高中数学专项复习：概率与统计中的热点问题（解析版）

【方法综述】

概率与统计的问题在高考中的地位相对稳定，而由于概率与统计具有较强的现实应用背景，在近几

年的高考中，概率与统计问题在高考中所占的地位有向压轴题变化的趋势。概率与统计的热点问题主要表

现在一是：以数学文化和时代发展为背景设置概率统计问题，二是概率统计与函数、方程、不等式及数列

等相结合的问题。此类问题的解决，需要考生由较强的阅读理解能力，体现考生的数学建模、数据分析、

数学运算及逻辑推理等核心素养。先就此类问题进行分析、归类，以帮助考生提升应试能力。

【解答策略】

类型一以数学文化和时代发展为背景的概率统计问题

【例1】（2020•淮南一模）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的

示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A、

C区域涂色不相同的概率为（）

【答案】D

【解析】【分析】提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同,

利用分步计数原理求出不同的涂色方案有420种，其中，A、C区域涂色不相同的情况有240种，由此能求

出A、C区域涂色不相同的概率.

解：提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，

根据题意，如图，设5个区域依次为A、B、C、。、E,分4步进行分析：

①，对于区域A,有5种颜色可选；

②，对于区域8,与A区域相邻，有4种颜色可选；

③，对于区域E,与48区域相邻，有3种颜色可选；

对于区域。、C,若。与8颜色相同，C区域有3种颜色可选，

若。与3颜色不相同，。区域有2种颜色可选，C区域有2种颜色可选,

则区域。、C有3+2x2=7种选择，

则不同的涂色方案有5x4x3x7=420种，

其中，A、C区域涂色不相同的情况有：

若A,C不同色，则ABCE两两不同色，涂色方案有5x4x3x2种，

涂。时只要和AEC不同色即可，有2种，故共有240种，

...A、C区域涂色不相同的概率为°=黑=?.故选：D.

4207

【例2】（2020全国模拟）冠状病毒是一个大型病毒家族，己知可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）

和严重急性呼吸综合征QSARS）等较严重疾病.而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒是以前

从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促

和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡.

某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有〃（“eN*）份血液样本，有以下两种检验方式：

方式一：逐份检验，则需要检验〃次.

方式二：混合检验，将其中左（左eN*且左22）份血液样本分别取样混合在一起检验.

若检验结果为阴性，这七份的血液全为阴性，因而这左份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳

性，为了明确这人份血液究竟哪几份为阳性，就要对这％份再逐份检验，此时这4份血液的检验次数总共为

k+\.

假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果

的概率为P.现取其中左（左€?4*且左22）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验

的总次数为。，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为多.

（1）若E（^）=E值），试求「关于々的函数关系式0=〃左）；

（2）若p与干扰素计量居相关，其中玉,与，%（n>2）是不同的正实数,

_1H-lX22_2

满足占=1且V〃eN*(/22)都有e~成立.

/=!卬*/一再

(z)求证：数列｛七｝等比数歹!I；

11

(〃)当P=1-『时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数

那4

的期望值更少，求左的最大值

£

【答案】(1)〃攵)=1—、：，(左eN*，且左22).(2)(/)见解析(方)最大值为4.

【解析】⑴解：由已知，Qk,P(^)=l,得E楂J=k,

心的所有可能取值为1，k+1,

k

P值=1)=(1-"，P^2=k+l)=l-(l-p).

.•.E值)=(1—P?'+(左+—=k+l—

；.p关于左的函数关系式为f(k)=l—(左EN*,且左之2).

11

(2)(力・・,证明：当〃=2时,：.—=e^,令q=三=/>0,则4w1,

・・・玉=1,・••下面证明对任意的正整数〃，兀=0亍.

%—仁

①当〃=1,2时，显然成立;

女一1k

②假设对任意的〃=左时，丸="，下面证明〃=k+1时,％=/;

_1k2

由题意，得e3.£」±L

/=I

2>

32(1)

_1

2

1-e§

<_k工2\_k+2、

+e§-e'§,队+1-1=0,e「3玉Ji=0.

kJ

kk2k

**.r_口5或Y_-^3-3（负值舍去）・・•・丫成立.

九上+1-&Xk+\~&人左+1-&

...由①②可知,{,}为等比数列,xn=e^-

（拓）解：由（i）知，P=1一,=1一J,矶刍）>Eg）,.•.左>左+1—左。—p\，得:<。—p?=[9），

,,1,

/.Ink>—k.

3

设/（x）=lnx——x（x>0）,尸（x）=.♦.当x23时，户"）<0,即〃x）在[3,+8）上单调减.

33x

4455

又ln4"3863,-®1.3333,/.ln4>-ln5«1.6094,1.6667..In5<-.

33:33

••"的最大值为4.

【举一反三】

1.（2020•宁夏高考模拟（理））根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个

县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（）

1111

A.-B.—C.-D.一

6432

【答案】A

【解析】

【分析】每个县区至少派一位专家，基本事件总数〃=36,甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事

件个数机=6,由此能求出甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率.

【详解】派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家

基本事件总数：n==36

甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数：m=C；C；&=6

rn6I

二甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为：〃=—=—=—,本题正确选项：A

n366

2.（2020•河北高三期末（理））我国历法中将一年分为春、夏、秋、冬四个季节，每个季节有六个节气，如

夏季包含立夏、小满、芒种、夏至、小暑以及大暑.某美术学院甲、乙、丙、丁四位同学接到绘制二十四节

气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成哪个季节中的六幅彩绘，在制签及抽签公平的前提下，甲没

有抽到绘制春季六幅彩绘任务且乙没有抽到绘制夏季六幅彩绘任务的概率为.

7

【答案】—

12

【解析】

【分析】先分类讨论求出所求事件数，再利用古典概型的方法计算概率即可.

【详解】将“甲没有抽到绘制春季六幅彩绘任务且乙没有抽到绘制夏季六幅彩绘任务”这一事件可以分为两类:

第一类：甲抽到夏季六幅彩绘任务的事件数为：羯=6,

第二类：甲抽不到夏季六幅彩绘任务的事件数为：•g=8,

总的事件数为：禺=24,故所求概率为：。=一=’.故答案为：—.

241212

3.（2020•湖北模拟）据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、候、公，

共五级.现有每个级别的诸侯各一人，共五人要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多

分根个（根为正整数），若按这种方法分橘子，“公”恰好分得30个橘子的概率是

【答案】-

7

【解析】【分析】根据等差数列前〃项和公式得出首项与公差机的关系，列举得出所有的分配方案，从而得

出结论.

解：由题意可知等级从低到高的5个诸侯所分的橘子个数组成等差为m的等差数列，

设“男”分的橘子个数为小，其前〃项和为8,则必=5。1+殳鲁Xir=80,

即。1+2m=16,且〃1，机均为正整数，

若“1=2,贝！J根=7,此时的=30,

若〃i=4,m=6,此时〃5=28,

若。1=6,加=5,此时〃5=26,

若。i=8,m=4,此时。5=24,

若〃i=10,m=3,此时〃5=22,

若。1=12,m=2,此时怒=20,

若。1=14,m=l,此时卷=18,

“公”恰好分得30个橘子的概率为4.

类型二概率统计与函数、方程、不等式及数列等相结合的问题

【例3】.（2020•浙江模拟）甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每一局比赛都没

有平局(必须分出胜负)，且每一局甲赢的概率都是P，随机变量X表示最终的比赛局数，若则

O

()

A.E(X)=—B.E(X)>—C.D(X)>—D.D(X)<—

28481

【答案】|

【解析】【分析】X的可能取值为2,3,求出每个变量对应的概率，即可得到E(X),Eg,进而得到。

(X).求导，研究函数在(0,5)上的单调性，即可求出。(X)的最大值.

O

解：X的可能取值为2,3,

P(X=2)=p2+(1-p)2=2p2-2p+l,

尸(X=3)=C；・p(l-p)T=2p-2p2,

E(X)=2x(2p2-2p+l)+3(2p-2P2)=-2p2+2p+2,

E(*)=4x(2尸2-2p+l)+9x(2p-2p2)=-10p2+10p+4,

D(X)=E(X2)-E2(X)=-10p2+10/>+4-(-2p2+2p+2)2=-4p4+8/?3-6p2+2p,

因为E(X)以p=，■为对称轴，开口向下，

所以E(X)在pG(0,£■)时，E(X)单调递增，

所以E(X)<-2X(4-)2+2X^-+2=-^--排除A,B.

33y

D'(X)=-16P3+24户-12p+2,

D"(X)=-12(2p-1)2<0,

所以。(X)在pG(0,1)上单调递减，

19

又当〃=合时，。(X)=善>。，

O/f

所以当pe(0,1)时，。(X)>0,

所以pe(0,1)时。(X)单调递增，

32

所以。(X)<-4X(y)4+8X(4)-6X(^-)+2X4=-^-.故选：D.

oo6ol

【例4】.(2020•开福区模拟)设一个正三棱柱ABC-DER每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC的某

顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若

蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为尸io,则尸io为()

A.今吗严2B.（1）14

C/9卷D.'g严总

【答案】-

7

【解析】【分析】根据题意假设蚂蚁爬〃次仍在上底面的概率为尸"，那么它前一步只有两种情况：也许本来

就在上底面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率是管尸展1；也许是上一步在下底面，则第几-1

o

步不再上底面的概率是1-尸”一1,如果爬上来，其概率应是（1-两件事情是互斥的，因此，

O

P"+1（1—P,L1），整理得‘尸"=9尸"-1+,；构造等比数列｛B-1■｝，即可得尸”=

解：设蚂蚁爬〃次仍在上底面的概率为尸,“那么它前一步只有两种情况：

A：如果本来就在上底面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率是•1%」；

B,如果是上一步在下底面，则第〃-1步不再上底面的概率是1-P展1，如果爬上来，其概率应是1（1-

O

Pn-1）.

21

A,2事件互斥，因此，P”=耳幺_1+§（1_0_1）；

整理得0=即产武彦=3（尸"一一春）；

构造等比数列｛P"-]｝,公比为首项为B-[=■1-[=4，

可得分=£（£）"+"1•

因此第10次仍然在上底面的概率尸10=4。）10+4-故选：D.

【举一反三】

1.（2020•越城区模拟）随机变量占有四个不同的取值，且其分布列如下：

2sinasinP3cosasinp3sinacospcosacos/3

P21t

555

则E«）的最大值为（)

C.逅D.1

A.-1B.-Vs

V5

【答案】C

1o1

【解析】【分析】依题意，f=1-X-,所以E1(自)=—(2sinasinP+3cosasinP+3sinacosP)+COSaCOS[3

555

39Q9

=一(cosacos/?+sincifsin(3)+—(sinasin/?+cosacos)=—sin(a+p)+—cos(a-p),根据a,

5555

P的情况讨论即可得到E«）的最大值.

19

解：依题意，t=l-X—,

55

i9

所以E(自)=—(2sinasinp+3cosasinp+3sinacosp)+—COSCLCOSP

55

o9

=一(cosacos/3+sincifsinp)+—(sinasin/3+cosacos[3)

55

32

=­sin(a+P)+—cos(a-P),

55

n

a、-+2k冗

JT4

所以当a+p=-^-+2k兀，a-(3=2E,(左£z)时，即(MZ)时,

°n

6—+2kH

29

E«）取得最大值1■q=：!.故选：D.

Ilgx|,得＜x410;；：：：；，则方程[/（尤）Y-af

2.（2020•天心区模拟）已知函数/（尤）=若，

-X2-2X,X40

（x）+b=0有五个不同根的概率为（

1

ABC—

-34.5

【答案】C

【解析】【分析】画出函数/G）的图象，结合图象求得由方程,（元）]2-af（x）+。=0有五个不同的实数

根时/（x）的取值范围；再构造函数，利用二次函数的图象与性质求出关于。、。的不等式组表示的平面区

域，计算平面区域面积比即可.

|lgx|,需10

解:画出函数f（X）=<的图象,如图1所示;

-X2-2X,X40

令/(x)=t,由方程[/■(尤)]2-af(x)+6=0有五个不同的实数根，

即方程於-w+b=0有两个不同的实数根“、t2,

由/(x)的图象知，*<0,且0<攵<1;

设g(r)=t2-at+b,

'g(O)=b<0

由二次函数g(r)的图象与性质可得，、、，

g(l)=l-a+b>0

又不等式组(-10201表示的平面区域为边长为2的正方形，其面积为4,

且满足条件的区域如阴影部分，其面积2-尹尚，如图2所示；

图2

3.(2019•湛江一模)已知空间直角坐标系中的四个点A(4,1,1),B(4,-2,-1),C(-2,-2,-

1),。(-2,1,-1).经过A,B,C,。四点的球记作球从球/内部任取一点P,则点P落在三棱

锥A-BCD内部的概率是.

【答案】36

343H

【解析】

【分析】由A,B,C,。四点的坐标知，三点在平行于my坐标面的平面上，且三角形BCD是以C

为直角顶点的直角三角形，故球心在过8。中点且垂直于xoy坐标面的直线上，设出球心坐标，即可求出球

心，然后求出三棱锥的体积及球的体积，可得.

解：依题意：BCD三点在平行于xoy坐标面的平面上，且满足[[(4+2)2+(-2-1)1+(-1+1)2]=[(4+2)

2+(-2+2)2+(-1+1)2]+[(-2+2)2+(-2-1)2+(-1+1)2],即BD2=BC2+CD2,

.♦.△BCD是以C为直角顶点的直角三角形，，①)中点£(1,-1)至必88三顶点的距离相等，又

3C£)三点在竖坐标皆为-1,故三点在平行于xoy坐标面的平面内，所以球心在过E且垂直于xoy坐标面的

直线上，设球心/坐标为(1,-/，z),则DF=AF,即J(_2-1)2+(I+^_)2+(-1-Z)2=

^(4-1)2+(l+y)2+(l-z)2，得z=0,所以球的半径r=J,

所以，球的体积丫=4兀=3=，兀心)3=34：兀，

o020

三棱锥A-BCD是以直角三角形BCD为底，高为2的三棱锥，

其体积Vi=^-sBCDX2=-1XyX3X6X2=6,

oJ/

6

点尸落在三棱锥A-BCD内部的概率是：P=」=343冗

V7444儿

6

【强化训练】

1.(2020•安徽高考模拟(理))2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；

长三角城市群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”.现有4名高三学

生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选

取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为()

279817

A•—B.—C.------D.—

641625616

【答案】B

【解析】

【分析】根据排列组合的知识分别求解出恰有一个地方未被选中的情况和所有情况，利用古典概型计算可

得结果.

【详解】4名同学去旅游的所有情况有：4,=256种

恰有一个地方未被选中共有：&=144种情况

,1449

二恰有一个地方未被选中的概率：p=----=：本题正确选项：B

25616

2.设函数/(%)~ax+(x>l),若a是从0,1,2三个数中任取一个，b是从1,2,3,4,5五个数中任取一

个，那么/(尤)>>恒成立的概率是()

3721

A.-B.—C.-D.一

51552

【答案】A

【解析】思路：设事件。为“。乃从所给数中任取一个”，则〃(O)=3x4=12,所求事件为事件A，

要计算4所包含的基本事件个数，则需要确定。，。的关系，从恒成立的不等式入手，/(%)>力恒成立,

只需/⑴血＞从而/(%)==+—1)H---------Ha+1,当awO时,

X—1

ClyX-1)H-------+a+122.u(x—1)---------卜a+1=2y+a+1,

x—1

所以当ax—1)=------n%=1+—时，/(x)min=2y[a+a+1=

)x-1

所以(&+1丁〉6,得到关系后即可选出符合条件的(a,b)：(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),

(2,3),(2,4),(2,5)共8个，当a=0时,/(x)=l+^->l,

X—1

/、/\/八〃(A)3

所以(0,1)符合条件，综上可得"(A)=9,所以。(A)=*^=w

3.(2020•湖北高考模拟(理))生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其

实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末

学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”

和“乐”必须分开安排的概率为()

71131

A.—B.—C.—D.一

606604

【答案】C

【解析】

【分析】分情况讨论，由间接法得到“数”必须排在前两节，“礼"和"乐''必须分开的事件个数，不考虑限制因

素，总数有4种，进而得到结果.

【详解】

当“数”位于第一位时，礼和乐相邻有4种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有种情况，由间接法得

到满足条件的情况有M-C：月制

当“数”在第二位时，礼和乐相邻有3种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有种,

由间接法得到满足条件的情况有M用制

共有：发制+团-。：再看种情况，不考虑限制因素，总数有星种，

故满足条件的事件的概率为：/,故答案为：c.

As6。

4.（2020•富阳区模拟）已知数列｛斯｝满足。1=0,且对任意"GN*,斯+i等概率地取斯+1或许-1,设斯

的值为随机变量贝I（）

A.P（&=2）=/B.E/）=1

C.P（窗=0）<P«5=2）D.P（45=。）<P«3=。）

【答案】D

【解析】【分析】根据题意，分别分析出自“当〃分别取2,3,4,5时所对应的值，以及每个与的对应的概

率，即可判断出正确选项.

解：依题意。2=1或。2=-1，且尸（。2=1）=P（。2=-1）=£，

自3=的的可能取值为股+1=2,a2-1=0,。2+1=0，。2-1=-2,

p/=2）

224

p（43=。）=2X4-X4-=4，

222

P«3=-2）=却《=3，

224

E（及）=2x工+0x=+（-2）x—=0,由此排除A和B-,

424

Q=〃4的可能取值为的+1=3,。3-1=1，的+1=-1，。3-1=-3,

P33）=-j-P々3=2）=-1,

P（Q=l）=P（h=2）+（F0）=S,

28

/P（&=0）+P（=-2）3

P«4=-1）=--------3-----------------3i--------=3，

28

p（0=-3）=［尸（&3=-2）=《..

No

次=码的可能取值为4,2,0,-2,-4.

P&=。）=P（"=】）+P（&L1）T，

28

P（…=P（"=3）+P（"」）二」,

24

所以P«5=0）＞P（&5=2）,排除C.

Q1

因为尸（&5=0）=亭P（g3=0）=5，所以尸侬=0）＜P（&3=0），故选：D.

82

5.（2020•全国高三模拟）某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少,

具体调查结果如下表：

表1市场供给量表2市场需求量

单价单价

22.42.83.23.6443.42.92.62.32

（元/kg）（元/kg）

供给量需求量

50607075809050606707580

(1000kg)(1000kg)

根据以上提供的信息，市场供需平衡点（即供给量和需求量相等时的单价）应在区间（）

A.（2.3,2.6）内B.（2.4,2.6）内C.（2.6,2.8）内D.（2.8,2.9）内

【答案】C

【解析】由已知中表格所给的数据，我们结合答案中的四个区间，分别分析区间端点对应的供给量与需求

量的关系，如果区间两个端点的表示供给量与需求量的关系的不等号方向是相反的，则市场供需平衡点（即

供给量和需求量相等时的单价）应在该区间.

解答:解：：单价等于2.8时，供给量=70

当单价小于2.6时，由于2.6V2.8

供给量＜70

而此时，需要量＞70

故此时，供给量（需要量

而当单价等于2.6时，需求量=70

当单价大于2.8时，V2.8＞2.6

，供给量＞70

而此时，需要量＜70

故此时，供给量〉需要量

综上所述，市场供需平衡点（即供给量和需求量相等时的单价）应在区间（2.6,2.8）内，故选C

6.（2019•四川成都七中高考模拟（理））如果｛4｝不是等差数列，但若mkeN*，使得为+以+2=2%+「

那么称｛4｝为“局部等差”数列.已知数列｛七｝的项数为4,记事件4：集合｛%,/,玉,/｝除｛1,2,3,4,5｝,

事件3：｛七｝为“局部等差”数列，则条件概率P（3|A）=（）

471

A.—B.—C.一

15305

【答案】C

【解析】

P(AB)

【分析】分别求出事件A与事件3的基本事件的个数,用尸（5|A）=计算结果.

【详解】由题意知，事件A共有C；♦国=120个基本事件,事件B：“局部等差”数列共有以下24个基本事件,

（1）其中含1,2,3的局部等差的分别为1,2,3,5和5,1,2,3和4,1,2,3共3个，含3,2,1

的局部等差数列的同理也有3个，共6个.

含3,4,5的和含5,4,3的与上述（1）相同，也有6个.

含2,3,4的有5,2,3,4和2,3,4,1共2个，

含4,3,2的同理也有2个.

含1,3,5的有1,3,5,2和2,1,3,5和4,1,3,5和1,3,5,4共4个，

含5,3,1的也有上述4个，共24个，

241

.-.P（B|A）=—=—.故选C.

'71205

7.（2020雁塔区校级模拟）为了解某次测验成绩，在全年级随机地抽查了100名学生的成绩，得到频率分

布直方图（如图），由于某种原因使部分数据丢失，但知道后5组的学生人数成等比数列，设90分以下人

数为38,最大频率为b,则b的值为.

【答案】Q32

【解析】【分析】由已知中抽查了100名学生的成绩，90分以下人数为38,可得五组的累积频数为62,设

第四组的频数为访后5组的学生人数成等比数列的公比为q结合最大频率为6,根据等比数

列的前"项和公式及（工）4<62,求出q,a,进而得到答案.

q

解：由抽查了100名学生的成绩，90分以下人数为38,

则90分以上人数为100-38=62人，为后五组的累积频数

由于后5组的学生人数成等比数列，

设第四组的频数为。，公比为q则

S$=a（1口）=62=°（^4+（?3+^2+（?+l）

1-q

由各组人数均为整数，故（工）。62,

q

故q=4,a=32,贝|%=需=0.32,故答案为：0.32

8.（2020•宁波校级模拟）某保险公司新开设了一项保险业务，规定该份保单在一年内如果事件E发生，则

该公司要赔偿。元，假若在一年内E发生的概率为p,为使公司受益的期望值不低于。的击，公司应要求

该份保单的顾客缴纳的保险金最少为元.

【答案】5+0.1）a

【解析/分析1用随机变量自表示此项业务的收益额，x表求顾客缴纳的保险金，则&的所有可能取值为X,

x-a,且尸（自=x）=1-夕，P（自=x-a）=p,Eg=x（1-72）+（x-〃）p=x-ap,由公司受益的期望值

不低于«的焉，由求出公司应要求该份保单的顾客缴纳的保险金最少金额.

解：用随机变量&表示此项业务的收益额，X表求顾客缴纳的保险金，

则&的所有可能取值为X,尤-4,

且尸(自=x)=1-p,P(0=X-4)=p,

J.E^=x(1-p)+(x-a)p=x-ap,

•..公司受益的期望值不低于a的击，

..x-即弓万a，

.,.x>（p+0.1）a（元）.故答案为：（p+0.1）a.

9.“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容,

立足全体党员、面向全社会的优质平台，现已日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门app.该

款软件主要设有“阅读文章”和“视听学习”两个学习板块和“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”、“挑战答题”

四个答题板块.某人在学习过程中，将六大板块依次各完成一次，贝『‘阅读文章”与“视听学习”两大学习板块

之间最多间隔一个答题板块的学习方法有种.

【答案】432

【解析】

【分析】先分间隔一个与不间隔分类计数，再根据捆绑法求排列数，最后求和得结果.

【详解】若“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块相邻，则学习方法有2团=240种；

若“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间间隔一个答题板块的学习方法有2C：阂=192种;

因此共有240+192=432种.故答案为：432

10.（2020•路南区校级月考）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，

三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC、直角边A3、直角边AC,AABC的三边所围成的区域.若

3c=10,过点A作于。，当AABZ）面积最大时，黑色区域的面积为.

【答案旁

【解析】

【分析】AABC的三边所围成的区域记为/,黑色部分记为〃，其余部分记为〃/,由题意，计算△A3。的面

积，求出面积取最大值时对应的。值，再计算区域II的面积Su.

g

解：因为BC=10,^ZABC=­f

ggg

所以AB=10cos-^-,B£)=ABcos-^-=10COS2-2-=5(\+cosO

eee

AD=ABsin----=1Osin-----cos=5sin0,

222

119R

所以不5£>・AO=Kx5sinO・5(1+cos。)=7^sin6(1+cos。)，

设/(0)=sin。(1+cos。),Oe(0,兀)，

1JT

则/(0)=2cos2d+cos0-1=0,解得COS6=5，得。=〒；

TT1

当ee(0,—)时，cos。*,f(6)>0,/(9)为增函数；

Oc»

jrI

当。£(-r-»兀)时，cosOf(9)V0,f(0)为减函数；

o4

所以，当0=2时，f(0)最大，△A8£)面积最大，

O

设AABC的三边所围成的区域记为/,黑色部分记为〃，其余部分记为/〃，

此时，区域n的面积为%=*兀・(号)2+/兀.(苧)27nl

=(-^-)2+-^-7I,(-^-)2-)2-S]]=SJ,

222222

且Si=—AB*AC=—x1Osin-^-x1Ocos-^-=25sin0=,

22222

故当△480面积最大时，区域II的面积为理!■.故答案为：逝返.

11.(2020・广东模拟)水痘是一种传染性很强的病毒性疾病，易在春天爆发.市疾控中心为了调查某校高一

年级学生注射水症疫苗的人数，在高一年级随机抽取5个班级，每个班抽取的人数互不相同，若把每个班

级抽取的人数作为样本数据.己知样本平均数为7,样本方差为4,则样本数据中的最大值是.

【答案】10

【解析】

【分析】根据平均数和方程列式，然后利用二次函数的判别式小于零，求得样本数据的最大值.

【详解】设五个班级的数据分别为a<〃<c<d<e,根据平均数和方差得；=7,

7)2+优-7)2+"-7)2+(八7)2+(—7)2=4,显然各个括号为整数.

5

没a—7,b—7,c—7,d—7,e—7分别为p,q,r,s,t(p,q,r,s,t&Z),

p+q+r+s+，=O

则42.2.2.2-2cc，

p+q+r+s+t=20

设/(x)=(x—P)2+(%—4)2+(x-r)2+(x-5)2+(x-Z)2

=4%2-2(p+q+r+s)x+(p2+/+产+$2)=4炉+24+20-产,

由已知/(九)>0,则判别式/<0,即4/一4x4(20—产)<0,

解得t<4,即/W3,所以e=7+/W10,即样本数据中的最大值是10.

12.(2020