几何作图题-2023年北京中考复习试题分类汇编（解析版）

专题20几何作图题

解答题（共34小题）

1.（2022•北京）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明.

三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180。.

已知：如图，NABC,求证：Z^+ZS+ZC=180°.

方法一方法二

证明：如图，过点/作Z）E//8c.证明：如图，过点C作CD///8.

A

:./B=/BAD,/C=/CAE,

♦・•ABAD+ABAC+/CAE=180。，

ZB+ABAC+ZC=1SO°；

方法二：vCD//AB,

:.ZA=N4CD,/B+/BCD=180。，

...ZB+ZACB+ZA=180°.

2.（2021•北京）《淮南子？天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点N

处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点3,使2,4两点间的距离为10步（步是古代的一种

长度单位），在点3处立一根杆；日落时，在地面上沿着点8处的杆的影子的方向取一点C,使C,8两

点间的距离为10步，在点C处立一根杆.取C4的中点。，那么直线。2表示的方向为东西方向.

（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点4,B,C的位置如图所示.使用直尺和圆规，在图

中作C4的中点。（保留作图痕迹）；

（2）在如图中，确定了直线D8表示的方向为东西方向.根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直

线C4表示的方向为南北方向，完成如下证明.

证明：在A43C中，BA=_BC_,。是C4的中点，

CA1DB（）（填推理的依据）.

•.■直线表示的方向为东西方向，

直线CA表示的方向为南北方向.

CALDB（三线合一），

・直线。3表示的方向为东西方向,

直线CA表示的方向为南北方向.

故答案为：BC,三线合一.

3.（2020•北京）已知：如图，AABC为锐角三角形，AB=AC,CD//AB.

求作：线段8尸，使得点尸在直线CD上，且乙43尸=工/氏4c.

2

作法：①以点4为圆心，/C长为半径画圆，交直线CD于C,尸两点；

②连接8尸.

线段8尸就是所求作的线段.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：•.•CD//4B,

:.ZABP=_ZBPC_.

AB=AC,

.,.点2在04上.

又：点C,尸都在O/上，

:./BPC=；NBAC（）（填推理的依据）.

:.ZABP=-ZBAC.

2

【详解】解：（1）如图，即为补全的图形;

ZABP=NBPC.

•「AB=AC,

.,.点5在。力上.

又•・•点C,P都在。Z上，

ZBPC=-ZBAC（同弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半），

2

:.ZABP=-ZBAC.

2

故答案为：ZBPC,同弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半.

4.（2018•北京）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程.

已知：直线/及直线/外一点尸.

求作：直线尸0,使得尸。///.

作法：如图，

①在直线/上取一点作射线尸以点N为圆心，4P长为半径画弧，交尸/的延长线于点2；

②在直线/上取一点C（不与点/重合），作射线3C,以点C为圆心，C8长为半径画弧，交的延长线

于点。；

③作直线尸0.所以直线P。就是所求作的直线.

根据小东设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明.

证明：•••AB=_AP_,CB=,

:.PQ//l（）（填推理的依据）.

（2）证明：vAB=AP,CB=CQ,

PQHl（三角形中位线定理）.

故答案为：AP,CQ,三角形中位线定理；

5.（2022•海淀区一模）《元史・天文志》中记载了元朝名天文学家郭守敬主持的一次大规模观测，称为“四

海测验”、这次观测主要使用了“立杆测影”的方法，在二十七个观测点测量出的各地的“北极出地”与现

在人们所说的“北线”完全吻合，利用类似的原理，我们也可以测量出所在地的纬度.如图1所示.

①春分时，太阳光直射赤道，此时在M地直立一根杆子在太阳光照射下，杆子会在地面上形成

影子，通过测量杆子与它的影子的长度，可以计算出太阳光与杆子〃N所成的夹角a；

②由于同一时刻的太阳光线可以近似看成是平行的.所以根据太阳光与杆子所成的夹角a可以推算得

到M地的纬度，即ZMOB的大小.

（1）图2是①中在"地测算太阳光与杆子所成夹角a的示意图.过点/作的垂线与直线CD交

于点。，则线段M0可以看成是杆子在地面上形成的影子.使用直尺和圆规，在图2中作出影子M0

（保留作图痕迹）；

（2）依据图1完成如下证明.

证明：•••N2//C。，

ZMOB=_AOND_=a（）（填推理的依据）

二."地的纬度为a.

【详解】（1）解：如图2中，线段MQ即为所求;

、、太阳光

祚、

、

a、、

/'

（I

图2

（2）证明：VABHCD,

AMOB=ZOND=a（两直线平行，内错角相等），

地的纬度为a.

故答案为：ZOND,两直线平行，内错角相等.

6.（2022•朝阳区一模）中国古代数学家李子金在《几何易简集》中记载了圆内接正三角形的一种作法“以

半径为度，任用圆界一点为心，作两圆相交，又移一心，以交线为界，再作一交圆，其三线相交处为一角，

其两线相交处为两角，直线界之亦得所求”.

由记载可得作法如下：

①作。〃，在0M上取一点N,以点N为圆心，为半径作ON,两圆相交于/,8两点，连接；

②以点3为圆心，43为半径作OB,与OM相交于点C,与ON相交于点。；

③连接/C,AD,BC,BD.

AABC,AA8。都是圆内接正三角形.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：连接AN,MN,BM.

■：MA=MN=NA,

:.\AMN为等边三角形.

ZAMN=60°.

同理可得，ZBMN=60°.

ZAMB=120°.

ZACB=60°（）（填推理的依据）.

•••BA=BC,

AABC是等边二角形.

同理可得，A48D是等边三角形.

【详解】⑴解：图形如图所示:

（2）证明：连接/M,AN,MN,BM.

■：MA=MN=NA,

:2MN为（等边三角形）.

ZAMN=60°.

同理可得，ZBMN=60°.

ZAMB=120°.

/.NACB=60°（同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半），

•••BA=BC,

AABC是等边三角形.

同理可得，A48。是等边三角形.

故答案为：等边三角形，同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半.

7.（2022•顺义区一模）已知：如图，乙408和射线PN.

求作：射线尸使得NMPN=2N4OB.

作法：①在射线08上任取一点C,以点C为圆心，OC的长为半径画弧，交。4于点。；

②以点尸为圆心，OC的长为半径画圆，交射线PN的反向延长线于点E；

③以点E为圆心，OD的长为半径画弧，在射线尸N上方，交O尸于点〃；

④作射线.

所以射线尸M就是所求作的射线.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：连接CD,EM.

PM=PE=CD=CO,EM=OD.

NMEP=AD0C（_SSS_）（填推理依据）.

AMEP=ADOC.

又•：4MPN=2ZMEP（）（填推理依据）.

.AMPN=1AAOB.

(2)证明：连接CD,EM.

PM=PE=CD=CO,EM=OD.

NMEP=ADOC(SSS),

ZMEP=ZDOC.

又•：NMPN=2NMEP(圆周角定理),

NMPN=2ZAOB.

故答案为：SSS,圆周角定理.

8.（2022•通州区一模）已知：如图，AX8C为锐角三角形，AB=AC.

求作：点尸，使得=MZAPC=ABAC.

作法：①以点/为圆心，AB长为半径画圆；

②以点3为圆心，8C长为半径画弧，交OA于点、D（异于点C）；

③连接DA并延长交。力于点尸.

所以点尸就是所求作的点.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：连接尸C.

AB=AC,

.,.点C在O/上.

-：DC=DC,

ZDPC=|NDAC（同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半）（填推理的依据）,

由作图可知，BD=BC,

ADAB==-ZDAC.

2

ZAPC=ZBAC.

【详解】（1）解：图形如图所示:

p

\/

(2)证明：连接PC.

AB=AC,

.•.点。在。4上.

'：DC=DC,

ZDPC=-ZDAC(同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半)，

2

由作图可知，BD=BC,

ZDAB=ABAC=-ZDAC.

2

ZAPC=ZBAC.

故答案为：圆周角定理，ABAC.

9.(2022•丰台区一模)《周髀算经》中记载了一种确定东南西北方向的方法.大意是：在平地上点/处立

一根杆，记录日出时杆影子的长度并以点工为圆心，以N5为半径画圆，记录同一天日落时杆影子的

痕迹与此圆的交点C,那么直线C8表示的方向就是东西方向，NA4c的角平分线所在的直线表示的方向

就是南北方向.

(1)上述方法中，点/,B,C的位置如图所示，使用直尺和圆规，在图中作NB4C的角平分线(保

留作图痕迹)；

(2)在图中，确定了直线C8表示的方向为东西方向，根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线

4D表示的方向为南北方向，完成如下证明.

证明：•.•点8,C在。。上，

AB=__AC__.

A43C是等腰三角形.

•••40平分/A4c,

AD1BC（）（填推理的依据）.

•.・直线C8表示的方向为东西方向，

直线AD表示的方向为南北方向.

【详解】（1）解：如图，射线即为所求;

（2）证明：•.•点8,C在OO上，

/.AB=AC.

A43c是等腰三角形.

平分/A4C,

AD±BC（三线合一）.

•.■直线CB表示的方向为东西方向，

直线AD表示的方向为南北方向.

故答案为：AC,三线合一.

10.（2022•房山区一模）已知：如图，点M为锐角N/尸8的边尸N上一点.

求作：NAMD,使得点D在边PB上,且ZAMD=2ZP.

作法：①以点M为圆心，儿。长为半径画圆，交尸/于另一点C,交PB于点、D；

②作射线.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：•./、C、。都在OM上，

/P为C。所对的圆周角，NCW为CD所对的圆心角,

4P=；NCMD（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半）（填推理依

据）.

ZAMD=2ZP.

（2）证明：•.1、C、。都在OM上，

NP为无所对的圆周角，NCMD为①所对的圆心角，

Z.P=~Z.CMD（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半），

2

/AMD=2ZP.

故答案为：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.

11.（2022•平谷区一模）有趣的倍圆问题：校园里有个圆形花坛，春季改造，负责该片花园维护的某班同

学经过协商，想把该花坛的面积扩大一倍.他们在图纸上设计了以下施工方案：

①在。。中作直径N2,分别以/、2为圆心，大于工/3长为半径画弧，两弧在直径上方交于点C,

2

作射线0c交。。于点。；

②连接5D,以。为圆心5。长为半径画圆；

③大。。即为所求作.

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成如下证明：

证明：连接。、CB

在AA8C中，•••CA=CB,。是的中点，

:.C01AB（等腰三角形的三线合一）（填推理的依据）

设小。半径长为r

OB=OD,ZDOB=90°

BD=41r

S大°。=兀（也rY=----S小00.

在AA8C中，•••CA=CB,。是N2的中点，

COYAB（等腰三角形的三线合一），

设小。半径长为厂，

OB=OD,ADOB=90°,

BD=V2r,

$大。。=初血厅=2S小oo-

故答案为：等腰三角形的三线合一，2.

12.（2022•北京一模）已知：如图，直线/,和直线外一点尸.

求作：过点尸作直线PC,使得PC///,

作法：①在直线/上取点O,以点。为圆心，。尸长为半径画圆，交直线/于N,B两点;

②连接/尸，以点8为圆心，N尸长为半径画弧，交半圆于点C；

③作直线PC.

直线PC即为所求作.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明：

证明：连接AP.

BC=AP,

BC=_PA_.

:.NABP=NBPC（）（填推理依据）.

【详解】解：（1）如图，直线尸C即为所求作.

BC=AP,

,:.BC=AP,

AABP=ABPC（同弧或等弧所对的圆周角相等），

直线尸C//直线/.

故答案为：PA,同弧或等弧所对的圆周角相等.

13.（2022•门头沟区一模）下面是小明设计“作圆的一个内接矩形，并使其对角线夹角为60。”尺规作图

的过程.

已知：如图，。。.

求作：矩形/BCD,使矩形4BCD内接于。。，对角线/C与的夹角为60。.

作法：①作。。的直径/C;

②以点/为圆心，长为半径作弧.交直线/C上方的圆于点8；

③连接BO并延长交。。于点D■.

④顺次连接/8、BC、C£）和D4.

四边形ABCD就是所求作的矩形.

根据小明设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：•.•点/,C都在。。上，

.­.OA=OC,OB=OD.

.•.四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）（填推理依据）.

又•••NC是。。的直径，

AABC=90°（）（填推理依据），

四边形/2CA是矩形.

又AB=AO=.

.­.NABO是等边三角形，

ZAOB=60°,

四边形/BCD是所求作的矩形.

【详解】（1）解：如图，四边形N8CD即为所求.

-------D

（2）证明：•.•点C都在。。上,

OA=OC,OB=OD,

二.四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），

又；4c是QO的直径，

:"ABC=90°（直径所对的圆周角是直角）（填推理依据），

四边形/BCD是矩形.

又；AB=AO=OB,

KABO是等边三角形，

ZAOB=60°,

四边形ABCD是所求作的矩形.

故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，直径所对的圆周角是直角，08.

14.（2022•海淀区二模）已知：如图1,在A45C中，AB=AC,。为边/C上一点.

求作：点尸，使得点尸在射线3。上，且N/PB=N4CB.

作法：如图2,

①以点/为圆心，48长为半径画弧，交2。的延长线于点E,连接

②;

点尸就是所求作的点.

⑴补全作法，步骤②可为_6_（填“a”或“6”）；

a：作NR4E的平分线，交射线2。于点尸

b：作NC4E的平分线，交射线AD于点尸

（2）根据（1）中的选择，在图2中使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（3）由①可知点8,C,E在以点N为圆心，N8长为半径的圆上，所以NCBE=LNC4E.其依据

2

是—.

由②可得/尸=-Z,所以NP4D=ZCBE.

2

又因为NADP=ZBDC,可证ZAPB=NACB.

图1图2

【详解】解：⑴作NC4E的平分线，交射线于点尸,

故选：b；

（3）由①可知点3,C,£在以点/为圆心，N8长为半径的圆上，所以=其依据是在

2

同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半.

由②可得NPAD=-NCAE,所以ZPAD=ZCBE.

2

又因为NADP=ZBDC,可证NAPB=NACB.

故答案为：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；CAE.

15.（2022•西城区二模）已知：如图，KABC.

求作：点。（点。与点8在直线/C的异侧），使得D4=DC,且44"3+/48。=180。.

作法：①分别作线段/C的垂直平分线4和线段3c的垂直平分线/2,直线4与4交于点O；

②以点。为圆心，的长为半径画圆，。。与4在直线5c上方的交点为D；

③连接。/,DC.

所以点。就是所求作的点.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：连接CM,OB,OC.

•.・直线垂直平分/C,点。，。都在直线4上，

.­.OA=OC,DA=DC.

•.・直线右垂直平分8C，点o在直线4上，

OB=.

OA=OB=OC.

.•.点/,B,C都在。。上.

•.,点。在。。上,

AADC+AABC=.()(填推理的依据)

（2）完成下面的证明.

证明：连接CM,OB,OC.

•.,直线/］垂直平分4C,点。，。都在直线4上，

OA=OC,DA=DC.

•.,直线4垂直平分8C,点o在直线4上，

OB=OC.

OA=OB=OC.

.•.点4,B,C都在OO上.

•.,点。在。。上，

ZADC+ZABC=180°（圆内接四边形的对角互补）.

16.（2022•昌平区二模）己知：如图1,AMON.

求作：ABAD,使/BAD=/MON.

下面是小明设计的尺规作图过程.

作法，如图2:

①在（W上取一点以工为圆心，为半径画弧，交射线于点2;

②在射线ON上任取一点C,连接8C,分别以2,C为圆心，大于‘8C为半径画弧，两弧交于点E,

2

F,作直线斯，与BC交于点。；

③作射线NR4。即为所求.

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下列证明.

证明：厂垂直平分BC,

:._BD_=DC.

■：AO=AB,

：.AD//OC（）（填推理依据）.

图1图2

（2）证明：垂直平分2C,

.­.BD=DC,

•••AO=AB,

：.ADIIOC（三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半）,

/BAD=AMON.

故答案为：BD,三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.

17.（2022•朝阳区二模）已知：线段N8.

求作：AABC,使得乙4=90。，ZC=30°.

作法：①分别以点/,8为圆心，N8长为半径画弧，在直线48的一侧相交于点D；

②连接AD并延长，在2。的延长线上取一点C,使得CD=AD；

③连接/C.

KABC就是所求作的三角形.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：连接4D.

•/AB=BD=AD,

是等边三角形（三边相等的三角形是等边三角形）（填推理的依据）.

..../B=AADB=60°.

•・•CD=BD,

CD=AD.

.ZDAC=ZACB.

:.NADB=NDAC+NACB（）（填推理的依据）

=2ZACB.

:.ZACB=30°.

...ABAC=90°.

A

【详解】（1）解：如图，A45C即为所求;

D

B

（2）证明：连接40.

AB=BD=AD,

.•.ZU2D是等边三角形（三边相等的三角形是等边三角形），

ZB=ZADB=60°.

CD=BD,

CD=AD.

ADAC=NACB.

ZADB=ZDAC+ZACB（三角形的外角等于不相邻的两个内角的和）

=2NACB.

ZACB=30°.

:.ZBAC=90°.

故答案为：三边相等的三角形是等边三角形，三角形的外角等于不相邻的两个内角的和.

18.（2022•丰台区二模）已知：如图，射线

求作：\ABC,使得N/J5c=90。，ABAC=30°.

作法：与在射线上任取一点。（不与点N重合）；

②以点。为圆心，CM长为半径画弧，交射线于4,C两点；

③以点C为圆心，C。长为半径画弧，交就于点8；

④连接BC.

AABC就是所求作的三角形.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明：

证明：连接。8.

在O。中，OB=OC.

在OC中，OC=BC.

OB=OC=BC.

\OCB是等边三角形.

AACB=60°.

■：AC^QO的直径，

ZABC=90°()(填推理的依据).

:.ZACB+ZBAC=90°.

，NA4c=30°.

（2）完成下面的证明：

证明：连接08,

在0。中，OB=OC,

在OC中，OC=BC,

OB=OC=BC,

AOC3是等边三角形，

NACB=60°,

••,ZC是。。的直径，

ZABC=90°（直径所对的圆周角为直角）,

:.ZACB+/B4c=90°,

:.ZBAC=30°.

故答案为：90,直径所对的圆周角为直角.

19.（2022•东城区一模）已知:线段48.

求作：RtAABC,使得ABAC=90°,ZC=30°.

作法：

①分别以点N和点3为圆心，长为半径作弧，两弧交于点。；

②连接8。，在的延长线上截取。C=；

③连接/C.

则NABC为所求作的三角形.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：连接NO.

,/AB=AD—BD,

.•.ZUM为等边三角形（三边相等的三角形是等边三角形）.（填推理的依据）

NB=AADB=60°.

•・•CD=BD,

AD=CD

:.ZDAC=（）.（填推理的依据）

AADB=NC+ADAC=60°.

/.ZC=30°.

在A45C中，

ABAC=180。—（N5+ZC）=90°.

AB

【详解】⑴解：图形如图所示：

（2）证明：连接AD.

,/AB=AD—BD,

为等边三角形（三边相等的三角形是等边三角形）.（填推理的依据）》

NB=ZADB=60°.

•••CD=BD,

AD=CD

:.ZDAC=ZDCA（等边对等角）.（填推理的依据）

NADB=ZC+ZDAC=60°.

:.ZC=30°.

在NABC中,ABAC=180°-（ZS+ZC）=90°.

故答案为：三边相等的三角形是等边三角形，NDCA,等边对等角.

20.（2022•东城区二模）如图，在A4BC中，AB=AC.

求作：直线4D,使得4D//8C.

小明的作法如下：

①以点/为圆心、适当长为半径画弧，交氏4的延长线于点交线段/C于点尸；

②分别以点E,尸为圆心、大于工跖的长为半径画弧，两弧在NE4C的内部相交于点。;

2

③画直线4D.

直线4。即为所求，

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：由作法可知：4。平分NE4C.

NEAD=NDAC（角平分线的定义）.（填推理的依据）

AB=AC,

ZB=ZC

•・•ZEAC=NB+NC,

/EAC=2/B.

•・•NEAC=2ZEAD,

ZEAD=

AD//BC（）.（填推理的依据）

A

B------------------------、C

证明：由作法可知：/Q平分NE4C,

/.ZEAD=ZDAC（角平分线的定义）,

•・•AB=AC,

/B=/C,

•••/EAC=/B+/C,

ZEAC=2ZB.

•・•/EAC=2ZEAD,

ZEAD=/B,

：.ADIIBC（同位角相等，两直线平行）.

故答案为：角平分线的定义；Z5,同位角相等，两直线平行.

21.（2022•顺义区二模）已知：如图1,直线/和/外一点尸.

求作：直线P。，使得尸。///.

作法：①在直线/上任取一点工,连接尸/,以点/为圆心，P4的长为半径画弧，交直线/于点2；

②分别以点尸，2为圆心，尸/的长为半径画弧，两弧交于点。（不与点/重合）；

③作直线尸。.

所以直线尸0就是所求作的直线.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：连接2Q.

•:AB=BQ=PQ=P4,

.•.四边形尸是菱形,（一）（填推理依据）.

:.PQ//AB（）（填推理依据）.

即PQ!H.

图2

（2）完成下面的证明.

证明：连接20.

AB=BQ=PQ=PA,

.•.四边形尸是菱形（四边都相等的四边形为菱形）.

:.PQHAB（菱形的两组对边分别平行），

即PQUI.

22.（2022•门头沟区二模）下面是小宇设计的“作圆的内接正方形”的尺规作图过程.

已知：oo.

求作：。。的内接正方形.

作法：如图.

①作直径AB；

②分别以点8为圆心，以大于的同样长为半作弧，两弧交于M,N两点;

2

③作直线交。。于点C,D；

④连接/C,BC,AD,BD.

所以四边形4C2。就是所求作的正方形.

根据小宇设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明.

证明：在。中，

,/MA=MB,NA=NB,

MNVAB.

ZAOC=ZCOB=/BOD=NDOA=90°.

AC=BC=BD=AD（相等的圆周角所对的弦相等）（填推理的依据）.

四边形/C8。是菱形（—）（填推理的依据）.

AB>OO的直径，

.•.乙4。8=90。（）（填推理的依据）.

四边形NCAD是正方形.

【详解】解：（1）如图，正方形/BCD即为所求.

（2）在。中，-：MA=MB,NA=NB,

MNLAB.

NAOC=ZCOB=ZBOD=Z.DOA=90°.

AC=BC=BD=AD（相等的圆心角所对的弦相等），

，四边形/CAD是菱形（四边相等的四边形是菱形），

是OO的直径，

:.AACB=90°（直径所对的圆周角是90。），

四边形/CAD是正方形.

故答案为：相等的圆心角所对的弦相等，四边相等的四边形是菱形，有一个角是直角的菱形是正方形.

23.（2022•石景山区二模）已知：如图，在A45C中，AB=AC.

求作：A42c的角平分线N7.

作法：①分别以点8,C为圆心，长为半径作弧，两弧在8C下方相交于点。；

②连接交BC于点、T.所以就是所求作的线段.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：连接8。，CD.

AB=BD=DC=CA,

二.四边形/5DC是菱形（—）（填推理的依据）.

NBAD=Z

:.AT为AABC的角平分线.

A

（2）完成下面的证明.

证明：连接20,CD,

■：AB=BD=DC=CA,

二.四边形/8DC是菱形（四条边都相等的四边形为菱形）.

ABAD=ACAD,

:.AT为AABC的角平分线.

24.（2022•平谷区二模）如图，/市气象台预报：一沙尘暴中心在/市正西方的2处，正迅速向北偏东的

3c方向移动，距沙尘暴中心一定的范围内都将受沙尘暴影响，我们称这个范围为“波及范围”.若想预测

/市是否会受这次沙尘暴的影响，只需测量/市到射线5c的距离，若这个距离大于波及范围则/市不会

受到影响，若这个距离小于波及范围则/市会受到沙尘暴的影响.结合题意，在地图中作出所要测量的线

段：

①作线段的垂直平分线/；

②直线/与线段AB交于点0；

③以。为圆心，长为半径画圆，交射线8c于点〃；

④连接/〃，即为所求作.

(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹);

(2)依据作图过程完成如下证明.

证明：是。。直径，

:.NAHB=_90°_()(填推理的依据).

AH即为所求作.

(2)证明：：/台是。。直径，

:.ZAHB=90°(直径所对的圆周角为直角)，

AH即为所求作.

故答案为：90。，直径所对的圆周角为直角.

25.(2022•房山区二模)已知：如图，四边形/BCD是平行四边形.

求作：菱形AECF,使点E,F分别在BC,AD1..

作法：①连接/c；

②作/C的垂直平分线即分别交8C,/D于点E,F；AC,即交于点O；

③连接NE,CF.所以，四边形NEC尸就是所求作的菱形.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：•.,四边形4BCD是平行四边形，

AF//EC.

ZFAO=NECO.

又•••ZAOF=ZCOE,AO=CO,

\AOF=\COE.

FO=EO.

：.四边形/ECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）（填推理的依据）.

又；EFL4C,

.••平行四边形NEC尸是菱形（—）（填推理的依据）.

(2)证明：•.•四边形N2CD是平行四边形,

AF11EC,

ZFAO=NECO,

又ZAOF=ZCOE,AO=CO,

NAOF=\COE(ASA),

FO=EO,

四边形NECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），

又•；即_LAC,

平行四边形/EC尸是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形）.

故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线垂直的平行四边形是菱形.

26.（2022•北京二模）已知:ZAOB.

求作：N/02的平分线；

作法：①以点。为圆心，适当长为半径画弧，交04于点C,交。8于点。；

②分别以点C,。为圆心，OC长为半径画弧，两弧在N/O3的内部相交于点尸；

③画射线。尸.

射线。P即为所求.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：连接PC,PD.

由作法可知OC=OD=PC=PD.

.一.四边形。CPD是菱形，

:.OP平分ZA0B（____）（填推理的依据）.

【详解】解：（1）如图，射线OP即为所求.

(2)连接PC,PD.

由作法可知OC=OD=PC=PD.

.•.四边形。CPD是菱形，

:.OP平分ZAOB（菱形的对角线平分一组对角）.

故答案为：菱形，菱形的对角线平分一组对角.

27.（2022•石景山区一模）己知：如图，RtAABC中，ZACB=90°,CB<CA.

求作：线段N2上的一点〃，使得=

作法：

①以点C为圆心，C5长为半径作弧，交于点D；

②分别以点8,。为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的右侧相交于点E；

2

③作直线CE,交N2于点

NMC5即为所求.

根据小伟设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：连接CD,ED,EB.

■：CD=CB,ED=EB,

:.CE是DB的垂直平分线（线段垂直平分线的性质）（填推理的依据）.

CMLAB.

AMCB+Z5=90°.

•••ZACB=90°.

ZA+ZB=90°.

【详解】（1）解：如图所示，NMC5即为所求;

（2）证明：连接CD,ED,EB.

CD=CB,ED=EB,

:.CE是DB的垂直平分线（线段垂直平分线的性质）,

CM1AB.

ZMCB+ZB=90°.

•••ZACB=90°.

NA+NB=90°.

ZMCB=ZA（余角的性质），

故答案为：线段垂直平分线的性质，余角的性质.

28.（2022•密云区二模）阅读材料并解决问题：

已知：在AA8C中，AB>BC.

求作：48边上的高线C尸.

作法：

①以点C为圆心，8c的长为半径作弧，交N8边于点。，连接CZ）；

②分别以点8和点。为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在8。下方相交于点E；

2

③作射线CE交3。于点尸.

所以线段C厂即为A48C的48边的高线.

（1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：连接和DE.

在NCDE和ACBE中，

(??)=CB

<DE=BE,

CE=CE

/.NCDE=\CBE,

ZDCE=/BCE,

:.CE平分/DCB,

即C厂为A45C的45边的高线.（填写推理的依据）

C

A

【详解】（1）解：如图，线段C厂即为所求.

A

（2）证明：连接BE和。e.

A

在bCDE和\CBE中,

CD=CB

<DE=BE,

CE=CE

ACDE=ACBE（SSS）,

ZDCE=/BCE,

:.CE平分ZDCB,

CF±BD,

即C尸为A42C的N5边的高线（三线合一）.

故答案为：CD；CF；BD；二线台'一•.

29.（2022•大兴区一模）下面是小云设计的“利用等腰三角形和它底边的中点作菱形”的尺规作图过程.

已知：如图，在A48c中，BA=BC,。是NC的中点.

求作：四边形N5CE,使得四边形/2CE为菱形.

作法：①作射线3。；

②以点。为圆心，AD长为半径作弧，交射线AD于点

③连接NE,CE,则四边形N3CE为菱形.

根据小云设计的尺规作图过程.

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明.

证明：•.,点。为/C的中点，

AD=CD.

又一：DE=BD,

：.四边形N3CE为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）（填推理的依据）.

•••BA=BC,

.上/8CE为菱形（—）（填推理的依据）.

（2）证明：•.•点。为NC的中点，

.­.AD=CD.

又•：DE=BD,

四边形N3CE为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.

•••BA=BC,

:.aABCE为菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）.

故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

30.（2022•大兴区二模）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程.

己知：直线/及直线/外一点尸.

求作：直线P。，使得尸。///.

作法：如图.

①在直线/上取两点N,B；

②以点尸为圆心，为半径画弧，以点3为圆心，/尸为半径画弧，两弧在直线/上方相交于点0；

③作直线尸0.

根据小东设计的尺规作图过程

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明.

证明：PA^_BQ_,AB=,

.•.四边形尸是平行四边形

:.PQHl{）.（填写推理的依据）

----------------------------——1

AB

【详解】解：（1）直线尸0如图所示.

（2）证明：PA=BQ,AB=PQ,

.•.四边形尸Z20是平行四边形

PQ//1（平行四边形的对边平行）.

故答案为：BQ,PQ,平行四边形的对边平行.

31.（2022•房山区模拟）下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程.

己知：。。和圆外一点尸.

求作：过点尸的。。的切线.

作法：①连接OP；

②以。P为直径作（W,交。。于点/,B；

③作直线尸N,PB；

所以直线尸N,尸2为。。的切线.

根据小文设计的作图过程，完成下面的证明.

证明：连接。1,OB.

:OP为OM的直径，

:.NOAP=N_OBP_=°（