川，

因为su平面a,aC\/3=m,则s〃机，又因为“〃s,所以加〃“，故C正确；

对于D,若anp=机，〃与a和夕所成的角相等，当〃〃a,〃〃夕时，则机〃〃，故

D错误.故选AC.

2.24

【解析】由题意可知，以ER为直径的球的球心为正方体的中心。，以。/为半

径，。为球心的球与正方体的棱43有2个交点，根据正方体的对称性知，其

余各棱与球面也有2个交点，所以以ER为直径的球的球面与该正方体各棱的交

点总数为24.

分类突破最新模拟

三川囱I

1.D

【解析】当机_L〃，"〃a时，可能有/n_La,但也有可能加〃a或muct,故A错

误；

当机〃P，4_!_。时，可能有m_La,但也有可能机〃a或mua,故B错误；

在如图所示的正方体ABCD-AIiGDi中，

取机为BQ,n为CCi,£为平面A3CD,a为平面ADD14,这时满足加上〃，

n邛,B上a,但/«_1(/不成立，故C错误；

当机夕，”_1_川，”_La时，必有a〃夕，从而/n_La,故D正确.

故选D.

2.A

【解析】对于A,若机_La,则“"〃a"是"加_L〃”的充分不必要条件，故A错误；

对于B,若/nCa,“ua,贝!J机〃”n/n〃a,m//a^>m,〃平行或异面，所以‘‘机〃〃"

是“加〃a”的充分条件，故B正确；对于C,若机_La,则机_1_伏为〃夕，则“加

是“a〃4’的充要条件，故C正确；对于D,若机〃a,则加〃或"ua,

n//a^m,〃相交、平行或异面，所以“冽〃〃"是“"〃a"的既不充分也不必要条件，

故D正确.故选A.

3.

A.C

R

B

【解析】如图，过点p作PGLEF,垂足为G,连接CG,

7PC，平面ABC,.".PCLEF.

又PCnCG=C,PC,CGu平面PCG,

.：EJU平面PCG,.：EF±CG,

••"PGC即为二面角P-EF-C的平面角，

.".ZPGC=60°.

;PC=2,.：PG=警，CG=^-.^CE=a,CF=b,则EF=\心+〈2.

在ACER中，ab汽7心+匕2.又，02+炉川山,/.ab>^-^2ab=^^-,

.-.ab>l，当且仅当a=0=孚时，等号成立，.MPER的面积为

J3

9竽6+炉="骂,故截面PEF的面积的最小值为‘

A

【解析】设正方体ABOK4bBiciDi的外接球的半径为R,球心为。，棱长为a,

因为正方体ABCD-AiBiCiDi的外接球的体积为4b兀,所以如?3=4b兀，则尺=退

由3a2=（2次）2,得0=2.

设球心。到平面所G的距离为九平面ERG截球的截面圆的半径为「，点4到

平面ERG的距离为〃，因为E,F,G分别为棱A4i,AiBi,4A的中点，所以

△EFG是边长为正的正三角形.

1

EA=

由力1-EFG=4/1FG，3-贝心X^xV^X^y/^X:"=耳X]X1X1X1,

解得仁圣又Q4i=/C=B，所以狂Q4I-仁学，所以户/2/=（回2.（竽）

3乙J3

2=|,所以平面所G截球的截面面积为启卷

5.AC

【解析】

C

对于A,设截面与棱5。的交点为Q,如图1,连接AQ,CQ,过棱AC的截面

为△ACQ,则当Q为棱BD的中点时，△ACQ的面积取得最小值，在等腰△ACQ

中，AC=1,AQ=CQ=乌可得&4偿=已故A正确.

24

对于B,如图2,在线段3。上取一点尸（不含端点），连接AP,CP,

因为A3=3C,BP=BP,ZABP=ZCBP,所以AABP/△C3P,所以AP=CP,设

AP=CP=t,P［字1)，则ge(l，竽］.

在△ACP中，cosNAPC="!±QA£!=生黄=1-3，所以*cosNAPC＜〈，故B

2AP.CP2t22产32

错误.

对于C,如图3,取线段AC,3。的中点分别为M,N,连接AN,MN,CN,因

为AN=NC,所以在等腰△ANC中，MN为底边上的中线，则MNLAC,同理可

证故MN为线段AC,3。的公垂线，

所以当M,N分别为线段AC,3。的中点时，M,N两点间的距离最小，此时

AN=CN聋,所以MN=］鸟）2_（》2=浮即M,N两点间的距离的最小值为多

故C正确.

对于D,与正四面体各个顶点的距离都相等的截面分为以下两类：（1）平行于正四

面体的一个面，且到顶点和到底面的距离相等，这样的截面有4个；（2）平行于正

四面体的两条对棱，且到两条对棱的距离相等，这样的截面有3个.故与该正四

面体各个顶点的距离都相等的截面共有7个，故D错误.

6.B

【解析】因为底面ABCD为正方形，以，平面A3CD,且PC与底面A3CD所成

角的正切值为苧，所以ACR12+12=e,pA=l.

因为A%：,所以加=］怎）2+12=\,以P为球心，为半径的球的球面

与四棱锥P-ABCD侧面的交线是以P为圆心，苧为半径的圆与侧面展开图的交

线，即前？，如图所示.

由PB=V12+12=V2,PC=V12+l2+l2=V3,得PC2=PB2+BC2,则PBLBC,

所以tanNAPR=0=tanZBPC=—,则NAPR=N3PC,所以/4尸歹+/々3=；,

224

TTTT

所以/万。=/3尸。+/R尸3=彳.根据对称性有/叮。=/。收，所以NRPE=5,故

4L

前＞的长为32兀x噂=孚.

424

又球面与底面A5CD的交线是以P为圆心，:为半径的四分之一圆，其长度为

：x2兀x0=&,故以P为球心，为半径的球的球面与四棱锥PA3CD各面的

交线长为竽兀

4

7.D

【解析】因为而=2荏+（1-2）而（OS及1）,所以丽=2丽，又OS於1,所以。是线

段上一点.

DiG

如图1,连接AC,与BD交于点Z.当点0与点D重合时，平面OADi与平面

ADDiAi重合，此时截面面积为4.当点0在线段DZ(不含点。)上时，平面OAD,

截正方体所得截面为三角形，且当点。与点Z重合时，截面为△ACA,此时截

面面积最大，由等边三角形ACDi的边长为2遮，得此时截面面积为28.

如图2,当点。在线段3Z(不含点3,Z)上时,

延长A。，与3C交于点W,作与CG交于点R,连接RDi,则截面

为等腰梯形AWRDi.设3W=x(0<x<2),则AW=DIR=V4+/,WR=V2(2-x),梯形

AWRDi的高力=14+步,梯形AWRDr的面积

X2%242

S梯形MR%=|(ADl+WRyh=|7(4-)(8+)-令^)=(^)(8+N)(0<x<2),则

/(X)=4(X-4)(X2-2X+4),当0<尤<2时，f(x)<0,故於)在(0,2)上单调递减，所以

48<»<128,所以2g<S梯形AWRDI<4后当点。与点B重合时，截面为矩形

ABC\D\,面积为4a.故平面OADi截正方体ABCD-ALBCLDI所得截面面积的最

大值为4V2.

8令[V5+3,2V3+2]

【解析】过点。在平面ABCD内作OGLDOi,垂足为G,如图1.

DO2C

AOxB

图1

易知OiOiLCD,502=2,02D=l,在RtAOxO2D中，由勾股定理可得

ObD=j01成+02。2=麻,则由题意可得0G当畸电嗡专设点。到

平面DER的距离为力，平面DER截球。所得的截面圆的半径为人因为。iDu

平面DEF,当0G,平面DEF时，小取得最大值0G,即di<0G=^.,所以

n=Vl-d1>J1一（=等,所以平面DER截球0所得的截面面积的最小值为7ix

由题意可知，点般在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设点M在底面的射

影为点“'，如图2.

图2

因此，ME=71+M，E2,MF=7\+M，F2.在RtaM，EF中,由勾股定理

可得“必+M严=4,令MF=2-t,则M0=2+t,其中-2<t<2,所以

22

ME+MF=V3Tt+V3^-t,^^(ME+Af^=(V3Tt+V3^t)=6+2V9^t2,所以

(ME+MF)2^[6+245,12],因此ME+MR®[通+1,273],所以△MER的周长的

取值范围为[逐+3,2V3+2].

能力提升

9.BCD

【解析】对于A,因为GC/7A1A,且AiA和平面0MN相交，所以CC与平面

OMN相交，故A错误.

对于B,因为M,N分别为线段4A,AiB的中点，所以MN〃A3〃CD,又MN*

平面4CD,CDu平面4CD,所以MN〃平面4CD因为。，N分别为线段3D,

43的中点，所以ONZMiD又ONC平面AiCD,AQu平面ArCD,所以ON〃平

面AiCD^MNnON=N,MN,ONu平面。MN,所以平面4CD〃平面0MM故

B正确.

对于C,连接4。（图略），由于。为AC的中点，且AiA=4C,故ACLAi。，而

AC±BD,AiOHBD=O,故A。，平面ALBD因为AfN〃A3,所以MN与平面ALBD

所成的角即为A3与平面AID所成的角.又A3与A。的夹角为45。，所以直线

MN与平面ALBD所成的角为45。，故C正确.

对于D,设AiA=AiC=AB=a,^ljAC=^2a,显然人自2+4。=4。，故AC4A,

因为OM〃AC,所以OMLAA而DiD//ArA,所以故D正确.故

选BCD.

10.CD

【解析】对于A,易知平面A3GD1,AG平面A3GD1,故动点P的轨迹

为矩形ABCiDr,则动点P的轨迹长度为矩形ABCiDi的周长，即4企+4,故A

错误.

对于B,因为%_「%01=%48/1，而等边三角形ABDI的面积为定值2次，要使

三棱锥P-ABQ的体积最大，当且仅当点P到平面ABiDi的距离最大.易知点C

到平面ABlDl的距禺最大，所以（以_PBiDi）max，此时二棱锥C-ABlD［即

为棱长是2vn勺正四面体，其高h=JRe2_（竽）2=苧，所以

=/=x

（Kl.PB1D1）maxlC>lB1D1^2-\/3故B错误.

对于C,连接AC,ABr,以3为圆心，331为半径画弧“，如图1所示,

当点尸在线段AC,AB和弧壁上时，直线AP与A3所成的角为45。，

又AC=2VLA3I=2VL弧即的长度为卜兀X22=JI,所以点P的轨迹长度为兀+4/,

_L4

故C正确.

对于D,取A1D1,D1D,DC,CB,BBt,A3的中点分别为Q,R,N,M,T,

H,连接QR,QF,FT,TM,MN,NR,FH,HN,HM,DCB1D1,BiC,FN,

FM,如图2所示.

HB

图2

因为RT〃DC,fTU平面ABC,DiCu平面。山iC,所以RT〃平面MC.因为

TM//BiC,7加，平面DiBiC,SCu平面DiBiC,所以7M〃平面DiBC又

FTCTM=T,FT,77版=平面FTM,所以平面R7M〃平面DiBC.又QF〃NM,

QR//TM,RN//FT,所以平面FTMNRQ与平面FTM是同一个平面，则点P的

轨迹为线段MN.在△WW中，FN=^FH2+H/V2=2V2,FM=y/FH2+HM2=46,

MN=y[2,则故△RNAf是以NR0N为直角的直角三角形，故

线段PF长度的最大值为2vL故D正确.故选CD.

11.解析(1)在正方形A3CD中，AD1AB,

因为平面刚3,平面ABCD,平面刚3A平面ABCD=AB,ADu平面ABCD,所

以平面FAB.

又3Ru平面刚3,所以BfUAD..........................................................................4分

图1

(2)因为△刚3为等边三角形，设A3的中点为。，连接OR,0G,所以。fUAA

又平面刚3,平面ABCD,平面刚5八平面ABCD=AB,ORu平面FAB,所以。尸，

平面ABCD以。为坐标原点，OB,OG,OR所在直线分别为x轴、y轴、z轴,

建立空间直角坐标系，如图1所示.

因为ER=Wc=3,所以3C=4,则3(2,0,0),C(2,4,0),F(0,0,2次)，E(0,

3,2V3),H(l,I，V3),G(0,4,0),

所以疏=(-2,0,2V3)-BC=(0,4,0),FH=(1,-⑹，FG=(0,4,-2^3).

1

设平面BCEF的法向量为m=(x,y,z),则卜竺二仇即卜2%+邛。=。，令z=l,

(jn.BC=0,(4y=0,

得x=g,y=0,所以平面3CER的一个法向量为机=(遮，0,1),

设平面RGH的法向量为〃=(a,b,c),

则丝=0,即卜+触-血=。,令,=疼得—J,鸿，所以平面RGH的一

42

ln.FG=0,(4b.2V3c=0,

93

个法向量为«=(4-2-

设平面BCEF与平面FGH的夹角为6,则cos6»=|cos<m,”>|=伫驾=I

\m\\n\1

空嚅举|=运，所以平面3CER与平面RGH的夹角的余弦值为叵.11分

而xj转+9312222

(3)平面FHG与平面ABCD的交线为直线PG如图2所示，在AD上取一点P,

使得DP=EF,连接FP,PG因为EF//BC,AD//BC,所以EF//AD,即EF//DP,

所以四边形EFPD为平行四边形，所以用〃ED

因为H,G分别为CE,CD的中点，所以GH//DE,所以GH//PF,