广西壮族自治区柳州市2025届高三第一次模拟考试数学试题（含答案解析）

广西壮族自治区柳州市2025届高三第一次模拟考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知复数z=l+i,则上的虚部为（）.

Z

11i1i

A.——B.-C.--D.-------

22222

2.对于非零向量b,+是"1//『'的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

二、未知

22

3.已知双曲线C:9-'=1的一条渐近线方程为了=-而，则机=（）

A.1B.2C.8D.16

4.若过点（26,0）与圆八产=4相切的两条直线的夹角为贝ijcosa=（）

A.—B.拽C.-D.-

5533

三、单选题

5.在平面直角坐标系中，点48的坐标分别是（-5,0）,（5,0）,直线/M,5M相交于点

4

且它们的斜率之积是3,则点M的轨迹方程为（）.

x2_9/x2

A.=\(x3B.=l(xw±5)

25100\25100

3x29/

C.=1(%/±5)D.=l(xw±5)

25"10025"100

四、未知

6.设函数/(x)=cos]ox+W(0>O),已知=/(x2)=l,且卜-引的最小值为5,

则。=()

A.1B.2C.3D.4

试卷第1页，共4页

五、单选题

7.已知正四棱台/BCD-44G〃的体积为友，AB=2,44=1,则与底面/BCD所

3

成角的正切值为()

A.火B.V3C.2A/3D.4

2

8.设函数/(x)=xlnx-(a+6)lnx,若/(x)20,则5"+5〃的最小值为()

A.1B.2C.45D.2#)

六、多选题

9.已知随机变量X服从正态分布，即X〜N(3,9),则().

A.E(X)=27B.D(X)=9

C.P(^>8)>F(X<-1)D.尸(XVl)+尸(XV5)=l

10.过抛物线E：y2=2「X位>0)的焦点下作倾斜角为。的直线交£于A,B两点，经过点

A和原点。的直线交抛物线的准线于点。，则下列说法正确的是().

A.BDI/OFB.OAA.OB

2

c.以六为直径的圆与y轴相切D.司忸尸

11.我们知道，函数y=/(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数

>=/(无)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数>=/(无)的图象关于点(。/)成中心

对称图形的充要条件是函数>=/(x+a)-b为奇函数.已知/'(x)是定义在R上的可导函数,

其导函数为g(x),若函数>=/(x+l)T是奇函数，函数y=g(x+2)为偶函数，则下列说

法错误的是()

A./(1)=1B.g(l)=l

2024

C.y=/(x+2)-l为奇函数D.2/(0=1012

i=l

七、填空题

试卷第2页，共4页

12.已知/+2工一1=0,贝!+士=.

13.在［事+；］的展开式中，常数项为.

14.如图，在4x4的格子中，有一只蚂蚁从A点爬到8点，每次只能向右或向上移动一格,

则从A点爬到B点的所有路径总数为,若蚂蚁只在下三角形(对角线及以下

的部分所围成的三角形)行走，则从A点到8点的所有总路径数为.

八、解答题

15.记V/BC内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知gsimi-cos/=2.

⑴求A；

(2)若a=2,技)sinC=csin2B，求V/8C的周长.

16.如图，在圆锥尸。中，/C为圆锥底面的直径，3为底面圆周上一点，点。在线段8c上,

⑴证明：40_1平面3。「；

(2)若圆锥尸O的侧面积为871,求二面角O-BP-A的正弦值.

17.已知函数=ax-lnx-L

⑴当“=1时，求曲线y=/(x)在(1J。))处的切线方程；

(2)若/'(X)有极小值，且极小值小于0,求“的取值范围.

22

18.在平面直角坐标系xOy中，P为直线了=2上一动点，椭圆E：.+==l(a>6>0)的

试卷第3页，共4页

左右顶点分别为“卜血,0)，N便,0),上、下顶点分别为7(0,1),5(0,-1).若直线“交

E于另一点A,直线尸S交E于另一点、B.

(1)求证：直线45过定点，并求出定点坐标；

(2)求四边形ASBT面积的最大值.

19.某购物平台为了吸引更多的顾客在线购物，推出了A和6两个套餐服务，并在购物平台

上推出了优惠券活动，顾客可自由选择A和8两个套餐之一，下图是该购物平台7天销售优

惠券的情况(单位：千张)的折线图：

本销售量

2.80

2.60

2.40

2.20

2.00

1.80

1.60

⑴由折线图可看出，可用回归模型拟合V与，的关系，请用相关系数加以说明；

1?

⑵假设每位顾客选择A套餐的概率为选择5套餐的概率为1,其中A包含一张优惠券,

8套餐包含两张优惠券，截止某一时刻，该平台恰好销售了〃张优惠券，设其概率为々，求

(3)记(2)中所得概率什的值构成数列｛匕｝(〃£N*),求数列｛匕｝的最值.

参考数据：£%=16.17,£仃,=68.35£包_力2=0.72,占=2.646

i=l/=1VT

£(—)(%-力

参考公式：相关系数：=I「“

但(二)》(%①

VZ=1Z=1

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号1257891011

答案AAACDBDACDBCD

1.A

【分析】由复数的乘法和除法运算化简复数，即可得出答案.

111-i1-i11.

【详施毕】因为z=l+i,所以_=八=7-二丁31'

z1+1（1+1乂1-1）222

所以上的虚部为-1.

Z2

故选：A.

2.A

【分析】根据相反向量一定是共线向量，共线向量不一定是相反向量可求解.

【详解】对于非零向量万，B,因为方+3=0，

所以2=-3，则万//B，

即“万+B=。”能推出M//B，

但当1//B时，方=龙（4工0）,显然=O不一定成立，

所以B=d”是“aHb”的充分不必要条件.

故选：A.

3.B

【分析】对于双曲线C,求出。、6,根据?=也可求出机的值.

b

22

【详解】因为双曲线C:匕-二=1的一条渐近线方程为y=-后x,则机＞0,

4m

且Q=2,b=4m，则工=-/==也，解得m=2.

b7nl

故选：B.

4.C

【分析】分析可知，切线的斜率存在，设切线的方程为＞=左1-2百），利用圆心到切线的

距离等于半径求出左的值，再利用二倍角的余弦公式、弦化切可求得cose的值.

【详解】圆炉+产=4的圆心为原点，半径为2,

若切线的斜率不存在，则直线的方程为X=2VL且该直线与圆产+产=4相离，不合乎题意,

所以，切线的斜率存在，设切线的方程为＞=左卜-2石），即米-了-2限=0,

答案第1页，共14页

12G左I

则^^=2,解得左=±卫,

V+l2

不妨设直线y=［(x-2@的倾斜角为6,因为tanO=*i,则0<。<?则。<2。苔,

在［、ieq"2八.2八cos26>-sin201-tan20

所以，a=20,txcosa-cos20=cos0-sin0=--------------；—=-------；—

cos2<9+sin2l+tan2<9

2_1

1+-3

2

故选：c.

5.A

【分析】设点M(x,y),由题意列出方程，化简整理即得点M的轨迹方程.

【详解】依题意，设点由降•心.=上.上=J_=±(xwf),

,BMx+5x-5r-259

可得4尤2一9/=100,(x牛±5),即得点W的轨迹方程为三-叫=1("±5).

25100v'

故选：A.

6.D

【分析】根据题意求出函数/(X)的最小正周期，再利用余弦型函数的周期公式可求得。的

值.

【详解】设函数/(X)的最小正周期为T,

兀

因为函数/(x)=cosCt)XH---(切＞0),已知/(%)=—1,/(%2)=1,且|再一引的最小值为5,

6

2兀2兀

1兀―r/nf兀>/0)=--=--=4

则5=］，可得T=W，故77t

242

故选：D.

7.C

【分析】根据体积求出正四棱台的高为，分别取/c,4G的中点o,o「过4作4£〃。。|交

/C于E,则乙4/£为44与底面所成的角，求解即可.

【详解】：44=1,AB=2,.\±,下底面的面积分别为1=『=1，邑=2?=4,

设正四棱台ABCD-44GA的高为〃，

答案第2页，共14页

则其体积为忆=?S|+s?+j^区)〃=f(i+4解得〃=逐，

连接/c，4G，分别取/c,4G的中点o,o「

VOOlL^ABCD,“<=面/80/.OOX1AC,

过4作4£〃。。1交NC于£,则4EL/C,4E上面/5CD,

.♦•N4AE为AAX与底面ABCD所成的角，

VAE=AO-A.O,=-AC--AC.=-x272-U42=—，4E=0Q=〃=",

112211222

.tan=坐=巧=2后

•.1AEV2，

F

即44］与底面ABCD所成角的正切值为28.

故选：C.

8.D

【分析】分类讨论求出。+6的值，然后利用基本不等式可求得5"+5〃的最小值.

【详解】因为/(x)=xlnx-(〃+b)lnx=(x—a-b)lnx,

若a+bWO,则对任意的x〉0,x-a-b>0,

则当0<x<l时，/(x)=(x-«-Z?)lnx<0,不合乎题意；

若0<Q+Z)<1时，当Q+6<X<1时，x-a-b>0,Inx<0,此时，/(x)=(x-tz-Z>)Inx<0,

答案第3页，共14页

不合乎题意；

若0+6>1,贝!|当1<x<a+6时，x-a-b<0,Inx>0,此时，/(x)=(JC-a-6)Inx<0,

不合乎题意.

所以，a+6=l,此时，/(x)=(x-l)lnx,则/⑴=0,

当0<尤<1时，x-1<0,Inx<0,此时，/(X)=(尤一l)lnx>0；

当x>l时，x-1>0,Inx>0,止匕时，/(x)=(x-l)lnx>0.

所以，对任意的x>0,/(x)=(x-l)lnx>0,合乎题意，

由基本不等式可得5。+5“>2y15a.5b=2A/?花=275，

[a-b1

当且仅当u।时，即当a=6=；时，等号成立，

[a+6=l2

故5"+5〃的最小值为2VL

故选：D.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值,

则必须把构成积的因式的和转化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这

个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

9.BD

【分析】由正态分布概念、组成的理解和正态分布曲线的对称性逐一判断即得.

【详解】由X〜N(3,9)可得，E(X)=3,D(X)=9,故A错误；B正确；

对于C,因£(X)=3，则尸(X»8)=尸(XV-2)<P(XV-1),故C错误；

对于D,因项X)=3,则尸(XWl)=尸(X25),故尸(XVl)+尸(XW5)=l,即D正确.

故选：BD.

10.ACD

【分析】设直线/的方程为x=a"/(%%),将该直线的方程与抛物

sin”2

答案第4页，共14页

线的方程联立，结合韦达定理可判断B；设。（%,%），由%-%=。可判断A；比较半径产

与圆心到y轴的距离即可判断c；由抛物线的定义表示出|/可忸尸将韦达定理代入化简可

判断D.

COS。

22（必+%）为力一

2-2sin。

…=7万

2P2P

222

所以X1%==4-，所以k（u'koB==_4J—1,故B错误；

2p2p4xtx2

设。（X3/3）,设直线z。的方程为y="x,令Xs=-f,所以%=一§丛，

X]2L%]

-p2

2xi-----------Fpyx222

”“_、，P必_2%为+处1_y1_-2pxi+pyi_-2pxi+p-2pxi_,

%一＞3=%+彳—=---------=------------=------------=--------------=U

2xx2占2再2再必2%必

所以直线AD的斜率为左皿=上为=0,所以5。//。b，故A正确.

玉+—p

因为叫=再+勺所以以”为直径的圆的圆心为引，半径为邑1=。,

X+8

所以圆心到了轴的距离为*+2，所以以/尸为直径的圆与了轴相切，故c正确;

2

由抛物线的定义知：怛尸|=%+多

所以司忸尸|+yYx2+,）=再工2+「（再+3）+?

答案第5页，共14页

COS。Ycos。

=PL+P.2P+p七=F+万故D正确.

42sin。

故选：ACD.

11.BCD

【分析】利用函数对称性的定义可判断A选项；举特例可判断BCD选项.

【详解】对于A选项，因为函数y=f(x+l)-1为奇函数，

所以，函数＞=/(尤)的图象关于点(1,1)对称，

且函数/(尤)的定义域为R,则=A对；

对于B选项，不妨取/(x)=sin7»+l,

因为〃x+1)-1=sin[n(x+l)]+l-l=-sin"为奇函数,

则函数/(x)=sinroc+l符合题意，g(x)=f'(x)=ncosnx,

所以，g(X+2)=7ICOs[K(X+2)]=TTCOSTLX为偶函数，

但名⑴二-兀片1,B错；

对于C选项，不妨取/(x)=x,贝！If(x+l)-l=x为奇函数，

g(x)=r(x)=l,g(x+2)=l为偶函数,合乎题意，

但/(X+2)-l=x+l不是奇函数，c错；

对于D选项，若〃x)=sinm+1,则该函数的最小正周期为了=—=2,

71

/(1)+f(2)=sin兀+1+sin2兀+1=2,

2024

所以，Z〃')=l012x2=2024wl012,D错.

Z=1

故选：BCD.

【点睛】结论点睛：函数的对称性与周期性：

(1)若〃x+a)+/(-x+6)=c,则函数/(X)关于中心对称;

(2)若+=〃-x+6),则函数/(x)关于》=审对称；

(3)若/(x+a)x〃x-a),则函数〃x)的周期为2a；

答案第6页，共14页

(4)若/(x+a)=L〃x),则函数〃x)的周期为2a.

12.6

【分析】对x2+2x-l=0两边都除以x可得工-工=-2,两边再平方可得答案.

X

【详解】由x2+2x-l=0知xwO,

可得x+2」=o,即x」=-2,

XX

所以jx-=x2+^r--2=4,

VxJx

贝(jx2+^-=6.

x

故答案为：6.

13.70

【分析】利用二项式定理的通项公式即可求解.

【详解】+的通项公式=C^38-2rx-24+6\

令一24+6厂=0,解得厂=4,

常数项=《=70.

故答案为：70.

14.7014

【分析】在4x4的格子中，蚂蚁从A点爬到3点需要走8步，从A点爬到B点的所有路径总

数为从8步中选择4步横向的组合数；若蚂蚁只在下三角形行走，用列举法一一列举即可.

【详解】蚂蚁从A点爬到8点需要走8步，其中4步横向，4步纵向，

所有路径数为从8步中选择4步横向的组合数，所以C：=70；

蚂蚁只在下三角形(对角线及以下的部分所围成的三角形)行走，如下：

答案第7页，共14页

故答案为：70；14.

15.（l）^=y

⑵2+夜+,

【分析】（1）应用辅助角公式计算得出sin1/-己

=1,再结合角的范围即可求出角;

（2）已知结合正弦定理化简计算得出5=：,再应用两角和正弦公式计算sinC=1二"

44

最后正弦定理计算边长即可得出周长.

【详解】（1）由651向-605/=2得，——siib4——cosA=1,BPsinM-^-Ul,

22

715兀/兀兀，2兀

由于/£（0,兀）=>4一6u,A——=—=>/=——

6JT623

（2）由题设条件和正弦定理标sin。=csin25oV2sin^sinC=2sinCsin^cos5，

又B,CG（0,K）,贝（JsinBsinCwO,进而cos8=受,得到5=四,

24

于是C=7i-4-八土

一12

sinC=sin（4+8）=siib4cos5+cosZsin5="4后

答案第8页，共14页

ab2bc

由正弦定理得siib4siaSsinC4口2兀.兀.兀

sinsin一sin——

T412

解得/.=垣，。=逝—"

33

故V/BC的周长为2+收+".

3

16.（1）证明见解析

⑵乎

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明ADYBP,然后利用线面

垂直的判定定理证明即可；

（2）根据圆锥的侧面积求得尸4及。尸，求出平面80尸、平面/8P的一个法向量，利用向

量法求得二面角的余弦值.

【详解】（1）,尸。_L平面45C,BA工BC,故以8为坐标原点，方为工轴正方向，

正为》轴正方向，与方同向的方向为z轴正方向建立空间直角坐标系.

设I。尸卜X,故8（0,0,0）,/（2,0,0）,O（l,V3,0）,尸D0,^-,0,

15=-2,—,0,50=(1,73,0),~BP=[i,^,xy

、3J

•••25质=-2+2=0，AD-BP=-2+2=0.

故/D_L8。，ADIBP,

■：BP^BO=B,BP,80u平面8。尸，3_L平面8。尸；

(2)..•圆锥尸。的侧面积S=2兀XP/=8TI,:.PA=4,

OP=x=A/42-22=2A/3,

（2、

由（1）可知，AD=-2,\-,0为平面8。尸的法向量,

I3J

设平面48尸的法向量为法=（a,6,c）,而丽=（2,0,0）,SP=（1,73,273）,

m-BA=2a=0

故，令c=T得而=(O,2,-l),

m-BP=a+43b+2A^C=0

答案第9页，共14页

17.(1»=0

(2)0<d；<1.

【分析】(1)求导，结合导数的几何意义求切线方程；

(2)求导，分析aV0和a>0两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得l+lna-i<0,

a

构建函数解不等式即可.

【详解】(1)当。=1时，贝U/(x)=x-lnx-l,r(x)=l-1

可得f(l)=O,/,(1)=0,即切点坐标为(1,0),切线斜率为左=0,

所以切线方程为y=o.

(2)/(X)定义域为(0,+8),且/(x)="：,

若aW0,则/'(x)<0对任意xG(0,+oo)恒成立.

所以/'(无)在(0,+8)上单调递减，无极值，不合题意，

若a>0,令广(x)>0,解得令广卜)<0,解得xJ,

aa

可知/'(X)在/£|上单调递减，上单调递增，

则/(X)有极小值/(5)=1+ln“->,无极大值，

由题意可得：—|=1+Ina<0,即1+lna<0.

\a)aa

令g(a)=l+lna—(a>0),g'(a)=—+—g(a)在(0,+8)上单调递增,

答案第10页，共14页

又g(l)=l，不等式1+ln”工<0等价于g(a)<g⑴，解得°<1,

a

又。>0,综上”的取值范围是

18.(1)证明见解析，(0,1)

Q)显

【分析】(1)依题求出椭圆方程，设尸。,2),由直线P4,尸3方程分别与椭圆方程联立，求

出点48的坐标，由对称性知，定点在V轴上，设为G(0,〃z),由七G=@G求出机的值即得;

1—4/

(2)根据图形，可得四边形/S87的面积5=5|57|卜7/=瓦-4|,代入孙=”连和

12/

%7,经过换元，运用基本不等式和函数的单调性即可求得面积最大值.

t+18

【详解】(1)

_2

由题意知〃=也，6=1,椭圆£：y+/=l

如图，设尸(，,2),

当蜂0时，直线尸/的方程为：夕=1+1,代入工2+2/=2,

3曰’2+224crrt.i—At..%?—2上“—4//—2、

何—5—xH—x=0贝U/=三~»从而7)幺s二=---，点4(—---------)

t2tt2+2〃/+2)2+27+2

3

又直线必的方程为：y=~x~^代入％2+2/=2,

汨『+18212八⑵“后r-18'点以品,产一18

倚丁X：x=。,则mil『二石从而y=--：------

1B1f+18产+18

由对称性知，定点在了轴上，设为G(o,优)

产一2产一18

m——%-----m+7----

由的G=^G，即一产一一,化简得m(4产+24)=2»+12,

12?

产+2t2+18

答案第11页，共14页

因2d+12>0故得2加=1,解得切=；.

即直线过定点(0,g),而当:0时，直线也过定点(0,g).

综上，直线恒过定点(0,g).

(2)

由图可知四边形ASBT的面积为