高一数学上学期期末复习选择题压轴题二十二大题型专练（范围：第一、二、三章）（解析版）

2024-2025学年高一上学期期末复习选择题压轴题二十二大题型专练

(范围：第一、二、三章)

【人教A版(2019)]

根据元素与集合的关系求参数

1.(24-25高一上•山西大同•阶段练习)已知集合力={l,3a+l,2a2+a-3},若一264，则a=()

A.-1B.1C.1D.-1或T

【解题思路】根据元素与集合的关系可得出3a+1=-2或2a2+a-3=-2,再结合集合4中的元素满足

互异性可得出实数a的值.

【解答过程】因为集合4={l,3a+l,2a2+a—3},且一264，分以下两种情况讨论：

(1)若3a+1———2,贝!Ja———1,此时,2把+a—3=2—1—3———2,

此时集合4中的元素不满足互异性，舍去；

(2)若2a2+a—3=—2,即2a2+a-1=0,解得a=g或a=—1(舍)，

当a=^寸，3a+l-|+l=|,合乎题意.

综上所述，a=3.

故选：B.

2.(24-25高一上•河北衡水•阶段练习)已知aeZ,4={(x,y)|ax-yW3}且，(2,1)GA,(1,一4)64

则a取值不可能为()

A.-1B.0C.1D.2

【解题思路】根据a的取值，结合已知逐一验证即可.

【解答过程】选项A：当a=—l时，—1X2—1W3,-lx1-(-4)<3,故(2,1)e4(1,-4)e4A

错误；

选项B：当a=0时，0x2—1W3,0x1-(-4)>3,故(2,1)e4,(1,—4)任4B正确；

选项C：当a=l时，1X2—1W3,1x1—(-4)>3,故(2,1)e4(L—4)04C正确；

选项D：当a=2时，2X2-1W3,2x1-(-4)>3,故(2,1)€力,(1,-4)C4D正确.

故选：A.

3.(2024・贵州贵阳・模拟预测)若集合力={刈2瓶％-3>0,瓶6咫，其中264且1任力，则实数加的取值

范围是（）

【解题思路】借助元素与集合的关系计算即可得.

【解答过程】由题意可得{舞解得：<m<|.

故选：A.

4.（23-24高一上•江苏南京•阶段练习）设非空集合S=（x\m<x<l}满足:当久6S时，有dGS,下列命题中,

正确的有（）

A.若机=1,则S={1}B.根的取值范围为一1<m<1

C.若/=今则一W0D.m+Z>-i

【解题思路】对于A,当巾=1时,S=31WxW/}，此时/>1,分类讨论判断正误;对于B,由题意得巾GS,则

m2eS,所以m/判断B的正误;对C,若]=g,S={xWxW扑此时m<。，则0<m2<g求出范围判断

即可;对于D,因为mGS,则eS,所以Tn?<，，将TH+I转化为m+Z>m+TH2求解即可.

【解答过程】对于A,当m=1时,S={加14％工Z},此时I>1.若2=1,则S={1},满足题意;若1>1,则Z6

S,I2tS,综上，若m=1,则S=口},故A正确；

对于B,因为mGS,则血2GS,所以771<血2,解得7n<0或m>1,故B错误；

对于C,若/==^%|m<%<；},此时m<0,则0<m2<g,解得一亨Wm<今综上一日4m<0,故C正

确；

2

对于D,因为mGS,则ni?GS,所以小？<I,所以m+l>m+m2-（m+^一[2-/故D正确.

故选:ACD.

N根据集合间的关系求参数

5.（24-25高一上•山西大同•阶段练习）已知集合4={x|xW—2或x>l},B={x\ax+2<0},且BUA,

则a的取值范围是（）

A.{a|0<a<1]B.{a|-2VaW1}

C.{a|-2<a<1}D.{a|—2<a<0或0<aW1}

【解题思路】分a=0、a>0、a<0三种情况讨论，求出集合B,在a=0时，直接验证即可；在a>0、a<0

这两种情况下，根据集合的包含关系可得出关于实数a的不等式，综合可得出实数a的取值范围.

【解答过程】因为集合4={x|xW—2或x>1},B=[x\ax+2<0],且B=4分以下几种情况讨论：

(1)当。=0时，B=①JA,合乎题意；

(2)当a>0时，B-{x\ax+2<0}=|x1]»则一:4一2,

因为。>0时，解得0VQW1;

(3)当aVO时，B={x\ax+2<0}=|x则一:>1,

因为QVO,解得一2Va<0.

综上所述，实数Q的取值范围是{。|-2<a<l].

故选：B.

6.(24-25高一上•陕西宝鸡•阶段练习)设集合A={x\x2+%—6=0},B={x\mx+1=0},若B是Z的真子

集，则血的取值范围为()

A.{一:B.{mGR|m0)

C{。,-工}D.{o,1j

【解题思路】对参数进行讨论，再结合真子集的性质建立方程，求解参数即可.

【解答过程】当血=0时，B是空集，而令/+%-6=0,解得％=2或久=一3,

所以4={2,-3},得到Z不是空集，而空集是任何非空集合的真子集，

故771=0符合题意，当7?1H0时，令血％+1=0,解得％=-工，

m

所以8={-工},令一工=2,解得7n=_j令一工=-3,

ImJm2m

解得爪故小的取值范围为{0,-3卦故C正确.

故选：C.

7.⑵-24高一上・甘肃白银•期中)己知集合力={xGR|2x-3-a>0},集合B={yeR|y=x2-3x+2},

若4三B,贝ija的取值范围为()

77

A.a>——B.a>——

22

77

C.aW—D.a<—

22

【解题思路】根据一元一次不等式的解法化简集合4根据二次函数值域求解集合8,然后利用集合关系列

不等式求解.

【解答过程】集合4={xeR|2x-3-a>0}={.%eR|x>

集合B={yeR|y=%2-3x+2)=6R|y>-|j,

因为力=B,所以^^2—；，解得aN-g.

故选：A.

8.(23-24高一上•江苏盐城•期中)已知集合A={0,1},B^{x\ax2+x-l^O},若A2B,则实数a的取

值可以是()

A.0B.1C.-1D.-

2

【解题思路】分a=0和a力。两种情况讨论集合8中的原式，即可求解.

【解答过程】当a=0时，8={1},满足条件，

当a70时,若8={1},则”：+?=/，无解，

la+l-1=0

若8={0},则{△=：：/：=°,无解，

△=1+4a>0

若8={0,1},则-1=0,无解，

、a+1-1=0

若8=0,则△=l+4aV0,得a<-4

4

综上可知，。=0或。V一3只有AC符合条件.

4

故选：AC.

题型3N交、并、补集的混合运算及其含参问题

9.(2023•全国•高考真题)设集合U=R,集合M={x|x<1],N{x\-1<x<2),贝1J{x|x>2]=()

A.Cu(MuN)B.NUCUM

C.Cu(MCN)D.MuCuN

【解题思路】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为{x|x>2}即可.

【解答过程】由题意可得MUN={H%<2},贝iJCu(MuN)=2},选项A正确；

CuM={x|x>1},则NUQ/M={x|x>-1},选项B错误；

MnN=-1<x<1},贝i]Cu(MnN)=[x\x<-l^x>1},选项C错误；

CuN={x\x〈一1或久22},则MUCuN={x|x<1或％22},选项D错误；

故选：A.

10.(2024•宁夏银川•一模)已知集合A={x|x<a},B={x|lW比<2}且4U(CRB)=R,则实数a的取值

范围是()

A.{a\a<1}B.{a\a<1}C.{a\a>2}D.{a\a>2}

【解题思路】根据集合B求得CRB,再根据题意即可求得参数的范围.

【解答过程】因为B={x|l<x<2},故可得CRB={x|久<1或x22},

因为力={x\x<a},AU(CRB)=R,

故可得a>2.

故选：C.

11.(23-24高一上•北京•阶段练习)已知4={久|/+p久—6=0},B={x|/+q%+2=0),且

An(CRB)={2},则p+q的值为()

514

A.4B.-C.—D.5

33

【解题思路】利用条件力n(CRB)={2},得到2GA,从而求出p=1,进而求出集合4得到一3GB,即可

求出结果.

【解答过程】因为4n(CRB)={2},2eA,所以4+2p—6=0,得到p=1,

当p=1时，由/+%-6=0,解得x=2或％=—3,所以—3eB,

故9-3q+2=0,得到q=?，所以p+q=l+3=葭，

故选：C.

12.(23-24高一上•山东潍坊•阶段练习)设全集U={1,2,3,4,5},若4nB={2},(QA)nB={4},(CMC

(CuB)={1,5},则下列结论正确的是()

A.3任4,且46BB.36力，且

C.3”,且268D.3EA,且55

【解题思路】根据题意，画出Venn图，即可得到结果.

根据题意，由条件可得Venn图如图所示,

所以4={2,3},B={2,4},

所以3C41CB,故A错误，B正确；

2eS,5«A,故C正确，D错误；

故选：BC.

题型4■集合的新定义问题

13.（24-25高一上•广西柳州•阶段练习）定义集合运算：4*B={久|x€力且久CB},若集合力={1,3,4,6,7},

B={2,4,5,8},则集合4*B的真子集个数为（）

A.13个B.14个C.15个D.16个

【解题思路】由定义运算求出集合4*8,由集合中的元素个数，求真子集个数即可.

【解答过程】由定义可知4*B={1,3,6,7},集合中有4个元素，

所以集合4*B的真子集个数为24-1=15.

故选：C.

14.（24-25高一上•江西上饶•阶段练习）已知集合力={0,1,3},B={1,2},定义运算力0F={x\x=ab,a€

A,b6B},则下列结论正确的是（）

A.0e（A区8）

B.若U=4区B,贝！|（&M）UB={2,6}

C.若BM则符合要求的集合M有6个

D.4区B中所有元素之和为15.

【解题思路】根据题意可得力0B={0,1,2,3,61，进而可判断AD；根据补集和并集运算判断B；对于C：分

析可知{1,2}M[0,1,2,3,6）,进而列举求解.

【解答过程】由已知条件可得力0B={0,1,2,3,6）.

对于选项A：显然0@（4集3）,故A错误；

对于选项B：因为U={0,1,2,3,6},则CM={2,6},

所以（Q4）UB={1,2,6},故B错误;

对于选项C：若BMQ4（8）B）,即{1,2}M{0,1,2,3,6},

则满足条件的集合M有：{0,1,2}、{1,2,3}、{1,2,6}、{0,1,2,3}、{0,1,2,6}、{1,2,3,6},共6个，故C正确；

对于选项D：中所有元素之和为0+1+2+3+6=12,故D错误.

故选：C.

15.（23-24高一上•湖北恩施•阶段练习）定义集合运算：4^8={（居丫）|；64彳63}.若集合力=2=以€

N\l<x<4],C={(>,y)|y=—熹无+,},贝U(A㊉B)CC=()

A.0B.{(4,1)}c{(金D.{(4,1),(6,初

【解题思路】由题意可得A-B—{2,3},从而可得x=4或无-6,y-1或y=|,再根据新定义得4㊉B=

{(4,1),(4,|),(6,1),(6,|)},再代入y=-q验证即可得答案.

【解答过程】因为4=B={2,3},所以]=2或;=3,

所以％=4或％=6,-=2或2=3,

yy

所以y=1或y=g,.••力㊉夕={(4,l),(4,|),(6,l),(6,|)j,

代入y=-+9验证得点(4,1),(6,§在该直线上，

故(力㊉8)CC={(4,1),(6,|)}.

故选：D.

16.(24-25高一上•河南•阶段练习)已知非空集合4B,定义4-B={x\xEA且xiB],A®B={x\x€力UB

且XWACB},则下列结论一定正确的是()

A.QA(A-B)=BB.力③B=(4—B)U(B—4)

C.当2③B=B—4时AUBD.当力-8=B—力时，力区B=0

【解题思路】根据集合的新定义及集合交并补运算判断各选项.

【解答过程】选项A,由4—8={加久64且无《8},得以(4—B)={久|x64CB},A错；

选项B,设xea<8)8,则xeAUB且无sanB,因此xe4且xe8或者xe8且％任A,

即x€4-B或％EB-A,则xW(4一B)U(B—4),因此4⑤B=Q4-B)U(B-4),

反之，若xeQ4—B)U(8—4)，则xCA—B或—4即Xe4且久eB或者％eB且x《4

于是xe71U8且x《力nB,因此(4-B)U(B-X)ex®B,

所以力③B=(4-B)U(B—4),B正确；

选项C,4⑤B=Q4—B)U(B—4)=B—4,则(力一B)U(8—4),

所以当xea-B时，xGB-A,又力=Q4-B)UQ4nB),B=(B—A)U(4CB),

所以对任意的xG力，则或％WAClB,从而久€B,所以4UB,C正确；

选项D,若=则对任意有xe4—B或xeHGB,

又力一B=B一力，所以xeB—4或xeACiB,所以xCB,所以4UB,同理BU4

所以力=B,

所以力UB=HCB,从而4<8)8=0,D正确，

故选：BCD.

题型5N由充分条件、必要条件求参数

17.（24-25高一上•广东广州•期中）已知p:无<一2或x>0,q-.x>a,且q是p的充分不必要条件，则a的

取值范围是（）

A.a<2B.a<0C.a>0D.a>0

【解题思路】令4={x\x<-2或x>0},B-{x\x>a）,q是p的充分不必要条件可得B真包含于4,可求解.

【解答过程】令4={x\x<-2或x>0},B={x\x>a）,

因q是p的充分不必要条件，可得B真包含于4

可得a>0.

故选：D.

18.（24-25高一上•广东河源•阶段练习）命题"Vxe（x|l<x<2],x2-a<0”为真命题的一个必要不充

分条件是（）

A.a>3B.a<4C.a>4D.a-6

【解题思路】根据必要不充分条件的定义即可判断.

【解答过程】由命题“VxG（x|l<x<2},x2-a<0”为真命题

可得a2/,恒成立，

即可得a24,则a24可推得a23,必要性成立

而a23推不出a24,充分性不成立，

Vxe{x|l<x<2],X2-a<0”为真命题的一个必要不充分条件是a>3；

故选：A.

19.（24-25高一上•辽宁大连•阶段练习）若不等式|尤+1|-|x—2|<a成立的充分条件是。（无<1,则实

数。的取值范围是（）

A.a>1B.a>1

C.a<—1D.ci<-1

【解题思路】当0<x<l时，求出|久+1|-|x-2|=2比一1<1,由题意求得a的范围.

【解答过程】根据题意，当0<x<l时，|x+l|—|x-2|-x+l+x—2-2x—1,

则|x+1|-|x-2|=2x-1<1,

因为|x+1|-|x-2|<a成立的充分条件是0<x<1,

所以a21.

故选:B.

20.（24-25高一上•黑龙江绥化•阶段练习）命题"Vxe（x\l<x<3},3x2-a>0”为真命题的一个必要不

充分条件是（）

A.a<4B.a<2C.a>3D.a<5

【解题思路】先根据题意化简：命题"Vxe{x|lWxW3},3/—a20"为真命题；为aW3,然后利用充分

性和必要性的判断方式来判断即可.

【解答过程】若命题"Vxe{x|l<%<3},3x2-a>0”为真命题，

则当V久E（x\l<x<3}时，a<3/恒成立，

2

即aW（3x）min=3,

故该题可以转变为“a<3”的一个必要不充分条件，

由必要不充分条件的判断可知，

“a<3”的一个必要不充分条件是“a<m,m>3”

所以AD符合题意.

故选：AD.

题型6N全称量词与存在量词中的含参问题

21.（24-25高一上•广东珠海•期中）若命题"mxoCR,焉+2mxo+m+2W0”为真命题，则根的取值范围

是（）

A.（-CO,-1）U（2,+OO）B.（-CO,-l]u[2,+co）

c.（-1,2）D.[-1,2]

【解题思路】根据判别式大于等于0,可求参数的取值范围.

【解答过程】因为命题石的eR,就+2mx0+m+2<0”为真命题，

所以△=47n2_4m-8>0即m<-1或m>2,

故选：B.

22.（24-25高一上•江苏苏州•阶段练习）已知命题p:Vxe{x|lWxW2},都有比2—a20,命题q:存在&6

R,焉+2ax（）+2-a=0,若p与q不全为真命题，则实数a的取值范围是（）

A.{a\a<-2}B.{a|a<1}

C.[a\a<—2或a=1}D.{a|-2<a<1或a>1}

【解题思路】求得p为真命题，实数a的取值范围；q为真命题，实数a的取值范围；进而可得p与q全为真命

题时，实数a的取值范围，进而可得结论.

【解答过程】若p为真命题，则aW（x2）min，又xe{x|lWxW2},所以（尤2）min=L所以aWL

2

若q为真命题，则就+2ax0+2-a=0有解，所以△=(2a)-4x1X(2-a)>0,

解得a>1或a<-2,

所以p与q全为真命题时，实数a的取值范围是{a[a<-2或a=1},

所以p与q不全为真命题，则实数a的取值范围是{a|-2<a<1或a>1}.

故选：D.

23.(24-25高一上•江苏南京•阶段练习)已知命题pTxe[0,3],a=-x2+2x：命题[-l,2],x2+ax-

8WO.若〃为假命题，g为真命题，则实数a的取值范围为()

A.[-3,1]B.(—8,2]

C.[-7,-3)U(1,2]D.(-co,-3)U(1,2]

【解题思路】由命题p：Bx6[0,3],a--x2+2x为假命题，则a=-x2+2x在xG[0,3]上无解，即y=a与y=-

%2+2x,xe[0,3]函数图象没有交点，画出图象求出参数，命题q:Vx€[-1,2],/+a%—8W0为真命题，

则—,求出参数求交集即可.

【解答过程】命题[0,3],。=一/+2第为假命题,

a=—x2+2%在％6[0,3]上无解，

即y=。与y=-x2+2%,%e[0,3]函数图象没有交点，

由图可知：。>1或。〈一3,

命题[—l,2],%2+ax—8W0为真命题，贝山11m，解得一7WaW2,

综上所述：实数。的取值范围为[-7,-3)U(1,2].

故选：C.

24.(24-25高一上•江西抚州•阶段练习)命题“Vxe[0,2],x2-a<0”是假命题的一个充分不必要条件是

()

A.CLV—1B.CL4-2

C.a>5D.a>8

【解题思路】求出给定命题为真的a的范围，再求出其否定的a的范围，并结合充分不必要条件的定义判断

即可.

222

【解答过程】命题“Vxe[0,2],x-a<0”,即VxG[0,2],a>x,而当xe[0,2]时，（x）max=4,则a>4,

因此由命题“V尤E[0,2],x2—a<0”是假命题，得a<4,

又{a|a<—1}{a\a<4},{a|a<-2}{a|a<4},则选项AB是；a>5,a>8都不能推出a<4,CD不

是.

故选：AB.

利用作差法、作商法比较大小

25.（24-25高一上•北京延庆•期中）若P=a2—2a和Q=2a-4,则P和Q的大小关系为（）

A.P>QB.P<QC.P>QD.P<Q

【解题思路】根据条件，通过作差法，得到P-Q=（a-2）2,即可求解.

【解答过程】因为P=a?—2a,Q=2a-4,

所以P—Q=—2a—（2a—4）=—4a+4=（a—2）2>0,当且仅当a=2时取等号，所以P2Q,

故选：C.

一、321a

26.（2024•山西晋城•一模）若实数n,p满足租=4函，几=5e§,P=/，贝!I（）

A.p<m<nB.p<n<mC.m<p<nD.n<p<m

【解题思路】根据作商法比较大小，即可得出结果.

【解答过程】因为实数m,n,p满足zn=4西，n=53,p=

3

所r-r-以KI一m=—4e5=4e—15—<,.1,

n5e35

Am<n；

3

4e52—13

又"=寸=§9>1，

p?

Am>p；

.\p<m<n.

故选：A.

27.（23-24高二上•陕西咸阳•期中）在日常生活中有这样一种现象，向糖水中不断加入糖，糖水会变得越

来越甜.已知a克糖水中含有b克糖（a>b>0）,再添加加克糖（m>0,假设全部溶解），可将糖水变

甜.这一事实表示为下列哪一个不等式？（）

Ab、b+mnbb+m「ab+mcaa+m

D.­<---

Aa.-a+>m-----aa+mC.-b<—a+mbb+m

【解题思路】利用作差法比较.

【解答过程】因为向糖水中不断加入糖，糖水会变得越来越甜,

所以糖水的浓度2,

a

再添加加克糖，即浓度竺依,

将糖水变甜.贝丝竺,

aa+m

因为Q>b>0,m>0,

所以2一批史=瞥”<0,

aa+ma^a+m)

故选：B.

28.（23-24高三上•河南信阳•阶段练习）若a>b>0,那么下列不等式一定成立的是（）

A.+>-B.7V-C.a>y/ctb>bD.。+!>入+工

a+lababa

【解题思路】作差比较大小可以判断AD；作商比较大小可以判断BC.

【解答过程】对于A,因为a>b>0,所以"，=一+?”（：+1）=用>0,故A正确；

a+laa^a+i）aQa+i）

对于故错误；

B,b1>-a>0,B

对于C,a>b>0,卷=提>1,所以（1>属，因为平=关>1,所以房>b,所以a>而>b,故

C正确;

对于D,a+1—6—1=(a—b)(1+*)>0,故D正确.

故选：ACD.

题型8q利用不等式的性质求取值范围

29.（24-25高一上•云南曲靖•阶段练习）已知0Wa-bW2,1Wa+6W4,则4a-26的取值范围是（）

A.1<4a—2/)<4B.1<4a-2b<10

C.0<4a-2b<6D.1<4a-2b<9

【解题思路】利用待定系数法求得4。-2b=3（a-b）+（a+b）,再根据不等式性质即可求解.

【解答过程】设4a-2b=m（a一b）+n（a+b）=（m+ri）a—（m—n）b,所以｛北｝：二='解得｛:二:

所以4a—2b=3(a—b)+(a+b),

又0Wa-bW2,1Wa+bW4,所以043（a-b）W6,则144a-2bW10.

故选：B.

30.（24-25高一上•内蒙古赤峰•阶段练习）已知l<a<5,l<fe<3,则以下错误的是（）

A.1<ab<15B.2<a+b<8

C.-2<a-Z?<4D.1<-<-

a5

【解题思路】由不等式的基本性质判断各选项即可.

【解答过程】因为1<a<5,1<&<3,

所以l<ab<15,2<a+b<8,故AB正确；

ffij_3<—b<—1,—<—<1,

5a

所以—2<a—b<4,^<—<3,故C正确，D错误.

5a

故选：D.

31.（24-25高一上・广东广州•阶段练习）已知l<a<3,—5<6<—2,则下列结论错误的是（

A.a+b的取值范围为（—4,1）B.a—6的取值范围为（3,8）

C.a6的取值范围为（一15,-2）D.（取值范围为一吕

【解题思路】根据b的取值范围，可得到-匕以及1的取值范围，然后相加相乘即可得解.

b

【解答过程】对于A,因为1<a<3,-5<b<—2,

所以1+（—5）<a+6<3+（—2）,即—4<a+6<1,

所以a+b的取值范围为（一4,1）,故A正确，不符合题意；

对于B,因为一5<6<-2,所以2<-匕<5,

因为l<a<3,所以2+l<a+（—b）<3+5,即3<a—b<8,

所以a-b的取值范围为（3,8）,故B正确，不符合题意；

对于C,因为l<a<3,-5<6<-2,则2<-6<5,

所以2<—ab<15,贝!J—15<ab<-2,

所以ab的取值范围为（-15,-2）,故C正确，不符合题意；

对于D,因为一5<6<-2,所以一:<：<一［贝咕<—!<；,

因为lVa<3,所以则—J

5b22b5

所以押值范围为(-1，V),故D错误，符合题意；

故选：D.

32.(24-25高一上•贵州•阶段练习)已知实数a,6满足lWa+6W7,3<a-b<5,则下列说法正确

的是()

A.a的最大值是6,最小值是2B.6的最大值是2,最小值是-2

C.4a+2b的最大值是28,最小值是4D.的最大值是：最小值是一£

a53

【解题思路】根据给定条件，利用不等式性质逐项分析求解即可.

【解答过程】对于A,由+解得2WaW6,当且仅当『+)=1时a取得最小值2,

当且仅当二;时a取得最大值6,A正确；

对于B,由己土+的2,解得一2W6W2,当且仅当?=2时b取得最小值一2,

当且仅当｛;｝：：：时b取得最大值2,B正确；

对于C,4a+2b=3(a+Z?)+(a-fe),而尸?？(a+?)W21,则6g4a+2bW26,C错误；

对于D,由选项B知，b的最大值为2,此时a=5；b的最小值为一2,此时a=3,

观察图形知，当b取最大值2时，2的最大值是；，当6取最小值-2时，2的最小值是一|,D正确.

a5a3

题型9N利用基本不等式求最值

33.(24-25高一上•广东深圳•期中)若2a+b=l(a>0,6>0),贝壮+1的最小值为()

ab

A.3-2V2B.8C.4V2D.3+2V2

【解题思路】由基本不等式“1”的妙用方法即可计算求解.

【解答过程】因为2a+6=l(a>0,b>0),

所以｝+"=G+3（2a+b）=3+3+g23+2j£xg=3+2企，

当且仅当2==即a=1—b=&—1时等号成立，

ab2

所以工+）的最小值为3+2V2.

ab

故选：D.

34.（24-25高三上・广东广州・阶段练习）若48>0,且。8=24+6+4,则防的取值范围是（）

A.（4,8+4V3]B.（4,16]C.[8+4低+8）D.[16,+oo）

【解题思路】由基本不等式的性质将原式变形为ab22屈+4,进而求出防的范围.

【解答过程】因为a>0,b>0,ab-2a+b+4,则ab22,2ab+4,

当且仅当2a=b时，等号成立，

即（V^F）2—2V2Vaib-4>0,

解得Vab>V2+V6,或y[ab<V2—V6（舍），

解得ab>8+4V3,

故选：C.

35.（24-25高一上•上海•期中）已知x,yeR+,

①若x+y=1,则工+工的最小值为£

xy2

②若％+3y=xy,则％+y的最小值为4+2V3

③若1+2y+xy=4,则X+2y的最小值为4V3一4

吗急+岛的最大值为工手

上述列命题中，正确的命题是（）

A.①②④B.②④C.③④D.②③

【解题思路】利用条件等式、“:1”的代换及基本不等式求各项的最值，即可判断.

【解答过程】①由题设也+工=1+?+工21+2”=3,当且仅当刀=丫=；时取等号，错；

xyxyA!xy2

②由题意三+工=1,贝阮+丫=。+/）（三+工）=4+型+524+2S^=4+2V3,

xyxyxy-\lxy

当且仅当x=3+V3,y=V3+1时等号成立，对；

③由题意％+2y=4-xy=4-1x-2y>4-|x。+:，）r故（x+2y）2+8（x+2y）-32>0,

则x+2yW—4疗一4（舍）或x+2y24b一4,当且仅当x=2遮一2,y=百一1时取等号，对;

z-jx2x,2y2x6,2y6,12122「2(x+3y)3x+2y

(4)由-----1-----=----------1---------1---=—-------1----

3x+2yx+3y3x+2y7x+3y7777L3x+2yx+3y

122l2(x+3y)~3x+2y

Qs-----Xz--王---尹--，--当--且-仅当丫=?%时等号成立，错.

77y3x+2yx+3y

综上，正确的有②③

故选：D.

36.（24-25高一上•河北石家庄•期中）设正实数相y满足x+2y=3,则下列说法正确的是（）

A.xy的最大值为JB.上+工的最小值为吟

8xy3

C.怖+J药的最小值为逐D./+4y2的最小值为,

【解题思路】根据基本（均值）不等式可判定ABD是正确的，举反例说明C是错误的.

【解答过程】对A：因为3=久+2y22y]x-2yxy<

当且仅当3,即刀=也丫=3时取''=''，故A正确;

-.1Crj-istV,13—X,13,111

对B：因为—I—=----1—=—I-----

xy2xy2xy22

i1f-+2+2+2g

3,2xy/263ylxy2-3-

%+2y=3二麒3）时取5故B正确;

当且仅当3y_x，即

-xy

对C：当久=y=l时，满足％+2y=3,此时近+盾=1+&V遍，故C错误;

对D：因为%2+4y2=（%+2y）2—4xy=9—4xy,由A选项可知，xy<

所以9一4%y29一；=%当且仅当％=|,y=：时取“="，故D正确.

故选：ABD.

题型1。q基本不等式的恒成立、有解问题

37.（23-24高二上•黑龙江绥化•开学考试）设正数a,b满足工+：=1,若不等式a+b2-/+4x+18-爪

ab

对任意实数%恒成立，则实数血的取值范围是（）

A.m>3B.m<3

C.m<6D.m>6

【解题思路】首先利用基本不等式求出a+6的最小值，然后根据不等式恒成立，将问题转化为关于小的不

等式求解.

【解答过程】因为正数a,b满足工+3=1,

ab

则a+6=(a+b)©+£)=1+9+:+号210+2Jx等因为《x竽=9,

所以2]'*■?=2x3=6,则a+6210+6=16,当且仅当"与即a=4,b=12时等号成立.

因为不等式a+b>—x2+4%+18—TH对任意实数%恒成立，即(a+b)mm2一%2+4%+18—m恒成立.

(a+b)min=16,所以16>—x2+4%4-18—m,即zn>—x2+4x+2对任意实数无恒成立.

令y=—，+4%+2=—(x—2)2+6,因为—(%—2)2<0,所以y=—(%—2)2+6<6.

所以m>6.

故选：D.

38.(23-24高一上•江西南昌・期中)若两个正实数x,y满足工+±=1,且不等式》+与〈爪2一3小有解，则

xy4

实数血的取值范围是()

A.{m\—1<m<4}B.{m\m<-4或7n>1}

C.(m\—4<m<1}D.(m\m<-1或m>4]

【解题思路】首先将原问题转化为(％+?*<m2-3m,再利用基本不等式的知识求出x+3的最小值即可.

[解答过程】•••不等式X+与</一3小有解，

4

•••(x+-)<m2—3m,

^^min

14

x>0/y>0/-+-=1,

%y

.•.%+2=6+^^+£)=竺+上+222/+2=4,

4k4/\xyjy4x-Jy4x

当且仅当竺=六，即x=2,y=8时，等号成立，

y4x

・•・m2—3m>4,(m+l)(m—4)>0,・,.m<-1或m>4,

.•・实数的取值范围是<—1或m>4].

故选：D.

39.(24-25高一上•广东深圳•阶段练习)已知x>0,y>0,且无+y=3,若岭包W俨十》十1对任意的

x>0,y>0恒成立，则实数小的取值是()

A.(-co,l)B.[5,+oo)

C.(-OO,1)u[5,+00)D.(1,5]

【解题思路】根据题意，问题可转化为/）三月壮=七+工对任意的x>0,y>0恒成立，由题设条件得

TH—1（x+l）yx+ly

到（x+l）+y=4,进而得到_9+工=±+斗1+；,接着结合基本不等式求得士+工最小值得到弋WJ即

可求实数小的取值范围.

【解答过程】因为但浮<y2+x+l对任意的x>0,y>0恒成立，

m—1

可得'）<上i={+二对任意的％>0,y>0恒成立，

m—1{x+l）yx+ly

又因为x+y=3,可得（％+l）+y=4,

则上+）=2+（%+D+y=上+汨+工22匕汨+工一,

x+lyx+l4yx+l4y47x+l4y44

当且仅当士=中即X=|,y=：时等号成立，

x+l4y33

所以七_+L最小值为J，所以-可得40,即N0,

x+ly4m-144（;m二-l）、4（：m-l）

所以伊-5）（：-1）>0；解得m?5或血<1,

lm—1=^=0

所以实数小的取值范围为（一8,1）U[5,+oo）.

故选：C.

40.（23-24高一上•福建泉州•期中）已知x