集合与常用逻辑用语-2025年高考数学考试易错题（解析版）

专题01集合与常用逻辑用语

目录

题型一：集合

易错点01忽视集合中元素的互异性

易错点02未弄清集合的代表元素

易错点03遗忘空集

题型二常用逻辑用语

易错点04判断充分性必要性位置颠倒

易错点05由命题的真假求参数的取值范围

题型一：集合

易错点01：忽视集合中元素的互异性

易错陷阱与避错攻略

典例(24-25高三上・云南・期中)已知集合/5={l,a+2},若/口8=3,贝ijae()

A.{2}B.{1,-2}C.{-1,2}D.{-1,1,2)

【答案】A

【分析】利用子集关系来求解参数，最后要检验元素的互异性.

【详解】因为/口8=8,所以3=2,由4={1,3,/},8={1,0+2},

所以a+2=3或0+2=/，解得。=2或-1或1,

经检验集合中元素的互异性，把。=1或-1舍去，所以ae{2}.

故选：A.

【易错剖析】

本题易忽略集合元素的互异性而错选D.

【避错攻略】

类型1集合与元素关系的判断

(1)直接法：集合中的元素是直接给出的.

（2）推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.

【提醒】若集合是有限集，可将集合中的元素化简并一一列出，再与有限集内的元素进行逐个对照，确定

是否存在与其相等的元素，进而判断集合与元素的关系；若集合是无限集，可将元素变形，看能否化为集

合中元素的形式，也可以代入集合的约束条件，判断是否满足，若满足则属于该集合，否则不满足.

类型2根据元素与集合以及集合间关系求参数

第一步：求解，根据集合中元素的确定性，解出字母的所有取值；

第二步：检验，根据集合中元素的互异性，对解出的值进行检验；

第三步：作答，此处所有符合题意的字母取值（范围）.

易错提醒：集合中元素的三个性质，一定要理解透彻并掌握其基本作用：

（1）确定性：判断对象能否构成集合的依据.

（2）互异性：常用于检验解的合理性，如求解集合中元素含有参数的问题，先根据其确定性列方程，求出值

后，再根据其互异性检验.

（3）无序性：常用于判断集合相等.

举一反三

1.（24-25高三上•湖南长沙•期中）已知集合/={7,0,。},5={-1,2,3}.若/18={-1,0,2,3},则实数。的取

值集合为（）

A.{2,3}B.{0,2,3}

C.{-1,2,3}D.{0,-1,2,3}

【答案】A

【分析】利用集合的基本运算及集合中元素的互异性可确定选项.

【详解】由/。8=卜1,0,2,3}及集合中元素的互异性可得。=2或。=3,故实数。的取值集合为{2,3}.

故选：A.

2.（2024・全国•模拟预测）已知集合”=5={1,4},若le/,则NU3中所有元素之和为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】由le/,求出。=1或。=-1,再分类讨论由集合的互异性可求出NU3=即可得出答案.

【详解】由IcZ得Q=1或/=1,解得：。=1或4=一1,

若。=1，则/=1，不符合题意；

若“=-1,/={-1},从而ZU8={T,1,4},

所以/U8中所有元素之和为4,

故选：C.

3.（2024•内蒙古呼伦贝尔・二模）已知集合Z={1,。},B={2,a2},若/U8中恰有三个元素，则由。的取

值组成的集合为（）

A.{0}B.{-1,2}C.{0,2}D.{0,-1,2）

【答案】D

【分析】/U8中恰有三个元素，则两集合中有一个相同元素，分类讨论列方程求解并检验即可.

【详解】因为/U3中恰有三个元素，所以。=2或.=/或i=/,

结合集合中元素的互异性，解得。=2或。=0或a=1（舍去）或a=-l.

故选：D.

能易错题通关

1.（2024・全国•模拟预测）已知集合/={1/6,8a},3={1,/},则满足/口8=8的实数0的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根据集合运算得集合关系，结合集合元素的性质分类讨论求解即可.

【详解】依题意，B=A,若/=16,解得。=-2（。=2时不满足集合的互异性，舍去），

若1=8"，解得“=0=2时不满足集合的互异性，舍去），

综上所述，。=0或。=-2.

故选：B

2.（2025高三•全国•专题练习）已知集合/={。,加，/-3%+2},且2eN,则实数加为（）

A.2B.3C.0或3D.0,2,3

【答案】B

【分析】由题意可得机=2或疗一3加+2=2,分类讨论，结合集合元素的互异性，即可求得答案.

【详解】因为/={0,〃?,小一3%+2}且2en,

所以加=2或加之一3加+2=2，

①若加=2,止匕时加2一3冽+2=0,不满足元素的互异性;

②若加2-3加+2=2，解得冽=0或3,

当机=0时不满足元素的互异性，当加=3时，4={0,3,2}符合题意.

综上所述，m=3.

故选：B

3.（2024•四川攀枝花•二模）已知集合/={1,。2},5={1,4,。},若A=B,则实数a组成的集合为（）

A.{-2,-1,0,2}B.{-2,2}C.{-1,0,2}D.{-2,0,2）

【答案】D

【分析】根据题意分1=4和/=a两种情况运算求解，注意集合的互异性.

/=4a2=a

【详解】4=B,则有或,解得。=2或〃=一2或a=0,

。w4aw4

实数。组成的集合为{-2,0,2}.

故选：D

4.（23-24高三上•全国•阶段练习）已知加eR,集合/=伽,-1,2},2=归,©/},^c=A\jB；且。的

所有元素和为12,则切=（）

A.-3B.0C.1D.2

【答案】A

【分析】先确定集合3中可能的元素，根据两集合中元素的和求出加的值，再根据集合中元素的互异性取

值.

【详解】集合B中的元素可能为：m2,1,4

因为切片一1,m手2.

若加=1,则/={1,一1,2},5={1,4},则。={1,一1,2,4},元素和不为12；

若加=一2,则4={-2,-1,2},5={1,4},则。={一2,-1,2,4},元素和不为12；

当%#±1,±2时，C=W，-1,2,/,I,4},因为C中所有的元素和为12,

所以优2+%=6,解得切=-3或加=2（舍去）.

综上：m=—3.

故选：A

5.已知aeR,bwR,若集合”,g,11={。2，°一6,0},贝。刈9+62。2。的值为（）

A.-2B.-1C.ID.2

【答案】B

【分析】结合已知条件，利用集合的互异性即可求解.

【详解集合”6,。}，分母"0,

***b=0,q2=i,且。2。。一6=。，解得a=—l,

J*9+产0=_1.

故选：B.

6.（24-25高三上•四川成都・期中）已知集合”={1,。+2},8={武1,3},若对VxeN,都有则。为（

A.1B.-1C.2D.1或2

【答案】C

【分析】得到/=分a+2=/和。+2=3两种情况，求出。，舍去不合要求的解，得到答案.

【详解】由题意得

当a+2=/时，解得a=2或-1,

当a=2时，3={4,1,3}满足要求，

2

当。=-1时，a+2=l,a=l,A,B中元素均与互异性矛盾，舍去，

当a+2=3时，。=1,此时/=1,5中元素与互异性矛盾，舍去，

综上，a=2.

故选：C

7.已知x为实数，A=[2,x,x2},集合A中有一个元素恰为另一个元素的2倍，则实数x的个数为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】由题意分情况讨论并判断即可.

【详解】由题意：

当2=2x时，x=\,此时集合/={2,1,1},不成立；

当2=2/时，x=±l,x=l时不成立，%=-1时，集合4={2,-1,1},成立；

当％=2x2=4时,集合4={2,4,16},成立；

当％=时，x=0或x=x=0时集合4={2,0,0},不成立，x=g时集合4=[2,；,；；,成立；

当*=2x2时，x=±2,x=2时集合N={2,2,4},不成立，》=-2时集合/={2,-2,4},成立；

当，=2x时，x=0或x=2,x=0时集合/={2,0,0},不成立，x=2时不成立；

故xe,

故选：B.

8.（2024・贵州•模拟预测）已知集合/=卜卜区3/€用，5=,C={3,m,3/n-2},若B=C,

则Nc8的子集个数为（）

A.2B.4C.7D.8

【答案】B

【分析】本题根据以C两集合相等，则元素相同，然后分类讨论求出参数如进而求出两个集合，再求集

合/、8的交集，然后可求子集的个数.

【详解】由题意得，/={0,1,2,3},又集合B=C,

若2〃L1=3,则〃?=2,止匕时3={2,3,4},

则NI3={2,3},故/cB子集个数为22=4;

若2m-1=掰，则加=1,此时显然8,C集合不成立，舍去；

若2加-1=3加-2,m=1,同理舍去.

综上得：机=2时，ZcB子集个数为4个；

故选：B.

9.（多选）（24-25高三上•江西新余•阶段练习）若集合/={/+2a,3a+2,8},则实数〃的取值可以是（）

A.2B.3C.-4D.5

【答案】BD

【分析】根据集合中元素的互异性求解.

【详解】集合/={。2+2。,3々+2,8},则/+2。w8,3a+228,/+2。片3。+2,

解得a，-4,”w2,aw-1,可知BD符合题意，

故选：BD.

10.（多选）（23-24高三上・福建宁德・期中）设集合M={3,9,3x},N={3,x2},且Nq",则x的值可以为

（）

A.-3B.3C.0D.1

【答案】AC

【分析】由子集的概念解出x,并注意验证集合间元素是否满足互异性.

【详解】因为N=所以Y=9或/=3x,解得x=±3或x=0.

当x=3时，3x=9,集合W中的元素不满足互异性，故舍去.

当x=-3时，符合题意.

当x=0时，也符合题意.

故选：AC.

11.(2024・安徽•三模)已知集合4={%,2,-1},8={JO=X2,X"},若山8的所有元素之和为12,则实数

2=.

【答案】-3

【分析】分类讨论彳是否为1,-2,进而可得集合3,结合题意分析求解.

【详解】由题意可知：1且4片2,

当x=2,则y=/2；当x=2,则y=4；当x=-l,贝i]y=l；

若2=1,则8={1,4},此时ZU5的所有元素之和为6,不符合题意，舍去；

若2=-2,则8={1,4},此时/U8的所有元素之和为4,不符合题意，舍去；

若421且4W-2,则8={1,4,42},故％2+彳+6=12,解得4=-3或2=2(舍去)；

综上所述：A=-3.

故答案为：-3.

易错点02：未弄清集合的代表元素

,易错陷阱与避错攻略

典例(2024•湖南衡阳•一■模)已知集合/={y|y=lg(/-x-2)},B={x\y=Vx2-x+2}»则/口8=()

3

A.(-1,2)B.[-,+<»)C.(0,+oo)D.R

【答案】D

【分析】根据对数型函数求值域得根据二次函数求得函数定义域得8,根据交集运算得解.

【详解】A={y\y=lg(x2-x-2)}为函数y=lg(x,-x-2)的值域,

令f=x2-x-2>0nx>2或x<-l,/e(0,+功ny=1g/=>yeR,

B={x\y=y/x2-x+2}为函数y=Jx，-x+2的定义域,

即y={(x—g)2+(，因为(x—5)2+]»],所以函数y=Jx?-x+2定义域为R,

故/n8=R,

故选：D.

【易错剖析】

本题易忽略集合的代表元素，没有注意到集合A表示的是函数的值域，而集合B表示的是函数的定义域而

出错.

【避错攻略】

在进行集合间运算时，常用的方法为列举法和赋值法：

方法1列举法

列举法就是通过枚举集合中的所有元素，然后根据集合基本运算的定义求解的方法。

【具体步骤】

第一步：定元素，确定已知集合中的所有元素，利用列举法或画数轴写出所有元素或范围；

第二步：定运算，利用常见不等式或等式解未知集合；

第三步：定结果。

方法二：赋值法

高考对集合的基本运算的考查以选择题为主,所以我们可以利用特值法解题，即根据选项之间的明显差

异,选择一些特殊元素进行检验排除,从而得到正确选项.

【具体步骤】

第一步：辨差异，分析各选项，辨别各选项的差异；

第二步：定特殊，根据选项的差异，选定一些特殊的元素；

第三步：验排除，将特殊的元素代入进行验证，排除干扰项；

第四步：定结果，根据排除的结果确定正确的选项。

易错提醒：在进行集合的运算时，一定要先观察集合的代表元素，因为代表元素决定了集合的性质，通过

集合的代表运算可以确定集合是数集还是点集、代表元素是实数还是整数，另外在进行补集运算时，一定

要注意全集的性质，不要想当然的认为是R.

举一反三

1.（24-25高三上•黑龙江哈尔滨•期中）已知集合"={乂>=/-2x-2},N=\x\y，则〃nN=（

A.[-3,1)B.[-1,1)C.(1,3)D.[1,4]

【答案】A

【分析】先化简集合再利用交集定义即可求得McN.

【详解】M=[y\y=x2-^-2]=y=(r-l)-3}=^^>-3}

故AfcN={y|y>-3}c{x|x<1}=[-3,1)

故选：A

2.(24-25高三上•江苏盐城•期中)已知集合/={T,1},B={(x,y)|xe4ye/},则/门5=(

A.AB.BC.0D.R

【答案】C

【分析】根据题意可知集合B表示点集，而集合A表示数集，即可根据交集的定义求解.

【详解】由3={(x,j)|xe4ye/}可得8={(-1,1),(-1,-1),(1,-1),(1,1)},

故/口5=0,

故选：C

3.(24-25高三上•山东•期中)集合/={1,2,3,4,5,6},8=卜eN|2xe/},则与B=()

A.{1,3,6}B.{3,4,6}C.{1,2,3}D.{4,5,6}

【答案】D

【分析】由补集定义可得答案.

【详解】因为/={123,4,5,6},8={xeN|2xe/},

所以3={1,2,3},^={4,5,6}.

故选：D.

・易错题通关

1.(2024•浙江温州•模拟预测)设集合/=卜€2卜2一次一44。},5={x||x+l|<l},则/2=

A.{-1,0}B.{-2,-1,0}

C.{0,1,2}D.{0,1}

【答案】A

【分析】解不等式化简集合43,再利用交集的定义求解即可.

[详解】依题意，^={xeZ|-l<x<4}={-l,0,l,2,3,4},5={x|-l<x+1<1)={x|-2<x<0),

所以ZcB={-l,O}.

故选：A

2.(24-25高三上•陕西汉中•期中)已知全集U={x|》-1<0},集合N=/+3式一4<0},则务/=()

A.(-0°,—4)B.(―°0,—4]C.(-4J)D.[—4,1)

【答案】B

【分析】先求解集合A,然后利用补集的定义即可求解

【详解】根据题意，集合/={x|/+3x-4<0}=柯一4Vx

因为U=(-”,1),所以务/=(一.一4].

故选：B

3.(2024・广东肇庆•一模)已知集合/={xeN|(x-l)(x-4)40},5={x|0<x<3),则()

A.{1,2}B.(1,3)C.{2,3}D.[1,3)

【答案】A

【分析】解不等式可得/=口,2,3,4},再由交集运算可得结果.

【详解】由不等式(尤-l)(x-4)V0,得1W4,所以/={1,2,3,4},

又8={x[0<x<3},可得NcB={l,2}.

故选：A

4.(24-25高三上•浙江•阶段练习)已知集合M=，(x,y)y=N=<(x,y)?+必=J,则A/cN的元

素个数为()

A.0B.IC.2D.无数

【答案】C

【分析】根据集合的元素类型，列方程组求解集即可得元素个数.

【详解】因为集合M=](x,y)y=1-|1,N=<(x,y)^-+/=lj,

_X

N2[x=0fx-2

则联立2，解得■，或八，

X2_][尸13=。

故McN={(0,l),(2,0)},集合中有2个元素.

5.(24-25高三上・安徽合肥•阶段练习)已知集合/={x.=(x2-1)},集合B=卜”=3一，},则/f?3=()

A.(0,1)B.(1,2)C.(1,+s)D.(2,+s)

【答案】C

【分析】根据题意，将集合48化简，再结合交集的运算，即可得到结果.

[详解]/=卜”=1。8312-1)}=kMT>。}：{小>1或XC-1},

8={了廿=3-*}=}3>0},所以/cB=(l,+<»),

故选：C

6.(24-25高三上•广东东莞•阶段练习)设4={(x,y)|y=x2-x},B={{x,y)\y=x},则/口2=()

A.{(0,0),(2,2)}B.{(0,0)}C.{(2,2)}D.0

【答案】A

【分析】联立集合/与集合8的方程组，解方程组可得答案.

【详解】根据题意知联立集合/与集合5方程组得,，

[y=%

解之可得或所以Nc8={(0,0),(2,2)}.

故选：A

7.(24-25高三上•山东济宁・期中)已知集合尸=卜,=斤="，2=卜,=6％卜则尸口做。)=()

A.0B.[L+8)C.(一%0)D.(-oo,-l]

【答案】D

【分析】首先根据偶次方根的被开方数非负求出集合P,再求出集合。，最后根据集合的运算法则计算可得.

【详解】由y=J一—1可得％2—120,解得X21或

所以p=卜1==（^»,-i]qi,h），

又/two,则y=&-1zo，所以0={o|y=Jf=[0,叱）,

所以。。=（一8,0）,所以尸0住。）=（-%-所

故选：D.

易错点03：遗忘空集

般易错陷阱与避错攻略

典例（24-25高一上•重庆万州•期中）已知集合/={xlx>5},8={x|5。一l<x<a+ll},且/UB=/,则。

的取值范围为（）

A.（-8,-6]B.g+jC.|,3^D.[3,+oo）

【答案】B

【分析】由并集的定义可知/UB=/得到3=/,讨论集合3是否为空集，得到对应的参数。的范围，再

求并集得到结果.

【详解】因为/U5=N,所以8=2.

若8=0,贝lj5a-12a+ll,即023；

ftz<36

若"0,则,解得小〃<3.

p«-l>55

综上所述，。的取值范围是■!，+"

故选：B

【易错剖析】

因为空集是任何集合的子集，根据包含关系求参数时一定分析集合为空集的情况，本题易忽略对8=0的讨

论而错选C..

【避错攻略】

1.当已知2三民2口5=0求参数时，一定要分析集合为空集的情况；

2.若集合为不等式的解集，往往借助于数轴进行分析；

【具体步骤】

第一步：化简，化简所给集合；

第二步：画图，用数轴表示所给集合;

第三步：列示，根据集合端点间关系列出不等式（组）;

第四步：求解，解出不等式（组的解；

第五步：检验，通过返回代入验证端点是否能够取到.

3.若集合为正整数集或抽象集合，可借助于韦恩图分析，若集合是点集，可借助于曲线的图像分析.

易错提醒：已知集合关系求参数时，除去要分析空集的情况，还一定要分析端点值能否取得，可采用代入

检验的方法加以区分，避免出错.

举一反三.

1.集合/={X|2/-5X+2=0},B={x\ax-2=0],若5=/口8,则实数a的取值集合为()

A.{-1,-4}B.{0,-1,-4}C.{1,4}D.{0,1,4}

【答案】D

【解析】首先求出集合A,依题意可得2=/,再分3=0、3={2}、8=]；}三种情况讨论

因为/={乂2工2-5x+2=0}=,2,；,,B=AC\B,所以2。/,又8={x|ax-2=0}

当3=0,则。=0,当8={2},即2a-2=0,解得。=1,当8=即ga-2=0,解得。=4,综上可

得实数a的取值集合为{0,1,4},故选：D

2.设集合。=R,集合/=卜1一2Vx<5},3={x|冽一6<x<2加一1},若4cB=0,则实数加的取值范围为

（）

1

B.(11,+8)c.D.—co,----U---(H,+oo)

2

【答案】D

【解析】结合3是否为空集进行分类讨论可求加的范围

当8=0时，AnB=0,则加一622加-1,即机V-5

m-6<2m-1m-6<2m-1

当8x0时，若/c8=0,则或

2m-1<-2m-6>5

解得-5〈加或加>11,综上，实数加的取值范围为-』山（11,+8）

故选:D

3.（24-25高三上・贵州贵阳•阶段练习）设集合尸=但-2<x<3},Q^{x\3a<x<a+}].

（1）若尸no=0,求。的取值范围.

（2）若尸UQ=P,求。的取值范围.

【答案】（1）（-巴-3]口g+J

「2A

（2）|_-->+°°j|

【分析】（1）根据题意，分0=0和。-0两种情况进行讨论，结合尸口。=0,列出不等式，即可求解;

（2）根据题意，分。=0和。=0两种情况进行讨论，结合PU0=P,列出不等式，即可求解;

[详解]（1）解：由集合尸={尤]-2<尤<3},且0={尤|3a<xWa+l}

因为尸口。=0,可分。=0和。*0两种情况进行讨论：

当0=0时，可得3aNa+l,解得此时满足尸口。=0；

八一13。<a+l13a<a+l

当QW0,因为尸no=0,则满足〜。或]一，解得〃3,

+1<-2[3a23

综上可得，实数。的取值范围为（-叫-3]2[；,+功.

（2）解：由集合P={x|-2<x<3},且。={x|3a<x《a+l},

因为PU0=P,可分。=0和。=0两种情况进行讨论：

当。=0时，可得3。2。+1,解得此时满足尸U0=P；

3。<〃+1

21

当。W0,因为PUQ=尸，则满足。+1<3,解得,

cc32

3。2-2

综上可得，实数a的取值范围为-|，+s]

♦易错题通关

1.（2024•河南•模拟预测）已知集合力={疝<工<2},8={如<%<研，若Bq力，则实数。的取值范围是（）

A.（2,+oo）B.（1,2]C.（-oo,2]D.[2,+oo）

【答案】C

【分析】由集合的包含关系，对集合8是否是空集分类讨论即可求解.

【详解】A={x\l<x<2],B={x|l<x<a},若3=/,

则若则5=014满足题意;

若a>l,且8=/,贝iJl<aV2,

综上所述，实数。的取值范围是（一叫2].

故选：C

2.设集合4={尤|2"+lWx43a-5},5={x|x2-21x+80<0）,若/口8=/,则（）

A.{a|2<a<7}B.{a|6<a<7}C.{a\a<7}D.{a\a<6}

【答案】C

【分析】解不等式化简集合£再利用集合的包含关系求解即得.

【详解】显然3=卜卜2-2丘+8040}={尤屋x416},由/门5=/，得A勺B，

当/=0时，即2a+l>3a-5,解得a<6,满足贝！Ja<6；

当/N0时，贝I]5V2a+lV3a-5V16,解得6VaV7；

所以。47.

故选：C

3.（23-24高一上•广东肇庆•阶段练习）已知U=R,集合4=卜：卜2-尤-2=。},8={X|M+1=0},

51（M）=0-则实数加=（）

A.-1或1B.-1或0C.1或0D.或1或0

222

【答案】D

【分析】求出集合A中方程的解确定A,即可求出电力,根据81（用/）=0,分两种情况加=0和加20讨论

即可.

【详解】由题可知，/={2,-1},则令4={x|xw-l或x*2},

因为5={%|mx+1=0},

所以当加=0时，5=0,则31（即4）=0,符合题意；

当加w0时，B={---},

m

由81（2/）=0知，--?~=一1或一~—=2,即加=1或机=-，，

mm2

综上所述，实数机为0或1或

2

故选：D.

4.（24-25高三上•辽宁沈阳•期中）集合尸=何卜-1|<1},Q={^\a-\<x<a+\],且2口。=0,则实数。的

取值范围为（）

A.或Q23B.-l<tz<3C.a>3D.a<-l

【答案】A

【分析】首先化解集合A,又。。0,即可得到4+100或。-122,解得即可.

【详解】由卜一1|<1,BP-l<x-l<l,解得0<x<2,

所以夕={乂,一1|<1}={X|0<%<2},

又0=„-1«%（”+1},显然

因为尸Pl0=0,所以Q+1<0或。一122,

解得或

即实数。的取值范围为。工-1或〃>3.

故选：A

5.（24-25高一上•四川达州•期中）已知集合^={x|-2<x<10},B={x\\-m<x<\+m\8门44=0,则

实数冽的取值范围为（）

A.m<3B.m<9C.m<3^m<9D.3<m<9

【答案】A

【分析】已知5144=0,这意味着5集合与A集合在R中的补集没有交集，那么5集合是A集合的子集.

接下来通过分析8集合的边界与A集合边界的关系来确定加的取值范围.

【详解】々4={x[x<—2或%>10}.因为514/=0,所以314

由于8={x|l-加WxWl+加},要满足5=%,

当8=0,BP1-m>1+m,解得加<0.

m>0

当5w0,则有<1—加2—2.解得：0W冽K3.

1+m<10

综上，冽的取值范围为加43.

故选：A.

6.已知集合/={小2-1=0},5=卜卬=1},若/口8=8,则实数a取值集合为（）

A.{-1}B.{1}C.{-1,1}D.{-1,0,1）

【答案】D

【分析】由题意知8g/,分别讨论8=0和3x0两种情况，即可得出结果.

【详解】由知2。/,因为/={小2-1=0}={-1,1},B={x\ax=\],

若5=0,则方程G=1无解，所以4=0；

若BW0,QW0,则5={xIQX=1}=，X=,

因为5=/,所以1=±1,则。=±1；

a

故实数。取值集合为卜1,0,1}.

故选：D.

7.（24-25高三上•江苏南通•期中）已知集合/={-2,1,3,4},3={利》-2]<加4€1<},若幺m2=0,则实数

机取值范围为（）

A.m>4B.m>4C.m<2D.m>2

【答案】A

【分析】根据集合B计算与8,利用=0求参数的取值范围.

【详解】由/na8=0得，B^0,m>Q.

由B={xllx—2|<m^c£R}得，B={x|2-m<x<2+m]f

；.%3={x[x<2-m^x>2+m},

J2-m<-2

解得m>4.

[2+m>4

故选：A.

8.（24-25高三上•上海青浦•阶段练习）已知集合/=（尤|x-gWI,B={x\m+l<x<3m,meR\,若

A\JB=A,则加的取值范围是.

4

【答案】j

【分析】解绝对值不等式可得集合H由/U8=/得8=/,讨论5为空集和不为空集情况，解相应不等

式，即得答案.

【详解】解53即353即/=x|x-j5V53HxlIV无〈明

乙乙乙乙乙I乙乙J

由/U8=Z,得5=/;

当5={x|加+l«x«3加，加ER}=0时，即冽+1〉3加,...冽＜；,符合题意；

m+1＜3m

14

当Bw0时，需满足＜加+1＞1,解得,（加工§,

3m＜4

4

综合可得初工§,

4

故答案为：

9.（24-25高三上•河北•阶段练习）已知集合4={%|/-2%-340}B={x\m-2<x<m+2]f若4门3=0,

则加的取值范围是.

【答案】{间加＜-3或加＞5}

【分析】化简集合A,由两集合交集为空集，列出不等式即可求解.

【详解】24={%|x2-2%-3＜0}={x|-1＜x＜3}

因为4ng=。

所以加+2＜—1或加一2＞3

解得：加〈一3或冽〉5

故答案为：如向＜-3或小＞5}

10.（24-25高三上•河南•开学考试）已知集合/=何-1«》＜2},2=付,一1区时，若/U3=8,则实数机的

取值范围为.

【答案】［2,+8）

【分析】求出集合8,根据集合的包含关系列不等式组求解可得.

【详解】因为/U8=8,所以/1

当加＜0时，B=0,不满足题意；

当机20时，由k一1|V加解得3={x|l—加+加},

［1—加V—1「、

依题意有1+加＞2，解得加?2,即实数加的取值范围为［2,+8）.

故答案为：[2,+8）

11.（2024•江苏常州•三模）集合/={x|-lWx+146},8=卜|加-1<x<2加+1,机eR},^A\JB=A,则实

数m的取值范围为.

【答案】（-叫-2]3T2]

【分析】结合8是否为空集进行分类讨论可求切的范围.

【详解】由/口8=/=>8=/,且/={x|-2VxW5},

当8=0时，B=A,则加-122%+1,即加4一2,

m-l>-2

当8w0时，若贝I」加>—2,解得—14加42,

2m+1<5

综上，实数小的取值范围为（-8,-2]“-1,2].

故答案为：（-8,-2]3T2].

题型二：常用逻辑用语

易错点04：判断充分性必要性位置颠倒

易错陷阱与避错攻略

典例命题“Vxe一为真命题的一个充分不必要条件是（）

A.a<4B.a>4C.a<5D.a>5

【答案】D

【解析】求解命题“\/》€[1,2],--。《0”为真命题时。上4,即可根据真子集求解

命题“置«1,2],丁一心0，，为真命题,则心一对也41,2卜恒成立，所以。4x2）s，故024,所以命题

“Vxe[1,2],一“WO”为真命题的充分不必要条件需要满足是同的真子集即可，由于同a25}是

{4心4}的真子集，故符合，故选：D

【易错剖析】

本题易混淆A是B的充分条件和A的充分条件是B的区别而出错.

【避错攻略】

1掌握充分、必要条件的概念及类型

⑴如果p=>q,则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件;

(2)如果p=>q,但q分p,则p是q的充分不必要条件;

(3)如果p=>q,且q=>p,则p是q的充要条件；

(4)如果q=>p,且p分q,则p是q的必要不充分条件;

(5)如果p今q,且q分p,则p是q的既不充分又不必要条件.

【解读】

(l)p是q的充分条件，是指以p为条件可以推出结论“，但这并不意味着由条件p只能推出结论一般

来说，给定条件2由p可以推出的结论是不唯一的.

(2)“0是q的充分条件”与是p的必要条件”表述的是同一个逻辑关系，即p=只是说法不同.

(3)p是g的充要条件意味着“p成立，则g一定成立；p不成立，则g一定不成立“，要判断p是否为g

的充要条件，需要进行两次判断：一是看p能否推出二是看q能否推出D若0能推出q,q也能推出0,

就可以说p是q的充要条件，否则，就不能说p是q的充要条件.

2.灵活运用判断充分、必要条件的方法

(1)定义法：直接利用定义进行判断；

(2)图示法：多个条件间关系的判断时，可以用用“仁”将条件彼此相连，然后再判断它们之

间的关系.

(3)利用集合间的包含关系进行判断:如果条件p和结论q都是集合,那么若pUg,则p是q的充分不必要

条件；若则p是q的必要不充分条件；若p=q，则p是q的充要条件，尤其对于数的集合，可以利用小范

围的数一定在大范围中，即小=大，会给我们的解答带来意想不到的惊喜.

(4)举反例：要说明p是q的不充分条件，只要找到刈6{x抄}，但xo&{x|g}即可.

易错提醒：在判断充分、必要条件时，一定要先对条件进行等价化简，然后再结合合适的方法进行判断，

为避免位置颠倒出错，可先用推出符号标注好判断的方向再进行分析.

举一反三.

1.已知命题。：Vxe[-4,2],|x2-a>0,则？为真命题的一个充分不必要条件是()

A.a<-2B.a<0C.a<SD.a<16

【答案】A

【解析】先分离参数求出。的取值范围，则〃为真命题的一个充分不必要条件应该是(-叫0]的一个真子集,

由题设命题为真，即在xe[-4,2]上恒成立，所以a=0,则P为真命题的一个充分不必要

2127min

条件应该是（-8,0］的一个真子集,

故选：A

2.（24-25高三上•云南•期中）“*>0,（。-3*-1=0”成立的充分必要条件是（）

A.a>\B.a<1C.a>3D.a<3

【答案】C

【分析】讨论。-3是否为0,当。-3=0时，显然无解，故aw3,用。表示出方程的解，令结果大于0,求

得。的取值范围.

【详解】当。-3=0即a=3时，Vx>0,（a-3）x-l=-1^0,所以。/3；

当a-3Ho即aw3时，3x>0,（a-3）x-l=0ox=--—>0=a>3.

故选：C.

3.（24-25高三上・江苏扬州•开学考试）若不等式k+1|<。成立的充分条件是0<x<4,则实数a的取值范围

是（）

A.a<-\B.a<5C.a>-\D.a>5

【答案】D

【分析】先分情况求不等式归+1|〈。的解集，再根据集合的包含关系求参数。的取值范围.

【详解】设不等式卜+1|〈。的解集为A,8=（0,4）,

因为不等式成立的充分条件是0<x<4,,所以

所以4W0,所以a〉0.

由|x+l|<a=>-a<x+l<Q-a-\<x<a-\,所以“=（一。一1,。一1）.

{—u—1^0

由8=/可得{=^a>5.

故选：D

易错题通关

1.（24・25高三上•青海西宁•期中）已知。〉0,6>0,则使。+622成立的一个充分条件是（）

A.a2+b2=1B.a+b=ab

C.2"+2〃=4D.a+b2=2

【答案】B

【分析】利用充分条件的定义，结合基本不等式、二次函数性质判断.

【详解】对于A,取。=1,6=且，显然有/+〃=1成立，但不成立，不符合题意.

22

对于B,由6得,+'=1,所以”+b=(a+b)(—F7]=2H1-^->4,可推出。+622,符合题意.

ab\abJab

对于C,4=2"+2">2,2"•2"=2"丁，可得a+bV2,不符合题意.

对于D,由°+/=2,得a=2-〃，因为。>0,b>0,所以0<。(亚，所以

a+b=-b2+b+2=-^b-^+；€(血,；],不能推出0+622,不符合题意.

故选：B.

2.使“a<6”成立的一个充分不必要条件是()

A.Vxe(0,1],aWb+xB.Vxe(0,l],a+x<b

C.e[0,1],a<b+xD.e[0,1],a+x^b

【答案】B

【分析】根据不等式的关系结合充分不必要条件分别进行判断即可.

【详解】对于A,若Vxe(0,l],a^b+x,当“时，a=6<6+x成立，

所以“Vxe(O,l],aWb+x”R“a<b”,A不满足条件；

对于B,Vxe(0,1],a+x<b,贝!Ja<a+x<6,即a<b,

所以“Vxe(O,l],a+x<b"n“a<b”,

若a<b,则Vxe(0,l],不妨取a=l,6=1.2,x=0,5,则a+x>6,

所以“Vxe(O,l],a+x<b"9“a<6”，

所以L(0,l],a+x<b"是2<b"的充分不必要条件，B满足条件；

对于C,若a<b,则使得a<6Wb+x,即a<b+x,

即"。<6"n"*e[0,l],a<b+xn,

所以a<b+x"是“a<"的充分条件，C不满足条件;

对于D,^3XG[0,1],a+x^b,则+即当且仅当x=0时，等号成立,

所以“HXE[0,1],a+xWb"R"Q</?”，D不满足条件.

故选：B.

3.（24・25高三上•河北张家口•开学考试）已知〃,b,c£R,使。成立的一个充分不必要条件是（）

A.a+c>b+cB.ac>be

C.a2>b2D.ac2>be2

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式性质求解即得.

【详解】对于A,a+c>b+ca>b,A不是；

对于B,当。<0时，由ac>bc,得a<b,B不是；

对于C,a1>b2可能有a<6,如a=—2,b=l,C不是；

对于D,由ac2>bc2,得02>o，贝lja>b；若a〉6,c=