极值与最值（学生版）-2025高考数学一轮复习讲义

第16讲极值与最值

知识梳理

知识点一：极值与最值

1、函数的极值

函数/（X）在点X。附近有定义，如果对X。附近的所有点都有/（%）＜〃与），则称/（x0）

是函数的一个极大值，记作y极大值=/（X。）.如果对无。附近的所有点都有/（幻＞/g）,则

称/（七）是函数的一个极小值，记作y极小值=/（/）.极大值与极小值统称为极值，称M为

极值点.

求可导函数/（%）极值的一般步骤

（1）先确定函数/（尤）的定义域；

（2）求导数f'（x）；

（3）求方程（（x）=0的根；

（4）检验（（x）在方程-（无）=0的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，

在右侧附近为负，那么函数＞=/（尤）在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，

在右侧附近为正，那么函数y=/（x）在这个根处取得极小值.

注：①可导函数/（X）在点％处取得极值的充要条件是：/是导函数的变号零点，即

「（%）=0,且在/左侧与右侧，/'（X）的符号导号.

②（（%）=0是％为极值点的既不充分也不必要条件，如/（尤）=/,尸（0）=0,但

无。=0不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数/（尤）=国，在极小值点

无o=O是不可导的，于是有如下结论：毛为可导函数/（x）的极值点=＞「（毛）=0；但

广（尤°）=O^xo为f（x）的极值点.

2、函数的最值

函数y=/（x）最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数“X）最小值为

极小值与靠近极大值的端点之间的最小者.

2

导函数为/（x）=ax+bx+c=a（x-xi）（x-x2'）（m＜xx＜x2＜n）

（1）当a＞0时，最大值是/（占）与/（〃）中的最大者；最小值是了（々）与FO）中的最

小者.

（2）当。＜0时，最大值是了（々）与/X"?）中的最大者；最小值是/（西）与/（九）中的最

小者.

一般地，设y=/（x）是定义在[m，汨上的函数，y=八》在（加，〃）内有导数，求函数

>=/（尤）在刖，网上的最大值与最小值可分为两步进行：

（1）求y=/（x）在（〃z,〃）内的极值（极大值或极小值）；

（2）将y=八>）的各极值与/'（附和/（〃）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一

个为最小值.

注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是

最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，

也可能是区间端点处的函数值；

②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；

③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.

【解题方法总结】

（1）若函数〃无）在区间。上存在最小值〃尤）3和最大值贝U

不等式“X）>。在区间。上恒成立。/（X）疝n>。；

不等式“尤"。在区间。上恒成立o“X）疝n>a；

不等式〃x）<b在区间。上恒成立o/（x）mM<&；

不等式Wb在区间。上恒成立o1m*Vb；

（2）若函数〃尤）在区间。上不存在最大（小）值，且值域为（租，〃），则

不等式/（尤）>a（或/'（x）2a）在区间D上恒成立="拒a.

不等式〃尤）〈”或/（x）W6）在区间D上恒成立.

（3）若函数〃尤）在区间刀上存在最小值“X）1nhi和最大值，即

f（x）e[m,n],则对不等式有解问题有以下结论：

不等式在区间。上有解oa<〃x）max；

不等式aW/（x）在区间D上有解oaV1nM；

不等式在区间。上有解oa>/（无）而。;

不等式在区间D上有解oaZ/GL；

（4）若函数〃尤）在区间。上不存在最大（小）值，如值域为（相，〃），则对不等式有

解问题有以下结论：

不等式a<（或aV"尤））在区间D上有解oa<n

不等式/(x)(或bN〃x))在区间。上有解oh>相

(5)对于任意的玉e[〃，句，总存在％w[m,n],使得

/(%)4g(%2)O/&)max«g(%)皿；

(6)对于任意的石C[Q,可，总存在々4m,可，使得

(7)若存在不£心,可，对于任意的/《[m,n],使得

/6)4g㈤O/(%L,4S(々L；

(8)若存在石£[〃，b],对于任意的/Mm,n\,使得

/(%)2g(%)O>g(3Lx；

(9)对于任意的占e[a,b],x2e[m,〃]使得/(占)4g(%)o/(%)皿』g®)血>,；

(10)对于任意的占w[a,b],马e[m,〃]使得了(xj2g(x2)o〃尤J1ntoz8仁心；

(11)若存在玉e[a,b]，总存在x2e[m,〃],使得

〃%)(g(%)o〃%)而„(g(马Lx

(12)若存在不句々，b],总存在马句111，川，使得

2g⑸O"%UaxNg(%L-

必考题型全归纳

题型一：求函数的极值与极值点

[例1](2024•全国•高三专题练习)若函数/(x)存在一个极大值/(石)与一个极小值

满足〃々)>/&)，则〃x)至少有()个单调区间.

A.3B.4C.5D.6

【对点训练1】(2024•全国•高三专题练习)已知定义在R上的函数/(x),其导函数

尸(力的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()

A./(/?)>/(a)>/(c)

B.函数/(x)在x=c处取得最大值，在尤=e处取得最小值

C.函数/(X)在X=c处取得极大值，在x=e处取得极小值

D.函数“X)的最小值为〃力

【对点训练2】(2024•全国•模拟预测)已知函数〃*)的导函数为广(元)，则“y=r(x)

在(0,2)上有两个零点”是尤)在(0,2)上有两个极值点”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要

条件

【对点训练3】(2024•广西南宁•南宁三中校考一模)设函数

/(x)=(x-a)(x-Z?)(x-c),a,b,c^R,/'(x)为〃尤)的导函数.

⑴当a=〃=c=0时，过点P(LO)作曲线y=/(x)的切线，求切点坐标；

(2)若〃b,b=c,且和尸(x)的零点均在集合，，-2,g,中，求〃尤)的极小值.

【对点训练4】(2024•河北•统考模拟预测)已知函数/(x)=4-qln(x+b).

(1)证明：当。>0力=0时，，(无)有唯一的极值点为％,并求/(%)取最大值时马的值;

⑵当6>0时，讨论/(x)极值点的个数.

【对点训练5】(2024•江苏无锡•校联考三模)己知函数

〃力=1211%+皿1-_¥）,%4-9，1）求〃力的极值；

【解题方法总结】

1、因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程（（x）=0根左右的符号，更要注意变

号后极大值与极小值是否与己知有矛盾.

2、原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零.这个零点必

须穿越无轴，否则不是极值点.判断口诀：从左往右找穿越（导函数与x轴的交点）；上坡低

头找极小，下坡抬头找极大.

题型二：根据极值、极值点求参数

[例2]（2024•贵州•校联考模拟预测）已知函数〃”=加+灰在x=l处取得极大值

4,则〃-/?二（）

A.8B.-8C.2D.-2

【对点训练61（2024•陕西商洛・统考三模）若函数/（%）=三+&+（〃+6）x无极值，则

〃的取值范围为（）

A.[-3,6]B.（—3,6）

C.—3]"6,+oo）D.（—8,—3）U（6,+8）

InY

【对点训练7】（2024•湖南长沙•高三长沙一中校考阶段练习）函数gx）=—在区间

x+1

上,eN*）上存在极值，贝心的最大值为（）

A.2B.3C.4D.5

【对点训练8】（2024•全国•高三专题练习）已知函数/（力=：尤2-（i+Qx+ainx在

了=。处取得极小值，则实数。的取值范围为（）

A.[1,+<»）B.（1,+<»）C.（0,1]D.（0,1）

【对点训练9】（2024•广东梅州•梅州市梅江区梅州中学校考模拟预测）己知函数

=一依（qeR）有两个极值点，则实数。的取值范围（）

A.（5）B.（0,1）

C.[0,1]D.。,仪）

【对点训练10】（2024•江苏扬州•高三扬州市新华中学校考开学考试）若x=a是函数

/（x）=（x-a）2（x-l）的极大值点，则。的取值范围是（）

A.a<1B.a<lC.a>lD.a>l

【解题方法总结】

根据函数的极值（点）求参数的两个要领

（I）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解;

（2）验证：求解后验证根的合理性.

题型三：求函数的最值（不含参）

【例3】（2024•山东淄博・山东省淄博实验中学校考三模）已知函数〃x）=e'sinx-2x.

⑴求曲线y=f{x）在点（0,7（0））处的切线方程；

⑵求“X）在区间上的最大值；

【对点训练111（2024•云南昆明•高三昆明一中校考阶段练习）已知函数

外力=111%—-在区间口,可上最大值为必最小值为相，则M-机的值是.

【对点训练12]（2024•辽宁葫芦岛•统考二模）已知函数/（x）=2sinx（l+cosx）,贝I]/（x）

的最大值是.

【对点训练131（2024•湖北武汉•统考模拟预测）已知函数〃无）=.,

2cosx+smx

则函数“X）的最小值为.

【对点训练14】（2024•山西•高三校联考阶段练习）已知x>o,y>o,且In（孙尸=/,则

尤2y-ln%-x的最小值为.

【对点训练151（2024•海南海口•统考模拟预测）已知正实数加,〃满足：

nlnn=e'"-nlnm,则一的最小值为.

m

【解题方法总结】

求函数无）在闭区间侬,句上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值

/（«）,『⑸与〃无）的各极值进行比较得到函数的最值.

题型四：求函数的最值（含参）

【例4】（2024•天津和平•统考三模）已知函数〃x）=«-alnx,g（x）=（cosx-l）e-\

其中QER.

⑴若曲线y=/（x）在x=l处的切线4与曲线产g（x）在无、处的切线4平行，求。的值；

⑵若x«0,兀）时，求函数g（x）的最小值；

（3）若〃尤）的最小值为M。），证明：当ae（0,+co）时，/?（o）<l.

【对点训练16】（2024•全国•模拟预测）已知函数=+,aeR.讨论函

数〃尤）的最值;

【对点训练171（2024•四川成都•成都七中校考模拟预测）已知函数

无）=-i（6+a）x2+（8+6a）x-8aln龙一4a,

其中aeR.

⑴若。=2,求的单调区间;

（2）已知"2）="4）,求的最小值.（参考数据：l<3（3_\n2）<2）

【对点训练18]（2024•全国•高三专题练习）已知函数/（x）=ln（l+x）+<zreT.

（1）当。=-1时，讨论函数/（尤）在（0,+e）上的单调性；

（2）当a20时，求/（无）在内的最大值；

【对点训练19]（2024•湖南长沙•湖南师大附中校考模拟预测）已知函数

/（x）=l+^^lnx-1+lnx^（fe^0）.

⑴若f（x）存在最大值证明：M+k>l；

⑵在（1）的条件下，设函数g（x）=xeK丁-x，求g。）的最小值（用含M，4的代数式表

示）.

【解题方法总结】

若所给的闭区间3,切含参数，则需对函数“X）求导，通过对参数分类讨论，判断函数

的单调性，从而得到函数/（%）的最值.

题型五：根据最值求参数

【例5】（2024•四川宜宾•统考三模）己知函数/（x）=meT+x-lnx（,〃eR）.

⑴讨论函数〃元）的极值点个数；

（2）若m>0,的最小值是l+ln〃z,求实数机的所有可能值.

【对点训练20】（2024•山东•山东省实验中学校考一模）若函数=g尤3+尤2-2在区

间（a-4,a）上存在最小值，则整数。的取值可以是.

【对点训练21］（2024•全国•高三专题练习）若函数/（x）=12尤-V在区间（利-5,2根+1）

上有最小值，则实数加的取值范围为.

【对点训练22］（2024•福建泉州•高三统考阶段练习）已知函数f（x）=|x—l|—alnx的最

小值为0,则a的取值范围为.

【对点训练23】（2024•江苏南通•高三校考开学考试）若函数/（尤）=怆，+。|-工的最小值

为-1,贝!!”=.

【对点训练24］（2024•全国•高三专题练习）若函数〃x）=e"（f2+2x+a）在区间

（a,a+l）上存在最大值，则实数。的取值范围为

【对点训练25］(2024•全国•高三专题练习)已知函数“无)=；尤3+；尤2-2%+1,若函

数在(2a-2,2°+3)上存在最小值.则实数。的取值范围是.

题型六：函数单调性、极值、最值得综合应用

【例6】(2024•天津河北•统考二模)己知a>0,函数f(x)=xlna-alnx+(x-e)2,其中

e是自然对数的底数.

⑴当°=1时，求曲线y=/(x)在点。/⑴)处的切线方程；

⑵当。=e时，求函数“X)的单调区间；

(3)求证：函数/(“存在极值点，并求极值点与的最小值.

【对点训练26】(2024•全国•高三专题练习)已知函数/。)=2/-3(4+1)/+6办+1,

其中a£R.

⑴当〃=3时，求函数在(0,3)内的极值；

⑵若函数“X)在［L2］上的最小值为5,求实数a的取值范围.

【对点训练27】(2024•全国•高三专题练习)已知f(x)=e-sinx.

⑴求函数/(x)在［0,2兀］内的极值点；

TTJT

⑵求函数g(x)=/a)-x在-5，万上的最值.

【对点训练28](2024•全国•高三专题练习)设函数，(x)=ln(a-x),