贵州省铜仁市某中学2024-2025学年高三年级上册10月模拟考试数学试题（含答案解析）

贵州省铜仁市第一中学2024-2025学年高三上学期10月模拟考

试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.记复数Z的共辗复数为1若z(2+i)=2-4i,则同=()

A.1B.41C.2D.272

2.已知集合/={x1y=ln(4-x)},8={1,2,3,4,5},则/口8=()

A.{5}B.{1,2,3}C.{1,2,3,4}D.{1,2,3,4,5}

3.已知函数/(x)的定义域为[0,3].记/⑺的定义域为集合4/(2,-1)的定义域为集合3.

则“xe/”是“xeB”的()

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

—►2—►—►

4.如图，在△48。中，/是边的中点，尸是/"上一点，^BP=-BA+mBC,则加=

()

A

一

\c

11「i2

A.-B.-C.-D.一

6325

函数/（》）=$•工+2：

5.的图像大致为（）

cosx+x

yiy、

1-1-

A.»B.二兀____________/'''''''''---r-»

-兀9兀X/o兀X

试卷第1页，共4页

函数，则。的值为（）

7.已知函数=关于x的不等式尸卜）-4（x）>0有且只有三个正整数解，则实

数。的取值范围是（）

8.设函数“X)=(/+ax+6)lnx,若/(x)20,则a的最小值为()

A.-2B.-1C.2D.I

二、多选题

9.下列不等式正确的有（）

A.当0〈尤<10时，Jx（10-x）的最大值是5

B.已知正实数x,N满足x+y=2,则'+,<2

xy

C.当X>—1时，XH------21

X+1

D.函数y=l-2x-―（x<0）最小值为1+

10.设/'（X）是定义在R上的偶函数，且对于VreR恒有〃x+2）=/（无），已知当xe[0,l]时,

/（x）=2修，则下列判断正确的是（）

A.f（x）的周期是2

B./（x）在（1,2）上递减,在（2,3）上递增

C./（"的最大值是2,最小值是1

试卷第2页，共4页

D.当xe(3,4)时，/(x)=2-3

11.如图所示，在边长为3的等边三角形45c中，AD=^AC,且点尸在以中点。为

圆心，为半径的半圆上，~BP=xKi+yBC,则下列说法正确的是（）

B.~BD=-BA+-BC

33

9—­—■D.x+y的最大值为汉l+i

C.-<BPBC<9

29

三、填空题

12.已知S”为等差数列｛%｝的前〃项和，&+。8=1°，贝USg=.

13.已知定义在R上的函数/（x）满足2〃x）=/（-x）+6e"则曲线y=〃x）在点（0,〃。））处

的切线方程为.

14.在VNBC中，内角A,3,C所对的边分别为。，b,c,若3g=上萼4,贝I]丁J

cosBsm2Aa+2c

的取值范围是.

四、解答题

15.如图，在直四棱柱428-440〃中，底面为矩形，且=45=2/0,且瓦尸

分别为CQQ2的中点.

试卷第3页，共4页

⑴证明：/尸〃平面4班.

(2)求平面BEF与平面ABE夹角的余弦值.

16.已知正项等差数列｛%｝满足：％=1且％,%，2%-1成等比数列.

(1)求数列｛%,｝的通项公式;

(2)若数列低｝满足：b„=2a~,”N*,求数列｛/+，｝的前“项和小

22

17.已知双曲线C：^-4=1(a>0,6>0)的一条渐近线方程为岳-尸0,顶点到

a2b2

渐近线的距离为好.

2

⑴求C的方程；

(2)设。为坐标原点，若直线/过点(0,2),与C的左、右两支交于A,3两点，且V4OB的面

积为2的，求直线/的方程.

18.已知函数/(x)=+£R,aw0).

⑴当。<-1时，求函数/(X)的单调递增区间；

⑵当。=1,xe/J时，关于X的不等式2〃x)+d+加e^WO恒成立，求实数加的最大

值.

(3)设点2(句,月)、B(%2，y2)是函数了=/(龙)图象上两个不同的点，令％=七三，证明：

/(x2)-/(x,)>/uy

x2一再

19.法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提至广费马点”，即平面内到三角

形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下：

①当VABC的三个内角均小于120°时，满足ZAOB=ZBOC=ZCOA=120°的点。为费马点;

②当VN2C有一个内角大于或等于120。时，最大内角的顶点为费马点.

请用以上知识解决下面的问题：已知V/8C的内角42,C所对的边分别为。,6,c,点”为

VABC的费马点，且lg(sin/+sinC)=21gsinB-lg(sinC-sin/)

⑴求角C的大小；

(2)若MC=3,八四=4,求VN2C的面积；

(3)若|帕|+阿卜fM。,求实数f的最小值.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案CBCADDDBACDACD

题号11

答案BCD

1.C

【分析】由复数的除法运算求得Z,再由同=目可得.

2-4i（2_4i）（2-i）4_L2i+4i2_-10i

【详解】由（）得“〒一

z2+i=2-4i（2+i）（2-i）-22+l21

所以同=目=2,

故选：C.

2.B

【分析】根据对数中真数大于0解出集合A,再利用交集含义即可得到答案.

【详解】/=卜卜=用（4一工）}=卜卜＜4},则/c5={l,2,3}.

故选：B.

3.C

【分析】先利用函数的定义域求得集合48,再利用充分条件、必要条件的定义判断.

【详解】1•函数/（x）的定义域为[0,3],

所以/=[0,3],

令0W2,-143,解得IV2r4，即0VxV2,即B=[0,2],

•：A3B,

e是“xe夕’的必要不充分条件，

故选：C.

4.A

【分析】设后=2而，根据图形由向量的加法法则运算即可.

___----1—

【详解】设/尸=23，因为河是边2C的中点，所以a0=a2C,

所以押=而7-瓦-旗，

2

答案第1页，共15页

JP=BA+AP=BA+AAM=BA+^ABC-ABA=(1-A)E4+^ABC,

1-A=-

又B—P►=-2B—A»+mB—C►,所以〈3，解得冽=:.1

31.6

—Z=m

[2

故选：A.

5.D

【分析】根据函数的奇偶性可排除AC；再根据/(l]的大小即可排除B,即可得解.

【详解】解：/(-x)=&x—所以函数/(X)为奇函数，故排除AC；

COSXH-X

_1+乃_4(1+»)1+〃

又乃2乃2兀,排除B.

T

故选：D.

6.D

【分析】先求得平移后的解析式，然后根据函数的奇偶性求得。.

【详解】函数〃尤)=sin2无+方的图象向右平移R,

JT=s\n\2x-2(p+叫,

得到g(x)=sin2(x-<p)+-

(67

由于g(x)偶函数，所以一20+.=航+5,0=-1/+部,后eN*,

由于所以取左=一1,得夕=*

故选：D

7.D

【分析】根据题意，求导可得/'(X),即可得到当x>l时，〃x)>o恒成立，将原不等式化

简可得-句>0,然后分aV0与。>0讨论，代入计算，即可得到结果.

【详解】函数/(》)=亨的定义域为R,求导得/(力=?，

当％<2时，f\x)>0；当x>2时，f\x)<0,

函数/(x)在(-*2)上单调递增，在(2,+8)上单调递减，

则“X)1Mx=42)=5,而/⑴=0,故当x>l时，〃x)>o恒成立，

不等式/⑺一“(x)>0=〃x)[/(x)-a]>0,

答案第2页，共15页

当a<0时，/(x)<。或/(x)>0,由/(x)>0,得x>l,

原不等式的整数解有无数个，不符合题意；

当。>0时，/(尤)<0或/(x)>。，由/(x)<0,得x<l,无正整数解，

因此原不等式有且只有3个正整数解，等价于不等式〃x)>。有且只有3个正整数解，

3个正整数解只能是2,3,4,因此〃5)4。<〃4),即三4〈。<3当，

ee

所以实数°的取值范围是

故选：D.

8.B

【分析】根据对数函数性质判断Inx在不同区间的符号，在结合二次函数性质得x=l为该二

次函数的一个零点，结合恒成立列不等式求参数最值.

【详解】函数/'(x)定义域为(0,+oo)，而0cx<l=lnx<0,x=l=>lnx=0,x>l=lnx>0,

要使/'(x)20,则二次函数y=/+0%+6,在0<x<l上y<0,在x>l上y>0,

所以x=l为该二次函数的一个零点，易得b=-a-l,

贝Uy=—+ax-(a+1)=(x-l)[x+(a+1)],且开口向上，

所以，只需—(a+1)V0=>a+120=>a»—1,故。的最小值为-1.

故选：B

9.ACD

【分析】利用基本不等式及特殊值依次判断选项即可.

【详解】对选项A,0<x<10,所以10-x>0,

贝I」+=5,当且仅当x=10-x,即x=5时等号成立，故A正确.

对选项B,取x=l,y=l,满足x+y=2,显然工+工<2不成立，故B错误；

xy

对选项C,因为x>—1,x+l>0,

所以x+」一=x+l+」--+-1=1,

x+1x+1r7x+1

当且仅当尤+1=」7，即x=0时，等号成立，故C正确.

对选项D,当x<0时，y=l-2x-->2l(-2x).[—1+1=1+2/6,

答案第3页，共15页

当且仅当-2X=-3,即*=一如时，等号成立，故D正确.

x2

故选：ACD

10.ACD

【分析】由〃x+2)=/(x)即可判断A选项；利用/(尤)=21和函数的对称性可判断B,C

的正误；结合周期性和奇偶性可求当xe(3,4)时，/(X)=2、T,故可判断D的正误.

【详解】对于A,对于VxeR恒有/(x+2)=/(x),则的周期为2,故A正确；

对于B,xe［0,l］时，/(x)=21-\,则函数〃x)在(0,1)上是减函数，

因为f(x+2)=〃x)且“X)为偶函数,故/(X+2)=〃T),故为x)的图象关于x=l对称,

••・函数〃尤)在(1,2)上是增函数,结合的周期为2可得〃x)在(2,3)上是减函数，故B

不正确；

对于C,由B的分析可得/(x)在［0,2］的最大值是/(0)=2,

最小值为结合函数的周期性可得“X)的最大值为2,最小值为1,故C正确；

对于D,设xe(3,4),则4-xe(0,l),故f(4-x)=2^=/(—)=/(》),故D正确.

故选：ACD.

11.BCD

【分析】对于B,将丽，而，而分别用血，数表示，再结合数量积的运算律即可判断；对

于ACD,以点。为原点建立平面直角坐标系，设尸(cose,sine),ae［兀,2可，根据平面向量

的坐标表示及坐标运算结合三角函数的性质即可判断.

【详解】对于B,因为石=g二，且点尸在以ND的中点。为圆心，为半径的半圆上,

所以在边长为3的等边三角形A8C中，CM=OD=DC=g/C=l,

贝I」而=前+函=就+§而=就+§(初一前)=§瓦+§就，故B正确；

对于C,如图，以点。为原点建立平面直角坐标系，

答案第4页，共15页

因为点尸在以40的中点。为圆心，04为半径的半圆上,

所以点尸的轨迹方程为一+/=1,且在x轴的下半部分,

设尸(cosa,sina),ae［兀,2兀］,

——►—.333、/327

所以5PBe=—cosa------------sina+——=3cos

2424

因为1€［兀,2可，所以a+ge,所以+

9，兀、9—►—►

所以543cos［a+1J+6W9,即5<3P-3C49,故C正确；

对于A,因为丽=1强+》团,

所以sina=y),cosa--=_g(x_y),

所以x+y=--------sina+1,x—y=——cosa+j,

4兀77i

因为1«兀,2兀],所以a+]e所以sm［a+§Jw-1'飞-

T?T

答案第5页，共15页

1/273.(兀、2/621262

所以一W--------sma+—\+-<..........-,BPn-<x<------+一，故AA错陕；

39131393393

对于D,由x+y=-2,sina+1,

因为。武兀,2可，所以当a=费时，x+y取得最大值与+i,故D正确.

故选：BCD.

【点睛】关键点点睛:本题的关键是建立合适平面直角坐标系，再设尸(cosa,sine),a«兀,2兀］,

从而写出相关向量，计算其数量积，并结合三角函数的性质得到其范围.

12.45

【分析】先根据等差中项的定义求出出，进而通过前〃项求和公式求得答案.

【详解】由%+6=10=2%=10=%=5,则品=9(-；"9)=%5=45.

故答案为：45.

13.2x-y+6=0

【分析】利用方程组法求出函数解析式，然后利用导数求切线斜率，由点斜式可得切线方程.

【详解】因为2/(尤)=/(r)+6e，，所以2,(无)=一/(一尤)+6於，

令x=0,得2/(0)=-/(-())+6e°,解得/(0)=2,所以切线斜率为2,

因为2/(x)=/(r)+6e，，令x=0,得2/(0)=/(-0)+6e°,

解得/■⑼=6,所以切点坐标为(0,6).

所以»=在点(0/(0))处的切线方程为y-6=2(x-0),即2xr+6=0.

故答案为：2x-j+6=0.

14.陷

■八,1口m八a—r,曰1一sinBsin/口口..、2工口z八入升足

【分析】根据二倍角公式可得------=-----，即cos/=sinC=cos|彳-C根据角的氾围

cos5cosA<2J

可得C-/=工，B=3-2A,0<A<~,故cos/eJ」.由正弦定理、同角三角函数的

224L2J

基本关系及二倍角公式可得—J=4(l+cos2/)+；~\——12,换元，结合对勾函数的

性质即可求解.

答案第6页，共15页

【详解】由题意可得匕辿=lcos2/_2snr..巴上,故

cosBsin242sin4cos4cosA

cosA-sinBcosA=sinAcosB,

即cos/=sin/cosB+sinBcos4=sin@+B）=sinC=cos）,

因为Cw（0,兀），所以'

因为/£（0,兀），所以/=]—c或—z=]—c,

即C+/='或C-N='，即8=四或C-/=巴.

2222

若2=g,贝!Icos8=0,则匕辿无意义，故。一/=巴

2cosfi2

TTTT

又A+B+C=7i,所以24+5=—,即B=Z—24.

22

jr

因为=所以C>囚,0</<女，0<5<-,

222

八,兀

0<A<—

2兀5\

所以,解得0</<；,故cosNe中,1.

„71_.兀4

0<2/<一

22

b2sin25

由正弦定理可得

〃+2/sin24+2sin2C

sin2Bsin2B

22

sm"2sm2+sin^4+2cosA

sin2j-2^

cos22A

sin2A+2cos2Asin2A+2cos2A

（2COS2/-1）2_4cos4y4-4cos2A+\

1+cos2A1+cos2A

4（l+cos2A）2-12（1+COS2办9

1+cos2A

=4（1+cos2—12,

71+cosA

令/=l+cos2贝!--=4t+--12.

<2）a2+2c2t

设/«）=4/+>12,/（1,21,

由对勾函数的性质可得/■⑺在[I，21上单调递增,

答案第7页，共15页

b2

所以即

a2+2c2•

故答案为:

15.(1)证明见解析:

⑵岑.

【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法证明线段4产的方向向量与平面4匹

的法向量垂直，即可证明4/〃平面；

(2)在空间直角坐标系中分别求出平面5E尸与平面4台£的法向量，根据向量法计算两个

法向量夹角的余弦值的绝对值，即可得出二面角的余弦值.

【详解】(1)不妨设/。=1,则/4=/8=2,如图建立空间直角坐标系，

则4(1,0,2),5(1,2,0),£(0,1,2),41,0,0),F(0,0,1),D(0,0,0),

所以乖=(一1,1,0),布=(0,2,-2),2F=(-1,0,1),

设玩=(x,y,z)是平面4E8的一个法向量,

fh-AE=-x+y=0

则―.,取x=1,则歹=z=1,

in-=2y-2z=0

所以平面4独的一个法向量而=(1,1,1),

又箫石=0，所以万;_1_记，因为4尸仁平面4班，所以4F〃平面4班.

(2)设为=36©是平面8昉的一个法向量,5^=(-1,-1,2),FE=(0,1,1),

FF.方—hc—f)

则屉­—。'令I'则d即-5),

答案第8页，共15页

设平面BEF与平面4BE夹角为6,

\m-n\3V33

贝！Jcos0=

WH司V3.VH-H

所以平面BEF与平面ABE夹角的余弦值为运.

11

16.⑴。，=1或%=2〃-1

（2）/=3〃或空=*+?4"-1）

【分析】（1）由等比中项的性质以及等差数列的通项公式可求出公差d,从而得到通项公式;

（2）利用分组求和法，分别计算两种情况下数列｛4+2｝的前〃项和.

【详解】(1)设正项等差数列｛%｝的公差为1,由％,成等比数歹!I,

得a；=%.(2%-1),贝!J(4+2d『=%(2%+12t/-1),

又4=1,即(1+=1+[2d,解得d=0或d=2.

当d=0时，an=ax=\.

当d=2时，%=]+(〃_1)x2=2〃-1.

所以数列｛%｝的通项公式为=1或。〃=2〃-1.

（2）由题意得，当。〃=1时，b〃=*=2,贝！J%+6〃=3,

所以数列｛4+〃｝的前〃项和北=3〃

当为=2〃-1时，a=2%=22〃T=2x4〃T,

则导=2x4〃

=4,且。=2,

2X4〃T

bn

故｛〃｝是以2为首项，4为公比的等比数歹U,

〃(1+2〃—1)

贝!J%+%+…+4=

2

2。-4〃)2/、

4+4+…+九=^_1=孑(4"-1)

[=(%+。2+…+%)+(4+%+…+2)="2+g(4"T)

答案第9页，共15页

故数列｛。"+4｝的前”项和7；=3"或"2+§（4--1）.

（2）y=±x+2

【分析】（1）利用渐近线的斜率及点到直线的距离建立关于。力的等式求解即可；

（2）分直线斜率存在和不存在两种情况进行讨论，易知直线斜率不存在时，不满足条件，

当斜率存在时，联立直线与双曲线的方程，表示出的长，再利用点到直线的距离求出点

0到/的距离，利用三角形的面积公式建立等式进行求解出后，即可求出直线/的方程.

【详解】（1）由题得2=6,①

a

由对称性不妨设C的顶点为（a,0）,则浮=手，②

联立①②解得°=也，b=m,

22

所以。的方程为土-匕=1.

26

（2）设力（打,乃），8（如、2），

当直线的斜率不存在时，不符合题意；

当直线的斜率存在时，设直线方程为＞=区+2,

3-r片0

所以1A=16左2+40（3—斤2）=]20—24左2>0,

—10„

12=----0

13-左2

解得-G（左＜6，

4k-10

因为项+%2=1不，玉记，

答案第10页，共15页

所以|/同=J1+左2“再+工2)2—4'1X2

2指,1+左2J5—左2

-M

2

又点O到直线/的距离d=

J1+/

所以V/O8的面积S=；|/8|."=264_r-

卜灯一

解得左=±1或左=±2；又因为-6〈左<6，所以后=±1,

所以直线/的方程为y=±x+2.

18.(1)［。,—］和(1,+°0)；

(2)2e；

(3)证明见解析.

【分析】(1)将函数求导后解了'(x)>0即可得“X)的单调递增区间；

(2)法一：对参数力，进行分类讨论，当时易得不等式恒成立，当"?>0时，通过原不

等式构造函数，将不等式恒成立问题转化为最值问题求解；

法二：通过将原不等式同构变形，构造新函数，通过新函数的单调性求出使得原不等式成立

时初的最大值;

(3)将/(/)，/(网)代入不等式后化简，最终通过不等式同构变形构造新函数，对新函数

求导求出单调性，进而证明不等式.

【详解】(1)函数/(x)的定义域为(0,内)，

/⑴」…"］=*+("山+1=(互+1)(一》+1),

XXX

令/'(x)=0,可得x=l或x=-L,因为。<一1,则

aa

由/'(%)〉0，可得0<x<或x〉l,

则/(X)的单调递增区间为(0,-十)和(1,+8);

(2)法一：当“=1时，/(x)=lnx-1x2,即21nx+加工3铲，40在上恒成立.

①当机V0时，lnx<0,x%，">0在上恒成立，所以此时不等式恒成立；

答案第11页，共15页

②当冽>0时，令//(%)=2In%+冽工%加”,

7

则(x)=—+3mx2emx+m2x3e^>0恒成立，

所以h(x)=21nx+mx3emx在1°，j上单调递增，

1I—m—m

于是〃(_)=一2+^6,<0^mee<2e3,

ee

不等式两边同时取对数，可得In冽+竺Wln2+3恒成立,

e

m

令(p(jn)=InmH——(m>0),

e

由于In加，%都在(0,+s)上递增，

e

所以以加)=In加+'在(0,+8)上单调递增，

e

又9(2e)=In2+3,

因此若9(加)<因2e)恒成立,

则m<2e.

综上所述，机的最大值为2e.

法二：当。=1时，/(x)=lnx-1x2,即Zlnx+mYe，"wo恒成立,

当mW0时显然恒成立,

所以只需考虑当加>0时,

|r2一

2Inx+mx3emxn<0，即一厂+加<0恒成立，

x

Inx21i1

§RnPnixcmxW-----=——In--,

XXX

0,",则加x〉0,

令尸(x)=xlnx,则尸(e、)工厂,因为工£

所以。侬〉1,

x

当x>l时，尸'(x)=lnx+l>0,所以，函数FO)在(1,+8)上为增函数,

所以，e蛆《4，即mxV-21nx,则根《且吐恒成立.

XX

4g(x)=--,其中0<x/，则g，(x)=2(ln：T)<0,g(x)单调递减,

%e%

则g(x)>g］：J=2e,贝I］加V2e.

综上所述，力的最大值为2e.

答案第12页，共15页

(3)易矢口/'(Xtjn-1-—。/+。一1,

/(x2)-/(%1)"Tn%-5a6一云:卜[-1)&-X|)叱-In*1,.1

x2—/x2-/x2-x12

Inx-Inx,

?L1

=----------ax0+a-I,

x2—Xj

f(xj—f(X[)「，/、In-Inx,I«

要证：-----------〉/(/)，即证-----------aXQ+«-l＞----QXo+Q—l,

x2-Xyx2-x{XQ

lnx-InxI2

即证----9-----〉一=------，

x2-x}xox2+%1

2g-l]

不妨设2＞玉＞0，即证In三＞2(%F=q_L,

%%+X]强+i

再

设;迤＞l,可得in””二0,

国t+l

构造函数A")=In”力。，其中"I,

I4

则〃(。=

厂西

所以，函数〃(/)在区间(1,+8)上为增函数，贝⑴=0,

即In/＞

因此必二皿！>/，(/).

x2-Xj

【点睛】思路点睛：本题(2)小问考察到不等式变换中一种常见的手法：取对数，特别是

当不等式两边都有许多关于e的式子时可以优先考虑取对数变形；其次本题(2)(3)小问

都考察了不等式的同构变形，很多时候不等式的恒成立问题、不等式证明问题等都可以通过

同构变形构造新函数，通过新函数的性质来证明原不等式成立.

19.(l)C=900

^11173

('2

⑶2+26

【分析】(1)根据倍角公式得到sin2/+sin"=sin2C,由正弦定理得到据+境=。2,从而

C=90°；

(2)设MZ=x,在A4CM,ABCM,A/BM中由余弦定理得。,6,c关于x的方程，再由

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