基本不等式的应用（2）　教案 高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

教案标题：基本不等式的应用【教学目标】1.通过应用基本不等式解决实际问题，让学生进一步掌握基本不等式，会应用此不等式求某些函数的最值．2.通过对实际问题的探究，培养学生分析问题、解决问题及归纳的能力．3.通过解决实际问题，激发学生学习和应用数学知识的兴趣，培养严谨的科学态度．【教学重点】利用基本不等式求实际问题的最值．【教学难点】拆项、凑项构造基本不等式的形式以及基本不等式等号成立的条件．【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习．【教学手段】计算机，PPT．【核心素养】数学抽象，逻辑推理，数学运算．【教学过程】一、创设情境，引入课题我们已经学习了基本不等式及其变形，接下来，我们将要研究一下如何运用基本不等式来解决一些实际问题．在日常生活与生产中，我们经常会遇到如何使材料最省，利润最高，成本最低等问题，这些问题通常可借助基本不等式来解决．首先，我们来复习一下相关知识：定理：对任意，必有，当且仅当时等号成立．推论：对任意必有，当且仅当等号成立．下面我们来看问题一：问题一：（1）把12写成两个正数的乘积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？（2）把25写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？二、思辨论证，归纳总结思辨：对于第一个小问题我们可以把它转化为已知两个正数，且，求的最小值．过程：设两个正数为，则，且．思辨：我们不难发现，由于“积定和最小”，所以由基本不等式我们就可以求得的最小值．过程：，，当且仅当时等号成立，此时．所以，把12写成两个的乘积时，它们的和最小，最小和为，解决第一个小问题我们利用了“积定和最小”这个条件．下面我们再来看第二个小问题。同样的我们将这个问题简化为以下这样一个问题．过程：设两个正数为，则，且，求的最大值．思辨：我们不难利用基本不等式的“和定积最大”这个条件，我们就可以求得的最大值．过程：由可得，当且仅当．所以，把25写成两个的和时，它们的积最大，最大积为。刚才这两个小问题蕴含了基本不等式的一个非常重要的应用模型，那就是“和定积最大”，“积定和最小”．归纳：已知都为正数，则（1）如果积是定值，那么当且仅当时，和有最小值；（2）如果和是定值，那么当且仅当时，积有最大值．三、掌握证法，适当延展下面我们再来看这样一个实际的应用题：问题一：某单位欲建造一间底面为矩形且面积为12的背景靠墙的小屋，房屋正面的造价为1200元/，侧面的造价为800元/，屋顶的造价为5200元，如果墙高为3m，且不计房屋背面和底面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少元？思辨：拿到一个实际应用的问题，首先我们要仔细阅读题干，提取有用的信息，并且将这些信息数学化．我们可以假设房屋正面的长为，侧面长为，房屋的总造价为元，根据题意，有，且总造价的表达式如下．过程：设房屋正面的长为，侧面长为，房屋的总造价为元，根据题意，有，且．思辨：由于，所以我们可以利用基本不等式和不等式性质，求得这个问题的最小值．过程：，，．思辨：最后在验证当且仅当时等号成立，此时，所以将房屋设计成正面长为4m，侧面长为3m时总造价最低，最低总造价是34000元．过程：当且仅当时等号成立，此时．四、归纳小结，提高认识通过以上两个问题我们发现基本不等式经常运用于求解最值问题，而且在使用基本不等式时大家需要注意使用条件和等号成立的条件．归纳：在解决实际问题