八年级数学下册 第二学期 期末综合测试卷（北师山西版 2025年春）

八年级数学下册第二学期期末综合测试卷（北师山西版2025年春）一、选择题(每题3分，共30分)题序12345678910答案1.[2024太原期末]通过手机银行，用户可以随时随地进行各种银行业务操作．下面是某手机银行服务项目的图标，其中是中心对称图形的是()2．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD.添加下列一个条件后能使四边形ABCD成为平行四边形的是()A．AB∥CDB．AD∥BCC．AB＝BCD．AB＝AC3．不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－4≤0，,\f(1,3)x＜x－\f(2,3)))的解集在数轴上表示正确的是()4．下列分式从左到右的变形一定正确的是()A.eq\f(b＋x,a＋y)＝eq\f(b,a)B.eq\f(b,2a)＝eq\f(bx,2ax)C.eq\f(x－y,x＋y)＝eq\f(y－x,x＋y)D.eq\f(－x－y,x＋y)＝－15.下列从左边到右边的变形中，属于因式分解的是()A．2a3b2＝a2b·2abB．a2＋a＝a2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))C．a2－2a＋1＝(a－1)2D．a2－4＋a＝(a＋2)(a－2)＋a6．小明认为，在△ABC中，如果∠B≠∠C，那么∠B与∠C所对的边AC与AB也不相等．要用反证法证明这一结论，应先假设()A．∠B＝∠CB．AC＝ABC．AB＞ACD．AB＜AC7．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，若EF＝3，则BD的长为()A．6B．12C．9D．158．如图，一次函数y＝－x－2与y＝kx＋b的图象交于点P(2，n)，则关于x的不等式kx＋b＜－x－2的解集为()A．x＜－4B．x＞2C．x＜2D．0＜x＜29．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝39°，以点C为圆心，CB的长为半径作弧，交AB于点D，分别以D，B为圆心，大于eq\f(1,2)DB的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则∠BCF的度数为()A．38°B．39°C．40°D．51°10．[2024运城一模]2024年山西省实行新的中考政策，生物学科也成为中考的必考科目之一，其中包含生物实验操作．为了加强生物实验教学，提高学生动手操作能力，培养学生的学科素养，新学期开始，某学校购进了单目显微镜和双目显微镜共30台，已知购买单目显微镜用了7560元，购买双目显微镜用了4860元，且这批双目显微镜的单价是单目显微镜单价的1.5倍，求这批单目、双目显微镜各购进多少台？若设购进单目显微镜y台，则下列选项中所列方程正确的是()A.eq\f(7560,y)＝eq\f(4860,30－y)×1.5B.eq\f(7560,y)×1.5＝eq\f(4860,30－y)C.eq\f(7560,30－y)×1.5＝eq\f(4860,y)D.eq\f(7560,30－y)＝eq\f(4860,y)×1.5二、填空题(每题3分，共15分)11．化简：eq\f(m2,m－1)－eq\f(1,m－1)＝________．12．已知xy＝2024，x－y＝1，那么x2y－xy2＝________．13．[2024晋中期末]门窗是中国古代木构架建筑上的重要组成部分．如图①所示是一款冰裂纹窗格，图②是窗格中的部分图案．其中∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的4个外角，若∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝300°，则∠D的度数是________°.14．如图，在△ABC中，AB＝BC＝8cm，将△ABC沿BC平移3cm得到△DEF，AC与DE相交于点G，则GE的长为________cm.15．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD，连接AD，则AD的长为__________.三、解答题(共75分)16．(8分)分解因式：(1)3x2－12;(2)x2(m－n)＋2xy(n－m)＋y2(m－n)．17.(10分)(1)计算：eq\f(x－2,x－1)·eq\f(x2－1,x2－4x＋4)－eq\f(1,x－2)；(2)解分式方程：eq\f(x,x＋1)＝eq\f(x,3x＋3)＋1.18．(8分)下面是小明同学解不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3（x＋1）>8－x，①,\f(x＋3,2)≤x②))的过程，请认真阅读，完成相应的任务．解：由不等式①，得3x＋3>8－x，第一步解得x>eq\f(5,4).第二步由不等式②，得x＋3≤2x，第三步移项，得x－2x≤－3，第四步解得x≤3.第五步所以原不等式组的解集是eq\f(5),\s\do5(4))<x≤3.第六步【任务一】(1)小明的解答过程中，第________步开始出现错误，错误的原因是______________________(2)第三步的依据是________________________________________________；【任务二】(3)求出这个不等式组正确的解集．19．(8分)如图，在△ADC中，AD＝DC，且AB∥DC，CB⊥AB于点B，CE⊥AD交AD的延长线于点E.(1)求证：CE＝CB；(2)连接BE，求证：AC垂直平分BE.20．(8分)如图，一次函数y1＝x＋m的图象与y轴交于点B，与正比例函数y2＝3x的图象交于点A(1，3)．(1)求△ABO的面积；(2)利用函数图象直接写出当y1>y2时，x的取值范围．21．(9分)[2024吕梁期末]为迎接4月23日的世界读书日，某书店制订了活动计划，下表是活动计划的部分信息：书本类别A类B类进价/(元/本)1812备注1.用不超过13200元购进A、B两类图书共800本；2．A类图书不少于500本.(1)杨经理查看计划时发现：A类图书的标价是B类图书标价的1.5倍．若顾客用540元购买图书，能单独购买A类图书的数量恰好比单独购买B类图书的数量少10本，请求出A、B两类图书的标价；(2)经市场调查后，杨经理发现他们高估了“世界读书日”对图书销量的影响，便调整了销售方案：A类图书每本按标价降低a(0<a<3)元销售，B类图书价格不变．那么书店应如何进货才能获得最大利润？22．(12分)综合与探究【问题情境】数学课上，同学们以直角三角形纸片为背景进行探究性活动．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AE平分∠BAC交CD于点F，交BC于点E.【初步分析】(1)智慧小组的同学发现△CEF是等腰三角形，请你证明这一结论．(2)博学小组的同学发现给△ABC添加一个条件，可使△CEF成为等边三角形．添加的条件可以是________．(写出一种即可)【操作探究】(3)创新小组的同学从图形平移的角度进行了如下探究：将△ADF沿射线AB的方向平移，使点F的对应点F′恰好落在线段BC上．①请在图中画出平移后的△A′D′F′；②判断此时线段A′B与AC之间的数量关系，并说明理由．23．(12分)综合与实践——平行四边形旋转中的数学问题【问题情境】已知在▱ABCD与▱A′B′C′D′中，AB＝A′B′＝6，BC＝B′C′＝8，∠ABC＝∠A′B′C′＝60°，同学们利用这样的两张平行四边形纸片开展操作实验，从中发现了许多有趣的数学问题，请你和他们一起进行探究．【拼图思考】(1)希望小组的同学将▱ABCD与▱A′B′C′D′按图①的方式摆放，其中点B与点B′重合，点A′落在BC边上，点C′落在BA边的延长线上，A′D′，AD交于点E，连接BE.他们提出了如下问题，请你解答：①求证：BE平分∠ABA′；②点D，D′之间的距离为________．【操作探究】(2)创新小组的同学在图①的基础上进行了如下操作：保持▱ABCD不动，将▱A′B′C′D′绕点B按顺时针方向旋转，连接DD′.他们又提出了如下问题：①当线段C′D′与DC交于点P时，如图②，求证：点B在线段DD′的垂直平分线上；②在▱A′B′C′D′旋转的过程中，当点C′恰好落在线段DC的延长线上时，请在图③中补全图形，并直接写出此时点D，D′之间的距离．

答案一、1.D2.A3.C4.D5.C6．B7.B8.C9.B10.B二、11.m＋112.202413.12014.515．4eq\r(3)－3思路点睛：由旋转的性质可得BD＝BC，∠DBC＝60°，连接CD，易知△BCD是等边三角形．延长DA交BC于点E，易证DA所在直线是线段BC的垂直平分线，可得BE＝EC＝4，DE＝4eq\r(3)，AE＝3，进而得DA＝4eq\r(3)－3.三、16.解：(1)原式＝3(x2－4)＝3(x＋2)(x－2)．(2)原式＝x2(m－n)－2xy(m－n)＋y2(m－n)＝(m－n)(x2－2xy＋y2)＝(m－n)(x－y)2.17．解：(1)原式＝eq\f(x－2,x－1)·eq\f(（x－1）（x＋1）,（x－2）2)－eq\f(1,x－2)＝eq\f(x＋1,x－2)－eq\f(1,x－2)＝eq\f(x,x－2).(2)去分母，得3x＝x＋3x＋3，解得x＝－3，检验：当x＝－3时，3(x＋1)≠0，∴分式方程的解为x＝－3.18．解：(1)五；两边同乘一个负数时没有变号(2)不等式的基本性质2(或不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变)(3)由不等式①，得3x＋3>8－x，解得x>eq\f(5,4).由不等式②，得x＋3≤2x，移项、合并同类项，得－x≤－3，解得x≥3.所以原不等式组的解集是x≥3.19．证明：(1)∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA，∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠CAB，∴∠DAC＝∠CAB，∴AC是∠EAB的平分线，∵CE⊥AE，CB⊥AB，∴CE＝CB.(2)由(1)知CE＝CB，∴点C在线段BE的垂直平分线上．∵CE⊥AE，CB⊥AB，∴∠CEA＝∠CBA＝90°，在Rt△CEA和Rt△CBA中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CE＝CB，,AC＝AC，))∴Rt△CEA≌Rt△CBA(HL)，∴AE＝AB，∴点A在线段BE的垂直平分线上，∴AC垂直平分BE.20．解：(1)∵一次函数y1＝x＋m的图象过点A(1，3)，∴3＝1＋m，解得m＝2，∴一次函数的表达式为y1＝x＋2.当x＝0时，y1＝2，∴B(0，2)，∴S△ABO＝eq\f(1,2)×2×1＝1.(2)当y1>y2时，x<1.21．解：(1)设B类图书的标价为x元，则A类图书的标价为1.5x元，由题意得，eq\f(540,x)－eq\f(540,1.5x)＝10，解得x＝18，经检验，x＝18是原分式方程的解，∴1.5x＝1.5×18＝27.答：A、B两类图书的标价分别是27元、18元．(2)设A类图书进货m本，则B类图书进货(800－m)本，由题意得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(18m＋12（800－m）≤13200，,m≥500，))解得500≤m≤600.设利润为W元，由题意得，W＝(27－a－18)m＋(18－12)(800－m)＝(3－a)m＋4800，∵0<a<3，∴3－a>0，∴W随m的增大而增大，∴当m＝600时，W取得最大值，∴800－m＝200.答：当书店进A类图书600本，B类图书200本时，书店能获得最大利润．22．(1)证明：∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠EAB.∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠AFD＋∠FAD＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠AEC＋∠CAE＝90°，∴∠AFD＝∠AEC.∵∠AFD＝∠CFE，∴∠AEC＝∠CFE，∴CF＝CE，∴△CEF是等腰三角形．(2)∠CAB＝60°(答案不唯一)(3)解：①如图①，△A′D′F′即为所求．②A′B＝AC.理由如下：过点F作FG⊥AC于点G，如图②.∵AE平分∠BAC，FD⊥AB，FG⊥AC，∴FG＝FD.在Rt△AGF和Rt△ADF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(GF＝DF，,AF＝AF，))∴Rt△AGF≌Rt△ADF(HL)，∴AG＝AD.∵△ADF平移后得到△A′D′F′，∴△ADF≌△A′D′F′，∴A′D′＝AD＝AG，D′F′＝DF＝GF.∵∠2＋∠3＝90°，∠1＋∠2＝90°，∴∠1＝∠3.在△CGF和△BD′F′中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠1＝∠3，,∠CGF＝∠BD′F′＝90°，,GF＝D′F′，))∴△CGF≌△BD′F′(AAS)，∴CG＝BD′，∴AG＋CG＝A′D′＋BD′，∴A′B＝AC.23．(1)①证明：∵AB∥A′E，AE∥BA′，∴∠A′BE＝∠AEB，四边形ABA′E是平行四边形．∴AE＝A′B.∵BA＝B′A′，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∴∠ABE＝∠A′BE，∴BE平分∠ABA′.②2点拨：连接DD′，易知A′D′＝AD