沪教版八年级数学下册 第二十二章 四边形（6个知识归纳+21类题型突破）（原卷版）

第二十二章四边形(6个知识归纳+21类题型突破)

要求

i.掌握多边形的有关概念；

2.掌握平行四边形的判定与性质；

3.掌握特殊的平行四边形的判定与性质;

4、掌握梯形的有关概念；

5、掌握三角形、梯形的中位线；

基础知识归纳

知识点一、多边形

Q)定义：由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结而成的封闭图形

［凸多边形：对于多边形的任意一边所在的直线，如果其余各边都在

(2)分类:这条直线的一侧；

［凹多边形：

多边形<(3)多边形的内角和定理：〃边形的内角和等于(〃-2>180。；

,八夕、力型的从缶1定义：多边形的一个内角的邻补角；

⑷多边形的夕叫定理：多边形的外角和等于3如

(5)多边形的对角线条数:若2(心3)

知识点二、平行四边形的判定与性质

平行四边形：两组对边分别平行的四边形.

”［定理1：平行四边形的对边相等；

小户山定理2：平行四边形的对角相等;n夹在两平行线间的平行线段相等;

⑴性质4

定理3：平行四边形的两条对角线互相平分；

［定理4：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点.

'［定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

c业।…定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

(2)判定《

定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形；

II定理4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

知识点三、特殊的平行四边形

特殊的平行四边形

定义：有一个内角是直角的平行四边形；

(1)矩形性质｛①矩形的四个角都是直角；②矩形的两对角线相等；

判定｛①有三个内角是直角的四边形；②对角线相等的平行四边形;

定义：有一组邻边相等的平行四边形；

(2)芳形忤后|①菱形的四条边都相等；

I②菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角;

判定｛①四条边相等的四边形；②对角线互相垂直的平行四边形;

’定义：有一组邻边相等且有一个内角是直角的平行四边形；

/、力/由「①正方形的四个角都是直角，四条边都相等；

(3)正方形4性质4

［②正方形的两对角线相等，且互相垂直，每条对角线平分一组对角;

判定｛①有一组邻边相等的矩形；②有一个内角是直角的菱形.

知识点四、梯形

‘⑴定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形；

梯形＜(2)特殊的梯形：直角梯形、等腰梯形；

(3)梯形的面积公式：梯形的面积等于它的两底和与高乘积的一半;

等腰梯形

］定理1：等腰梯形在同一底上的两个内角相等；

性质4

［定理2：等腰梯形的两条对角线相等；

,如…［定理1：在同一底边上两个内角相等的梯形；

判定4

定理2：对角线相等的梯形；

I1

知识点五、三角形、梯形的中位线

‘定义：联结三角形两边中点的线段；

三角形的中位线＜

定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半;

梯形的中位线产义：联结梯形两腰的中点的线段；

.定理：梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半.

梯形常用辅助线的添法

梯形添辅助线目的：将梯形问题转化为三角形和平行四边形的问题来解决.

知识点六、平面向量

‘⑴相对位置差：是指一次位置移动，从移动的距离大小与方向确定；

(2)有向线段：规定了方向的线段；有向线段AB记作而，荏w丽.

(3)平移的要素：距离大小、方向；

―［定义：既有大小又有方向的量；向量的大小叫向量的长度(模)

《(4)向量4______

［表示：用有向线段表示，如向量初、向量Z；向量通、向量曲长度记为：|通I或|八

(5)相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量；

互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量；

平行向量：方向相同或相反的两个向量；

2.平面向量的运算

定义：求两个向量的和的运算；两个向量的和叫和向量；

三角形法则：不平行的两个向量相加，把第二个向量与第一个向量首尾相接，

则以第一个向量的起点为起点，第二个向量终点为终点的向量即为和向量.

平行四边形法则:使两个不平行的向量起点重合，以这两向量为邻边作平行四

法则

⑴加法＜边形，以两向量公共起点为起点，作平行四边形的对角线向量，即为和向量.

多边形法则：几个向量相加，把它们顺次首尾相接，则它们的和向量是以第一

、个向量的起点为起点，最后一个向量终点为终点的向量.

零向量：长度为零的向量；记6其方向任意.

运算律：a+b-b+a;（a+b）+c-a+（b+c）-,

'定义：已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算；

小竹7法则：三角形法则：平面内任取一点，以这点为公共起点作两个向量，则它们的差向

（2）减法4

量为以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量.

转化：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量；

重要题型

题型一多边形的有关概念

1.（22-23八年级•全国•课堂例题）下列说法中，正确的个数是（

①等腰三角形是正多边形；

②等边三角形是正多边形；

③长方形是正多边形；

④正方形是正多边形.

A.1B.2C.3D.4

2.（23-24七年级上•广东佛山•阶段练习）在如图所示的图形中，属于多边形的有（

D.5个

3.（22-23八年级上•广西南宁•阶段练习）下列说法正确的是（）

A.四边形具有稳定性B.全等三角形一定是轴对称图形

C.各边都相等的多边形是正多边形D./=1（其中。片0）

巩固训练:

1.下列说法正确的有（）个

①如果以=PB,那么点P是线段AB的中点；②两点之间直线最短；③各条边都相等的多边形叫做正多边

形；④三棱柱有六个顶点，九条棱.

A.1B.2C.3D.4

2.如图，将四边形A8CD沿出入AC剪开，得到四个全等的直角三角形，已知，0A=4,0B=3,AB=5

将这四个直角三角形拼为一个没有重叠和缝隙的四边形，则重新拼成的四边形的周长为—.

3.已知一个〃边形的每一个外角都等于30。.

（1）该"边形是否一定是正"边形？；（填“一定是”或“不一定是”）

（2）求这个«边形的内角和；

（3）从这个“边形的一个顶点出发，可以画出_____条对角线.

题型二多边形对角线的有关问题

1.（22-23六年级下•山东济南•期中）从十二边形的一个顶点出发可引出（）条对角线，把十二边形分

割成（）个三角形.

A.9,9B.9,10C.10,9D.10,11

2.（23-24七年级上・甘肃白银•阶段练习）过七边形一个顶点可以引出的对角线的条数为,这些对

角线将多边形分成了个三角形，这个多边形共有条对角线（）

A.4,5,21B.4,5,14C.5,4,28D.5,4,21

3.（23-24七年级上・贵州贵阳・期末）在学习完多边形后，小华同学将一个五边形沿如图所示的直线/剪掉一

个角后，得到一个多边形，下列说法正确的是（）

A.这个多边形是一个五边形

B.从这个多边形的顶点A出发，最多可以画4条对角线

C.从顶点A出发的所有对角线将这个多边形分成了4个三角形

D.以上说法都不正确

巩固训练

1.从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成5个三角形,

则这个多边形的边数是()

A.5B.6C.7D.8

2.填空:

(1)从四边形的一个顶点出发，可以引条对角线，将四边形分成个三角形；

(2)从五边形的一个顶点出发，可以引条对角线，将五边形分成个三角形；

(3)从六边形的一个顶点出发，可以引条对角线，将六边形分成个三角形；

(4)从〃(〃24)边形的一个顶点出发，可以引条对角形，将"边形分成个三角形.

3.探究归纳题：

(1)如图1,经过四边形的一个顶点可以作条对角线，它把四边形分成个三角形；

(2)如图2,经过五边形的一个顶点可以作条对角线，它把五边形分成个三角形；

(3)探索归纳：对于"边形(">3),过一个顶点可以作条对角线，它把〃边形分成个三角形;

(用含，的式子表示)

(4)如果经过多边形的一个顶点可以作10。条对角线，那么这个多边形的边数为.

题型三多边形内角和问题

1.(23-24七年级下・江苏无锡・阶段练习)如图三角形纸片，剪去60。角后，得到一个四边形，则/1+/2=()

A.120°B.180°C.240°D.300°

2.（22-23七年级下•江苏苏州•期中）如图，在四边形ABCD中，ZDW的角平分线与/ABC的外角平分线

相交于点尸，且"+NC=210。，则NP=（）

P

A.10°B.15°C.30°D.40°

3.（2024.湖南湘潭•一模）某校为落实“双减”政策，每周星期三下午开展“”活动，为学生全面发展搭建平台.小

田在素描课堂上观察一几何体的主视图如图所示，若々+"=180。，则NA+N石+NC的度数为（）

B.270°C.360°D.540°

巩固训练

1.如图，四边形ABC。中，ZA=60°,ZC=100°,BE平分NABC,平分/ADC,则々互＞+々网＞的

C.220°D.230°

2.如图，在六边形ABCDE尸中，若/4+/5+/。+/。=480。,/。石尸与-47方的角平分线交于点6,则/6

等于一

cB

D

3.如图，在AABC中，AC=BC,点。是AB边上一点，DE，3c于点瓦跖，AC于点f

（1）若点。是AB的中点，求证：2ZBDE=ZC；

（2）若NADE=160。，求"即的度数.

题型四多边形的外角问题

1.（2024.广东清远.一模）正多边形的一个外角的度数为36。，则这个正多边形的边数为（）

A.6B.8C.10D.12

2.（2024•广东江门•一模）中国古典园林里面的窗型，形制丰富，如题1图是颐和园小长廊五角加膛窗，其

轮廓是一个正五边形，如题2图是它的示意图，它的一个外角的度数为（）

2图

B.70°C.60°D.68°

3.（2024•浙江•一模）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若N2=16。，则N1的度数

为（）

/

A.30°B.45°C.60°D.44°

巩固训练

1.如图，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一

个正方形.用“个全等的正五边形按这种方式拼接，若要围成一圈后中间也形成一个正多边形，则”的值为

B.8C.10D.不存在满足条件的”的值

2.每个外角都是40。的正多边形是正—边形，从这个正边形的某一个顶点出发，可以作一条对角线，它

一共有一条对角线.

3.阅读小明和小红的对话，解决下列问题.

我把一个多边形的各内角相加，得到多边形的内角和不可能是1830°，你一定多

的和为1830。fS加了一个锐角

小叫小纤

⑴这个“多加的锐角”是。.

(2)小明求的是几边形的内角和？

(3)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个外角是多少度?

题型五多边形内角和与外角和的综合

1.(2024•河北保定•一模)如图，将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角，得到六边形ABCDGP,则下列说法

B.外角和增加180。C.内角和减少180。D.内角和增加

180°

2.（23-24七年级下•全国•课后作业）如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为2340。，那么这个多边

形的一个外角的度数为（）

A.24°B.30°C.36°D.60°

3.（23-24九年级下.江苏无锡•阶段练习）某双塔是十三层均为正八边形楼阁式空心砖塔，如图1所示.如

图2所示的正八边形是双塔其中一层的平面示意图，则其每个内角的度数为（）

图1图2

A.100°B.120°C.135°D.150°

巩固训练

1.如图，正〃边形纸片被撕掉一块，若贝产的值是（）

2.如图，五边形ABCDE中，AB//CD,Zl,N2,23分别是Z54E,/AED,的外角，N2=95。,

贝1JN1+N3=.

3.如图，小东在操场的中心位置，从点A出发，每走6m向左转60。,

（1）小东能否走回点A处？若能，请求出小东一共走了多少米；若不能，请说明理由.

（2）小东走过的路径是一个什么几何图形？并求这个几何图形的内角和.

题型六平行四边形的判定

1.（23-24八年级下•江西宜春・期中）如图，在四边形ABCD中，AD〃,若添加一个条件，使四边形

为平行四边形，则下列正确的是（）

B.ZADB=NCBD

C.AB=ADD.ZA=ZC

2.（23-24八年级下•重庆九龙坡•期中）如图，已知A8〃CD,添加下列条件可以使四边形ABCD成为平行

四边形的是（）

A.Z1=Z2B.AD=BCC.AB=CDD.AD=AB

3.（23-24九年级下•四川成都•阶段练习）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O,且CD〃AB,若要证

明四边形ABCD为平行四边形，不能添加的条件是（）

AD

A.AD//CBB.AB=CDC.AC=BDD.ZZMB+ZA5C=180°

巩固训练

1.已知四边形ABC。，AC与8。相交于点。，已知CD,则添加下列哪个条件可判定四边形为ABC。

为平行四边形（）

®BC=AD,②/BAD=/BCD,®AO=CO,@ZDBA=ZCAB

A.①②B.①③④C.②③D.②③④

2.如图，AO=OC,BD=12,则当03=__时，四边形ABCD是平行四边形.

3.如图厂是四边形ABC。的对角线AC上的两点.

（1）若AB=CD,只添加一个条件：—,使四边形ABCD为平行四边形.

（2）在（1）的条件下，若8ELAC,DF1AC,求证：四边形3EDF是平行四边形.

题型七平行四边形的性质

1.（2024八年级下.全国.专题练习）如图，在AABC中，AB^AC=5,D,E,尸分别是BC,AC,AB1.

的点，且AF=CE,连接ED,ED,DF//AC,那么四边形AFDE的周长是（）

A

2.（23-24八年级下•云南曲靖•期中）如图，在口ABCD中，已知AD=5cm,AB=3cm,AE平分NRW交3C

边于点E,则EC等于（）

A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm

3.（23-24八年级下.湖北武汉•期中）如图，在平行四边形A3CD中，AB=6,3c=8,ZBCD的平分线交AD

于点E,交54的延长线于点尸，则CD+AE的值等于（）

A.6B.8C.10D.14

巩固训练

1.如图，等腰AABC中，AB=AC,点K是底边BC上的一动点（不与点8、C重合），过点K分别作AB、AC

的平行线KH、KQ,交AC、AB于点8、Q,则下列数量关系一定正确的是（）

B.KH+KQ=BC

C.KH+KQ=ACD.AC-AQ=BK

2.如图，在平行四边形A8CD中，3C=10,DE=4,NABC的平分线BE交AO于点E,则AB的长为

3.如图I,在YABCD中，AC,3。相交于点。，过点。的直线交AD于点E,交BC于点、F.

图1图2

（1）直线是否将YABCD分成面积相等的两部分？试说明理由.

（2）张大爷家有一块平行四边形菜园，园中有一口水井P,如图2,张大爷计划把菜园平均分成面积相等的两

块，分别种植西红柿和茄子，且使两块地共用这口水井，请你帮助张大爷把地分开.（用直尺在答题卡中画

图，保留画图痕迹）

题型八矩形的判定

1.（23-24八年级下•湖北十堰•期中）如图，在AABC中，点E,D,尸分别在AB、BC、C4上，且DE〃C4,

DF\\BA.下列四个判断中，不正确的是（）

A.四边形AED厂是平行四边形

B.如果44c=90。，那么四边形AED尸是矩形

C.如果AD平分NA4C,那么四边形AEDb是矩形

D.如果AD13C且AB=AC,那么四边形AED尸是菱形

2.（23-24八年级下.河南周口•期中）下列条件中，能判定平行四边形ABCD是矩形的是（）

A.AC=BDB.AB=ADC.AC1BDD.ABJ.AC

3.（2024.陕西咸阳•二模）如图，建筑公司验收门框时要求是矩形.在矩形A3co中，AC,3。相交于点

下列验证方法不正确的是（）

A.AC=BDB.AB1BCC.OB=ODD.OA=OD

巩固训练

1.如图，在四边形ABCD中，对角线AC,3。相交于点。，且。4=OC,OB=OD.若要使四边形ABCD

为矩形，则可以添加的条件是（）

A.ZAOB=60。B.AC=BDC.AC_LBDD.AB=BC

2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与8。相交于点。，若再添加一个条件，就可得平行四边形

ABCD是矩形，则你添加的条件是.

3.如图，在YABCD中，点E,尸为对角线3。所在直线上两点，其中点E在D3的延长线上，点尸在的

延长线上.

⑴若BE=DF,求证：四边形AEC尸是平行四边形.

（2）在（1）的条件下，再添加一个条件，使四边形AECP为矩形.直接写出添加的这个条件，不需要说明理

由.

题型九矩形的性质

1.（2023•重庆铜梁•模拟预测）在矩形ABCD中,对角线AC,班＞相交于点。，,BAD的角平分线交3C于

点、E,若=则用1表示为（）

A.45°+-B.45°--C.45°—aD.90°-a

22

2.（23-24八年级下.江苏宿迁•期中）如图，矩形ABCD的周长为20cm,两条对角线相交于。点，过点。作

AC的垂线所，分别交BC于E,F点、,连接CE,贝的周长为（)

A.5cmB.8cmC.9cmD.10cm

3.（23-24八年级下.山东聊城.阶段练习）如图，在四边形ABCQ中，ZA=ZB=90°fAD=8cm,BC=6cm,

点尸从点。出发，以lcm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一

个动点到达端点时，两个动点同时停止运动.设点P的运动时间为『（单位：$）,下列结论正确的是（）

A.当t=3s时，四边形为矩形

B.当t=4s时，四边形CD尸河为平行四边形

C.当8=9时，t=3s或4s

D.当CD=PM时，f=3s或5s

巩固训练

1.如图’在矩形中‘AC是对角线，ZA8=6。。，分别以点A和点C为圆心，大于累C的长为半

径作弧，两弧相交于M,N两点，作直线MN,交BC于点、E,连接AE,则一区4£的度数是（）

2.如图，YA5c。的边CD与矩形A£FG的边斯相交于点若NZME=28。，ZCHE=62°,ZD=度.

3.如图①，矩形A3CD的边A8=4,AD=8,将矩形ABCD绕点A逆时针旋转角a（0°<a<90。）得到矩形

AEFG,AD与所交于点//.

数学思考：（1）填空：图①中/A"F=；（用含a的代数式表示）

深入探究：（2）如图②，当点H在对角线AC的垂直平分线上时，连接CH,求证：EH=DH.

题型十矩形与折叠问题

1.（23-24八年级下•安徽芜湖•期中）如图，将矩形A3CD沿对角线AC折叠，点2落在点E处，若AB=3,

CE1平分NZCD,则8C的长是（）

A.2也B.2石C.3板D.3g

2.（14-15八年级下•重庆江津•期中）如图，矩形ABCD中，AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠，点。落

在点M处，则重叠部分△人■7的面积为（）

D'

A.6B.8C.10D.12

3.（23-24八年级下•江苏徐州•期中）如图，点E在矩形纸片ABC。的边8上，将纸片沿BE折叠，点C的

对应点厂恰好在线段AE上.若AB=5,CE=\,则8C的长是（）

D.1.5

巩固训练

1.如图，对折矩形纸片ABC。使AO与3c重合，得到折痕MN,再把纸片展平.点E是AD上一点，且

ED=2AE,将AABE沿BE折叠，点A的对应点厂恰好落在MN上.若3c=6,则-V的长是（）

A.也B.V3C.3D.2A/3

2

2.如图，把一张矩形纸片ABC。按所示方法进行两次折叠，得到△£</,贝/

(1)ZCDG=。；

(2)若AB=2,贝!|3C=，EF=.

3.【感知图形】

点尸是矩形ABCD的边BC上一动点，连接转、DP,将△W、ADCP分别沿AP、。尸翻折，得到AAB'P、

ADCP.

(1)如图1,尸3'交AD于点pc'交AD于N,N在加的右侧，求证：PM+MN+PN=AD；

【问题拓展】

(2)将图1特殊化，当P、"、C'共线时，称点尸为3C边上的“叠合点”.如图2,在矩形ABCD中，AB=4,

BC=10,点尸为BC边上的“叠合点”，S.BP<CP,求DP的长；

题型十一菱形的判定

1.（2024・上海金山・二模）在四边形ABCD中，AD//BC,AB=AD,对角线AC、相交于点。.下列

说法能使四边形ABCD为菱形的是（）

A.AB=CDB.ZACB=ZACDC.ABAC=ADACD.AC=BD

2.（23-24八年级下•河北沧州•期中）小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）

（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（）

A.(1)处可填ZA=90。B.(2)处可填=

C.(3)处可填=D.(4)处可填ZA=90。

3.（2024八年级下•上海•专题练习）已知四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为菱形，还需要添加一

个条件，这个条件是（）

A.AB=CDB.AB=BCC.AD^BCD.AC=BD

巩固训练

1.如图，已知平行四边形A3CD的对角线AC与8。相交于点。，下列结论中不正确的是（）

A.当AC13。时，四边形ABCD是菱形

B.当=时，四边形A3CD是菱形

C.当时，四边形ABCD是矩形

D.当AB=AC时，四边形ABCD是菱形

2.如图所示，在中，AD13C于点。,瓦尸分别是AB、AC边的中点，连接DE,EF,FD,当AABC

满足条件时，四边形是菱形.（填一个你认为恰当的条件即可）

3.如图，矩形ABCD中，对角线AC的中点为。，点G,H在对角线AC上，AG=CH,直线G”绕点。逆

时针旋转a角，与边AB,8分别相交于点E,F,（点E不与点A,8重合）.

（1）当旋转角。=。时，四边形EGFH是菱形;

⑵当四边形EGE?/是菱形，连接CE,若48=9,AD=3,求△CBE的面积.

题型十二菱形的性质

1.（23-24八年级下•山西大同・期中）如图，菱形ABCD的对角线AC,3。相交于点。，于点人

连接OH,若03=12,菱形ABCD的面积为120,则OH的长为（）

2.（23-24八年级下.广东广州•期中）如图，菱形ABC。的对角线AC,8。相交于点。，过点。作

交A3于点连接OH,若OA=6,OH=4,则菱形ABC。的面积为（）

A.24币B.48C.72D.96

3.（2024.天津西青•一模）如图，以NMON的顶点。为圆心，任意长为半径画弧，分别交ON,QV于点A,

B,分别以点A,8为圆心，Q4的长为半径画弧，两弧在NMON内部交于点C,连接AC,BC,OC,

若AB=6,OC=8,则08的长为（）

A.4B.5C.8D.10

巩固训练

1.如图，点E,尸分别是菱形A3CD边ADCD的中点，EG,3c交CB的延长线于点G.若NGEF=66。,

2.如图，已知四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点、O,ZBAD=140°,以点C为圆心，CO为半

径作圆弧交线段CD于点E,连结OE,则/COE=.

3.如图，在四边形ABCD中，AB//DC,AB=DC,对角线AC,BD交于点、O,且AC平分NA4D,过

点C作CE人A5交A3的延长线于点E.

（1）求证：四边形A3CD是菱形；

（2）连接OE,交CB于点、F,若NACB=20。，则NCFE=

题型十三正方形的判定

1.（2024.上海静安•二模）如图，菱形ABCD的对角线AC、8。相交于点。，那么下列条件中，能判断菱

A.ZAOB=ZAODB.ZABO=ZADO

C.ZBAO=ZDAOD.ZABC=/BCD

2.（2024•湖南岳阳•一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点、O,添加下列一个条件，能使

菱形A8C。成为正方形的是（）

A.BD=ABB.ZABC=90°C.OD=ACD.AC=AD

3.（23-24八年级下•山东淄博•期中）四边形ABCD的对角线AC和8。相交于点。，设有下列条件：①

AC=BD；®AC1BD；③AC与3。互相平分；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD；⑥正方形ABCD,则下列

推理成立的是（）

A.①④n⑥B.②④n⑥C.①②n⑥D.①③n⑤

巩固训练

1.四边形ABCD的对角线AC和相交于点。，设有下列条件：①②NZMB=90。；③

AO=CO,BO=DO-,④矩形A3c0；⑤菱形ABCD,⑥正方形ABC。，则下列推理不成立的是（）

A.①④n⑥B.①③n⑤C.①②n⑥D.②③n④

2.如图，已知四边形A8CD是菱形，AC、3D交于点。，请你添加一个条件，使菱形ABCD成为正方形.

3.如图，在RtZVIBC中，ZACB=90°,过点C的直线。为A3边上一点，过点。作

交直线跖V于E,垂足为F，连接CD、BE,

⑴求证：CE=AD-,

（2）当。在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？

（3）若。为A3中点，则当/A的大小满足什么条件时，四边形3ECD是正方形？（直接写出答案）

题型十四正方形的性质

1.（福建省宁德市部分县市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰,

其图案由两个全等正方形相叠而成，寓意是同心吉祥.如图，将正方形ABC。沿对角线3D方向平移2cm得

到正方形形成一个“方胜”图案，若8n=6cm,则OE的长是（）

C.V2cmD.26cm

2

2.（2024九年级下•全国•专题练习）如图所示，在正方形ABCD中，。是对角线AC、3。的交点，过。作

OELOF,分别交AB、BC于E、F,若AE=4,CF=3,则所的长为（）

C.5D.6

3.（2023•陕西西安・二模）如图，在正方形ABCD中，点尸在对角线3。上，PE±BC,PFLCD,E,产分

别为垂足，连结AP,EF,若AP=5,则E_F=（）

述

C.2.5

巩固训练

1.如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，尸为边上一点，且BF=DE,连接E尸，若

ZCDE=50°,则N3FE的度数为（）

A.65°B.70°C.75°D.80°

2.如图，点加在正六边形ABCDEF的边上，以AM为边在其内部作正方形AWP,则NE4P=度.

3.如图，四边形A3CD是正方形，点P为平面内一点,

（1）若点P在正方形内，如图1,PA=1,PB=应,PD=2,求/AP8的度数;

（2）若点尸在正方形外，如果==如图2,且ZAPB=45。，求尸Z）的长.（用表示）

题型十五正方形的折叠问题

1.（2024七年级•全国•竞赛）李老师用一张正方形的纸片ABCD做示范，介绍两种折出45。角的折纸方法:

（1）将纸片沿对角线AC对折，使8点落在。点上，则4=45。；

（2）将纸片沿AE、AF折叠，分别使点3落在对角线AC上的同一点则NE4F=45。.

示范一遍之后，李老师让同学们判断这两种方法是否正确，你的回答是（）

A.两种方法都对B.（1）对（2）错C.（1）错（2）对D.两种方法都错

2.（23-24九年级上.广东茂名.期末）如图，在正方形A3CD中，AB=9,点、E,尸分别在边AB,C。上,

NEFD=60°,若将四边形EBCF沿所折叠，点&恰好落在AD边上，则无的长度为（）

A.3B.6C.3A/3D.3\/2

长所交BC于点G,G刚好是BC边的中点，则EO的长是（）

A.2B.3C.4D.5

巩固训练

1.四边形ABCD是一张正方形纸片，将其对折，使对折的两部分完全重合，得到折痕所，展开后再沿3G

折叠，使点A正好落在E尸上.下列说法：

@AG=-AB②ZA，8C=30。③AAGP是等边三角形④PA」BG

22

正确的有（）个

2.如图，已知E是正方形ABCD的边AD中点，将正方形ABCD沿班翻折，使点A落在尸处，延长昉交

CD于G,若正方形ABCD边长为6,则CG的长是.

3.如图，正方形纸片ABCD的边长AB=12,E是。C上一点，CE=5,折叠正方形纸片，使点8和点E

重合，折痕为尸G,试求尸G的长.

题型十六中点四边形

1.（2024八年级下.全国•专题练习）在四边形A3CD中，E,P分别是边AD,8C的中点，G、H分别是

对角线3D,AC的中点，依次连接E,G,F、H得到的四边形一定是（)

A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形

2.（23-24九年级上.河南郑州•阶段练习）下列命题正确的是（）

A.菱形的对角线互相垂直平分B.顺次连接菱形各边中点得到的四边形是正方形

C.对角线相等的四边形是矩形D.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是正方形

3.（22-23八年级下•河北保定•期末）我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边

形.下列说法正确的个数为（）

①任意四边形的中点四边形是平行四边形

②平行四边形的中点四边形是菱形

③矩形的中点四边形是菱形

④菱形的中点四边形是正方形

⑤正方形的中点四边形是正方形

A.2个B.3个C.4个D.5个

巩固训练

1.如图，顺次连接矩形ABCD四条边的中点得到四边形EFG",若AB=3,BC=5,则四边形斯的面

积为（）

A.6B.6.5C.7D.7.5

2.如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在尤轴正半轴上，且AB=3,点C在y轴负半

轴上，点。在y轴正半轴上，且8=2,则线段AZJ+8C的最小值是.

D

~AOB~x

C

3.如图1,P是线段A2上的一点，在A3的同侧作△APC和使尸C=PA,PD=PB,ZAPC=ZBPD,

连接8，点E,F,G,H分别是AC,AB,BD,CD的中点，顺次连接E,F,G,H.

A

图1图2

（1）猜想四边形跳6»的形状，直接回答，不必说明理由;

（2）点尸在线段A3的上方时，如图2,在“PB的外部作和△BPD,其他条件不变，（1）中的结论还

成立吗？说明理由;

（3）如果（2）中，ZAPC=ZBPD=90°,其他条件不变，先补全图3,再判断四边形EFG”的形状，并说明理

由.

题型十七特殊平行四边形的动点问题

1.（23-24八年级上•山东济宁・期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6cm,AD=10cm,点P在AD边

上以每秒1cm的速度从点A向点。运动，点。在8c边上以每秒2.5cm的速度从点C出发，在CB间往返运

动，两个点同时出发，当点P到达点。时停止运动，同时点。也停止运动.设运动时间为ts,开始运动以

后，当t为何值时，以P，D,Q,8为顶点的四边形是平行四边形?

20□40C.4或学D.学或日

A.

~373737

2.（21-22八年级下•福建龙岩•阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AB//CD,ZA=90°,DC=24cm,

AD=8cm,AB=26cm.点尸从点O出发，以Icm/s的速度沿。C.向点C运动；点。从点8同时出发，以

3cm/s的速度沿54边向点A运动.规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的

时间为ts.当f为何值时，四边形PQ2C为平行四边形？（）

AQB

A.4sB.5sC.6sD.7s

3.（22-23八年级下•江苏淮安・期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6cm,AD=10cm,点尸在AO边

上以每秒1cm的速度从点A向点。运动.点。在8C边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运

动.两个点同时出发，当点尸到达点。时停止（同时点。也停止运动），设运动时间为1秒.当5Vt<10时,

运动时间f为何值时，以P、。、。、8为顶点的四边形是平行四边形（）

A.空C.4或gD.三或8

B.8

3

巩固训练

1.如图，四边形ABCD中，AD〃BC,ZB=90。，AB=12cm,AD=36cm,BO=40cm.点尸从点A出发，

以3cm/s的速度向点。运动；点。从点C同时出发，以lcm/s的速度向点2运动.规定其中一个动点到达

终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为f秒，下列结论错误的是（）

A.当,=9时，PQ//DCB.当f=10时，PQLBC

C.当f=9或11.5时，PQ=CDD.当r=12时，四边形ABQ尸的最大面积为384cm2

2.如图，在YABCD中，对角线AC,班>相交于点。，点E在AD上，AE=5cm,BE=13cm,ZEBD=ZDBC,

点尸是BC的中点，若点尸以lcm/s的速度从点A出发，沿AD向点E运动，点N同时以2cm/s的速度从点

C出发,沿CB向点尸运动，点P运动到点E时停止运动，点N也同时停止运动，当点P运动s时，

以点P，F,N,E为顶点的四边形是平行四边形.

3.如图，在RtZXABC中，ZBAC=90°,ZACB=30°,AB=6,点P为8c上一个动点，连接R4,以9,

PC为邻边作平行四边形APC。，连接PQ交AC于点O.

(1)若AC=PQ,求尸3的长；

(2)当PB长为何值时，平行四边形APC。是菱形？为什么？