广东省部分2024-2025学年高二年级上册期中联考数学试题（含解析）

2024—2025年度高二上学期期中考试

数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册第一章至第三章.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.直线氐+y=0绕原点逆时针旋转90。后所对应的直线的斜率为()

CGD百

A.-yfiB.y/3

33

22

2.椭圆。：二+匕=1的两个焦点分别为耳，F2,长轴长为10,点尸在椭圆C上，则△尸片用的周长为

9m

()

A.16B.18C.IO+2V34D.20

3.已知抛物线/=12x的焦点为厂，点尸在抛物线上，定点。(5,2),贝11尸。|+|尸7口的最小值为

()

A.6B.7C.8D.9

22

4.已知双曲线C:、—气■=：!的两个焦点分别为耳，F2,双曲线C上有一点尸，若附|=5,则

|叫=()

A.9B.1C.1或9D.11或9

______k1______kkk

5.在正方体—481GA中，AE=-AB,BF=-BD[,则丽=()

1—►2—►3——►1—►3—►3—►

A.——AB+-AD+-AA.B.—AB——AD+-AA

1234112441

1—►1—►2—»1—►3—►3—►

C.——AB——AD+-AA.D.——AB+-AD+-AA

1243112441

6.过抛物线C：V=4x的焦点作圆尸：(x—3)2+「=1的切线，该切线交抛物线C于48两点，则

|45|=()

A.12V3B.14C.15D.16

TT

7.如图，在四棱锥尸—45C。中，尸2，平面48。。，P5与底面4BC。所成的角为底面4BC。为

4

7T

直角梯形，ZABC=ABAD=-,AD=2,PA=BC=1,三棱锥尸―ZCD的外接球为球0,则平面

2

P8C截球。所得截面圆的面积为（）

8.圆哥是指平面上任意一点到圆心的距离与半径的平方差.在平面上任给两个不同圆心的圆，则两圆圆哥相

等的点的集合是一条直线，这条线被称为这两个圆的根轴.已知圆4+2x+/=o与圆

2

C2:X+/-6X-8J+16=0,尸是这两个圆根轴上一点，则|尸。2|—|尸弓|的最大值为（）

A.V2B.2V2C.3V2D.4V2

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知直线4:ax+（a+l）y—5=0,直线4：3x—4y+5=0,圆C:（x+3>+（y—4>=9,则下列选

项正确的是（）

3

A.右/J%,则Q=—亍

B.若4J_/2,则a=—4

C.若/］与圆。相交于4,3两点，贝/4B|min=2

D.过乙上一点尸向圆。作切线，切点为0,则IP。1mm=近

10.在菱形48CD中，48=2,ZBAD=60°,E为N2的中点，将△ZOE沿直线DE翻折至△&£）£

的位置，使得二面角4-DE-C为直二面角，若尸为线段4。的中点，则（）

A.8P〃平面

B.DP1EC

TT

C.异面直线尸8,4。所成的角为生

13

V42

D.4台与平面PBD所成角的余弦值为--

17

22

11.已知椭圆C:二+二=1(。〉6〉0)的左、右焦点分别为片，工，尸是C上任意一点，则下列结论正

ab

确的是()

A.若存在点尸，使得/大尸6=5,则椭圆C的离心率的取值范围为0,^-

B.若存在点尸，使得|。尸|=q，则椭圆c的离心率的取值范围为—,i

2

2L>

C.若存在点尸，使得归胤=2|尸周，且/片尸鸟=],则椭圆c的离心率为当

D.若存在点尸，使得|。尸|=”，且/片尸鸟=事，则椭圆C的离心率为半

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量1=(5,9,1),6=(2,1,1),则向量]在向量B上的投影向量的模为.

22

13.双曲线C以椭圆二+二=1的焦点为顶点，长轴的顶点为焦点，则双曲线C的标准方程为

2036

，渐近线方程为.

14.已知圆C:(x+iy+(y—3)2=4,直线/:x—2y—8=0,M为圆C上一动点，N为直线/上一动

点，定点尸(—7,—4),贝/|+|PN|的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

22

已知椭圆C:二+与=1(。〉b〉0)上的点到其焦点的距离的最大值为16,最小值为4.

ab

(1)求椭圆。的方程；

(2)直线/与椭圆。相交于43两点，若线段的中点坐标为(-3,-4),求直线/的方程.

16.（15分）

已知△4BC的顶点4-2,0）,8（3,0）,顶点。满足31czl=2|C8|,记顶点C的轨迹为少.

（1）求曲线印的方程.

（2）过点/的直线/（斜率不为0）与曲线少交于不同的两点尸，Q,。为坐标原点，试判断直线。尸，

。。的斜率之积是否为定值.若为定值，求出该定值；若不是，说明理由.

17.（15分）

如图，在几何体48QC—44cl中，平面44G〃平面4BOC,四边形//CC；和4BOC是全等的菱

形，且平面4ZCG，平面4BDC，△44G是正三角形，48=2,AAXAC=ABAC=60°.

（1）求该几何体的体积；

（2）求平面4465]与平面夹角的余弦值.

18.（17分）

已知动点M到点的距离比它到直线y+3=0的距离小|,记动点M的轨迹为C.

（1）求轨迹。的方程.

（2）已知直线/:y=自+3与轨迹C交于48两点，以48为切点作两条切线，分别为小%，且

/一，2相交于点尸•若14sl=|4P|,求k.

19.（17分）

在平面内，若直线/将多边形分为两部分，且多边形在/两侧的顶点到/的距离之和相等，则称/为多边形

22

的一条“等线”.已知双曲线G:二一与=1（。〉0,6〉0）与双曲线。2：3x2-/=1有相同的离心率，

ab

F],巴分别为双曲线G的左、右焦点，。为双曲线q右支上一动点，双曲线G在点尸处的切线4与双

曲线G的渐近线交于/,2两点（/在2上方），当尸与上》轴时，直线y=g为△尸片鸟的等线.

（1）求双曲线G的方程；

（2）若y=0x是四边形/片8鸟的等线，求四边形/片8鸟的面积；

（3）已知。为坐标原点，直线OP与双曲线G的右支交于点0,试判断双曲线G在点。处的切线4是

否为△幺公片的等线，请说明理由.

［注］双曲线C:二—与=1（。〉0力〉0）在其上一点尸国Jo）处的切线方程为誓—浮=1.

abab

2024—2025年度高二上学期期中考试

数学参考答案

1.D直线后+.v=0的斜率为-百，倾斜角为120。，所以绕原点逆时针旋转90°后所对应的直线的倾

斜角为30°,斜率为tan30°=

3

2.B因为长轴长为10,所以长半轴长a=5,短半轴长6=3,半焦距c=J/一/=4,故△助鸟的周

长为2〃+2。=18.

3.C因为|夕尸|等于点尸到准线的距离，所以当P0垂直于准线时，|00|十|尸尸|有最小值，最小值为

4.A因为|尸用=5<a+c=6,所以|尸周一|尸用=2a=4,故归用=9.

5.D因为次=—益，BF=-Ba,所以丽=丽+丽=—益+―西.

341341

因为西=丽+西=彳万一刀+碗，所以

——•2—•3/——•—•——1—.3——•3——•

EF=-AB+-\AD-AB+AA]=——AB+-AD+-AA,.

34、^]12441

6.D记抛物线C的焦点为歹，则尸(1,0).记切点为0,因为圆尸的圆心为尸(3,0),所以|尸尸|=2,

巧

|Pg|=1,所以NP7©=30。，所以直线N8的方程为^="(x—1).设幺(石,必)，B(x2,y2),联立方

程组35为得——14x+l=0,所以再+/=14,所以|么5|=%+/+P=16.

/=4x,

7.A如图，建立空间直角坐标系，则尸(0,0,1),5(1,0,0),C(l,l,0).易知三棱锥尸―NC。的外接球球心

。为尸。的中点，所以设平面P8C的法向量为万=(x/,z),因为丽=(—1,0,1),

——.fn-BP=-x+z=0,

=(0,1,0),所以＜_令x=l,得亢=(1,0,1).

n-BC=y=Q,

1

因为而=((),—1,工〕，所以点。到平面PBC的距离d=\0P'n\=与=叵.

I2j\n\V24

510OTT

设截面圆的半径为r,则/=|。尸『一］2一一所以截面圆的面积为把.

4888

8.A由题知，圆G的圆心为G(—L0)，半径q=1；圆。2的圆心为02(3,4)，半径弓=3.

设点尸(xj)为圆G与圆。2的根轴/上的任意一点，

22222

则|尸。1「_1=|PC2|-r,,所以(x+lp+jZ—y=(X-3)+(J-4)-3,

整理得x+y—2=0,即圆G与圆&的根轴/为直线x+y—2=0.

取G关于/对称的点C：,则归Cj=|尸&［.因为CC4，所以C：在G02上，

所以当尸，c；,G三点共线时，I尸=l尸Gl-pG'l取得最大值|℃|・

因为G到/的距离为半，。2到/的距离为孚，所以|qG|=/，即|尸。2HpeJ的最大值为血•

9.ABD若/J%,则］=上屋得。=—］，故A正确.若.，小则%—4伍+1)=0,得

67=-4,故B正确.因为4过定点/(—5,5),所以|4S|min=2而二而"=2乒？=4,故C不正确.

因为|P0「=|尸c「_|Cg|2=|pC|2-9,所以当尸CL/2时，I尸。I取得最小值•因为圆心。到直线4的

距离d=^^3)4>4+5］=4,所以J~2_9=J7,故D正确.

心+(-4)2

(6］、

10.AC如图，建立空间直角坐标系，则4(0,0/)，5(1,0,0),C(2,V3,0),£>(0,V3,0),PI,-,-

—fV30一

对于A,因为RP=0,—,平面的一个法向量为行=(1,0,0)，所以AP•应=0,所以8尸〃

、22J

平面故A正确.

C_V31,比=(2,6,0),所以丽•瓦;二；/。，所以。P,EC不垂直，故

对于B,因为。尸

I22)

B错误.

一厂/_______\PB-AD

一(也AX

对于C,因为必=0,-—-，4。=(0,6,—1),所以cos(尸民4。)=—t—―所以异

22'/\PBMD2

TT

面直线P8,4。所成的角为故C正确.

对于D,设平面尸8。的法向量为五=(x,y,z),因为丽=0,—,丽=(—1,8,0),所以

(22J

-~DD—61_(\

"八寸于=0,令x=6得万=(G,1「G).

n-BD=-％+V3y=0,

设43与平面尸所成的角为。，因为4百=(1,0,-1),所以

,可273V42八V7

sin。=cos(AB,n故D错误.

{45MlV7xV277

11.BCD对于A,只需bWc,因为〃二4一。？，所以〃=/c2<c2,所以e='e——,1,故A

a2

错误.

对于B,若存在|。产局，则只需■!*所以e=jl—[eg,l,故B正确.

对于C因为归用=2|尸用，|尸用+|尸用=2a,所以|「用=?，|尸用=4.

因为/月心=巴，所以4c2+±。2一2x丑x®x^,3c2=/,所以e=9=Yl,故c正

12399332a3

确.

对于D,因为丙+A月=2而，所以|「用2+|尸用2+2归用户巴k052片尸鸟=4|尸O'.

因为陷|+|尸用=2a,所以附『+归闾2_阀便闾=（户用+归用卜3阀归用=14,所以

附归闾=齐

22

因为|尸7泪+\PF21-2\PFX|\PF21cosZF^PF,=|^^|,

所以（附|+|尸用丫-归修尸周=",所以附||尸周=4/_402.

由，。2=4/一402,得e=、Y2,所以D正确.

…10V6心目一〜七日/的.口/心已小中、，\b-a\10v6

12.----向重〃在向重b上r的投影向重的模为~--=-----.

3\b\3

22I2222

13X--=1；y=+^x设双曲线C的方程为为一1=1伍〉0力〉0）,因为椭圆上+匕=1

1620-5ab22036

的焦点为（0,±4）,长轴顶点为（0,土6）,所以a=4,c=6,所以6=J02一）2=2右.故双曲线C的标

准方程为匕一二=1,渐近线方程为_）；=±巴》=±2叵X.

1620b5

14.11设圆心C（—1,3）关于/对称的点为品（飞,典），贝人

Jo=一9,

C0（5,-9）,连接C0N,C0P（图略）,所以|CN|+|PN|=|CON|+|PN|2|COP|=13,故即v|+|/w|的

最小值为13—2=11.

Q+C=16,{a=10,

15.解：（1）由题意，可知4解得4

因为〃=a1-c1=64,

22

所以椭圆C的方程为工+±=1.

10064

石,K

-----1----

10064

（2）设/（再,％）,B（x2,y2）,则＜

L10064

2_22_2

两式相减得上二三+五二三=0,

10064

整理可得且二匹=一竺X生士三

西-x225%+必

因为线段的中点坐标为(-3,-4),所以西+》2=—6，%+为=-8,.

~，，+，，、人，》,y16x.+x,16-612

所以直线/的斜率左~~—=——X」———=——X——=——，

$—x225%+y225-825

12

故直线/的方程为y+4=(x+3),即12x+25y+136=0.

16.解：(1)设C(x,y),因为3|G4|=2|C8|,所以9(x+2)2+9/=4(x—3>+4/,

所以V+/+12x=0,所以少的方程为/+/+12x=0(y^0).

(2)设/:x=打了一2,尸(西,必)，Q(x2,y2).

x=my-2,

联立方程组4得(一+l)j?+8/ny-20-0,

x2+y2+12x=0,

8m20

所以必+%=—

-20m216m24

2m1

因为再马=(町-2)(mj2-2)=/-(yi+了2)+4=?----------------------0----------+4=

加+1m+1m2+1

所以eP•kO0=里2=-5,故直线OP,OQ的斜率之积为定值，且定值为-5.

XjX2

17.解：取/C的中点0,连接4。，BO,则4(9_LZC,BOLAC.

因为平面Z/CGJL平面Z8OC,且交于/C,所以4。，平面28。。,

如图，以。为坐标原点，OB,OC,西的方向分别为无，y,z轴的正方向建立空间直角坐标系，则

2(0,—1,0),5(V3,0,0),,C(0,l,0),D(瓜2,0),4(0,0,V3),B[(51,5,G(0,2,百).

12X2X—=V3,C>4=V3,

(1)连接BC.因为=X

221

所以〃B[G-XBC=S4ABe.O&=3.

因为前=(一6,1,0),函=(0,l,G),所以cos(灰，函)=一;一|二一

\'\BC\\BBA4

上一五，BC=-V3x+y=0,A/

设平面4BCG的法向量为五=(X//),贝时—.「令、=1,得力=L

n-BB、=y+J3z=0,

一.\DB-nI2x/3

因为。B=(0,-2,0),所以点。到平面BMC1的距离d=-------=*，

\n\V5

所以%BBCC=-SWBBCC^=2,所以该几何体的体积％=%BCABC+VDBBCC=5-

(2)设平面448片的法向量为万=(xi，%,zj,因为方=(G,l,0),14=(0,l,V3),

p-AB=V3x+y=0,人r-

所以匕—.121令X]=l,则/=(1,—g,1).

p-AAX=必+J3Z]=0,

设平面与G。的法向量为/=(%,%,Z2),因为而=(—百,i,o),后万=(o,i,—G),

q,BC、——A/3X+%=0,-i—

所以？27"，所以q=(i,6i).

q-B、D=y2-A/3Z2=0,

设平面MABB]与平面B£D的夹角为6,则cos3=|cos®))\=叵以=

阿@5

所以平面A{ABBX与平面B£D夹角的余弦值为1.

18.解：(1)由题意知动点"的轨迹是以[。,|]为焦点，y=-1为准线的抛物线，

所以轨迹C的方程为/=6y.

(2)设/xjx"B[X.,-XI\,联立方程组尸=6y，得f—6fcc—18=0,

I61JI262J[y=kx+3,

则再+%=6左，xrx2=-18.

易知4，42的斜率存在，设4的方程为y—=机(》—xj,

12

=m（X—X）,

联立方程组《99

',得%—6mx+6mxx-xx=0.

X2=6y

由A=36机2-4（6机*-x；）=0,解得加=/■,所以4的方程为y=.

同理可得，4的方程为y=

36

112x+x

y=-xx--x,9

1l%_2'再+XXX

由<；:解得＜2即点尸212

xx2,-r

y=jxx--%2，y=--}--?-,

26

因为方=1马—芭，^^［，Q=西）、

且

、6JI267

|AB|=|AP|,所以（方+方）・丽=0,即

45P5+AP-P5=（“2—石）_|_》2（西+》2）（》2—西）+（》2―。1）+芭》2（》2一芭）=Q

-'236436

,,[X=-6,[x,=6,1

化简得27+2XR+x；=x；—9=0,因此41或11故左=±—.