沪科版九年级数学重难点专项突破：二次函数的最值（5种题型）（原卷版）

重难点专项突破01二次函数的最值（5种

题型）

唯【题型细目表】

题型一：利用二次函数的对称性求最短路径

题型二：面积最值问题

题型三：最大利润问题

题型四：线段最值问题

题型五：周长最值问题

【考点剖析】

题型一：利用二次函数的对称性求最短路径

一、单选题

1.（2020秋・安徽阜阳•九年级统考期中）如图，平面直角坐标系中，已知42,0）,

3（4,0）,尸为y轴正半轴上一个动点，将线段以绕点尸逆时针旋转90。，点A的对应点为

A.3A/2B.5C.—D.2A/5

2.（2021秋•安徽安庆•九年级校考期中）如图，抛物线y=-：x2+：x+2与x轴交于A,B两

点（A在B的左侧），与y轴交于点C,P为此抛物线对称轴I上任意一点，贝必APC的周长

的最小值是（）

C.5#>D.V5+V13

二、填空题

3.（2020・安徽安庆•统考模拟预测）如图，抛物线y=-x2+2x+3交x轴于A,B两点，交y

轴于点C,点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为E,点G,F分别在

x轴-和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为.

4.（2022秋•安徽滁州•九年级校考阶段练习）己知二次函数y=-N-2x+3的图象与无轴分别交

于A、8两点（如图所示），与y轴交于点C,点尸是其对称轴上一动点，当P8+PC取得最

小值时，点P的坐标为.

5.（2021・安徽•九年级专题练习）已知抛物线＞，=融2+法+0的图象与x轴交于点4m-4,0）

和B（m,0）,与直线y--x+p相交于点A和C（2机-4,加-6）,抛物线y—ax2+bx+c与y轴

交于点。，点尸在抛物线的对称轴上，连B4,PD,当B4+PO的长最短时，点尸的坐标为

6.（2023春•安徽黄山•九年级统考阶段练习）如图①，是一建筑物造型的纵截面，曲线

是抛物线的一部分，该抛物线开口向右、对称轴正好是水平线AC,8。是与水

平线。”垂直的两根支柱，AC=4米，8。=2米，。。=2米.

地面上的支撑点，用固定材料连接以、PB,对抛物线造型进行支撑加固，用料最省时点

0,尸之间的距离是.

（2）如图③，在水平线上增添一张2米长的椅子跖（E在歹右侧），用固定材料连

接AE、BF,对抛物线造型进行支撑加固，用料最省时点。，£之间的距离是.

7.（2023春•安徽六安•九年级校联考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，DC=3,

AD=6DC,尸是AO上一个动点，过点尸作尸G_LAC,垂足为G,连接3尸，取3尸中点

E,连接EG,则线段EG的最小值为.

三、解答题

8.（2020・安徽•统考模拟预测）如图，二次函数丁=依2+法-1的顶点C的坐标为（1，D.

⑴求。，Z?的值；

（2）已知A点为抛物线上异于C的一点，且A点横、纵坐标相等，B为x轴上任意一点，当

郎+BC取最小值时，求出B点坐标和此时AABC的面积.

9.（2021秋•安徽黄山•九年级统考阶段练习）如图，抛物线"以2+桁+。交x轴于A、B

两点，交y轴于点C,对称轴为直线x=i,已知：4-1,0）、C（0,-3）.

（1）求抛物线y-ax2+bx+c的解析式；

（2）求SAOC和国BOC的面积比;

（3）在对称轴上是否存在一个P点,使SR4C的周长最小.若存在，请你求出点P的坐标;

若不存在，请你说明理由.

10.（2022秋•安徽合肥•九年级合肥市第四十八中学校考阶段练习）如图，抛物线

y=f-bx+c交x轴于点人（1,0）,交y轴于点B,对称轴是直线x=2.

（1）求抛物线的解析式；

（2）P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P,使APAB的周长最小？若存在，求

出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

x=2

11.（2021•安徽•统考三模）如图所示抛物线y=^+bx+c过点A（TO）,点C（0,3）,且

OB=OC

（1）求抛物线的解析式及其对称轴；

（2）点。E在直线x=l上的两个动点，且DE=1,点£）在点E的上方，求四边形ACDE

的周长的最小值；

（3）点尸为抛物线上一点，连接CP,直线CP把四边形CBR1的面积分为3团5两部分，求

点尸的坐标.

图1图2

12.（2021秋・安徽六安•九年级校考阶段练习）已知抛物线>=办2+法一3（4/0）的对称轴为

直线x=l,且抛物线经过点A（T,0）,它与x轴的另一交点为B,与y轴的交点为C.

（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；

（2）在直线x=l上求点"，使AAMC的周长最小，并求出AWC的周长.

题型二：面积最值问题

一、单选题

L（2022秋,安徽安庆•九年级统考期中）如图，将一张边长为1的正方形纸ABCD折叠,

使得点2始终落在边AZ）上，则折起部分面积的最小值为（）

2.（2022秋•安徽合肥•九年级校联考期中）在AABC中，边的长与2C边上的高的和为

8,当AABC面积最大时，则其周长的最小值为（）

A.475+2B.4>/5+4C.275+2D.26+4

3.（2023春・安徽蚌埠•九年级专题练习）如图，在菱形ABC。中，AB=6,ZB=600,矩形

PQNM的四个顶点分别在菱形的四边上，AP=AQ=CN=CM,则矩形PQNM的最大面

积为（）

C.8抠D.9百

二、填空题

4.（2023春•安徽蚌埠•九年级校联考期中）如图，点E为正方形ABCD的边8上一点，以

点A为圆心，AE长为半径画弧所，交边BC于点R已知正方形边长为L

（1）若NZME=15。，则。£的长为

（2）0AEF的面积为S的最大值是.

5.（2022秋•安徽马鞍山•九年级校考期中）用48m木料制作成一个如图所示的"目"形长方

形大窗框（横档所，GH也用木料，其中钻=£F=GH=CD,要使窗框ABCD的面积最

大，则A3的长为m.

三、解答题

6.（2023・安徽蚌埠•统考三模）如图，矩形ABCD是某生态农庄的一块植物栽培基地平面

图，现欲修一条笔直的小路（宽度不计）经过该矩形区域，其中N都在矩形

ABCD的边界上.已知AB=8,BC=6（单位：百米），小路将矩形A8CD分成面积

为跖，S2（单位：平方百米）的两部分，其中H《邑，且点A在面积为既的区域内，记小

路的长为/百米.

图1图2

（1）如图1,已知/=3,设AN=x百米.

①若x=l,求S］的大小；

②求H的最大值；

（2）若$2=2，，点M在CD边上，点N在AB边上，求/的取值范围.

7.（2023春•安徽宿州,九年级统考阶段练习）如图，在AABC中，ZBAC^90°,

A5=AC=12,点尸在边AB上，D、E分别为8C、PC的中点，连接DE.过点E作8C

的垂线，与BC、AC分别交于尸、G两点，连接。G,交PC于点H.

(1)N£E>C的度数为一。;

⑵PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由;

⑶连接PG,求AAPG的面积的最大值.

8.(2023・安徽滁州•校联考一模)如图(1),一块钢板余料截面的两边为线段。4,OB,

另一边曲线ACB为抛物线的一部分，其中C点为抛物线的顶点，于D,以。4边

所在直线为x轴，。8边所在直线为>轴，建立平面直角坐标系xQy,规定一个单位代表1

米.已知00=1米，ZM=2米，CD=4米.

(1)求曲线ACS所在抛物线的函数表达式；

(2)若在该钢板余料中截取一个一边长为3米的矩形，设该矩形的另一边长为米，求九的

取值范围；

⑶如图(2),若在该钢板余料中截取一个其中点P在抛物线ACB上，记△PBD

的面积为S,求S的最大值.

9.(2022秋・安徽池州•九年级统考期末)如图，在中，

ZA=90°,AB^8,AC=6.若动点。从点8出发，沿线段54运动到点A为止，运动速度为

每秒2个单位长度.过点。作。交AC于点£,设动点。运动的时间为x秒，AE

的长为又

A

（1）求出y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围;

（2）当X为何值时，△3DE的面积有最大值，最大值为多少？

10.（2022秋•安徽合肥•九年级校联考期中）如图，矩形窗户边框ABCD由矩形AEFD,矩

形BHGE,矩形CFG”组成，其中3AE=BE.已知制作此窗户边框的材料的总长是6

米，设3C=x（米）；窗户边框ABCD的面积为S（米2）.

（1）用含尤的代数式表示A2.

（2）求当S取得最大值时，AB的长.

11.（2022秋•安徽安庆•九年级安庆市第四中学校考阶段练习）如图，一次函数y=r+6与

反比例函数y=*＞。）的图象交于点A（〃z,3）和3（3,1）.

（1）求反比例函数的解析式.

k

（2）请直接写出不等式组+6的解集是

⑶点尸是线段A3上一点，过点尸作轴于点£）,连接。P,若△尸的面积为S,求

S的最小值.

12.（2022秋•安徽合肥•九年级合肥38中校考期中）如图，抛物线y=-尤2+bx+c与x轴交

于A,B两点，与y轴交于点C,已知点B的坐标为（3,0）,点C的坐标为（0,3）.

⑴求抛物线的表达式：

⑵点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当APBC的面积最大时，求点P的坐标.

题型三：最大利润问题

一、解答题

1.（2023・安徽六安•校考模拟预测）某水产养殖户进行小龙虾养殖.已知每千克小龙虾养殖

成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价尸（元/千克）与时间第f（天）之间的

-/+16（1</<40）

函数关系为：尸=:,日销售量y（千克）与时间第f（天）之间的函数

-1r+46（41</<80）

⑴求日销售量y与时间f的函数关系式？

⑵哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？

⑶在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠加（加〈7）元给村

里的特困户，在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间f的增大而增大，求相

的取值范围.

2.（2023・安徽安庆・统考二模）"龙池香尖”是怀宁县一款中国国家地理标志产品，素有：

"扬子江心水，蒙山顶上茶”的美誉.某茶庄以600元/kg的价格收购一批龙池香尖，为保护

消费者的合法权益，物价部门规定每千克茶叶的利润不低于0元，且不超过进价的60%,

经过试销发现，日销量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足一次函数关系，部分数据统计如

表：

元/kg)700900

y(kg)9070

⑴根据表格提供的数据，求出y关于x的函数关系式.

⑵在销售过程中，每日还需支付其他费用9000元，当销售单价为多少时，该茶庄日利润最

大，并求出最大利润.

3.（2023・安徽滁州•统考二模）牛草山奶牛养殖场如今达到了日产鲜奶500千克的规模.根

据以前市场销售经验，如果鲜奶售价为20元/千克，每天可售出鲜奶400千克，鲜奶售价

每提高1元，日销售鲜奶数量将减少10千克，每天没能销售的鲜奶全部按10元/千克的价

格廉价卖给奶制品加工厂.养殖场研究决定将鲜奶的售价提高到x元/千克，而当地物价部

门结合本地收入与消费水平规定鲜奶售价不超过40元/千克，设养殖场每天鲜奶总销售收

入为y元.

（1）求y与x之间的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围；

（2）鲜奶售价定为多少时，养殖场每天鲜奶销售总收入最多？养殖场每天鲜奶销售总收入最

多是多少元？

4.（2023春•安徽淮北•九年级淮北一中校联考阶段练习）某商场试销一款玩具，进价为20

元/件，商场与供货商约定，试销期间利润不高于30%,且同一周内售价不变.从试销记录

看到，当售价为22元时，一周销售了80件该玩具；当售价为24元时，一周销售了60件

该玩具.每周销量〉（件）与售价x（元）符合一次函数关系.

（1）求每周销量》（件）与售价x（元）之间的关系式；

⑵若商场一周内销售该玩具获得的利润为210元，则该玩具的售价为多少元？

⑶商场将该玩具的售价定为多少时，一周内销售该玩具获得利润最大？最大利润W为多少

元？

5.（2023•安徽•模拟预测）小明同学利用寒假30天时间贩卖草莓，了解到某品种草莓成本

为1。元/千克，在第尤天的销售量与销售单价如下（每天内单价和销售量保持一致）

销售量机（千克）销售单价W（元/千克）

当10x415时，〃=20+'x

m=40-x当164尤430时，n=10+—

2X

设第尤天的利润卬元.

（1）请计算第几天该品种草莓的销售单价为25元/千克；

（2）这30天中，该同学第几天获得的利润最大？最大利润是多少？【注：利润=（售价-成

本）x销售量】

⑶在实际销售的前15天中，草莓生产基地为刺激销售,鼓励销售商批发草莓，每多批发1千

克就发给g4。22）元奖励，通过销售记录发现，前8天中，每天获得奖励后的利润随时间

x（天）的增大而增大，试求。的取值范围.

6.（2022秋•安徽芜湖•九年级芜湖市第二十九中学校考期中）某超市经销一种销售成本为

每件40元的商品，据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能售出500件，若销售

单价每涨1元，每周销量就减少10件，设销售单价为x元（xW50）,一周的销售量为y

件，

（1）写出y与x的函数关系式（标明x的取值范围）；

⑵设一周的销售利润为S,写出S与x的函数关系式，并确定当单价是多少时利润最大；

⑶在超市对该种商品投入不超过12000元的情况下，使得一周销售利润不低于8000元，

销售单价应在什么范围内？

7.（2022秋•安徽六安•九年级校考期末）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，

为了合理定价，投放市场进行试销.据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是

50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本.

（1）求出每天的销售利润》（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

⑶如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销

售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本x每天的销售量）

8.（2022秋•安徽合肥•九年级合肥市庐阳中学校考期中）某商店销售一种商品，经市场调

查发现：在实际销售中，售价x为整数，且该商品的月销售量y（件）是售价x（元/件）

的一次函数，其售价x（元/件）.月销售量y（件）.月销售利润w（元）的部分对应值如

表：

售价X（元/件）4045

月销售量y（件）300250

月销售利润W（元）30003750

注：月销售利润=月销售量X（售价一进价）

⑴求该商品的成本价，并求出y关于X的函数表达式；

⑵若用w（元）表示该商品的月销售利润，求卬关于x的函数解析式;

⑶当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润.

题型四：线段最值问题

一、填空题

1.(2023•安徽蚌埠,统考三模)如图，点C是线段上一动点，AACD,“BCE均为等边

三角形，AB=6,连接DE.

(1)若DELCE,则上=；

(2)DE长度的最小值为.

二、解答题

2.(2023•安徽合肥•统考三模)如图，抛物线y=+bx+c经过点A(l,l),3(-3,-3),点

。是抛物线的对称轴上一点，点尸在抛物线上，且点尸的横坐标为根.

⑴求抛物线的函数关系式；

(2)若-3WmW1,求点尸到直线AB的距离的最大值；

(3)若A、B、P、。四个点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标.

3.（2023•安徽合肥,统考二模）如图，某数学兴趣小组以楼梯为场景设计的小球弹射实验示

意图，楼梯平台宽为3,前方有六个台阶十~”（各拐点均为90。），每个台阶的高

为2,宽为2,楼梯平台到x轴距离。4=14,从y轴上的点C处向右上方弹射出一个小球

P（小球视为点），飞行路线为抛物线L：y=V+2X+16,当点尸落到台阶后立即弹起，

其飞行路线是与乙形状相同的抛物线.

（1）通过计算判断小球P第一次会落在哪个台阶上；

（2）若小球P第二次的落点在台阶心中点M上，求小球P第二次飞行路线的解析式；

⑶若小球P再次从点M处弹起后落入x轴上一圆柱形小球接收装置（小球落在圆柱形边沿

也为接收），接收装置最大截面为矩形£^汨，点E横坐标为16,EF=1,EH=1,求出

小球第三次飞行路线的顶点到x轴距离最小值.

4.（2023•安徽阜阳•统考二模）如图1,抛物线y=-gx2+bx+c的顶点坐标为。［1,：］,与

y轴交于点C,与x轴交于点A和点3.

⑴求抛物线的解析式.

⑵若M为y轴上一点，当的值最小时，求点M的坐标.

⑶如图2,若尸是第一象限内抛物线上的一个动点，求△3PC的面积的最大值.

5.(2023•安徽合肥•校联考一模)如图，抛物线y=/+bx+c经过4-1,0),8(3,0),C(0,3)

三点，。为直线BC上方抛物线上一动点，过点。作轴于点0,。。与8c相交于

点M.DEJLBC干■E.

(1)求抛物线的函数表达式；

⑵求线段DE长度的最大值；

⑶连接AC,是否存在点。，使得ACDE中有一个角与NC4O相等？若存在，请直接写出

点。的坐标；若不存在，请说明理由.

6.(2023秋•安徽六安•九年级统考期末)如图，在平面直角坐标中，”LBC是直角三角

形，ZACB=90°,AC=BC,OA=2,OC=4,抛物线y=Y+bx+c经过A、B两点,

抛物线的顶点为。.

备用图

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点E是直角三角形ABC斜边A2上一动点（点A、B除外），过点E作了轴的垂线交抛物

线于点当线段M的长度最大时，求点E的坐标；

⑶在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一个点尸，使是以E尸为直角边的直角三

角形?若存在，直接写出点尸的坐标；若不存在，说明理由.

7.（2023秋,安徽合肥•九年级校考期末）如图，抛物线y=-：/+bx+c与x轴交于

A（-2,0）、8（8,0）两点，与y轴交于点C.点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点

尸作直线尸轴于点D,交直线8C于点E.

(1)求抛物线的解析式；

(2)求线段PE的最大值；

(3)当CP=CE时，求点尸的坐标.

8.(2022秋•安徽芜湖•九年级校考阶段练习)如图，抛物线y=aY+fcv+3与x轴交于A,

B两点,且点B的坐标为(2,0),与y轴交于