广东省深圳市东北师范大学深圳附属学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

第1页/共1页2024—2025学年上学期（数学）高（二）年级期中考试考试时间：120分钟满分：150分注意：将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．1.已知直线过，两点，且，则直线倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用斜率公式求得直线的斜率，结合，求得，得到，即可求解.【详解】因为直线过，两点，可得，又因为，所以，可得，设直线的倾斜角为，则，因为，所以，所以直线的倾斜角为.故选：A.2.“”是“直线和直线平行”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件【答案】A【解析】【分析】分别当时，判断两直线的位置关系和当两直线平行且不重合时，求的范围．【详解】当时，两直线分别为：，，两直线斜率相等，则平行且不重合．若两直线平行且不重合，则或，综上所述，是两直线平行的充分不必要条件．故选：A3.已知椭圆C上任意一点都满足关系式，则椭圆C的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用椭圆的定义及两点距离公式计算即可.【详解】由题设可知，椭圆C的焦点为，椭圆C上任意一点Px0,故，所以椭圆C的标准方程为.故选：C4.已知椭圆：的离心率为，则（）A. B.或 C.8或2 D.8【答案】C【解析】【分析】分焦点在轴和轴上两种情况，由离心率得到方程，求出或.【详解】椭圆：的离心率为，当椭圆焦点在轴上时，，解得，当椭圆焦点在轴上时，，解得.故选：C.5.经过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，两点，是椭圆的左焦点，则的周长是（）A.8 B.9 C.10 D.20【答案】D【解析】【分析】为焦点三角形，周长等于两个长轴长，再根据椭圆方程，即可求出的周长．【详解】为椭圆的两个焦点，，的周长为．故选：D．6.已知圆，圆，则这两圆的公共弦长为（）A. B. C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】由两圆方程求出两圆公共弦所在直线方程，再与圆联立求出相交弦的弦长即可.【详解】由圆，圆，两式相减得相交弦所在直线方程：.由圆可得圆，所以圆心、半径.所以圆心到直线距离，所以相交弦长为.故选：C7.已知是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】在为直径的圆上，即，根据得到离心率范围.【详解】，故在为直径的圆上，即，圆在椭圆内部，故，，故.故选：B.8.已知动点在椭圆上，若点，点满足，且，则的最小值为（）A. B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】由得，，问题转化为求，结合图象可知当点为椭圆的右顶点时，有最小值，计算，得到.【详解】椭圆中，.如图，由得，∴，∴当取最小值时，最小.由题意得，点A为椭圆右焦点，当点为椭圆的右顶点时，，∴.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，若选对部分得部分分，选错不得分，共计18分．9.以下四个命题中正确是（）A.若空间向量、满足，则与夹角为锐角B.若空间向量，，则在上的投影向量为C.点为平面上一点，为平面外一点，且，则D.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底【答案】BC【解析】【分析】利用空间向量数量积的定义可判断A选项；利用投影向量的定义可判断B选项；利用共面向量的基本定理以及空间向量基本定理可判断C选项；利用空间向量基底的概念可判断D选项.【详解】对于A选项，若空间向量、满足，则与夹角为锐角或，A错；对于B选项，若空间向量，，则在上的投影向量为，B对；对于C选项，因为点为平面上一点，为平面外一点，则、、共面，设，其中、，则，所以，，又因为，则，即，解得，C对；对于D选项，任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底，但不共线的三个向量可能共面，D错.故选：BC.10.已知空间向量，且，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根据条件，利用空间向量的坐标运算，求得，再利用模长的计算公式，可判断选项A的正误；利用空间向量平行的坐标表示，可求得，可判断选项B的正误；利用空间向量数量积的坐标运算，可求得，即可判断选项C的正误；利用空间向量夹角的坐标表示，即可求得，从而判断出选项D正确.【详解】对于选项A，设，因为，则，所以，解得，所以，则，所以选项A正确，对于选项B，，，所以，得到，所以选项B正确，对于选项C，因为，，所以，又，则，所以选项C错误，对于选项D，因为，，则，所以选项D正确，故选：ABD.11.已知椭圆分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（）A.椭圆离心率为B.C.若，则的面积为D.最大值为【答案】BCD【解析】【分析】由椭圆方程得到的值，根据离心率的定义可判断A，根据椭圆的定义可判断B，根据勾股定理和椭圆的定义可得到，从而由三角形面积公式可判断C，由对勾函数可判断D.【详解】由椭圆方程可知，，，，所以椭圆的离心率，故A错误；由椭圆定义知，故B正确；又，因为，所以，，解得：，所以的面积为，故C正确；因为，即，设，由对勾函数的性质可得函数在上单调递减，在上单调递增，且，所以，所以，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．12.经过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线的方程是______.【答案】和；【解析】【分析】根据直线过原点和不经过原点两种情况，即可由待定系数的方法求解.【详解】若直线经过原点，则设直线方程为，将代入可得，若直线不经过原点，设直线方程为，将代入可得，所以直线方程为，即，故答案为：和；13.求圆上的动点到直线距离的最大值_________．【答案】【解析】【分析】先求得圆心和半径，再求得圆心到直线的距离，由此距离加半径为最大值求解.【详解】圆可化为，其圆心为，半径为1，圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线距离的最大值为.故答案为：.14.已知直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围为_____【答案】【解析】【分析】根据已知条件及直线与圆相切的充要条件，结合点到直线的距离公式即可求解.【详解】由可得，整理可得，所以，曲线表示圆在轴的上半部分，当直线与圆相切时，，结合图形可知，，则，当直线过原点时，，结合图形可知，当时，直线与曲线有两个不同的交点.因此，实数的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知点和直线.（1）求过点且与直线垂直的直线的一般方程；（2）求与直线平行且与之间的距离为的直线的一般方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用两直线垂直的直线斜率，代入点斜式后化为一般式方程即可；（2）利用平行设出直线方程，利用两平行线间的距离求解即可.【小问1详解】直线的斜率为，所以过点且与直线垂直的直线的斜率为，故所求方程为，即；【小问2详解】设与直线平行的直线方程为，则，即，解得或，所以所求直线的方程为或.16.已知圆C：，点，点．（1）过点P作圆C的切线l，求出l的方程；（2）设A为圆C上的动点，G为三角形APQ的重心，求动点G的轨迹方程．【答案】（1）或；（2）．【解析】【分析】（1）分切线的斜率不存在和切线的斜率存在两种情况求解即可；（2）设，，结合重心的性质可得，进而结合A为圆C上的动点求解即可.【小问1详解】由C：，则圆心，半径，当切线l的斜率不存在时，直线l的方程为，符合题意；当切线l的斜率存在时,则设切线l的方程为，即，所以，解得，此时切线l的方程为，即.综上所述，切线l的方程为或.小问2详解】设，，因为，，G为三角形APQ的重心，所以，即，由A为圆C上的动点，得，则，整理得，即动点G的轨迹方程为．17.如图，在三棱柱中，平面，已知，点是棱的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用勾股定理确定，根据线面垂直得到，得到平面；（2）建立空间直角坐标系，确定各点坐标，计算两个平面的法向量，再根据向量的夹角公式计算得到答案.【小问1详解】中，，即，满足，故，平面，平面，故，又，平面，故平面；【小问2详解】如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，，，，，，，平面，故平面的一个法向量为，设平面的法向量为，，，则，取得到，平面与平面夹角的平面角为锐角，故余弦值为.18.如图，在四棱锥中，，，，点为棱上一点．（1）证明：；（2）当二面角的余弦值为时，求．【答案】（1）证明见解析（2）．【解析】【分析】（1）根据线线垂直先证平面，再利用线面垂直的性质定理即可得证；（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的一个法向量，利用向量法求解即可．【小问1详解】因为，所以，所以，又，且平面，所以平面，又平面，所以．小问2详解】因为，所以，则．由（1）可知两两垂直，以为原点，以所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系．可知，设，则，设平面的一个法向量n1=则即令，解得，，故，设平面的一个法向量为，由，得令，解得，故，所以，即，整理，得，解得或（舍去）．故．19已知圆过，，三点．（1）求圆的方程；（2）求圆与圆：的公共弦长；（3）已知，P为圆上任意一点，在y轴上是否存在定点N（异于点M），使得为定值？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）（3）存在定点【解析】【分析】（1）设圆方程为，代入已知三点组成方程组，解出即可得到圆的方程；（2）联立圆与圆的两方程相减得到公共弦的方程，求出圆心到公共弦的距离，再利用勾股定理，即可求得公共弦长；（3）假设在y轴上存在定点，设Px,y，，利用两点距离公式可得，由P满足圆方程，可得，即存在定点使得为定值.【小问1详解】设圆方程为，因为圆过，，三点，则，解得：,所以圆方程为.【小问2详解】圆方程化为一般方程为：，联立圆与圆两圆方程得：，两式相减得公共弦的方程：，