2025届高三数学九校联考变式卷 (解析版)

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025届高三数学九校联考变式卷考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（本题5分）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【难度】0.85【知识点】并集的概念及运算、求对数型复合函数的定义域【分析】根据真数的概念可得集合A，根据二次根式被开方数大于等于0可得集合B，利用集合的基本运算可得结果.【详解】因为，，所以.故选：A.2．（本题5分）在复平面内，复数对应的向量分别是，则复数对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【难度】0.85【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限、复数的坐标表示、根据复数的坐标写出对应的复数【分析】写出，利用复数的四则运算法则计算出，确定对应的点的坐标，得到答案.【详解】由题意得，则，对应的点为，位于第三象限.故选：C3．（本题5分）若圆的圆心到直线的距离为，则实数的值为（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【难度】0.85【知识点】已知点到直线距离求参数、由圆心（或半径）求圆的方程【分析】求出圆心坐标，利用点到直线的距离公式可求得实数的值.【详解】圆的圆心为，由题意可得，即，解得或.故选：C.4．（本题5分）某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，若小轮的半径为，则小轮每秒转过的弧长是（

）．A． B． C． D．【答案】C【难度】0.65【知识点】弧长的有关计算【分析】根据给定条件，求出小轮每分钟转的圈数，再借助弧长公式计算即得.【详解】由大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，得小轮每分钟转的圈数为，因此小轮每秒钟转的弧度数为，所以小轮每秒转过的弧长是.故选：C5．（本题5分）已知非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则与的夹角是（

）A． B． C． D．【答案】B【难度】0.65【知识点】垂直关系的向量表示、求投影向量、向量夹角的计算【分析】先根据向量垂直得出，再根据投影向量公式得出夹角余弦进而得出夹角.【详解】因为，所以，所以.因为向量在向量上的投影向量是，所以，即，所以.又因为，所以与的夹角是.故选:B.6．（本题5分）甲、乙两队进行篮球比赛，采取五场三胜制（先胜三场者获胜，比赛结束），根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“客客主主客”，设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛相互独立，则甲队在落后的情况下最后获胜的概率为（

）A． B．C． D．【答案】A【难度】0.65【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式【分析】对甲队在后几场的比赛结果进行分类讨论，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，甲队在第一场比赛输了，若甲队在落后的情况下最后获胜，分以下几种情况讨论：①甲队在第二、三、四场比赛都获胜，概率为；②甲队在第二场比赛输了，在第三、四、五场比赛获胜，概率为；③甲队在第二、四、五场比赛获胜，在第三场比赛输了，概率为；④甲队在第二、三、五场比赛获胜，在第四场比赛输了，概率为.综上所述，所求概率为.故选：A.7．（本题5分）设正项等差数列满足，其前n项和为，若数列为等差数列，则的最小值是（

）A．14 B．15 C．16 D．17【答案】D【难度】0.65【知识点】等差中项的应用、求等差数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算、二次与二次（或一次）的商式的最值【分析】设公差为d，根据等差数列前n项和写出前3项，结合等差中项的性质列方程求公差d，进而得到关于n的表达式，利用基本不等式求其最小值.【详解】因为等差数列满足，．设公差为d，则，其前n项和为，所以，，，．因为数列也为等差数列，所以，所以，解得，故，，所以，当且仅当，即时，等号成立．故选：D8．（本题5分）设函数，正实数，满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．1【答案】B【难度】0.4【知识点】由函数对称性求函数值或参数、基本不等式“1”的妙用求最值、指数函数的判定与求值【分析】由题设可得，应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件.【详解】由题设，则，整理得，所以，当且仅当，即时等号成立，所以目标式最小值为.故选：B二、多选题（共18分）9．（本题6分）下列说法正确的是（

）A．数据、、、、的第百分位数是B．若随机变量服从正态分布，，则C．张彩票中只有张能中奖，现从中一次性抽取张，若其中至少有一张中奖的概率大于，则的最小值为D．已知数据、、、的平均数为，方差为，现加入和两个数，则这个数的方差【答案】ACD【难度】0.65【知识点】根据方差、标准差求参数、根据古典概型的概率求参数、指定区间的概率、总体百分位数的估计【分析】由百分位数的定义可判断A选项；利用正态分布的对称性可判断B选项；利用古典概型的概率公式结合组合计数原理可判断C选项；利用方差公式可判断D选项.【详解】对于A，由，知数据、、、、的第百分位数为，故A正确；对于B，由正态曲线的对称性知，所以，故B错误；对于C，由，得，可得，解得，又因为，所以，的最小值为，故C正确；对于D，新数据的平均数为，则新数据的平均数仍为，由方差公式，得，解得，则新数据的方差，故D正确.故选：ACD.10．（本题6分）函数，，的最小正周期为，且方程在上有两个不相等的实数根，则下列说法正确的是（

）A．B．把图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则C．D．【答案】BCD【难度】0.65【知识点】诱导公式五、六、求正弦（型）函数的最小正周期、求图象变化前（后）的解析式、三角恒等变换的化简问题【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，求出解析式并结合图象变换判断AB；由给定实根计算判断CD.【详解】依题意，函数，由的最小正周期为，得，解得，对于A，，A错误；对于B，把图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得，则，B正确；对于C，当时，，而正弦函数在上的图象关于直线对称，依题意，，解得，C正确；对于D，由，得，解得，由选项C知，，因此，D正确.故选：BCD11．（本题6分）祖暅原理也称祖氏原理，是一个涉及求几何体体积的著名数学命题，公元656年，唐代李淳风注《九章算术》时提到祖暅的开立圆术，祖暅在求球体积时，使用一个原理，“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高．意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面面积相等，则体积相等，更详细点说就是，夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积相等，那么这两个几何体的体积相等，上述原理在中国被称为祖暅原理，国外同一般称之为卡瓦列利原理，已知将双曲线：与它的渐近线以及直线，围成的图形绕轴旋转一周得到一个旋转体I，将双曲线与直线围成的图形绕轴旋转一周得到一个旋转体II，则关于这两个旋转体叙述正确的是（

）A．由垂直于轴的平面截旋转体II，得到的截面为圆面B．旋转体II的体积为C．将旋转体I放入球中，则球的表面积的最小值为D．旋转体I的体积为【答案】ACD【难度】0.4【知识点】多面体与球体内切外接问题、求旋转体的体积、已知方程求双曲线的渐近线【分析】根据旋转体几何特征确定截面的形状判断A；根据祖暅原理计算出旋转体II的体积判断B；求出将旋转体I放入球中时，当球的表面积最小时球心的位置，可求得球的表面积的最小值，判断C；可根据祖暅原理，计算出旋转体I的体积，即可判断.【详解】对于选项A，直线与双曲线的交点为，线段绕y轴旋转一周所得的图形为圆面，所以用垂直于y轴的平面截旋转体II的截面为圆面，故A正确；对于B,截面圆的半径为，截面面积为,与双曲线的渐近线的交点为，所以是用垂直于y轴的平面截两条渐近线绕y轴旋转得到的旋转体的截面面积.x绕y轴旋转得到的旋转体（两个圆锥）的体积为，所以与双曲线及渐近线形成的截面圆环面积为定值，且底面半径为的圆柱的截面面积为，高为4的圆柱的体积为，所以旋转体II的体积为，故B错误；对于C，双曲线的右顶点为，渐近线的方程为，当时,，由对称性可知若将旋转体I放入球中时，要使得球的表面积最小，则球心一定在轴上，因为旋转体I在球内，点在球内或球面上，又点到轴的距离为2，所以球的半径至少为2，所以球的表面积大于等于，取点，则，所以旋转体I在以为球心，半径为2的球内，此时球的表面积是，所以球的表面积的最小值为，所以C正确；对于D,与渐近线交于点，与双曲线交于点，则用垂直于x轴的平面截旋转体I的截面应为圆环，其内径为，外径为，截面面积为，根据祖暅原理，旋转体I的体积为，故D正确，故选:ACD.【点睛】解决此类旋转体相关问题时，难点在于要能发挥空间想象力，明确旋转体的形状特征，因此解答时要能根据双曲线特点想象出几何体特征，并能根据祖暅原理结合几何体相关公式进行计算.非选择题部分填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（本题5分）若，则【答案】【难度】0.65【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式【分析】利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系化简题设求解即可.【详解】由，得，则，即，则或，所以或，当时，，则，不符合题意.所以.故答案为：.13．（本题5分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值16时，面积的最大值为.【答案】32【难度】0.65【知识点】基本不等式求积的最大值、双曲线定义的理解、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、求双曲线中的最值问题【分析】由双曲线的定义结合三角形两边之和大于第三边的相关性质得的最小值为，，结合基本不等式即可求得最值.【详解】题意得，故，如图所示，则，当且仅当M，，N三点共线时两个等号同时成立，所以的最小值为，所以，即，当且仅当时，等号成立，而到渐近线的距离，又，故，所以，即面积的最大值为32.故答案为：32.14．（本题5分）甲、乙、丙、丁四人报数，每人报出了一个正整数，且它们之和为11．设这四人报出的最大数为，则．【答案】【难度】0.4【知识点】计算古典概型问题的概率、求离散型随机变量的均值【分析】先求出甲、乙、丙、丁报出的数的所有可能情况，然后求出四人报出的最大数的所有可能取值，并求出取每个值对应的概率，最后利用数学期望的计算公式求即可．【详解】设甲、乙、丙、丁报出的数分别为a，b，c，d，则，且，利用隔板法，将11个1分成4组，每组至少有1个1，则形成10个空，任取3个即可完成分组，则甲、乙、丙、丁报出的数有种情况．分析可知的所有可能取值为3，4，5，6，7，8．当时，a，b，c，d的取值只能是三个3，一个2，有种情况，则；当时，有两种情况：①中有两个是4，余下两个分别为1，2，则有种情况；②中只有一个是4，余下三个分别为2，2，3或1，3，3，有种情况，则；当时，中只有一个是5，其余三个分别是1，2，3或1，1，4或2，2，2，有种情况，则；当时，中只有一个是6，余下的三个数是：1，2，2或1，1，3，则有种情况，则；当时，a，b，c，d中只有一个是7，余下三个数是1，1，2，有种情况，则．当时，a，b，c，d中只有一个是8，余下三个数是1，1，1，则有种情况，则．故．【点睛】思路点睛：解决排列组合问题的常用方法有主元法、位置分析法、隔板法、捆绑法、插空法等，一般思路是先选后排，或用两个计数原理．遇到新的问题情境，要认真读题，抓住要点，分清主次．遇到的问题难度较大时，有时可采用先分类，再分步的方法，情况比较多时，用排除法也比较容易解决问题．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题13分）记的内角，，所对的边分别为，，，已知．(1)求A；(2)若的面积为，，求的周长．【答案】(1)(2)【难度】0.65【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形【分析】（1）由正弦定理及和差角公式结合题意可得，最后由辅助角公式可得答案；（2）由面积公式可得，结合及（1）分析可得a，最后由余弦定理可得，即可得答案.【详解】（1）由正弦定理及，可得，因，则，则，结合，则；（2）因的面积为，则，则，由正弦定理及，则，则.由余弦定理，，则，则三角形周长为.16．（本题15分）如图，已知正四棱锥的体积为，高为.(1)求平面与平面的夹角的余弦值；(2)现有一蚂蚁从点处等可能地沿各条棱向底面匀速移动，已知该蚂蚁每秒移动1个单位，求2秒后该蚂蚁与点的距离的分布列及期望.【答案】(1)(2)分布列见解析，期望为【难度】0.65【知识点】求二面角、写出简单离散型随机变量分布列、证明线面垂直、求离散型随机变量的均值【分析】（1）根据垂直关系平面，以及二面角的定义，构造二面角的平面角，即可求解；（2）首先分析2秒后，蚂蚁到的位置，再写出随机变量的数值，以及概率，代入期望公式，即可求解.【详解】（1）设底面边长为，则，得，连结交于点，作，垂足为点，连结，因为平面，平面，所以，且，，平面，所以平面，平面，所以，又，且，平面，所以平面，平面，所以，所以为二面角的平面角，因为，，所以，所以是等边三角形，，所以所以，所以平面与平面的夹角的余弦值为.（2）由题意可知，蚂蚁从点沿的概率都是,2秒后蚂蚁移动了2个单位，侧棱长为2，所以若沿移动，蚂蚁到达点，若沿，蚂蚁到达点，若沿，蚂蚁到达点，若沿蚂蚁到达点，，，所以分布列为02数学期望.17．（本题15分）已知函数，(1)求函数的最大值；(2)若恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【难度】0.65【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题【分析】（1）求导，根据导函数确定原函数的单调性，即可求解最值，（2）分离参数，构造函数求导，得函数的最大值，即可根据求解.【详解】（1）的定义域为，，当时，单调递增，当时，单调递减，故当时，取最大值（2）由可得，令则，化简可得，由于，故，又函数均为单调递增函数，因此单调递增，且因此存在唯一即，且时，单调递减，当时，单调递增，故，由可得，进而，故，因此，故18．（本题17分）已知椭圆的右焦点为，分别为椭圆的左、右顶点，分别为椭圆的上、下顶点，四边形的面积为．(1)求椭圆的方程；(2)过点且斜率不为的直线与椭圆相交于两点，直线与的交点为．①若直线的倾斜角为，求线段的长度；②试问是否有最大值？如果有，求出的最大值；如果没有，说明理由．【答案】(1)(2)①；②有，【难度】0.4【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的弦长、求椭圆中的最值问题【分析】（1）根据条件，建立方程组，即可求解；（2）①由题知直线的方程为，联立直线与椭圆方程，消得到，再利用弦长公式，即可求解；②设直线，联立椭圆方程，消得到，设直线的斜率分别为，进而可得，又，即可求解.【详解】（1）由题