江苏省南京市2024-2025学年高二年级上册12月月考数学检测试题（含解析）

江苏省南京市2024-2025学年高二上学期12月月考数学

检测试题

一、单选题（本大题共8小题）

1.过点/（2,3）且与直线/:2尤-4y+7=0平行的直线方程是（）

A.%—2y+4=0B.x—2y—4—0C.2x—jv+1—0D.x+2y—8—0

2.已知圆G：/+/=4与圆C?:（尤-3）2+（y+4）2=9,则圆G与圆C2位置关系（）

A.外离B.外切C.相交D.内含

3.记Sn为等差数列{册}的前〃项和，若公差d=2，则2s3-352=

（）

A.-6B.2C.4D.6

4.若双曲线C：Fq=1与双曲线C2=1的渐近线相同，则双曲线。的离心率

96

为（）

A.巫B.正

V/•LJ•

2323

5.点尸为x轴上的点，A（-1,2）,B（0,3）,以/,B,P为顶点的三角形的面

7

积为大则点P的坐标为（）

2

A.（4,0）或（10,0）B.（4,0）或（-10,0）

C.（-4,0）或（10,0）D.（-4,0）或（11,0）

6.已知过点40,1）且斜率为左的直线/与圆C:（x-2）2+（y-3>=1相交于两点.

则而•福为（）

A.3B.5C.7D.与人有关

7.若直线/：y=x+6与曲线二?有两个交点，则实数b的取值范围是（）

A.[b\-2y/2<b<2y/2}B.例2<b<2伪

C.{b\2„b<272}D.{b\b=±2}

8.过点且与曲线y=相切的切线斜率不可能为（）

3--

A.0B.8e2C.——e2D.1

4

二、多选题（本大题共3小题）

9.下列求导运算中正确的是（

3

r

XH----B.(3\nx)=—

X

(x2cosx)r=-2xsinx

10.已知圆M:（X+2）2+J?=2,直线+y-2=0,点「在直线/上运动，直线P4,总

分别于圆"切于点43.则下列说法正确的是（）

A.四边形必啰的面积最小值为2行

B.0刊最短时，弦出长为灰

C.归刊最短时，弦前直线方程为x+y-l=0

D.直线加过定点Rgg；

11.在数列｛%｝中，其前〃项和是则下列正确的是（）

2

A.若Sn=n+1,则%=2〃-1

B.若％=2,a“+i=册+〃+1,则+〃+2）

C.若%=2,〃%+i=（〃+l）a„,则an=2n

三、填空题（本大题共3小题）

12.在直线/：2x-y+l=0上一点尸到点/（-3,0）,B（1,4）两点距离之和最小,

则点尸的坐标为.

13.写出一个同时具有下列性质（1）（2）（3）的数列｛4｝的通项公式：

（1）数列｛g｝是无穷等比数列；（2）数列｛%｝不单调；（3）数列｛|%|｝单调递减.

14.过点尸（2,0）的动直线/与圆C:x2+j/一6x-2y+5=0交于用鸟两点，过点4,5分别

作圆C的切线心4，若4与4交于点〃，贝的最小值____________.

四、解答题（本大题共5小题）

15.已知V/5C的三个顶点分别为/(-4,0),B(0,2),C(2,-2),求：

(1)/8边中线所在的直线方程

(2)V/BC的外接圆的方程

16.已知。为实数，函数/(x)=4(x-a).

(1)若/'(1)=0,求实数。的值

⑵若。=3时，求函数/(无)在x=4处的切线方程；

17.已知抛物线C：俨=2pxg>0)过点/(2,-4).

(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；

(2)若点2(0,2),求过点2且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线/的方程.

2

18.已知正项数列｛%｝的前"项和为S“，an+a„=2S,t+2,数列也｝满足£=•3%.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵求数列｛4｝的前"项和1.

19.已知椭圆G：J+9=l和双曲线。2：［-9=1，过椭圆£左焦点尸且斜率为左的

直线交椭圆于A,3两点.设P是椭圆的右顶点，记直线P4,P8的斜率分别为左，

k2,直线P4,尸8与双曲线的另一个交点分别为M,N,.

(1)求上住的值;

(2)求证：直线过定点.

答案

1.【正确答案】A

【分析】利用平行直线的特点先设出待求直线方程，代入所过点可得答案.

【详解】由题意设所求方程为2x-4y+c=0(*7),

因为直线经过点4(2,3),

所以2x2-4x3+c=0,即c=8,所以所求直线为》-2了+4=0.

故选：A.

2.【正确答案】B

【分析】

求出两个圆的圆心距，再根据圆心距与两圆的半径之间的关系判断两圆的位置关系.

【详解】

圆Ci：x2+y2=4的圆心坐标为Ci(0,0),半径ri=2,圆C2：(x-3)2+(y+4)2=9

的圆心坐标为圆C2(3,-4),半径"=3.V|CiC2|=5=ri+r2,二圆Ci与圆C2的位置

关系是为外切.

故选B.

本题考查了判断两圆的位置关系，当圆心距等于两圆的半径之和时，两圆外切.

3.【正确答案】D

【详解】因为Sn为等差数列｛an｝的前〃项和，公差d=2,

所以2s3-3s2=2(3d]H———39的H—丁d)=3d=6.

4.【正确答案】A

【分析】根据题意求出双曲线£与双曲线G的渐近线，从而得到。=2,再结合双曲

线G的方程即可求得其离心率.

【详解】对于双曲线G工-q=1,其渐近线为上-4=0,即3/=分,

a3a3

对于双曲线C,:4-W=l,其渐近线为=0,即3/=2/，

9696

因为双曲线。与双曲线C?的渐近线相同，所以。=2,即双曲线=

设双曲线C1的半实轴长为%,半虚轴长为4,半焦距为G，

则q；=2,6；=3,c；=a；+6；=5,即％=V2,q=6,

所以双曲线G的离心率为e=，=^=孚.

故选：A.

5.【正确答案】B

【分析】先用两点距离公式求出|曲，再求出直线的方程，再利用点线距离公式

求出?点到期的距离，再用三角形的面积公式代入求解即可.

【详解】根据题意，设点「的坐标为（再0）,则

3-2

卜四='_（_]）=1，故直线为：y-3=x,即x-y+3=0,

lx—-0+3|lx+3|

故？到直线上的距离为：d=+（_了=,

又因为\AB\=^（-1-0）2+（2-3）2=V2,

所以由邑皿=/却〃=9g*?=片3=?得卜+3=7,

解得x=4或x=—10,即「为（4,0）或（一10,0）.

故选：B.

6.【正确答案】C

【详解】依题意，设过点4。,1）且斜率为后的直线/的方程为了=履+1,设

M（XQi）,N（X2，%）,

y=kx+\

联立+e-3j-l'消去九得：（1+F）/-（44+4）x+7=0,

止匕时A=（4左+4）2-28（1+/）=-12尸+32左一12>0,显然有解，

7______k_

故再马=^^7，/M=（X],J「1）,/N=区,％-1），

_

所以AM-AN=x{x2+（以一l）（y2l）=x1x2+kx{-kx,

7

二（1+左2）再入2=（1+左2）.=7.

1+左2

故选：C.

7.【正确答案】C

【分析】求出直线与曲线相切时实数b的值，再结合图象，即可得到答案;

【详解】化简方程歹="，可得/+必=4（好0）,

方程/+/=4（yN0）对应的曲线为以（0,0）为圆心，以2为半径的圆在X轴上方的部

分（含点（2,0）,（-2,0））；

当直线y=x+6与半圆相切时，2=甲

b>0,

所以b=2V2，

当直线过点（-2,0）时，b=2,

所以实数6的取值范围为［2,20b

8.【正确答案】D

【详解】由＞得了=2."+/炉=尤（尤+2）e）

设切点为（吃,康加），

贝IJ切线斜率左=xo（x°+2）e'。，

即切线方程为V-X；e*。=%（%+2）e'"（x-％,

又切线过点

则—x（）e°=（%+2）e",

整理可得;X0（x0-2）（2x0+3）e'。=0,

八,、3

解得%=0或%=2或%=-5，

则切线斜率为0或8e?或-士e2,

4

故选：D.

9.【正确答案】AB

【详解】对于选项A,因为卜+£|=1-},所以选项A正确，

3

对于选项B,因为(31n%y=—,所以选项B正确，

对于选项C,因为(土〕=f*=上£,所以选项C错误，

(门(ex)2ex

对于选项D,因为(/cosx)'=2xcosx-/sinx,所以选项D错误，

故选：AB.

10.【正确答案】ABD

【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，根据切线长与圆心到定点距离。和半径尸之

间关系，即切线长=片下可知当？时，|E4|最小，可确定四边形面积最小

值，同时利用面积桥可求得|圈，由此可知AB正确；设夕(飞,又)，可知方程为：

(%0+2)(%+2)+汽、=2,由/可求得尸点坐标，由此可得/B方程，知C正确；将

%=2-%代入方程，根据直线过定点的求法可知D正确.

【详解】由圆的方程知：圆心M,0),半径“亚，

对于AB,四边形的面积5=2邑皿=2义；四"=也网

则当叫最短时，四边形如落的面积最小，

点、M至|J直线/的距离"=上?21=2a,1^1.=而」=屈,

<211mm

止匕时S.M=2jl,A正确；

又封叩=刎"=!叫||回，,此时网=后二遍,B正确;

对于C,设/（阳,％）,B（x2,y2）,户优,为），

则过A作圆的切线，切线方程为：（%+2）（x+2）+%y=2；过B作圆的切线，切线方程

为：（X?+2）（x+2）+y2y=2,

(网+2)(%+2)+%先=2

又「为两切线交点,

.("+2)(%+2)+%%=2

则48两点坐标满足方程：（X。+2）（x+2）+”=2,即制方程为:

（%+2）（x+2）+九〉=2；

当|/训最小时，.•.直线&f方程为：y=x+2,

।fy—x+2,fx=0,、

由工、n得：°，即尸（。，2）,

[x+y-2=0[）=2

.•.48方程为：2（%+2）+2y=2,即x+y+l=0,C错误；

对于D,由C知：/B方程为：（％。+2）（%+2）+汽卜=2；

又X。+%-2=0,gpy0=2-x0,

方程可整理为：(x-y+2)xo+2x+2y+2=O,

3

x=——

x-"2=°得.,2

由.•./5过定点D正确.

2x+2j/+2=01

尸5

故选：ABD.

结论点睛：过圆（＞+。）2+3+92=/上一点（工,%）作圆的切线，则切线方程为:

（%。+a）（%+a）+Qo+6）（y+b）=Y；过圆（工十。丫十口十人丫=/外一点（毛，％）作圆的两条

切线，切点弦所在直线方程为.（%（）+。）（％+。）+（九+b）（y+b）=Y

11.【正确答案】BCD

【分析】A根据％,百的关系判断即得；B由递推式可得%=%+（2+3+4+...+几）即可求

通项公式；C构造数列｛装｝即可求通项；D利用裂项相消法即得.

n

【详解】A：〃=1时，S[=2,而％=1。岳=2,故错误；

B：由题设，。2=+2,。3=。2+3,。4=。3+4,“5=。4+5,…，则

c。（几+2）（及-1）n2+n+2.丁咨

cin=%+（2+3+4+…+〃）=2+---------------=-----------,Rx1E；

C：由题设，气=2，而?=2,则”=2,即%=2〃，故正确；

n+\n1n

,〃+211—,口

D：由""="（〃+1）2向=万一（〃+1）•2向，可侍

£__1__J______1__J_____1__J________1_79

2-2-222-223^2?-4-24+4-24-5^-2"5^-160故正确.

故选：BCD.

12.【正确答案】（1,3）

【详解】设4关于直线2》-〉+1=0的对称点为4（"，，"），连接",

当且仅当4,尸,8三点共线时等号成立.

m=\

解得,,故4（1，-2）,故直线48:x=l,

n=-2

故当|PN|+归可取最小值时，尸的横坐标为1,故其纵坐标为3,即尸。,3）.

故答案为.（1,3）

13.【正确答案】氏=1-£|（答案不唯一）

【分析】

根据数列｛%｝需要满足的条件，可写出答案.

【详解】

由题意可得，满足（1）数列｛与｝是无穷等比数列；（2）数列｛与｝不单

调；（3）数列｛区|｝单调递减，

14.【正确答案】述

2

【详解】设圆C的圆心C(3,l),如图所示:

则为直径的圆Cj的方程为(x-x0)(尤-3)+(y-%)(y-l)=0,

2

即x+y~-(x0+3)x-(〉o+l)y+3x0+y0=0,

由平面几何的知识知直线不心的方程为圆C与圆。的公共弦所在直线方程，

从而把圆C和圆C1的方程相减得直线<5的方程为(尤。-3)尤+(%-1)了+5-3%-%=0,

•••尸(2,0)在直线耳舄上，代入得/+为+1=0

，点W在直线x+y+l=0上，

则QM的最小值为圆心C到直线x+y+l=0的距离，.•"=贤平=学

故竽

15.【正确答案】(l)3x+4y+2=0

(2)尤"++2x+2y-8=0

3

【详解】(1)设的中点为。(-2,1),则CD所在直线的斜率为一二,

4

3

则C。边所在直线的方程为y-l=--(x+2),即3x+4y+2=0.

4

(2)设V48c的夕卜接圆的方程为一+/+m+4+77=0,

-4Z)+F+16=0伊=2

由＜2£+尸+4=0,解之可得＜£=2

2O-2E+尸+8=0［尸=-8

故丫45。的外接圆的方程为/+/+2工+2了-8=0.

16.【正确答案】(1)。=3,

9

(2)切线方程为=

【详解】(1)函数的定义域为［0,+⑹，

=4+：)=3：=①>0),因为=解得"3.

2\JX2yjx

(2)若a=3时，则/(%)=4(x-3),/3二审，

27x

/(4)＜，"4)=2，

所以〃X)在X=4处的切线方程为了一2=j(x-4),即y=，x-7.

17.【正确答案】(1)/=8x,x=-2

(2)x=0或y=2或x-y+2=0

【详解】(1)由抛物线C：/=2px(0>o)过点2(2,-4),

可得16=4p,解得p=4.

所以抛物线C的方程为「=8尤，其准线方程为》=-2.

(2)根据题意，易知点8(0,2)不在抛物线上.

①当直线/的斜率不存在时，x=0符合题意；

②当直线/的斜率为0时，＞=2符合题意；

③当直线/的斜率存在且不为0时，设直线/的方程为＞=履+2,

\y=kx+2.

由2，得如一8y+16=0,由A=64-64左=0,得左=1,

[J=8x

故直线/的方程为无一V+2=0.

综上直线/的方程为x=0或了=2或x-y+2=0.

18.【正确答案】(1)氏=〃+1

⑵八手3T

【分析】(1)利用S,与与的关系，求解通项公式；

(2)利用错位相减法求解数列的前”项和.

【详解】(1)当"=1时，q2+q=2S]+2,即。，一%-2=0,4=2或％=-1(舍)

当〃22时，吮+*=