集合与常用逻辑用语-高考数学二轮复习典例分析及重难突破

专题一集合与常用逻辑用语

高考数学二轮复习典例分析及重难突破

►典例分析

考查方式

集合是每年高考的必考内容，以选择题为主，难度较低，主要考查元素与集合间的关系、

集合之间的基本关系、集合的基本运算（高频考法），通常会穿插不等式、函数等知识一起考

查，角度灵活多变，解题时需要注意基础知识的灵活运用.

常用逻辑用语相关的考题主要考查充分、必要条件的判定，全称量词命题与存在量词命题

的否定，常以其他知识（如三角函数、数列、向量等）为载体命题.

高考真题

1.[2023年新课标I卷]已知集合/={—2,—1,0,1,2},7V={x|x2-x-6>0},则必N=()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

2.[2023年新课标H卷]设集合A={0,—a},5={l,a—2,2a—2},若则a=()

A.2B.lC.-D.-l

3

3.[2024年新课标]|卷]已知集合4=卜|-5<S<5},B={—3,—1,0,2,3},则AB=()

A.{-1,0}B.{2,3}C.{-3,-l,0}D.{-1,0,2)

4.[2022年新高考H卷]已知集合4={-1,1,2,4},收1},则AB=()

A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

5.[2022年新高考I卷偌集合加=口|4<4},N={x|3尤训，则MN=()

A.{x[04尤<2}尤<2:

C.{x|3<x<16}尤<16,

6.[2024年新课标H卷]已知命题2:VxeR,|x+l|>l,命题">0,x3=x，WJ()

A.p和q都是真命题B.—p和q都是真命题

C.p和—iq都是真命题D.—p和—都是真命题

参考答案

1.答案：C

解析：因为N={x|J—x—620}={削或2},所以MN={—2},故选C.

2.答案：B

解析：依题意，有a—2=0或2a—2=0.当a—2=0时，解得a=2,止匕时A={0,—2},8={1,0,2},

不满足当2a-2=0时，解得。=1,此时A={0,-1},5={1,-1,0},满足AqB.所以a=l,

故选B.

3.答案：A

解析：方法一：因为A={x[—5<d<5}={%|—为<x<狗},B={-3,-1,0,2,3),所以

A3={-1,0},故选A.

方法二：因为(—3)3=—27<—5,(—1)3=—le(—5,5),03=0e(-5,5),23=8>5,33=27>5,

所以—leA,OeA,-3^A,2gA,3^A,所以A3={—1,。}，故选A.

4.答案：B

解析：通解：由I尤一1|41,M-l<x-l<l>解得04x42,所以3={尤|04尤42},所以AB={1,2},

故选B.

优解：因为所以4e4B,故排除C,D；又—1走B,所以TeAB,故排除A.故选B.

5.答案：D

解析：通解(直接法)因为M={x|五<4},所以M={x|0Wx<16};因为N={x|3x21},所以

所以MN=，gvx<16，，故选D.

光速解(特取法)观察选项进行特取，取x=4,则4wM,4eN,所以4e(MN),排除A,

B；取x=l,则leM,leN,所以N),排除C.故选D.

6.答案：B

解析：法一：因为VxeR,|x+l|»O,所以命题p为假命题，所以「p为真命题.因为V=x,

所以d_%=o,所以_])=0,即x(x+i)(x—i)=0,解得尤=-1或％=0或兀=1,所以*>0,

使得x3=x,所以命题q为真命题，所以r为假命题，所以.和q都是真命题，故选B.

法二：在命题p中，当％=-1时，|x+i|=o,所以命题p为假命题，为真命题•在命题q中，

因为立方根等于本身的实数有-1,0,1,所以m%>0,使得％3=x,所以命题q为真命题，F

为假命题，所以-1P和q都是真命题，故选B.

►重难突破

1.已知集合4={乂炉—x=0},B={0,-l,-2},则Al、3=()

A.{0}B.{0,l}C.{0,-1,-2)D.[0,1,-1,-2)

2.命题p:Vx>2,x2-l>0,则命题p的否定形式是()

A.Vx>2,x2-l<0B.Vx<2,x2-l>0

C.Bx>2,x2-l<0D.Bx<2,x2-l<0

3.设集合4=[卜*>2卜5=卜|&<9卜则AB=()

A.{x|ln2<x<3}B.{x|ln2<x<81}

C.卜p<x<81}D.>o}

4.“加<1”是“函数/(x)=(x-m)2在区间[L+8)上为增函数”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知命题“*eR,f_3+根<0”是假命题，则实数机的取值范围为()

A.[0,4]B.(O,4)C.[0,2]D.(O,2)

6.定义：如果集合u存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集

A，4，...，4,eN*）,且AAAg=u,那么称子集族{A，4，、4}构成集合。的一个

上划分.已知集合/={xeN|x2_6x+5<0}，则集合/的所有划分的个数为（）

A.3B.4C.14D.16

7.已知a力eR,则是的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.4={1,%,训,3={1,%2,24，若4=5，则实数x的取值集合为（）

9.如图，已知全集"=!<,集合A=H（2x-3>（x+l）K0},5={小〉。},则图中阴影部分表

或或

A.{小《一1}C.J%|%<0xD.Jx|%<0x>g

10.命题''对任意的加目-1,1],总存在唯一的xe[0,3],使得d—2x-am-1=0”成立的充分

必要条件是（）

A.—2<a<2B.—1<Q<1C.0vav1D.—Ivavl

IL集合A={1,2/},B={a2\tzeA）,C=AB,C中元素的和为6,则C中元素的积为（）

A.lB.-lC.8D.-8

12.已知有限集人=也,知…4}（"22,“eN）,如果A中的元素%（i=1,2,...,"）满足

a1+a,+...+an^aixa2x...xan,就称A为“完美集”.①集合/1-6-1+6｝是“完美集”;

②若q、生是两个不同的正数，且{%，4}是“完美集”，则4、4至少有一个大于2；③二元“完

美集”有无穷多个；④若见为正整数，则“完美集”A有且只有一个，且〃=3；上列结论是

真命题的个数为（）

A.lB.2C.3D.4

13.（多选）设全集。={—1,0,1,2,3,4},集合A={0,l,2},B={2,4},C={—1,3}，则（）

A.集合A的真子集个数是7B.AB={0,l,2,4}

L（簿）=0D.B^^C

14.（多选）下列四个结论中正确的是（）

A.3%,yeR,%2+_y2-4x+2y+5=0

B.命题“VxeR,3d—2%—1<0”的否定是“七°eR,3x；—2%-120”

un（（

C.a>b是a>b+r的充分不必要条件

D.“Y〉y3，，的充要条件是“X>y”

15.（多选）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而

笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人

员需要了解笛卡尔积.两个集合A和5,用A中元素为第一元素，3中元素为第二元素构成有

序对，所有这样的有序对组成的集合叫作A与8的笛卡儿积，又称直积，记为Ax9即

=且yc5}.关于任意非空集合“，N,T,下列说法错误的是（）

A.MXN=NXMB.（"XN）XT="X（NXT）

C.MX（^IT）U（MxA^）l（MxT）D.Mx（N\T）=（MxN）（MxT）

16.设集合4={》|/-x-6<0}，B^{x\-a<x<a},若则实数。的取值范围是

17.已知命题q：3%eR,mx2+1<0；命题q：VxeR,x?+znr+l>0.若p,q都是假命题，

则实数m的取值范围是.

18.树德中学对高一强基班的学科培优进行了调查.调查结果显示：参加物理培优的有60人，参

加数学培优的有80人，参加化学培优的有50人，三科培优都参加的有24人，只选择两科培

优参加的有22人，不参加其中任何一科培优的有15人，则接受调查的高一强基班学生共有

__________人.

19.已知集合4={》|/+7%+12<0}，集合6={幻1—2机<大<2帆}其中尤€4是尤€5的充分不必

要条件，则机的取值范围是.

20.设集合〃=[2,3,/—3/。+2+7],N={a—1,3}，已知4e/且4eN，则。的取值集合为

21.已知集合4=卜卜3<x<5},B={x\2a+l<x<2a+7].

(1)当a=l时，求A8，AB;

(2)若AB=0，求。的取值范围.

22.已知p：关于x的方程/_2依+"2+a_3=o有实数根，q:m-l<a<m+5.

(1)若命题"是真命题，求实数a的取值范围；

(2)若2是q的必要不充分条件，求实数冽的取值范围.

23.已知全集为R,>^A={x|m-l<x<2m-l},集合8={%|%2+%—6<。}.

(1)右加=2，求AB)A；

(2)若AB=B，求实数机的取值范围.

24.设集合4={%卜2+3x+2=。},B=+(m+l)x+m=oj;

(1)用列举法表示集合A;

(2)若xeB是xcA的充分条件，求实数机的值；

(3)求AB,A「B.

25.定义：若任意以“eA(m,〃可以相等)，都有1+/加W0,则集合5=1%%=小士2,私

1+mn

称为集合A的生成集；

(1)求集合A={3,4}的生成集B；

⑵若集合4=他,2},A的生成集为3,3的子集个数为4个，求实数。的值;

(3)若集合A=(—1,1),A的生成集为3,求证4=5.

答案以及解析

1.答案：D

解析：依题意，集合A={0』},而3={0,-1,-2},所以A5={0,1,-1,-2}.故选：D.

2.答案：C

解析：命题p:Vx>2,x2-l>0,为全称量词命题，则该命题的否定为：3x>2,x2-l<0.

故选：C

3.答案：B

解析：A={x|x>ln2},B={x|0<x<81},故A5={x|ln2<x<81}.故选:B.

4.答案：A

解析：函数/(x)=(x-m)2在区间工+oo)上为增函数，则mW1，则<1”是“mWl”的充

分不必要条件，故"m<l”是“函数/(X)=(X-m)2在区间工+00)上为增函数”的充分不必要

条件，故选：A.

5.答案：A

解析：已知原命题为假命题，那么它的否定“VxeR,f一如+m》0”为真命题.

对于一元二次函数y=x2-nu+m，要使其对于任意实数%都大于等于0.

因为y=f-nu+根20怛成立，所以AW0，即疗-4wi<0，解得.故选：A.

6.答案：B

解析：依题意，/={尤wN«2-6x+5<()}={尤eN|1<x<5}={2,3,4},

I的2划分为{{2,3},{4}},{{2,4},{3}},{{3,4},{2}},共3个,

I的3划分为{{2},{3},{4}卜共1个，

故集合/的所有划分的个数为4.故选：B.

7.答案：A

解析：由a>同可知a>0,所以a?〉/??,所以充分性成立，当a=-2,〃=1时，满足

但是a>|切不成立，所以必要性不成立，故选：A.

8.答案：A

11

X二一x二一

x=2yX=X1x=0,由集合元素互异性可知<2

解析：由题意xwl，<;或42或.

J=2y17=01

则实数X的取值集合为.故选：A.

9.答案：B

解析：依题意，集合A=Jx|—卜而5={小>0卜则AB^{x\x>-1},

由韦恩图知，图中阴影部分表示的集合为即(AB)={x[x<-1}.故选：B

10.答案:D

解析：由x2-2%-々加一1=0得％2-2x=am+1；

①当〃=0时，am+l=l,贝！]%2-21=1,解得x=l土啦,

因为1+0«O,3],1—后史[0,3],满足题意；

②当a>0时，〃加+1$—,

若存在唯一的X£[0,3],使得％2_2%=初+1成立，

贝I]y=/一2%与y=a加+1有且仅有一个交点,

在平面直角坐标系中作出2%在[0,3]上的图象如下图所示,

由图象可知：当0v劭1+1V3时，2%与y=〃加+1有且仅有一个交点,

所以，\1-a>0,解得此时，0<a<l；

l+tz<3

③当a<0时，+,

由②同理可得+解得：a>-l,则—l<a<0.

1—a«3

综上所述：原命题成立的充要条件为-1<a<1.故选：D.

11.答案：D

解析：因为A={1,2,/},B={a-\a^A},所以4eB,『eB,所以leC,4eC,2eC,

teC,产eC.若/=1,则/=1（舍去）或/=-1,此时C={1,2,4,-1},符合题意，所以C中

的元素的积为Ix2x4x（—1）=—8；若产=2,则"行或f=—JL止匕时C={1,2,4,JI}或

{1,2,4,-夜},与已知C中的元素和为6不符;若产=，贝卜=0或/=1（舍去），此时C={1,2,4,0},

与已知C中的元素和为6不符；若『=4,则/=—2或£=2（舍去），此时C={1,2,-2,4},与

已知C中的元素和为6不符；若/wl,2,4,r,则。={1,2,4",/},则1+2+4+/+产=6,即

/+。+1=0,止匕时A=l—4=—3<0,所以该方程无解.综上，C中元素的积为-8.故选D.

12.答案：D

解析：对于①中，卜1—+卜1+=-2,1—-^3^—1+-\/3j=—2,

集合/1-g,-1+百}是“完美集"，所以①正确；

对于②中，若见、的是两个不同的正数，且{%,4}是''完美集"，

设％+4=%•%=。>0，

根据根和系数的关系知，%和的相当于VTx+f=0的两根，

由A=产-4f>0,解得/>4或/<0（舍去），所以a「g〉4，又q,%均为正数，

所以%、%至少有一个大于2,所以②正确；

对于③中，由②知，一元二次方程炉—沅+/=0,当/取不同的值时，q，出的值是不同的，

所以二元“完美集”有无穷多个，所以③正确；

对于④，不妨设A中％<。2<。3<…<4，

a

由01a2"'n=q+a2T-------卜a”<nan,得axa2■■■an_x<n,

当〃=2时，即有q<2,所以q=l,于是1+4=。2，%无解，

即不存在满足条件的“完美集”；

当〃=3时，q%<3，故只能q=l,4=2，求得4=3，

于是''完美集"A只有一个，为{1,2,3}.

当〃之4时，由01a2…4-1»lx2x3x…x（〃一l）,即有〃>lx2x3x…x（〃一l）,

事实上，1x2x3x…x（“一1）2（〃一1）（〃-2）=A?—3〃+2=（九一2）~—2+〃>/，矛盾，

所以当“24时不存在完美集A,所以④正确.

故选：D.

13.答案：ABD

解析：对于A选项，集合A的元素个数为3,则集合A的真子集个数是23_1=7,A对；

对于B选项,因为A={0,l,2},5={2,4},则5={0,1,2,4},B对;

对于C选项,因为全集。={-1,0,1,2,3,4},集合（={0,1,2},C={-1,3}）

则令4={—1,3,4［外。={0,1,2,4卜则（楸）（/）={4bC错;

对于D选项，由C选项可知，因为5={2,4},eC={0/，2,4},则5口距C,D对.

故选：ABD

14.答案：ABD

解析：对于A,由/+J_4x+2y+5=（x-2）2+（y+1）?=0，解得x=2，y=―］，即*=2，y=—1，

f+产―4x+2y+5=0，故A正确；对于B,根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知，

命题“VxeR，3必—2x-1<0”的否定为：“可©R，3焉-2%-120”，故B正确；对于C,

若a>b,贝1Ja>Z?+l不一定成立，令。=1，b=Q.5>满足。>6，但。=1，/?+1=1.5，a<b+i

即a>b#a>Z>+l;反之，若a>/?+l，由Z?+l>/?，可得a>b，即a>Z?+lna>Z?.所以"a>b"

是“a>b+l”的必要不充分条件，故C错误；对于D,由于丁=炉是R上的增函数，所以

x3>y3=x>y.所以“》3〉y3”的充要条件是“x>y”，故D正确.故选：ABD.

15.答案:ABC

解析：对于A,若河={1},N={1,2}，则MxN={(l,l),(l,2)}，A^xM={(l,l),(2,l)}-

MxN手NxM，A错误；

对于B,若〃={1},N={2}，T={3}，则MXN={(1,2)},(MXN)XT={((1,2),3)},

而Mx(NxT)={(l,(2,3))},(MxN'xT丰Mx(NxT)，B错误；

对于C,若〃={1},N={2}，T={3}，则Mx(NT)={(1,2),(1,3)}>

MXN={(1,2)}>MXT={(1,3)}>MX(NT)=(MxN)(MXT),C错误；

对于D,任取兀素wAfx(NT)，则尤e"且yeNT,则yeN且yeT,

于是(％,y)eMxN且(x,y)eAfxT，即(x,y)e(MxN)(MxT)，

反之若任取兀素(x,y)e(MxN)(MxT)，则(x,y)eA/xN且(x,y)GAfxT，

因止匕xe",yeN且yeT,即且yeNiT,

所以(x,y)eMx(NT),即Mx(NT)=(MxN)(MxT),D正确.故选：ABC

16.答案:[3,+oo)

解析：由题意得4=5|炉—x—6<0}={戈|—2<x<3}，A^B，

所以「心―2,则BPaG[3,+00).

a>3

17.答案：[2,+oo)

解析：命题p的否定X/xeR,如？+1>0为真命题，当爪=0时恒成立，当机/0时，可得加>0,

故田.命题q的否命题±eR,f+g+iwo为真命题，所以△=〃/—420,解得机W—2或

m>2,故范围是[2,+co).

18.答案：135

解析：由文恩图可得；参加培优的人数为(60+80+50)-22-2x24=120,

又不参加其中任何一科培优的有15人，

所以接受调查的高一强基班学生共有120+15=135.

故答案为：135.

19.答案：[,+s]

解析：因为尤eA是xeB的充分不必要条件，所以AU3,因为不等式尤2+7X+12<0的解集为

所以1六1“所以心I，所以加的取值范

1x|-4<x<一3}，所以A={x|-4K%K-3),

围是1g,+Go].

20.答案：{-2}

解析：因为4£M，即4£，2,3,/—3〃,aH---F71,所以〃2—3a=4或Q^---17=4.右/_3a-4，

IaJa

、?、?

则〃=一1或〃=4；若i+—+7=4,即〃2+3〃+2=0,贝UQ=-1或Q二一2.由〃2一3〃与卜7

aa

互异，得Qw—1，故〃=—2或〃=4.又4更N，即4e{。一1,3}，所以Q—lw4且Q—lw3，解得aw5

且.综上所述，〃的取值集合为{-2},故答案为{-2}.

21.答案：(1)A5=卜|一3vxK9},A3={%[3<]<5}.

(2)(-oo,-5]_[2,+oo)

解析：(1)当〃=1时，5={x[3<xK9},而A={%|-3<%<5},

则AB={x|-3<x<9},AB^{x\3<x<5].

(2)由AB=0，得2Q+1N5或2a+7<—3，解得〃22或5，

所以a的取值范围是(-oo,-5][2,+oo).

22.答案：(l)fl>3

(2)m<-2

解析：(1)因为命题-j?是真命题，则命题p是假命题，

即关于冗的方程2依+/+〃—3=0无实数1艮，

因止匕A=4/—4(/+〃—3)<0,解得〃>3，

所以实数。的取值范围是〃>3.

(2)由(1)知，若命题p是真命题，贝!Jp:〃K3,

因为命题p是命题q的必要不充分条件，

则{〃|祖-1KQK根+5}是{〃|aK3}的真子集，

因此根+5«3，解得加<-2,

所以实数m的取值范围是加V—2.

23.答案：(1){x|2<x<3};

(2)m<—

2

解析：(1)B=x2+x-6<01=^x|-3<x<2j,

当机=2时'A=1x|l<x<31,A5={目-3Vx<3},>21,

A03={x[2<%<3};

(2)AB=B，/.AoB,

当A=0时，m-1>2m—i>解得根<0；

m-1<2m-1,

当Aw0时，sm-1>-3,解得04加<一；

2

2m—1<2,

综上，m<—•

2

24.答案：(1)A={-1,-2}

(2)m=2

(3)答案见解析

解析：(1)集合-={小2+3%+2=0}={-1,-2},SPA={-l,-2};

(2)由已知A={-1,—2}，5={x,+(m+l)x+7〃=o}={x[x+l)(x+m)=o},

若xeB是xeA的充分条件，则3口A，

情形一：若机=1，则5={-1}RA={-1,-2}，故机=1满足题意；

情形二：若m=2，则5=A，故m=2满足题意；

情形二：若帆/1且则存在-加G_B，但-ni史A，这与30A矛盾，故此情形不符合题

思；

综上所述，满足题意的机的值为1或2；

(3)A={-1,-2),

情形一：当机=1时，B={x|(x+l)(x+m)=0}={-l},止匕时AB={—1,—2},AB={-1};

情形二：当机=2时，3=卜卜+1)(%+加)=。}={—1,—2},此时AB=1,—21>

AB={-l,-2］；

情形三：当"//I且机/2