沪科版九年级数学重难点专项突破：二次函数综合（5种题型）（解析版）

重难点专项突破04二次函数综合（5种题型）

•【题型细目表】

题型一：线段周长问题

题型二：面积问题

题型三：角度问题

题型四：特殊三角形问题

题型五：特殊四边形问题

【考点剖析】

题型一：线段周长问题

一、填空题

L（2023•安徽阜阳•校联考模拟预测）平面直角坐标系中，将抛物线y=平移得到抛物

线C,如图所示，且抛物线C经过点A（-LO）和巩0,3）,点尸是抛物线C上第一象限内一

动点，过点P作x轴的垂线，垂足为。则OQ+P。的最大值为.

【分析】求得抛物线C的解析式，设。（尤，0）,则P（x,-N+2X+3）,即可得出OQ+P0,

根据二次函数的性质即可求得.

【详解】解：设平移后的解析式为y-N+fot+c,

团抛物线C经过点A（-1,0）和8（0,3）,

f-l-Z?+c=0\b=2

02，解得V

[c=3[c=3

回抛物线C的解析式为尸-N+2x+3,

设。（x,0）,则尸（羽-N+2x+3）,

团点尸是抛物线。上第一象限内一动点,

团OQ+PQ=x+(-x2+2x+3)

=-X2+3X+3

/3、221

二­(%-------)H--------

24

91

回。。+尸。的最大值为了

91

故答案为：—

4

【点睛】本题考查了二次函数的性质，平移，二次函数图象与几何变换，根据题意得出

OQ+PQ=-N+3X+3是解题的关键.

二、解答题

2.(2023春・安徽六安•九年级校考阶段练习)如图，二次函数y=f-4x+3与一次函数

y=-x+3的图象交于A,8两点，点A在y轴上，点8在x轴上，一次函数的图象与二次

函数的对称轴交于点P.

(1)点P的坐标为;

2

⑵点C是该二次函数图象上A,B两点之间的一动点，点C的坐标为(0n],t=PC,

求/关于”的函数表达式和/的最小值.

【答案】(1)(2,1)

(2)r=(〃-g[r的最小值为:

【分析】(1)先求得A、8两点的坐标，再求得二次函数的对称轴，即可求得点尸的坐

标；

(2)利用抛物线上点的坐标的意义以及勾股定理构造关于”的二次函数，利用二次函数的

性质求解即可.

【详解】（1）解：把尤=0代入y=T+3,得y=3,即4（0,3）,

把，=0代入y=-尤+3,得一x+3=0,解得x=3,即川3,0）,

回二次函数解析式为y=Y-4x+3=（x-2）2-l,

团二次函数对称轴为直线x=2,

把x=2代入y=—x+3,得；y=l,

回点P的坐标为（2,1）,

故答案为：（2,1）；

（2）解：0P（2,1）,C（mn）,

0r=PC2=（m-2）2+（M-l）2,

团点C在抛物线上，

回〃=（“7—2）~—1,

回（加一2）~=〃+1,

回t=（〃—1）2+〃+1=〃2—2〃+l+〃+l=[〃-g]+：,

回0<相<3,二次函数顶点坐标为（2,-1）,

0-1<«<3,

17

团当〃=彳时，/有最小值，最小值为二.

24

【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数与一次函数的交点、抛物线的顶点坐

标等知识点，熟练掌握相关函数的性质是解题的关键.

3.（2023・安徽合肥•合肥寿春中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线>=依

与抛物线>=湛+。交于4（8,6）、B两点，点B的横坐标为-2.

（1）求直线AB和抛物线的解析式；

（2）点尸是直线A3下方的抛物线上一动点（不与点A、6重合），过点尸作x轴的平行线,

与直线A3交于点C,连接尸O,设点尸的横坐标为小.

①若点尸在无轴上方，当机为何值时，△POC是等腰三角形；

②若点尸在X轴下方，设△POC的周长为〃，求P关于加的函数关系式，当加为何值时,

△POC的周长最大，最大值是多少？

Q1

【答案】⑴丫=乙工，y=--2

(2)①当日=4+：M时,△POC是等腰三角形；②当机=2时，△尸OC的周长最大，最

大值为9

【分析】(1)利用待定系数法求解析式；

(2)①当△尸OC是等腰三角形时，判断出只有OC=PC,设出点尸的坐标，用OC=PC

建立方程组求解即可；②先表示出PCOCOP,然后建立△POC的周长P关于加的函数

关系式，确定出最大值.

【详解】⑴解:将点4(8,6)代入产得洋=6,

3

解得左

4

3

团直线的解析式为

4

当x=-2时，y=-x=-x(-2)=--

44''2f

"一2,一切

将点4(8,6),《一2,-，代入广加+c,得

64〃+c=6

:3，

4。+c=——

I2

’1

解得I"W,

c=-2

回抛物线的解析式为y=1-2；

(2)①设尸(私〃),则12_2=〃，

8

团过点尸作x轴的平行线，与直线交于点C

0C||,

0PC=m——n,

3

当点尸在x轴上方时，m>0,NOCP是钝角,

团OC<OP,PC<OP,

团△POC是等腰三角形，

BOC=CPf

团OC=—n,

3

45

0m—n=­n,

33

回根=3〃，

12c

0—m-2=n

8

(1)

回根=31—m2—21,

向4+4-10_tx4—4^/10,仝•土、

0m=----------或m=-----------(舍去)，

33

团当相叵时，△poc是等腰三角形；

3

②当点尸在X轴下方时,—2<根<4,

0n<0

[?]P(m,n),贝!!!现2一2二点

8

51―

^OC=--n9OP=^mEJYT=>+2,

3

41

^\PC=m——n,—m9-2=n,

38

⑦p=OP+PC+OC

12G4(1")

=—m+2+m——n+\-

83I

12

=­m+m-3n+2

8

12,Jl2J

-—m+m-3—m-2k2

818>

=--(m-2)+9,

团当机=2时，p最大，最大值为9,

团当机=2时，△POC的周长最大，最大值为9.

【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平面内两点之间的距离公式，

等腰三角形的性质，三角形的周长，极值的确定，解本题的关键是表示出尸COCOP的长

度.

4.(2023•安徽宿州・统考一模)如图，抛物线>=内2+法-3(awO)与x轴交于

A(-l,0),3(3,0)两点，与y轴交于点C.

(1)求。，6的值；

(2)点尸是第四象限内抛物线上一点，连接AC,过点尸作AC的平行线，交x轴于点。，交

,轴于点E,设点P的横坐标为心

①若直线PE的解析式为>=丘+。化NO),试用含f的代数式表示。；

②若点O是线段PE的中点，试求点尸的坐标.

【答案】(1)。=1,b=-2

⑵①C=/+L3,②⑵-3)

【分析】(1)利用待定系数法求解即可；

(2)①先求出C(0,—3),进而求出直线AC的解析式是y=-3x-3.由PE〃AC,得到

k=-3,则直线PE的解析式为'=-3元+c.再由尸。，/一2人3),即可得至h=产+1-3；

②由①得直线PE的解析式为y=-3x+r+/_3.求出D—尸，°，网0,「+”3),

再根据O是线段PE的中点，得至1J/一2/一3+〃+/一3=0,解方程即可得到答案.

【详解】(1)解：把A(-1,0),8(3,0)分另I」代入y=/+bx-3,得:

a-b-3=0

9。+3/?—3=0

a=l

解得

b=-2

.,.a=l,b=—2；

(2)解：①由(1)知抛物线的解析式为y=/-2x-3.

在y=d-2x-3中，令x=0,贝!Jy=-3.

0C（O,-3）；

设直线AC的解析式为y=s+〃，把A（T,O）,。（0,-3）分别代入丁=W+〃,

f-m+n=O

得一

n=-3

团直线AC的解析式是y=-3x-3.

^PE//AC,

回％=—3.

回直线PE的解析式为y=-3%+c.

团点P在抛物线-2x-3上，点P的横坐标为t,

团点尸.,广一2/-3）,则--2r—3=-3t+c.

0c=r2+t-3；

②由①知直线PE的解析式为y=-3x+t2+t-3.

在y=-3x+r+T中，令y=0,^x=

在y=—3x+/+f—3中，令尤=0,得y=〃+f—3.

0E（0,广+r—3）,

回。是线段PE的中点，

团尸、E两点的纵坐标互为相反数，

回产一2f—3+产+f-3=O*

02r-r-6=O,

3

解得r=2或（舍去），

2

回产一2/—3=—3,

回尸（2,-3）.

【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，待定系数法求函数解析式，灵活运用

所学知识是解题的关键.

5.（2023•安徽•校联考一模）如图，点A。,。）在尤轴上，点/0,3）在〉轴上，以AB为直角

边作等腰直角；ABC,使NB4C=90。，AB^AC,且点C落在第一象限，二次函数

>=-尤2+云+。的图象经过点8,C.

⑴试确定二次函数的表达式；

⑵己知点尸是抛物线？=-炉+云+。的对称轴上的一动点，且PB=PC,求点P的坐标.

【答案】（i）y=-x2+,x+3

【分析】（1）先求出。4=1,。3=3,过点C作CD_Lx轴于点D,再证明△AOBZZ\CDA,

可得CD=Q4=1,AD=BO=3,从而得到点C坐标为（4,1）,再利用待定系数法解答，即

可求解.

（2）先求出该二次函数图象的对称轴为直线x=:,可设点尸坐标为再由

PB=PC,得到关于机的方程，即可求解.

【详解】（1）解:回点4（1,0）,点8（0,3）,

团OA—1,OB=3,

过点。作轴于点。，

^\ZAOB=ZCDA=90°,

0ZBAC=90°

aZ(MB+ZZMC=90o,ZZMC+ZDC4=90°,

团NQ4B=NDC4,

团AB-CA，

0AOB^CZM(AAS),

团CD=OA=1fAD=BO=3,

团点C在第一象限，

回点c坐标为(4,1),

团二次函数y=-V+bx+c的图象经过点B,C,

(c=3b=—

明KJ解得2,

i[c=3

7

团二次函数的表达式为y=--+寸+3；

(2)解：^\y=-x2+—x+3=-fx-—+—,

24；16

7

团该二次函数图象的对称轴为直线%=-,

4

设点尸坐标为(:3，

^PB=PC,

0PB2=PC',

回忆-o]+(m-3,/Z-4]+(k1)2,

3

解得〃?=于

回点尸坐标为.

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了全等三角形的判定和性质，求二次函

数的解析式等知识，利用数形结合思想解答是解题的关键.

6.（2023春・安徽蚌埠•九年级校联考期中）己知二次函数丁=依2+法+«4<0）.

(1)若匕=2,c=3,且该二次函数的图象过点(—2,-5),求。的值；

(2)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，该二次函数的图象与无轴相交于不同的两点

A&,0),B(X2,0),其中花＜0＜尤2，|力＜闻，且该二次函数的图象的顶点在矩形A3CD

的边CO上，其对称轴与x轴，AC分别交于点N,AC与y轴相交于点E,且满足

tanZG4B=l.

①求关于X的一元二次方程欠2+bx+c=0根的判别式的值；

②若AE=EN,令T=4—2c,求T的最小值.

a

【答案】(l)a=—1

⑵①16；②-9

【分析】(1)由题意将(一2,—5)代入,=〃/+2%+3,从而求得结果;

(1)①根据题意，表示出AB和BC,根据tan/CA3=S，=l,得出

AB

4ac-b2yjb2-4ac

=1,从而求得结果;

4Qa

7

A77A(J

②根据。EMN,从而得出诟=而，从而求得。的值，进而得出,’的关系式’将

其代入7=二-2c,进一步求得结果.

a

【详解】(1)解：团b=2,c=3,即：y=ax2+2x+3,

把(-2,-5)代入得：-5=4°-4+3,

解得：a=-l

(2)①由以？+灰+。=o得，%=-b+yJb2-4ac

2ala

「2-4ac

^AB=x-x=~------------

2la

b4ac-b2

回抛物线的顶点坐标为:

2a54a

回比="匕4

4。

0ZABC=9O°,

2

团tan/GW=^|=l'BP：+y/b-4ac

=1,

a

7

回J)？一4如。=4,即：b2-4ac=16,

团一元二次方程ox?+〃x+c=。根的判别式的值为16；

②由①知〃—4〃。=16,

卫正王=上，则以=_上

2a2a2a

hh

由题意可知对称轴为：x=-—,OEMN,则。河=一2,

2a2a

AEAO

团---=----

ENOM

ArAn

RAE=EN,则把="=1,

ENOM

-Z?+4

E-=1，解得6=2,

b

2〃

3

022-4ac=16,贝!|c=—一,

a

>

0T=^?-2c^^7+-=f-+3|-9,

aaa\a)

团当工=一3时，罩小=-9.

a

【点睛】本题考查二次函数及其图象性质，二次函数和一元二次方程之间的关系，平行线

分线段成比例定理，锐角三角函数定义等知识，解决问题的关键根据点的坐标表示出线

段.

7.(2023・安徽合肥•校考一模)已知抛物线与直线/：丫="+8相交于A、B两点(点

A在点2的左侧)，点M为线段AB下方抛物线上一动点，过点M作MG回，轴交A3于点

G.

⑴当ABI3X轴时，①求点A、8的坐标；②求的值;

CJA-GB

(2)当k=2时，的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；

CJA-CJB

【答案】⑴①A，20,8),8(2在81②1

(2)是定值，理由见解析

【分析】(1)①利用A3无轴，则y=8,将y=8代入抛物线的解析式求得x值，则点

A,8的横坐标可求，纵坐标为8,结论可得；

②设分别用A,B,M,G的坐标表示出线段VG,GA,GB,代入运算即可

得出结论;

（2）将两解析式联立求得A,8的坐标，设病），则G（〃z,2m+8）,分别用A,B,

M,G的坐标表示出线段MG,GA,GB,代入运算即可得出结论.

【详解】（1）解：①当A3x轴时，k=0,则y=8,

对于y=x=当y=8时，丁=8,

解得x=±20,

A（-2A/2,8）,8（2也8）.

②团点M为线段AB下方抛物线上一动点,

设则G（〃,8）,

:.GM=S-n1,GA=n+2垃,GB=2五-n，

MG8,

"GAGB卜+2@（2应甸•

（2）是定值.

皿=2,

回直线/：y=2x+8,

设M（相,〃/）,则G（m,2机+8）,

/.MG=2m+8-m2=一（〃?-4）（〃7+2）.

令％2=2X+8，解得玉=-2,无2=4,

回点A在点8的左侧，点Af为线段A8下方抛物线上一动点,

.♦.，（-2,4）,5（4,16）,-2<m<4,

GA=y/（m+2）2+（2m+4）2=yj5（m+2）2=灼m+2）,

GB=冽-4）2+（2"-8『='5=灼4一团，

.MG_一（加-4）（一+2）_1

GA-GBy/5（m+2）-A/5（4-m）5

回当上=2时，-^―的值为定值，这个定值为9.

【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，一次函数的性质，抛物线上点的坐标的特征，

一次函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键.

8.（2023•安徽马鞍山•校考一模）如图，二次函数y=无+。的图象与x轴交于8、C

两点（点8在点C的左侧），一次函数y=6+l的图象经过点8和二次函数图象上另一点

A.其中点A的坐标为（4,3）.

（1）求二次函数和一次函数的解析式；

(2)若抛物线上的点尸在第四象限内，过点尸作》轴的垂线P。，交直线A8于点。，求

线段尸。的最大值.

111Q

【答案】(1)y=-^2--x-3,y=i尤+1；(2)《

【分析】(1)先根据A点坐标求出一次函数的解析式，然后求出3点坐标，再根据A、B

的坐标即可求出抛物线的解析式;

(2)P(x,—x2--X—3贝！+然后可以得到PQ=(；x+D—弓炉―11—3)

119o

=--X2+X+4=-4(X-1)-+J,利用二次函数的性质求解即可.

22、'2

【详解】解:(1)直线丫=阮+1经过A(4,3),

回3=4左+1

国直线的解析式为y龙+1,

又回直线y=gx+l与x轴交于B点、,

令y=0即O=Jx+l,解得x=-2

0B(-2,0)

抛物线y=法+c经过点A(4,3)、B(-2,0),则

3=—xl6+4Z?+c

2

0=—x4-2Z?+c

2

b=--

2

c=-3

团抛物线为y=

(2)设—31,贝UQ(xqX+l)

111119

P2=(_+l)-(-x2——x-3)=x2+x+4=_―(x-1)9+-

02x22222

回0<x<3

9

回当x=i时，尸。取得最大值5.

【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数的综合，待定系数法求函数解析式，二次函

数的最值问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

9.(2023・安徽・九年级专题练习)己知如图，二次函数y=o(x+3)(x-5)的图象交无轴于

A,C两点，交y轴于点8(0,-36),此抛物线的对称轴交无轴于点。，点P为y轴上的一

⑵求+的最小值.

【答案】⑴]

(2)2g

【分析】⑴把点3(0,-3力)代入y="(x+3)(x—5),即可求解;

(2)连接A2,过点。作。H0A8于点X,交y轴于点P,先求出点A、C、。的坐标，可

得/。84=30°,2。48=60°,,从而得到尸。+工尸8的最小值为尸£)+尸”=£>〃的

22

长，求出即可求解.

(1)

解：把点B(0,-3A/3)代入y=a(x+3)(无一5)得：

-373=«(0+3)(0-5),

解得：a=;

5

(2)

解：连接A8,过点。作于点交y轴于点尸,

由(1)得：二次函数的解析式为y=q(尤+3)(x-5),

令y=0,则曰(X+3)(X-5)=0,

解得：无1=-3,%=5,

回点A(-3,0),C(5,0),

回抛物线的对称轴为直线％=三吵=1,

2

团点。(1,0),

0AD=4,

回点2(0,-34)，

团OA=3,03=3^3,

⑦AB=S4+OB2=19+27=6,

^\AB=2OAf

瓯AO5=90°,

团团O3A=30°,

团ZOAB=60°,PH=-PB,

2

团PD+g尸8的最小值为PD+PH=DH的长,

团OWU5,团043=60°,

回她。〃=30°,

2

0DH=2A/3,

回po+gps的最小值为26.

【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数解析式的确定、直角三角形的性质，垂

线段最短解决线段和的最小值问题.解题的关键是作辅助线，转化PO+；尸3的最小值为

尸。+P4=Q”的长.

10.（2023•安徽合肥•统考二模）已知：抛物线y=/-2办与x轴交于点A、3（点3在工轴

正半轴），顶点为C,且AS=4.

（1）求。的值；

⑵求一ABC的面积；

4

⑶若点尸为抛物线上一点，2加//^轴交直线'=-3%-4于点加，求尸”的最小值.

【答案】（1）。=2；

（2）ABC的面积为8；

20

⑶最小值为

【分析】（1）先求得抛物线与x轴的两个交点的横坐标，利用钻=4,即可求解；

（2）由（1）得到抛物线的解析式，点A、3的坐标，对称轴为x=2,求得顶点

C（2,-4）,利用三角形的面积公式即可求解；

（3）设疗-4帆），求得利用两点之间的距离公式求得

PM=^m-^，再利用二次函数的性质求解即可.

【详解】（1）解：令，=。，贝鼠2-2依=0,即x（x—2。）=0,

解得芭=。，々=2a,

团AB=4,

团2〃-0=4,

团a=2；

（2）解：由（1）得，抛物线的解析式为y=%2—4%,点4（0,0）、5（4,0）,对称轴为

2

团顶点C(2,—4),

团ABC的面积为:x4x卜4|=8；

(3)解：设尸(%m2-4m),

^\PM//y轴，

回力>为，

(418(4丫20

0PM=m2-4m———m—4=m2——m+4=m——H---，

I3J3I3；9

町>0,

回当机=1时，PM取得最小值，最小值为

Jy

【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，考查了二次函数图象和性质以及待定系数法求

函数的解析式以及平行的知识，解决(3)问需要求出尸M的长，利用二次函数的求解.

11.(2023•安徽芜湖•一模)已知抛物线y=f-2〃优+川-2与直线x=-2交于点P.

⑴若抛物线经过2)时，求抛物线解析式；

⑵设尸点的纵坐标为先，当匕,取最小值时，抛物线上有两点(孙匕)，(孙忆)，

<x2<-2,比较为与%的大小；

⑶若线段AB两端点坐标分别是4(0,2),5(2,2),当抛物线与线段AB有公共点时，求出

m的取值范围.

【答案】(i)y=#+2x-1

⑵X>%•

(3)—2<m<0§£2<m<4

【分析】(1)将(-1,-2)代入解析式求解.

(2)将x=-2代入解析式求出点尸纵坐标，通过配方可得“取最小值时机的值，再将二

次函数解析式化为顶点式求解.

（3）分别将点A,B坐标代入解析式求解.

【详解】（1）解：将（一1,一2）代入丁=炉_2蛆+机2_2得：-2=1+2加+/一2,

解得机=-1,

?.y=x2+2x-l；

（2）将x=—2代入y=x2-2mx+m2-2=m2+4m+2=（m+2）2-2,

.,.加=一2时，yp取最小值，

y-f+4%+2=（x+2）2—2,

时，y随x增大而减小，

,xx<x2<-2,

•>•y>%；

（3）,y=x2—2mx+m2—2=（x—m）2—2,

二抛物线顶点坐标为（办-2）,

二抛物线随机值的变化而左右平移，

将（0,2）代入y=x2-2nvc+m2-2nr-2=2，

解得m=2或〃7=-2,

将（2,2）代入y-2mx+m2-2得2=4-4加+病一2,

解得加=0或〃z=4,

.•.-2«机<0时，抛物线对称轴在点A左侧，抛物线与线段A3有交点，

2W%W4时，抛物线对称轴在点A右侧，抛物线与线段A3有交点.

:.—2<m<0i^2<m<4.

【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌

握二次函数与方程及不等式的关系.

12.（2023春・安徽宿州•九年级统考期中）如图1,已知抛物线Ci：y=V+6x+c与直线

y=-|x+l交于版4）、N&，"J两点（M在N的左侧）.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在直线的上方的抛物线上有一点C,若以,阳=竽，求点C的坐标；

⑶如图2,将抛物线C1平移后得到新的抛物线C2,Q的顶点为原点，尸为抛物线C2第一

3

象限内任意一点，直线y=-5尤+1与抛物线G交于A、B两点,直线＞=3与y轴交于点

G,分别与直线加、PB交于E、B两点.若EF=5GF,求点P的横坐标.

【答案】⑴尸产7—2

(2)4~|望或(4,10)；

9

⑶尸点横坐标为7.

4

【分析】(1)用待定系数法求函数的解析式即可;

(2)过点C作CG〃y轴交"N于点G,设C“，则+可得

以诩=31+，3H2+1|=竽，即可求出点C的坐标；

(3)先求平移后的函数解析式为y=x?,设尸卜，联立方程组，分别求出

A(-2,4),再由待定系数法分别求出直线丛的解析式、直线PB的解析式，可

求石(泊,3)从而建立方程求解即可.

3

【详解】(1)解：将M(私4)代入y=—]X+l,

3।

0——机+1=4,

2

解得m=-2,

0A1(-2,4),

将N1|，d代入y=-|x+l,

3”=一5

n=

24

代入y=Y+bx+c,

4-2Z?+c=4

93b5

—H-------FC=—

[424

b=-l

解得

c=-2

^\y=x2-x-2•

(2)解：过点。作CG〃y轴交跖V于点G,

图1

设C,产―r—2),则G',—

31

回CG=/9—/—2d—t—1=t9H—t—3,

22

c1f21八(3、105

05ACW=-X^+-Z-3^2+-j=—

、9

角毕得，=4或/=一力，

3

团。点在直线y=--x+\上方，

3-

0/>一或，<—2，

2

回C1或(4,1。)；

(3)解：Ely=Y-x-2=(x-g],

回抛物线的顶点为

回C?的顶点为原点，

回抛物线向左平移/个单位，向上平移|■个单位,

回平移后的函数解析式为J=x2,

设尸(。产)(f>0),

y----3-%+],

联立方程组2,

x=—

2

解得或,

1

团A(—2,4),

团直线＞=3与y轴交于点G,

团G(0,3),

设直线P4的解析式为y=履+"

tk+b=t2

回

-2k+b=4'

k=t—2

解得

b=2t

团直线F4的解析式为y=(f-2)x+2r,

同理可求直线PB的解析式为y,

3-2r

0£

t-2

6+，3—2,6+2

回所=

2t+lt-22t+l

⑦EF=5GF,

团6+t3-2r_5(6+。

2t+1t—22t+1

9

解得"“

981]

团尸

4f16f

9

"点横坐标为“

【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，用待定系数

法求函数的解析式，抛物线平移的性质是解题的关键.

13.(2023•安徽淮北•淮北市第二中学校考二模)抛物线y=-无2+法+。与x轴交于点

A(1-A/6,0),B(l+^6,0),直线y=x-l与抛物线交于C,O两点.

(1)求抛物线的解析式.

(2)在此抛物线的对称轴上是否存在一点尸，使得4c的周长最小？若存在，请求出点尸

的坐标；若不存在，请说明理由.

⑶若点E为直线8上方的抛物线上的一个动点(不与点C,。重合)，将直线8上方的

抛物线部分关于直线8对称形成爱心图案，动点E关于直线CO对称的点为F，求改'的

取值范围.

【答案】⑴y=——+2%+5

(2)存在，尸理由见详解

(3)0WEPV至也

4

【分析】⑴将4(1-遍，0),8(1+而0)代入抛物线＞=-*+云+c求解即可:

(2)连接BC,8C与对称轴的交点即点尸，此时4c的周长最小；

(3)过点E作EGLx轴，进而得到/EGH=45。，由三角函数即可求解；

2

【详解】(1)解：将A(1-而0),可1+而。)代入抛物线y=-x+bx+c^f

0=—^1—a\/6j+(1-+c仿=2

0=_(1+"『+(l+#)6+c牛哥［c=5

国抛物线的解析式为：》=一/+21+5.

y=x-lxi=-2,%=—3

(2)由解得:

y=—f+2x+5X?~3，=2

团。（一2,—3）,0（3,2）,

设的解析式为：丁二米+可左。0）,

将。(-2,-3),3(1+而0)代入y=得,

-3=-2k+b,=3-指

'C/7\7人解得：1「，

0=(1+，6/+6^=3-2V6

[Sy=(3-#)x+3-276,

2,

x==1,

抛物线的对称轴为：~2x（-l）

当点尸在BC上时，APAC的周长最小，

团将x=l代入、=（3-布卜+3-2#中，

J=（3-5/6）-1+3-276=6-376,

0P（1,6-3A/6）.

（3）设点E（",-〃2+2〃+5）,

由C（-2,-3）,。（3,2）可求得C。的解析式为：y=x-l,

过点E作轴，

0G（n,n-1）,

将1=0代入丁=九一1得，尺（0，-1）,

将y=o代入y=xT得，T。，。），

团NORT=45。，

回石G_Lx轴，

⑦NEGH=45。,

FHEHV2

团sin"G"=—=-----------------------

EG—n+2〃+5—zz+12

SEH=^(-n2+n+6)=-^^n-^+^1,

当九=：时，即=空徨最大,

28

SEFJ.CD,

皿"呼

EIEB的取值范围为：04EFV”也.

4

【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的综合应用、三角函数的应用，掌握相关知识

并灵活应用是解题的关键.

题型二：面积问题

一、单选题

1.（2023•安徽合肥•校考模拟预测）如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C|：y=Y

（x>0）和抛物线c,：y=—（x>0）交于A,B两点，过点A作CD取轴分别与y轴和

一4

S

抛物线C2交于点C,D,过点B作EF取轴分别与y轴和抛物线C1交于点E,F,则瞪叱的

^^EAD

值为（）

A.—B.—C.-D.-

6446

【答案】D

2

【详解】解：设点横坐标为。，则点A纵坐标为〃，点8的纵坐标为幺,

4

应;〃了轴，

2

团点厂纵坐标为幺,

4

回点厂是抛物线丁二炉上的点,

团点厂横坐标为％="=；〃，

CD//x轴用点。纵坐标为力,

回点。是抛物线y=二上的点，

4

团点D横坐标为x==2a,

131

/.AD=a,BF=—a,CE=—a9,OE=—a9,

244

Q胡。-ADCE-0

24

故选：D.

2.（2023秋•安徽亳州,九年级统考期末）如图，抛物线y=g/-2x+c与x轴交于点A,B

两点，与y轴负半轴交于点C,其顶点为M,点。，E分别是AB,的中点，若江砂与

ACD的面积比为9010,则c的值为（）

5

C.——D.-3

2

【答案】C

sAD

【分析】由题意可得SDEB=:BD|%|，ADC=^'\yc\^由点。是AB的中点，_DEB

与，ACD的面积比为9回10,得到|人|="仅cl，由中点坐标公式得,

|%|="红=：|%|，加=2"=9,M为顶点，求得点M的横坐标，代入解析式，由

乙乙DD

纵坐标相等得到关于C的方程，解之即可得到答案.

【详解】解：由题意可得，5DEB=^BD^yE\,StADC=^AD^yc\,

回点。是AB的中点，

团AD=DB,

国一DEB与ACD的面积比为9团10,

s530my9

raUDEB_Z,________）E_二

10

SADC^AD.\yc\光

回㈤=2川，

EIE是的中点，

团由中点坐标公式得，1%卜生受=;|九|,

当％=0时，y=—^-2x+c=c,

2

团为|=，

回加=2|%|=|c,

回加＜。，＞c=c＜°,

99

团％=/=不，

回M为顶点，

回如一五一;3=2,

乙X

2

将x=2代入y=；*2-2x+c得，

解得c=-|,

故选：C

【点睛】此题考查了二次函数的面积综合题，求得加=，9先=（Q。是解题的关键.

二、解答题

3.（2023•安徽合肥•合肥一六八中学校考模拟预测）如图，将边长为2cm的正方形A3co

沿其对角线AC剪开，再把一ABC沿着AD方向平移，得到AB'C.设平移的距离为

x（cm）,两个三角形重叠部分（阴影四边形）的面积为S（cm2）

(1)当x=l时，求S的值.

(2)试写出S与x间的函数关系式，并求S的最大值.

⑶是否存在x的值，使重叠部分的四边形的相邻两边之比为1：血？如果存在，请求出此

时的平移距离x；如果不存在，请说明理由.

【答案】(1)S=1

(2)S=-%2+2x,最大值为1

4

⑶x=l或x=§

【分析】(1)由正方形的性质得到ACD和A?C'都为直角边为2的等腰直角三角形，从

而判定出也为等腰直角三角形，得到A'E=A4'=1,从而得到AO的长，由四边形

的面积公式底乘以高的一半即可求出S；

(2)同理得到AE=A4'=龙，从而得到AD的长为2-x,由四边形的面积公式底乘以高的

一半即可表示出S,根据二次函数的性质即可求解；

(3)由正方形的性质得到和/XAT)尸都为等腰直角三角形，根据直角边方程为x和

2-x,分别表示出邻边AE和AN,进而表示出两者之比等于己知的比值，列出关于x的

方程，求出方程的解即可得到无的值.

【详解】⑴解：如图所示，

由题意可知42D和一A'3'C'都为等腰直角三角形，且45=2,

:.ZA=45°,又由平移可知ZA4'E=90。，

二也为等腰直角三角形，x=l,

A'E=A4'=1,

又回AD=2—1=1,

S=AEA'O=1；

(2)由题意可知和AB'C都为等腰直角三角形，

:.ZA=45°,又由平移可知ZA4'E=90°,

，_A4Z也为等腰直角三角形，

A'E=AA=x,A!D=2-x

S=A'E-A'D=x（2-x）=-x2+2x=-（x-l）2+1,

当x=l时，S有最大值，其最大值为1；

（3）存在.理由如下：

由题意得到和尸都为等腰直角三角形，

AAr=x,AD=2—x,

A!E=x,AF=-s/2（2lx）,

:.x'.\[2（2-x）=1-.s[2或x:&（2-x）=0:1,

4

解得：x=l或x=§,

,4,

x=l或尤=g■时，

重叠部分的四边形的相邻两边之比为1:忘.

【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，平移的性质，二次函数的性

质，综合运用以上知识是解题的关键.

4.（2023春•安徽黄山•九年级校联考阶段练习）已知关于尤的二次函数

y=（m-2）x2-x-m2+6m-l是常数）.

⑴若该二次函数的图像经过点A（T2）,

①求机的值；②若该二次函数的图像与x轴交于点8,C（点B在点C的左侧），求

ABC的面积；

（2）若该二次函数的图像与y轴交于点P,求点尸纵坐标的最大值；

【答案】⑴①"=5；②（

（2）2

【分析】（1）①直接利用待定系数法求解，再由二次函数的定义即可得出结果；

②先求出二次函数与x轴的交点，然后求面积即可；

（2）先确定纵坐标的解析式，然后化为顶点式即可求解.

【详解】（1）解：①关于龙的二次函数^=（根-2）%2-%-川+6根-7的图像经过点

.\（m-2）+l—m2+6m-7=2,

整理得加2-7m+10=0,

解得班=2,m2=5,

m-2^0,

mw2,

.\m=5；

②m=5,

二•该二次函数表达式为y=3/—2,

当y=0时,

即3f—%—2=0,

2

解得玉=1，%=—~，

点B在点。的左侧，

二点B坐标为点C坐标为(1,0),

125

ABC的面积=^xx2=§；

(2)当x=0时，y=-m2+6m-l,

，点尸的纵