河南省郑州市九校2025届九年级上学期期中考试数学试卷（含答案）

河南省郑州市枫杨、朗悦慧等九校2025届九年级上学期期中考试数

学试卷

学校：___________姓名：班级：考号：

一、单选题

1.公元前5世纪,古希腊数学家毕达哥拉斯首次提出了关于一元二次方程的概念.下列

关于x的方程中，是一元二次方程的为（）

A.x2+—=0B.x2-xy-0

x

C.f+2x=lD.OJC2+t>x—0（a>6为常数）

2.“斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖淇示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视

4.将标有“最”“美”“河”“南”的四个小球装在一个不透明的口袋中（每个小球上仅标一个

汉字），这些小球除所标汉字不同外，其余均相同.从中随机摸出一个球，放回后再随机摸出

一个球，则摸到的球上的汉字可以组成“河南”的概率是（）

5.若把方程V—4x-l=0化为（x+m）2=〃的形式，则〃的值是（）

A.5B.2C.-2D.-5

6.如图，已知矩形ABCZ）中,E为边上一点尸，AE于点且

AB=6,A。=12,AE=10,则的长为()

A.5B.—C.—D.8

35

7.如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m,宽为22m.停车场内车道的宽

都相等，若停车位的占地面积为520m2,求车道的宽度（单位：m）.设停车场内车道的宽度

为xm,根据题意所列方程为（）

A.(40—2x)(22—x)=520B.(40—x)(22—x)=520

C.(40-<22-2x)=520D.(40—x)(22+x)=520

8.下列给出的条件不能得出的是（）

B.ZABD^ZACB

ABBC

C.AB2AD-ACD.ZADB=ZABC

9.如图，在平面直角坐标系中,正方形ABCD与正方形BEFG是以原点。为位似中心的

位似图形,且相似比为:，点A,民E在x轴上,若正方形跳户G的边长为6,则D点坐标为（）

OABEX

A.[5,2）C.（1,2）D.（了2）

10.如图⑴,正方形ABCD的对角线相交于点。，点P为OC的中点，点M为边上的

一个动点，连接，过点0作0M的垂线交于点N,点M从点、B出发匀速运动到点

C,^BM=x,PN=y,y^x变化的图象如图⑵所示，图中m的值为（）

A.—B.lC.V2D.2

2

二、填空题

11.若x=l是关于x的一元二次方程V+3-6=0的一个根，则机的值为.

12.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：先截出两对符合规格的铝合金窗料

（如图①），使AB=CD、EF=GH；然后摆放成如图②四边形；将直角尺紧靠窗框的一

个角（如图③）调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④）,说明窗

框合格，这时窗框是形,根据的数学原理是：.

13.如图,四边形加。。是菱形,〃45=46。,对角线4。,5。相交于点O,DHLAB于H,

连接OH，则ZDHO=______度

D

14.如图,在平行四边形ABCD中,E是线段A5上一点，连结AC、OE交于点E若

15.如图，在矩形纸片ABCD^,AD=2近,AB=2,点P是A3的中点，点Q是BC边上的

一个动点，将APBQ沿PQ所在直线翻折，得到△PEQ，连接OE,CE，则当ADEC是以

OE为腰的等腰三角形时,3Q的长是.

三、解答题

16.解方程：

⑴尤2—6x+3=0；

(2)3/-2x-1=0.

17.在一个不透明的袋子里装了只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个,某学习

小组做摸球试验,将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复,

下表是活动进行中的一组统计数据：

摸球的次数n1002003005008001000

摸到黑球的次数加65118189310482602

摸到黑球的频率%a0.590.630.620.6030.602

n

(1)当〃很大时，摸到黑球的频率将会趋近(精确到0.1)；

⑵某小组成员从袋中拿出1个黑球,3个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个

球,请你用列表或树状图的方法求出随机摸出的两个球颜色不同的概率.

18.一张矩形纸ABC。,将点3翻折到对角线AC上的点〃处，折痕CE交A3于点E.将

点D翻折到对角线AC上的点H处，折痕AF交DC于点£折叠出四边形AECF.

⑴求证：AF//CE；

(2)当=_____度时,四边形AECR是菱形？说明理由.

19.已知关于x的一兀二次方程X?-ov+a-1=0.

(1)求证：该方程总有两个实数根；

(2)若方程的两个实数根花、%满足％-司=3,求。的值；

20.2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的

进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出,每周可以卖出500个，经过市场调

查发现，价格每涨10元,就少卖100个.若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优

惠让利消费者，售价应定为多少钱？

21.求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比.

要求：①根据给出的△ABC及线段AB,ZAr(ZAr=NA)，以线段AB'为一边，在给出的图

形上用尺规作出ZX4,使得BCS/XABC,不写作法，保留作图痕迹；

②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程.

22.一数学兴趣小组为了测量校园内灯柱的高度，设计了以下三个方案：方案一：

在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退1m到点。处,恰好在平面镜中看到灯柱的

顶部A点的像；再将平面镜向后移动4m(即/C=4m)放在R处.从点R处向后退1.8m

到点H处,恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得的眼睛距地面的高度

ED,GH为1.5m,已知点在同一水平线上，且

GH，切，团，CD,.(平面镜的大小忽略不计)方案二：利用标杆CD测量灯

柱的高度.已知标杆CD高1.5m,测得DE=2m,CE=2.5m.方案三：利用自制三角板的边

CE保持水平,并且边CE与点航在同一直线上.已知两条边CE=0.4m,EF=0.2m,测得

边CE离地面距离OC=0.3m.三种方案中，方案不可行，请根据可行的方案求出

灯柱的高度.

23.在△ABC中,川=47,/£^。=1,点。为线段。4延长线上一动点,连接。3,将线

段03绕点。逆时针旋转，旋转角为c，得到线段OE,连接助,CE.

(2)如图2,当&=90。时，请写出叱的值和/DCE的度数，并就图2的情形说明理由;

(3)如图3,当a=120。时，若AB=8,BD=7，请直接写出点E到CD的距离.

参考答案

1.答案：C

解析：A.关于X的方程x2+-=0不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；

X

B.f—孙=0,含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；

C.f+2x=1是一元二次方程，符合题意.

D.ax2+bx=Q（a,人为常数），当a=0时，不是一元二次方程，不符合题意；

故选：C.

2.答案：C

解析：从上面看，看到的图形为一个正方形，在这个正方形里面还有一个小正方形，即看

到的图形如图所示：

故选C.

3.答案：B

解析：b:a=x:c,

:.ax-bc,

由平行线分线段成比例可得：

选项A：2=3可得：四=陵，故A不符合题意；

CX

选项B：可得：依=加，故B符合题意；

XC

选项C：2=工可得：必=5故C不符合题意；

ca

选项D：@=工可得：ac=bx,故D不符合题意；

bc

故选：B.

4.答案：D

解析：从中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球等可能的结果如下:

最美河南

最最最最美最河最南

美最美美美河美南

河最河美河河河河南

南最南美南河南南南

一共16种结果，其中摸到的球上的汉字可以组成“河南”的结果有2种,

71

摸到的球上的汉字可以组成“河南”的概率是—

168

故选D.

5.答案：A

解析：将4x—1=0配方得，

-2）2=5,

则〃=5,

故选A.

6.答案：C

解析：：四边形ABCD是矩形，

=90°,AD//BC,

ZDAE=ZAEB,

'：DF±AF,

：.ZDFA=ZB=90°,

△ADFS/^EAB,

.DFAD

**AB-AE5

.DF12

••---二—，

610

・•・D"F_—3—6,

5

故选：c.

7.答案：B

解析：设停车场内车道的宽度为xm,

将两个停车位合在一起则长为（40-x）m,宽为（22-x）m,

因止匕(40—x)(22—幻=520,

故选B.

8.答案：A

解析：A.ZA=Z4,—=—，不是夹对应角的两边对应成比例，不能得到

ABBC

故符合题意；

B./A=NA,NAfiD=NACB,根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到

,故不符合题意；

4RAC

仁/4=/4,筋2=4。2。即丝=土,根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

ADAB

可以得到△ABDS^ACB,故不符合题意；

D.NA=,“汨=/4BC,根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到

△ABDs^ACB,故不符合题意；

故选A.

9.答案：C

解析：：正方形ABCD与正方形5EFG是以原点。为位似中心的位似图形，且相似比为

I

35

4D1

：.-=-,AD//BG,

BG3

•：BG=6,

：.AB=AD=2,

'：AD//BG,

：.Z\OAD^Z\OBG,

•OA=AD=1OA=OA=1

OBBG3?OA+ABOA+23'

解得：04=1,

.♦.D点坐标为(1,2).

故选：C.

10.答案：B

解析：当点”与点3重合时，如图：

•.•四边形ABCD是正方形

/.AC±BD

此时，点N与点C重合

m=PN=CP

当点/与点C重合时，如图:

•.•四边形ABCD是正方形

AC±BD,OD^OC,

此时，点N与点。重合

结合图2可知：PN=PD<

设。D=OC=a

,••点P为0c的中点

：.OP=CP=-a

2

在RtAPOD中,P02=Op2+002,（币『=&]+a2

解得：=2,a2=一2（舍去）

JC尸=1,即根=1

故选：B

11.答案：5

解析：把％=1代入方程％2+癖一6=0,

得1+加一6=0,

解得m=5.

故答案为：5.

12.答案：矩有一个角是直角的平行四边形是矩形

解析：因为AB=CD、EF=GH,

所以窗框是平行四边形，

当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时,即有一个角是直角的平行四边形是矩形.

故答案为：矩，有一个角是直角的平行四边形是矩形.

13.答案：23

解析：四边形ABC。是菱形，对角线AC,5。相交于点0,

畋且=

DH±AB,

:.OH=-BD=OD,

2

:.ZODH=ZOHD,

在RtAADH中,ZDAB=46。,则ZADH=90°-46°=44°,

,.在菱形ABC。中,AB=,NZMB=46。，

1800-46°

...ZADB=————=67。,则ZDHO=ZODH=ZADB-ZADH=67°-44°=23°,

2

故答案为：23.

14.答案：-

2

解析：•••四边形ABC。是平行四边形，

AB=CD,ABHCD,

：.ZAEF=ZCDF,ZEAF=ZDCF,

Z\EAF^Z\DCF,

.DFCDAB

"EF~AE~AE'

..AE2

•商一§，

.AB5

•-=—，

AE2

...SAADF_DFAB_5

S^AEFEFAE2

故答案为：

2

15.答案：0或1/垃或1

解析：①当。后=。。时，如图1,连接OP,DQ,

图1

：点尸是的中点,AB=2,AO=20,四边形ABCD是矩形,

ZA^90°,AP=PB=l,

：.DP^y/AD-+AP~=78+1=3,

:将△P3Q沿PQ所在直线翻折，得到APEQ,

：.PE=PB=1,

"：DE=DC=AB=2,

：.PE+DE=l+2=3,

：.DP=3=PE+ED,

:.点P,E,D三点共线,

ZB=ZDCB=9Q。,

：.NDEQ=NDCQ=90°,

设=则QE=x,CQ=2V^—x,

在RtADEQ和R3DCQ中，

根据勾股定理得：DQ2=DE2+EQ2=DC2+CQ2,

：.22+X2=22+（2A/2-X）2,

解得：x=垃,

BQ=42-

②当DE=EC时，如图2,

图2

,?DE=EC,

点E在线段的垂直平分线上，

...点E在线段的垂直平分线上，

•.•点P是AB的中点，

•••EP是A3的垂直平分线，

ZBPE=9Q°,

将△PBQ沿PQ所在直线翻折，得到APEQ,

NB=ZPEQ=90°,PB=PE,

，四边形3PEQ是正方形，

BQ=PB=1,

综上所述：3Q的长为：0或L

故答案为：0或L

16.答案：(l)x,=3->/6=A/6+3

(2)Xj=——,x2—1

解析：(l)d—6x+3=0,

x2-6x+9=6,

：.(x-3)~=6,

即x—3=+V6,

解得：玉=3-A/6,x2=a+3；

(2)3/—2x—1=0,

/.(3^+1)(%-1)=0,

解得：X]=--1,%2=1.

17.答案：(1)0.6

叫

解析：（1）当〃很大时，摸到黑球的频率将会趋近0.6,

故答案为：0.6；

（2）列表如下:

黑白白白

黑（白，黑）（白，黑）（白，黑）

白（黑，白）（白，白）（白，白）

白（黑，白）（白，白）（白，白）

白（黑，白）（白，白）（白，白）

由表知，共有12种等可能结果，其中随机摸出的两个球颜色不同的有6种结果,

所以随机摸出的两个球颜色不同的概率为£=工

122

18.答案：（1）见解析

（2）30,理由见解析

解析：（1）证明：•••四边形A5CD为矩形，

ADHBC,

：.ZDAC=ZBCA,

由翻折知,/DAF=ZHAF=-ZDAC,ZBCE=/MCE=-ZBCA,

22

ZHAF=ZMCE,

：.AF//CE；

⑵当N3AO30。时四边形AECR为菱形，理由如下：

•.•四边形A3CD是矩形，

ZD=ZBAD=90°,AB//CD,

由⑴得：AF//CE,

四边形AECR是平行四边形，

NB4c=30。，

ZDAC=60°.

，ZACD=30°,

由折叠的性质得4MF=ZHAF=30°,

：.ZHAF^ZACD,

：.AF^CF,

...四边形AECR是菱形；

故答案为：30.

19.答案：(1)见解析

(2)Q=5或Q=-4

解析：(1)证明：A=(―々J—4(〃—1)=—4々+4=(〃-2)220,

该方程总有两个实数根；

(2)方程的两个实数根%,超，

由根与系数关系可知,再+%2=。，玉=。-1，

|石-司二3

2

-x2|=9

二.(七一/J=(%+/J—4西％2=9，

〃2_4(〃_1)=9

即(〃_2)2=9,

二.〃一2=3a—2=-3,

〃=5或Q=一1.

20.答案：40元

解析：设售价应定为元元，

由题意可得：(x-20)500一书(x—30)=8000,

整理得：%2-100%+2400=0,

解得：x1=40,x2=60,

•.•更大优惠让利消费者，

x=40,

答：售价应定为40元.

21.答案：(1)作图见解析

⑵证明见解析

解析：（1）如图所示,即为所求;

必=左,。是A3的中点,。'是44的中

AC

点,

：.AD=-AB,AD'=-^8',

22

.A'D'_2AB'_A'B'

2

'：△ABC^AA，B，C，,

••韦噂"’”

△A'C'D'S^ACD,

.CD'A!C,

••------=-------=K.

CDAC

22.答案：二，三；灯柱的高度为7.5m

解析：相似三角形的知识可知方案二中△ABE缺少边长的条件，故方案二不可行，方案

三中△AMC缺少边长的条件，故方案三不可行，

选方案一，

/ECD=ZACB,NEDC=ZABC,

:△ABCsAEDC,

ABBC

~ED~^D

BCED

AB==1.5BC,

CD

设BC-xm,

则AB=1.5xm,

同理可得△ABFS^GHF,

ABBF

GH-FH'

AB=1.5xm,BFBC+CF=(4+x)m,GH=1.5m,FH=1.8m,

.1.5%_4+x

解得：x=5,

AB=1.5x=7.5,

答：灯柱的高度为7.5m.

23.答案:(1)1,60

⑵学=专,ZDCE=45。,理由见解析

CE2

八、5月十

⑶或二

解析：⑴当&=60。时，

,?AB=AC,

：.ZVIBC为等边三角形，

AB^BC,ZABC=ZACB=6Q°,ZBAD=120°,

由旋转的性质可得：ZBDE=60°,BD=ED,

：.为等边三角形，

BD=BE,ZEBD=60°,

ZZ)BE=ZABC=60°,

ZDBA=ZEBC

在AABD和△CBE中

DB=EB

ZDBA=NEBC

AB=BC

：.AABD^ACBE

/.AD=CE,ZBAD=NBCE=120。,

An

—=1,ZDCE=ZBCE-ZACB=60°.

CE

故答案为：1,60；

⑵42=交,/℃£=45。,理由如下：

CE2

当e=90°时，

,?AB=AC,

/.△ABC为等腰直角三角形，

ABi

——=-^,ZABC=ZACB=^5°,ZBAD=9Q