江苏省某中学2024-2025学年高二年级上册期中考试数学试题

江苏省淮阴中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.直线了二内工的倾斜角为I)

571

A.-B.巴C.—D.

633~6

222片有相同的焦点，m

2.若椭圆上+匕=1与双曲线上一=1则的值为()

m222

A.4B-5。6D.7

3.已知点尸是抛物线u/=8x的焦点，若抛物线C上的点A到尸的距离为4,则点A到

V轴的距离为()

A.2B.3C.4D.5

4.若在1和81之间插入3个数，使这5个数成等比数列，则该等比数列的公比为()

A.3B._3C.+3D.+9

5.己知双曲线£_匕=1(a>0,6>0)的一个焦点为尸⑵°),且双曲线的渐近线与圆

a2b2

(%_2)2+必=3相切厕双曲线的方程为

x222

A.B.=1jC-X----V2=11D.x2y1

13933

6.若等差数列｛%｝的前〃项和为S〃，/+%+。7=6，57=-7•则S,取得最小值时〃的值

试卷第11页，共33页

为（）

A.3B.4C.5D.6

7.已知4（T,O）,3（1,0），动点。满足EL丽=3•则VZ5c面积的最大值为（）

A.2B.3C.4D.5

8.若椭圆E：二+亡=1缶>0）的左、右焦点分别为耳、骂，上顶点为受过片作直线

2

4c3c2'7

典的垂线交椭圆“于MN两点，设必服的内切圆的半径为，则二的值为（）

C

二、多选题

12y

9.设直线4：+1=0,/2：x+[a-2\y+a=0,圆°：x+y=9则下列说法正

确的有（）

A.若/]〃4，贝必=3或-1

B.若…，则a—

2

C.4恒过定点（一2,_1）

D.被圆C截得的弦长最小值为4

10.下列说法正确的有（）

A.若数列｛”"｝为等差数列，其公差4>0,则数列｛%｝是递增数列

试卷第21页，共33页

B.若数列｛%｝为等比数列，其公比ge（0,1），则数列｛%｝是递减数列

C.若数列｛%｝为等差数列，则数列｛2%｝为等比数列

D.若数列应｝的前〃项和为\且$=1C+_Q（〃eN*），则数列｛$；｝是等差数列

11.已知点尸（4,0），直线/：x=-4,曲线C上的点满足到厂的距离与到/的距离之积为

16,则下列说法正确的有（）

A.曲线C关于y轴对称

B.曲线C经过坐标原点

C.设曲线C上动点尸（xJ）（x>T）到直线户6的距离为义则学的最小值为竺

d25

D.当点尸（孤》在曲线C上时，J（x+8『+y2的最小值为8-4亚

三、填空题

12.已知直线/过点（3,1），且与两条坐标轴的正半轴围成一个等腰直角三角形，则直线/的

方程为一.

13.设双曲线及1一/=的左、右焦点分别为与、工，点尸是双曲线E上

的一点，若/耳尸匕「周=3|尸£|,则双曲线£的离心率为

14.己知直线/：了=一1,圆G：（x+i『+y2=i，圆C/卜_1『+/=],若圆C,与圆

GV?和直线/都相切，则圆C3的半径为一，若圆Cm与圆C“C”+1和直线/都相切（〃eN*），

试卷第31页，共33页

且C(〃eN*)两两不同，则圆G的半径为-

四、解答题

15.已知三点。(。⑼，/(2,0)，在圆C上，点C为圆心.

⑴求圆C的方程；

(2)过点尸(4,2)作圆C的两条切线，切点为求四边形尸MCN的面积.

16.已知数列｛4｝的前〃项和为s“，且数列｛邑+2｝是首项为4,公比为2的等比数列.

(1)求数列｛”“｝的通项公式；

1117073

(2)若工+工+…+上〈岩，求满足条件的最大正整数n的值.

%a2an2024

17.已知抛物线C：V=2"过点(1,2)，直线/与抛物线C相交于43两点，若直线/过点

/(4,0)•

(1)求抛物线C的方程；

(2)证明：以AR为直径的圆经过坐标原点;

AD

(3)若加=2而，求直线/的方程.

18.已知数列｛g｝的前〃项和为s“，q用=2a“+2"(〃eN*)，％=>

(1)证明：数列|会｝为等差数列，并求数列｛%｝的通项公式；

(2)求数列｛”“｝的前〃项和为s“；

⑶若Sn-<2an-4〃-;I对，/任意〃eN*恒成立.求实数2的取值范围.

试卷第41页，共33页

19.已知4陋00，4（2,0）,动点P满足直线4尸与直线4尸的斜率之积一_1,动点尸的

4

轨迹形成曲线C

⑴求曲线C的方程；

（2）设点7（04a为常数且经0）,求线段PT长度的最大值；

⑶经过点0（_4,0）的两条直线仆仆直线4与曲线C相交于4M两点，直线4与曲线C

相交于8,N两点，若直线过定点G（一3,2），证明：直线小恒过定点.

试卷第51页，共33页

参考答案:

题号12345678910

答案BCACDBACBCDACD

题号11

答案BCD

1.B

【分析】直接根据倾斜角与斜率的关系即可.

【详解】直线y=氐的斜率为g，

设其倾斜角为贝Utan戊=6，

又ae［。，％故其倾斜角为色.

3

故选：B

2.C

【分析】根据椭圆和双曲线焦点相同得到方程，得到答案.

【详解】双曲线工一己=1的焦点在X轴上，且焦点坐标为（一2，°），（2,0）

22

2222

因为椭圆工+匕=1与双曲线土一2=1有相同的焦点，

m222

所以用-2=4，

解得加=6.

故选：C

3.A

【分析】根据条件，利用抛物线的定义，即可求解.

【详解】设4（%,%）,因为点A到尸的距离为4，

则|/川=毛+5=/+：=/+2=4,得到*。=2,

答案第11页，共22页

故选：A.

4.C

【分析】根据等比数列定义知81=lx/，求解即得答案.

【详解】设这5个数组成的等比数列为｛%｝,公比为9,则4=1，牝=81.

,,%=q•/'即81=lx/

解得q=±3

故选：C.

5.D

2

-=V3a=l,b=6x-^=\

【详解】试题分析：依题意有1,，解得，所以方程为3.

｛c-2

c1=a2+b2

考点：双曲线的概念与性质.

6.B

【分析】利用等差数列下标和的性质及前〃项和公式可得｛4｝的通项公式，由%20可得等

差数列｛%｝的前4项为负数，从第五项开始为正数，即可得结果.

【详解】因为｛%｝为等差数列，

%+%+为=6，所以3a§=6，«5=2»

7(q+%)=_7,所以〃4=T,

72

所以汗=&一。4=3，

答案第21页，共22页

所以为=%+("-4)X3=-1+3〃-12=3”-13“解得心上

'-3'

所以等差数列｛4｝的前4项为负数，从第五项开始为正数，

所以S”取得最小值时"为4

故选：R.

7.A

【分析】令C(x,y),利用向量数量积的坐标表示及已知求动点C的轨迹，结合圆的性质求

面积最大值.

【详解】令C(x,y),则B=不=(1-十/

所以百•赤=工2-1+72=3，即一+必=4，

由4瓦。构成三角形，所以。点轨迹为f+/=4且yW0,

要使V45c面积最大，只需c与边4g最远，即C为(0,±2)，

所以最大面积为工x2x2=2.

2

故选：A

8.C

【分析】由对称性确定ABMN的周长，再由弦长公式，点到线的距离公式求得AS儿亚面积,

即可求出内切圆半径即可求解.

【详解】

答案第31页，共22页

a=2c,b=

即8工=2C，所以△瓦"；为等边三角形,

NBF\F?=60°，

由题意可知：NBF、N=3«，即直线/为48/鸟的角平分线，倾斜角为30。，

则点8,工关于直线/对称，而AEMN的周长为4a=8c，所以AAW的周长为8c，

因为直线/的方程为x-岛+'=°,椭圆£方程为工+£=i，

2

4c3c2

x-43y+c=Q13廿-6&y-9c2=0

联立方程22，消去X得

L+2=1

,4c23c2

2

Hx9x(-d^6=02>,可得%+%=6#1c9c

1r,2F

8（c,0）

点直线/的距离为"=

答案第41页，共22页

所以ABW的面积为SSL%xc=*

VBMNVMNF2213]3

所以工8c/=生，解得：r=%，

21313

所以，」，

c13

故选：C

9.BCD

【分析】根据直线平行与垂直的充要条件求解q的值即可判断A,B；根据含参直线一般方

程确定定点坐标即可判断C；根据直线与圆相的位置关系，求解相交弦长的最小值即可判

断D.

【详解】对于A,若则卜(。-2)-3x1=0,所以"=3,故人不正确；

13Q_(Q-2)W0

对于B,若4",则"+3(”2)=。，解得4=3,故B正确；

2

对于C,直线0x+(a-2)y=0，整理得(y+l)a=2y-x，

令卜+1=。得卜=T,故直线12恒过定点(-2,-1),故C正确；

[2y-x=0[x=-2

对于D,圆C：/+丁=9的圆心c(o,o),半径尸=3,设点(―2,—1)为0，则。在圆内，

则当CQ，/时，直线/被圆。截得的弦长最小，

因为|CQ|=7(-2)2+(-1)2=V5,所以直线/被圆°截得的弦长的最小值为253?-(豆)2=4,

又纭=1=2,所以勺=_；=一上，此时解得“=匕故存在"=4使得"被圆c截得的

答案第51页，共22页

弦长最小值为4,故D正确.

故选：BCD.

10.ACD

【分析】由等差、等比数列的概念及性质逐个判断即可.

【详解】对于A,由d>0,可得q「a“T>0,故单调递增，正确;

对于B,取用=一1，此时由于ge（O,l），此时数列｛叫是递增数列，错误;

对于C：等差数列｛端公差为"，由二=2/一=2"，为常数，故数歹L｝为等比数歹U,

2a-'

正确；

对于D：由s.=U%+_L](〃eN*)，令"T，可得：”=

〃2〃〜\/

即:鼠-S3=1,（心2），

所以数列｛s；｝是首项为1，公差为1的等差数列，正确，

故选：ACD

11.BCD

【分析】先写出曲线c的方程，根据特殊点可判断A的真假，令y=o求曲线C与X轴的交

点，可判断AD的真假，

【详解】设曲线C上的点尸GM,则曲线C的方程为：7（^-4）2+/-|X+4|=16.

对A：令x=4可得>=±2,所以（4,2）点在曲线C上，但（-4,2）点不在曲线C上，故曲线C

不关于、轴对称，所以A错误；

答案第61页，共22页

对B：令y=0得,一4Hx+4|=16=x=±4也或x=。，故曲线C过原点，所以B正确;

对C：若x>4C,则"犷+产|x+4]"(4夜—4『+/M+4|

>^(4V2-4)2.|4V2+4|=16,所以曲线。上的点的横坐标都不大于4夜，

所以1=6-1又户刊=1\=—9,

11|x+4|x+4

所以因=____3____>1^(当且仅当X"时取“一”)，所以C正确;

d(x+4)(6-x)-25

对D：若x<-40，则

y/(x-4)2+y2-\x+4\>,卜40-4)2+/•|-472+4|>卜夜+4|•卜后一4116，

所以曲线0上最左边的点为卜4亚,0),所以J(X+8)2+/24-40+8『+0=8-40，故

D正确.

故选：BCD

【点睛】关键点点睛：在列出曲线0的方程后，确定x的取值范围是判断D选项的关键.判

断出xN-4正后，结合J(x+8『+y2的几何意义:表示曲线0上的点到(一80)的距离，可

求该式的最小值.

12.》+>-4=0

【分析】设出截距式方程，代入已知点坐标求解.

答案第71页，共22页

【详解】由题意设直线方程为土+}=1,且

aa

又直线过点⑶D,则3+工=1,"=4

aa

所以直线方程为工+2=1,即"+'-4=0.

44

故答案为：x+y-4=0-

13."Ag

22

【分析】由双曲线定义和卢浦=3|尸闾，求出阀|=3见熙|=〃，由余弦定理得到J7a=2c，

求出离心率.

【详解】由双曲线定义知|尸」用_|尸7寸=2〃，

又|尸周=3|尸闻，所以附|=3〃,|尸阊=〃，

又/耳pa=/,由余弦定理得

+|巡2T片用2§/+3_公2

1，

_2\PF\-PF2\―_2x3ea-2

解得，a=2c,故离心率为£=立

a2

故答案为：立

2

14,"25_L

4169

答案第81页，共22页

【分析】利用题目条件证明方匚=乙,

3+7再根据这一递推关系确定答案即可.

【详解】由题可知cn+2，位于由圆cn，Cn+\，和/构成的曲边三角形内，这些圆之间的相切均为

外切，且都位于直线/上方.

设C“的圆心为(乙,%)，半径为R“，则根据Cn+2和/相切，有力=凡_1,

再由圆C"』的位置关系，有(X)(k-%)<0・

由c向和Q相切有出+4J+f

故(凡+凡+J?=(%一X.+J'+(%-%+1旷=(X"一X“+J'+(凡一R“+1)2'

则(x“-x“+)=444+J

根据*和C„,C„+1相切，同理有(.j=4及禺+2，=幽,儿2-

而(x“+2-x,+i)(x,+2-x“)<0，

所以+2灰K=2

这就得到」==入+7^,而3=4=1,

答案第91页，共22页

故&=」，数列｛入｝是斐波那契数列.

（£）

而玛同所以招=：,

=2,=13,RJ=-L

4loy

故答案为：—;--

4169

【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对相切性质的运用.

15-(1)(X-1)2+(^+2)2=5

(2)10

【分析】（1）根据圆的对称性可确定圆心c为线段0402垂直平分线的交点，由此可求

得圆心坐标和半径，进而得到圆c的标准方程；

（2）根据垂直关系可求得切线长阿尸|,根据四边形面积s=2Sq"可求得结果•

【详解】（1）由圆的对称性可知：圆心c为线段04。8垂直平分线的交点，

Q%=1,线段。中点为卜•线段。"垂直平分线方程为:

即y=-x—1，

又线段04的垂直平分线为x=l，.♦.C（1,_2），，圆。的半径〃=|oq=逐，

・••圆C的方程为：（1）2+（竹2）2=5-

（2）

答案第101页，共22页

■■\CP\=J（l-4）2+（-2-2），=5\CM\=V5CMIMP

22

\MP\=^|CP|-|CA/|=2收.'.\CMP=1|W|-|CM|=|X2A/5XV5=5,

四边形尸MCN的面积S=2S，CMP=2x5=10-

16.⑴%=2”

⑵10

【分析】（1）根据等比数列的通项公式可得s“=2向-2,再利用退一相减法可得知=2"；

（2）由%=2”,可得。_=_L,即可得L+_L+...+_L=i__L,解不等式，结合2”的单调

an2"a{a2an2"

性可得解.

【详解】（1）由已知数歹|］瓶“+2}是首项为4,公比为2的等比数列，

+1

则5“+2=4x2"T=，即Sn=2"-2，

当〃=1时，4=工=22—2=2，

当“22时，%=S,_S,i=2向一2-（2"_2）=2"，

综上所述％=2"；

（2）由（1）得%=2",则_1=上，

凡2"

答案第111页，共22页

所以1,1,,1

----1------1-----1----

%。2%

所以1.L些，即2〃<2024,

2〃2024

又函数y=2"，〃eN+，单调递增，

且21。=1024<2024,2n=2048>2024>

即满足2"<2024的最大正整数为10，

综上所述满足‘+'+…空的最大正整数为10.

axa2an2024

17.⑴/=4x

（2）证明见解析

⑶2工_岳_8=0或2x+⑶-8=0.

【分析】（1）将点0,2）代入方程求出°=2,即可求得抛物线C的方程；

（2）直线/过点“（4,0），所以设直线的方程为：x=my+4,联立方程组，要证以N3为

直径的圆经过坐标原点只需证明次,赤=0即可;

（3）由（；2）可知乂+%=4加，yty2=-16,由4而=2MB'所以必=-2%，然后求解即

可.

【详解】（1）抛物线C：/=2px过点（1,2），所以2P=4,p=2,

故抛物线C的方程为：y2=4x.

（2）

答案第121页，共22页

直线/过点M（4,0），所以设直线的方程为：x=my+4»

联立方程组得：尸=町+4,所以r-4刃-16=0,

[y2=4x

2rJ

A=16m+64>0设4（再，%），5（x2,y2）

所以必+%=4加，y[y2=-16>

CM=（X],必），08=（%,%）'

_22

所以OAOB=再超+%％+%先=16-16=0，

所以04,05,故以43为直径的圆经过坐标原点.

（3）由（2）可知乂+%=4加，=-16，

因为而=2远，所以乂=一2%，

所以52%+%=4m,所以解得加=±正，

1-2只=-16-2

所以直线/的方程为2x-0y一8=0或2x+V^y-8=0，

18.（1）证明见解析,4=“.2"T；

（2）邑=（"一1）2"+1；

答案第131页，共22页

(3)A<-5.

【分析】(1)根据题设递推关系有4叶-％=工，结合等差数列定义判断证明，进而写出

2"包2"2

通项公式；

(2)应用错位相减法及等比数列前"项和公式求s;

n

(3)将问题化为442"-4〃-1恒成立，作差法判断右侧的最小值，即可得参数范围.

【详解】(1)由.用=2。“+2",贝=+三一%=J_,又幺=_L,

2"+12"22"+12"222

所以数列[2]是首项、公差均为1的等差数列，则&=工+工(〃-1)=4,

[2nJ22rt222

所以。〃=N,2〃T•

(2)由S〃=lx2°+2x2i+3x22+...+〃.2"T，贝U

123H1

2Sn=1X2+2X2+3X2+--«+(H-1)-2-+W2^

所以一s“=l+21+---+2"-1-77-2"=--一„-2,,=(l-»)2,--l>

1—2

所以s“=(H-1)2"+1-

(3)由(1)(2),则(“一1)2"+1«".2"-4”一；1，整理得；LW2"-4”-l恒成立，

B+1

令c'=2"-4〃一1，则c„+1-c„=[2-4(〃+1)-1]一(2"-4〃-1)=2“一4，

当)=1时C"+]<cj当〃=2时C“M=C“，当〃23时%>c.，

所以C]>。2=。3<<。5<…，即C"的最小值为c3=c2=-5,

答案第141页，共22页

综上,

A<-5,

2

19.⑴^+丁=l(xw±2)

2^1f+l,0<f<l

(2)

E+1,£>1

⑶过定点（-7,-6），证明见详解.

【分析】（1）写出斜率化简可以得到方程，注意点尸不能与4，4点重合；

（2）直接写出点尸到点？距离，消元后配方即可；

（3）先用特殊位置求出点，然后证明直线过定点即可.

【详解】⑴设点尸（”），由题意上.上=」，化简得到片2=「0点不能与

x+2尤-2447

4或4重合，

「2

故曲线的方程为：+「=i（x/±2）.

（2）设P点坐标为（xj）,根据两点间距离公式写出।尸乃+（了7）2，

又点尸（几y）在椭圆上,x2=4-4y29消去工得：

IPT\=/（j）="-3/-2"+/+4=『3（y+1）2+1/2+4,

在椭圆中T*"i,可以得到当°＜々时，］尸？二